2024-2025學年高中數學第一章三角函數習題課2-函數y=Asinωxφ的圖象及應用課后習題含解析北師大版必修第二冊

PAGE習題課2——函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及應用課后篇鞏固提升基礎達標練1.把函數f(x)的圖象向右平移π12個單位后得到函數y=sinx+π3的圖象,則f(x)為()A.sinx+7π12 B.sinx+3π4C.sinx+5π12 D.sinx-5π12解析用x-π12代換選項中的x,化簡得到y(tǒng)=sinx+π3,就是f(x),代入選項C,有f(x)=sinx-π12+5π12=sinx+π答案C2.(2024山東濰坊統(tǒng)一考試)函數y=2sin2x-π6的圖象向右平移φ0<φ<π2個單位長度后,得到函數g(x)的圖象,若函數g(x)為偶函數,則φ的值為()A.π12 B.π6 C.π4解析由題意知y=2sin2x-π6的圖象向右平移φ個單位長度后,得到函數g(x)=2sin2x-2φ-π6的圖象,因為g(x)為偶函數,所以2φ+π6=π2+kπ,k∈Z,所以φ=π6+kπ2,k∈Z,又因為φ∈0,π2答案B3.(多選)(2024江蘇鹽城濱海高一期末)函數f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,則以下關于f(x)性質的敘述正確的是()A.最小正周期為πB.是偶函數C.x=-π12D.-π4,0是其一個對稱中心解析由圖象可知,A=2,設函數y=f(x)的最小正周期為T,則T4=5π12-π6=π4,則T=π,ω=2πT=2,此時,f(x)=2sin(2x+φ),f5π12=2sin5π6+φ=2,得sin5π6+φ=1,所以5π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,即φ=-π3+2kπ,k∈Z,又因為|φ|<π2,所以當k=0時,φ=-π3,所以f(x)=2sin2x-π3,A選項正確;該函數既不是奇函數,也不是偶函數,B選項錯誤;f-π12=2sin-π2=-2,C選項正確;f-π4答案AC4.函數y=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|<π2的最大值是3,對稱軸方程是x=π6,要使函數的解析式為y=3sin2x+π6,還應給出的一個條件是.(填上你認為正確的一個條件即可,不必考慮解析若給出條件:周期T=π,則ω=2ππ=2,此時y=3sin(2x+φ由對稱軸方程是x=π6知π6×2+φ=kπ+π2(取k=0,得φ=π6此時y=3sin2x+π答案答案不唯一,如周期T=π5.已知函數f(x)=3sin12x-π4,x∈R.(1)利用“五點法”畫出函數f(x)在一個周期π2,9π(2)先把f(x)的圖象上全部點向左平移π2個單位長度,得到f1(x)的圖象;然后把f1(x)的圖象上全部點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到f2(x)的圖象;再把f2(x)的圖象上全部點的縱坐標縮短到原來的13(橫坐標不變),得到g(x)的圖象,求g(x)解(1)列表取值:描出五個關鍵點并用光滑的曲線連接,得到一個周期的簡圖.12x-0ππ32πxπ3579f(x)030-30(2)將f(x)=3sin12x-π4的圖象上全部點向左平移π2個單位長度得到f1(x)=3sin12x+π2-π4=3sin12x的圖象把f1(x)=3sin12x的圖象上全部點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)得到f2(x)=3sin14x的圖象,把f2(x)=3sin14x的圖象上全部點的縱坐標縮短到原來的13(橫坐標不變)得到g(x)=sin所以g(x)的解析式為g(x)=sin14x實力提升練1.(多選)(2024山東濟南外國語學校階段測試)將函數f(x)=sin2x的圖象向左平移π6個單位長度后得到函數g(x)的圖象,則(A.g(x)在0,π2上的最小值為-32B.g(x)在0,π2上的最小值為-1C.g(x)在0,π2上的最大值為32D.g(x)在0,π2上的最大值為1解析將函數f(x)=sin2x的圖象向左平移π6個單位長度后得到函數g(x)=sin2x+π3,因為x∈0,π2,所以π3≤2x+π3所以-32≤sin2x+π3≤1,所以g(x)max=1,g(x)min=-32答案AD2.(多選)(2024山東棗莊高一月考)將函數f(x)=sin2x+π3的圖象向右平移π2個單位長度得到g(x)圖象,則下列推斷正確的是()A.函數g(x)在區(qū)間π12,πB.函數g(x)圖象關于直線x=7πC.函數g(x)在區(qū)間-π6,πD.函數g(x)圖象關于點π3,0對稱解析函數f(x)=sin2x+π3的圖象向右平移π2個單位長度得到g(x)=sin2x-π2+π3=sin2x-2π3.由于g7π12=sin7π6-2π3=sinπ2=1,故x=7π12是g(x)的對稱軸,B選項正確.由于gπ3=sin2π3-2π3=sin0=0,故π3,0是g(x)的對稱中心,D選項正確.由-π2+2kπ≤2x-2π3≤π2+2kπ,k∈Z,解得π12+kπ≤x≤7π12+kπ,k∈Z,即答案ABD3.將函數f(x)=sinωx(其中ω>0)的圖象向右平移π4個單位長度,所得圖象經過點3π4,0,則解析將函數y=sinωx(其中ω>0)的圖象向右平移π4個單位長度所得圖象對應的函數為y=sinωx-π4再由所得圖象經過點3π可得sinω3π4-π4=sinπ2ω=0,所以π2ω=kπ故ω的最小值是2.答案24.已知f(x)=Asin2x+π6(A>(1)求A.(2)將函數y=f(x)的圖象先向左平移π12個單位長度,再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的12,縱坐標不變,得到函數y=g(x)的圖象.求g(x)在0解(1)因為A>0,所以由題意知A=6.(2)由(1)得f(x)=6sin2x將函數y=f(x)的圖象先向左平移π12個單位長度后得到y(tǒng)=6sin2x+π12再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的12,縱坐標不變,得到y(tǒng)=6sin4x因此g(x)=6sin4x因為x∈0,5π24,所以故g(x)在區(qū)間0,5π24上的值域為素養(yǎng)培優(yōu)練已知曲線y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一個最高點的坐標為π2,2,由此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點3π2,0,若φ∈-π2,(1)試求這條曲線的函數解析式;(2)寫出函數的單調區(qū)間.解(1)依題意,A=2,T=4×3π2-π2=因為T=2π|ω|=4π,ω>0,所以所以y=2sin12x+φ.因為曲線上的最高點為π2,2所以sin12×π2+φ=所以φ+π4=2kπ+π2,k∈因為-π2<φ<π2,所以φ=所以y=2sin12x+π4.(2)令2kπ