2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明課時(shí)作業(yè)93.2數(shù)學(xué)證明含解析北師大版選修1-2

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)9數(shù)學(xué)證明時(shí)間：45分鐘滿分：100分一、選擇題(本大題共7個(gè)小題，每小題5分，共35分)1．有如下一段演繹推理：“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”，這個(gè)推理的結(jié)論明顯是錯(cuò)誤的，是因?yàn)?)A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤 D．非以上錯(cuò)誤【答案】C【解析】推理形式不完全符合三段論推理的要求，故推出的結(jié)論是錯(cuò)誤的．2．下面幾種推理過(guò)程不是演繹推理的是()A．全部的金屬都能導(dǎo)電，鈾是金屬，所以鈾能導(dǎo)電B．一切偶數(shù)都能被2整除，22008是偶數(shù)，所以22008能被2整除C．由橢圓的基本性質(zhì)類比得出雙曲線的基本性質(zhì)D．在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100℃，所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，把水加熱到100℃【答案】C【解析】A，B，D的推理都是以某些一般的推斷為前提，得出一些個(gè)別的、詳細(xì)的推斷，因而都是演繹推理．選項(xiàng)C是由一類事物的性質(zhì)類比出另一類事物的性質(zhì)，是類比推理，屬于合情推理的范疇，故選C.3．“三角函數(shù)是周期函數(shù)，y＝tanx在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是三角函數(shù)，所以y＝tanx在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是周期函數(shù)．”在以上演繹推理中，下列正確的是()A．推理完全正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．推理形式不正確【答案】C【解析】y＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))只是三角函數(shù)中的一個(gè)特例，不是代表一般的三角函數(shù)，故小前提錯(cuò)誤．4．三段論：“①只有船準(zhǔn)時(shí)起航，才能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港，②這艘船是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港的，③所以這艘船是準(zhǔn)時(shí)起航的”中的“小前提”是()A．①B．②C．①②D．③【答案】B5．已知△ABC中，A＝30°，B＝60°，求證：a<b.證明：eq\x(\a\al(∵A＝30°，B＝60°，,∴A<B.))∴a<b.畫線部分是用演繹推理證明a<b中的()A．大前提 B．小前提C．結(jié)論 D．三段論【答案】B【解析】用演繹推理證明a<b中，省略了大前提，畫線部分是小前提．6．下面推理中正確的是()A．假如不買彩票，那么就不能中獎(jiǎng)．因?yàn)槟阗I了彩票，所以你肯定中獎(jiǎng)B．因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線相互平分且相等，所以對(duì)角線相互平分且相等的四邊形是正方形C．因?yàn)閍>b，a<c，所以a－b<a－cD．因?yàn)閍>b，c>d，所以a－d>b－c【答案】D7．下列推理過(guò)程屬于演繹推理的為()A．老鼠、猴子與人在身體結(jié)構(gòu)上有相像之處，某醫(yī)藥先在猴子身上試驗(yàn)，試驗(yàn)勝利后再用于人體試驗(yàn)B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，……得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三條中線交于一點(diǎn)聯(lián)想到四面體的四條中線(四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心的連線)交于一點(diǎn)D．通項(xiàng)公式形如an＝cqn(c，q≠0)的數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{－2n}為等比數(shù)列【答案】D【解析】選項(xiàng)A，C屬于類比推理，選項(xiàng)B屬于歸納推理，選項(xiàng)D屬于演繹推理．二、填空題(本大題共3個(gè)小題，每小題7分，共21分)8．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函數(shù)f(x)＝ax，若實(shí)數(shù)m，n滿意f(m)>f(n)，則m，n的大小關(guān)系為______．【答案】m<n【解析】當(dāng)0<a<1時(shí)函數(shù)f(x)＝ax為減函數(shù)，(大前提)a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，(小前提)所以，函數(shù)f(x)＝(eq\f(\r(5)－1,2))x為減函數(shù)．(結(jié)論)故由f(m)>f(n)得m<n.9．全部眼睛近視的人都是聰慧人，我近視得很厲害，所以我很聰慧．下列各項(xiàng)中揭示了上述推理是明顯錯(cuò)誤的是________．①我是個(gè)笨人，因?yàn)槿康穆敾廴硕际墙曆?，而我的視力那么好．②全部的豬都有四條腿，但這種動(dòng)物有八條腿，所以它不是豬．③小陳非常興奮，所以小陳肯定長(zhǎng)得很胖，因?yàn)榕d奮的人都長(zhǎng)得很胖．④全部尖嘴的鳥都是雞，這種總在樹上待著的鳥是尖嘴的，因此這種鳥是雞．【答案】④【解析】依據(jù)④中的推理可得：這種總在樹上待著的鳥是雞，這明顯是錯(cuò)誤的．①②③符合三段論的形式．10．如圖，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB邊上的高，求證：∠ACD＞∠BCD.證明：在△ABC中，因?yàn)镃D⊥AB，AC＞BC，①所以AD＞BD，②于是∠ACD＞∠BCD.③則在上面證明的過(guò)程中錯(cuò)誤的是____________．(只填序號(hào))【答案】③【解析】由AD＞BD得到∠ACD＞∠BCD推理的大前提應(yīng)是“在同一三角形中，大邊對(duì)大角”，小前提是“AD＞BD”，而AD、BD不在同一三角形中，故③錯(cuò)．三、解答題(本大題共3個(gè)小題，11,12題每小題14分，13題16分，共44分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)11.如右圖，在空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB，AD的中點(diǎn)．求證：MN∥平面BCD(寫出大前提，小前提，結(jié)論)【證明】①三角形中位線平行于底邊(大前提)∵M(jìn)、N分別為AB與AD的中點(diǎn)(小前提)∴MN∥BD(結(jié)論)②平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則這條直線與這個(gè)面平行(大前提)∵M(jìn)N?面BCD，BD面BCD.MN∥BD(小前提)∴MN∥平面BCD(結(jié)論)12．下面的推理形式正確嗎？推理的結(jié)論正確嗎？為什么？(1)因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)，(大前提)而y＝logeq\f(1,3)x是對(duì)數(shù)函數(shù)，(小前提)所以y＝logeq\f(1,3)x是增函數(shù)．(結(jié)論)(2)因?yàn)檫^(guò)不共線的三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面，(大前提)而A、B、C為空間三點(diǎn)，(小前提)所在過(guò)A、B、C三點(diǎn)只能確定一個(gè)平面．(結(jié)論)(3)因?yàn)榻饘巽~、鐵、鋁能夠?qū)щ姡?大前提)而金是金屬，(小前提)所以金能夠?qū)щ姡?結(jié)論)[分析]本題考查三段論推理的應(yīng)用，在應(yīng)用三段論推理證明問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)明確什么是問(wèn)題中的大前提和小前提，并且應(yīng)留意大前提、小前提或推理形式其中之一錯(cuò)誤，都可能導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤．【解析】(1)推理形式是正確的，但大前提是錯(cuò)誤的．因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的單調(diào)性與底數(shù)a的取值有關(guān)，若0<a<1，則y＝logax為減函數(shù)；若a>1，則y＝logax為增函數(shù)，所以推理的結(jié)論是錯(cuò)誤的．(2)推理形式是正確的，但小前提是錯(cuò)誤的．因?yàn)槿羧c(diǎn)共線，則可確定多數(shù)個(gè)平面，只有不共線的三點(diǎn)才滿意題意，所以推理的結(jié)論是錯(cuò)誤的．(3)推理形式是錯(cuò)誤的，因?yàn)檠堇[推理是從一般到特別的推理，而銅、鐵、鋁僅是金屬的代表，是特別事例，是特別到特別的推理，所以推理的結(jié)論是錯(cuò)誤的．13．用三段論證明函數(shù)f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．【分析】證明本例所依據(jù)的大前提是增函數(shù)的定義，即函數(shù)y＝f(x)滿意：在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個(gè)值x1、x2，若x1<x2，則有f(x1)<f(x2)．小前提是f(x)＝x3＋x，x∈(－∞，＋∞)上滿意增函數(shù)的定義，這是證明本例的關(guān)鍵．【證明】設(shè)x1<x2，則x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝(xeq\o\al(3,2)＋x2)－(xeq\o\al(3,1)＋x1)＝(xeq\o\al(3,2)－xeq\o\al(3,1))＋(x2－x1)＝(x2－x1)(xeq\o\al(2,2)＋x2x1＋xeq\o\al(2,1))＋(x2－x1)＝(x2－x1)(xeq\o\al(2,2)＋x2x1＋xeq\o\al(2,1)＋1)＝(x2－x1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(x1,2)))2＋\f(3,4)x\o\al(2,1)＋1)).因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)