2025中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二次根式（講練）原卷版

第一章數(shù)與式

第04講二次根式

（思維導(dǎo)圖+10個(gè)考點(diǎn)+4種題型+難度分層練）

考情透視目標(biāo)導(dǎo)航..............................................................................2

知識(shí)導(dǎo)圖思維導(dǎo)航..............................................................................2

考點(diǎn)突破考法探究..............................................................................3

重點(diǎn)考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念............................................................3

重點(diǎn)考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)與化簡..........................................................4

重點(diǎn)考點(diǎn)三二次根式的運(yùn)算................................................................5

題型精研考向洞悉..............................................................................6

第一部分：?？伎键c(diǎn)講練........................................................................6

考點(diǎn)1:二次根式有意義的條件..............................................................6

考點(diǎn)2：二次根式的性質(zhì)與化簡..............................................................7

考點(diǎn)3：最簡二次根式.......................................................................7

考點(diǎn)4：二次根式的乘除法...................................................................8

考點(diǎn)5：分母有理化.........................................................................8

考點(diǎn)6：同類二次根式.......................................................................9

考點(diǎn)7：二次根式的加減法..................................................................9

考點(diǎn)8：二次根式的混合運(yùn)算................................................................9

考點(diǎn)9：二次根式的化簡求值...............................................................10

考點(diǎn)10：二次根式的應(yīng)用...................................................................11

第二部分：高頻題型洞悉........................................................................13

題型1：求二次根式中的參數(shù)...............................................................13

題型2：已知最簡二次根式求參數(shù)...........................................................14

題型3：分母有理化........................................................................14

題型4：比較二次根式的大小...............................................................14

分層訓(xùn)練鞏固提升.............................................................................16

基礎(chǔ)夯實(shí)訓(xùn)練.............................................................................16

能力拔高訓(xùn)練.............................................................................16

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測

中考中，對二次根式的考察主要

二次根式的相關(guān)概念了解二次根式、最簡二次根式的概念

集中在對其取值范圍、化簡計(jì)算等方

面，其中取值范圍類考點(diǎn)多出選擇題、

掌握二次根式的性質(zhì)，再根據(jù)二次根式的性

填空題形式出現(xiàn)，而化簡計(jì)算則多以

二次根式的性質(zhì)與化簡

質(zhì)化簡

解答題形式考察.此外，二次根式還常

和銳角三角函數(shù)、實(shí)數(shù)、其他幾何圖

了解二次根式(根號下僅限于數(shù))力口、減、

形等結(jié)合出題，難度不大，但是也多

二次根式的運(yùn)算乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行簡單的四則

屬于中考必考題.

運(yùn)算

知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航

二二欠根式的概念：一Wt,我們把形如Va(“)的式子叫做二次根

\式，7”稱為二次根號，二欠根號下的數(shù)叫做被開方數(shù).)

、最簡二角艮式：開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的

二次根式的相關(guān)概念

因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式.

同類二雄式的概念：二次根式化成最簡;欠根式后，若被開方數(shù)相

同，貝肱幾個(gè)二次根式就是同類:欠根式.

被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即讓0

雙重非負(fù)性-------

二次根式的值是非負(fù)數(shù)，即VaNO

I~①(何2=ag?0)

—(3二次根式的性質(zhì)與化簡

a(a>0)

(二次根式)0(a=0)

(-a(?<0)

即任意?個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對值

③VS=忖V5(aNO.bNO)

④[=第(a^O.b>0)

yjbvt>

乘法法則:兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：Vab

=Va?Vb(a>0,b>0)

除法法則：兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變即Va/

Vb=V(a/b)(a>0,b>0).

二次根式的運(yùn)算力野法;型一1一化、二找、三合并)

「分母有理化方法

混合運(yùn)算順度會(huì)方、再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的(或先去

掉括號).

考點(diǎn)突破?考法探究

重點(diǎn)考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念

國充實(shí)縣礎(chǔ)知識(shí)精沮

二次根式的概念：一般地，我們把形如6（a20）的式子叫做二次根式，“廠”稱為二次根號，二次根號

下的數(shù)叫做被開方數(shù).

最簡二次根式：開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最

簡二次根式.

同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次

根式.

廉）高顓曷錯(cuò)把握維〒

1.二次根式定義中規(guī)定，任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結(jié)果，如：V4

-V9都是二次根式.

2.二次根式有意義的條件：當(dāng)a叁0時(shí)，即被開方數(shù)大于或等于0,二次根式歷有意義.

3.在關(guān)于代數(shù)式有意義的問題中，要注意二次根式（被開方數(shù)大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有

意義的綜合運(yùn)用.

4.最簡二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號）；

②不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為L

［補(bǔ)充］含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、（x+y）\x'Zxy+y,等.

5.幾個(gè)同類二次根式在沒有化簡前，被開方數(shù)可以完全互不相同，如：魚、限電是同類二次根式.

技巧點(diǎn)撥方法歸納

解決二次根式有無意義的關(guān)鍵：

1.如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非

負(fù)數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

判斷同類二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最簡二次根式，再根據(jù)被開方數(shù)是否相同來加以判斷，

要注意同類二次根式與根號外的因式無關(guān).

重點(diǎn)考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)與化簡

m夯實(shí)目礎(chǔ)卻浪隔議

雙重非負(fù)性①被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即a》0；

②二次根式的值是非負(fù)數(shù)，即

性質(zhì)

①(網(wǎng)2=a(a>0)

(a(a>0)

②=|a|=<0(a=0)

其它性質(zhì)1—a(a<0)

即任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對值

③=y/a9\(b(a>0,b>0)

④斤第(a?。,b>0)

二次根式的化簡方法：

1）利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；

2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡?府=仿?方Ca>0,b>0）,

羋（a>0,b>0）

y/b

化簡二次根式的步驟：

1）把被開方數(shù)分解因式；

2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把各因式（或因數(shù)）積的算術(shù)平方根化為每個(gè)因式（或因數(shù)）的算術(shù)平方

根的積；

3）化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

?fl窿^易錯(cuò)把握細(xì)〒

1.根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡時(shí)，歷前無“-”，6化簡出來就不可能是一個(gè)負(fù)數(shù).

2.利用二次根式性質(zhì)時(shí)，如果題目中對根號內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)對根式進(jìn)行化

簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的

取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內(nèi)進(jìn)行化簡.

3.化簡后的最后結(jié)果應(yīng)為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式.

?技15點(diǎn)提方法歸納

1.二次根式化簡的結(jié)果一定是被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中的每一個(gè)因式或因數(shù)都開不盡.

2.如果被開方數(shù)是分式或分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)），先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式或分?jǐn)?shù)的形式，然后

利用分母有理化化簡.

3.如果被開方數(shù)是整式或整數(shù)，先將它分解因式或分解因數(shù)，然后把開方開得盡的因式或因數(shù)開方，從而將

式子化簡.

重點(diǎn)考點(diǎn)三二次根式的運(yùn)算

M夯實(shí)旦礎(chǔ)卻深嶂血

乘法法則：兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：4ab=4a*4b（a>0,b>0）.

除法法則：兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：親=Jj（a20,b>0）.

加減法法則：先把各個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并.

【口訣】一化、二找、三合并.

分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程.

【分母有理化方法】

1）分母為單項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分.即：白*=叵

ya7a?7aa

2）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分.

1y/a+4bVa+VK

即:

y/a-Vb(Va-VK)(V^+VF)a-b

混合運(yùn)算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去掉括號）.

廉I離顓易錯(cuò)杷握細(xì)節(jié)

1.在使用=y/a*Vb（a>0,b>0）時(shí)一定要注意aNO,b>0的條件限制.

2.在使用r=JI（a20,b>0）時(shí)一定要注意aNO,b>0的條件限制.

7b7b

3.合并被開方數(shù)相同的二次根式與合并同類項(xiàng)類似，將被開方數(shù)相同的二次根式的“系數(shù)”相加減，被開

方數(shù)和根指數(shù)不變.

4.二次根式加減混合運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是合并被開方數(shù)相同的二次根式，被開方數(shù)不同的二次根式不能合并.

5二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，根號外的系數(shù)因式必須為假分?jǐn)?shù)形式.

6.在二次根式的混合運(yùn)算中，乘方公式和實(shí)數(shù)的運(yùn)算律仍然適用。而且運(yùn)算結(jié)果應(yīng)寫成最簡二次根式的形

式.

?技巧點(diǎn)撥方法歸納

二次根式乘除混合運(yùn)算的方法與整式乘除混合運(yùn)算的方法相同，整式乘除法的一些法則、公式在二次根式

乘除法中仍然適用.在運(yùn)算時(shí)要明確運(yùn)算符號和運(yùn)算順序.若被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù),則要先將其化為假分?jǐn)?shù).

二次根式的加減與整式的加減相比，可將被開方數(shù)相同的二次根式看作整式加減中的同類項(xiàng)進(jìn)行合并.另外

有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，都適用于二次根式的運(yùn)算.

題型精研?考向洞悉

第一部分：?？伎键c(diǎn)講練

考點(diǎn)1:二次根式有意義的條件

【例1】（2024?梁溪區(qū)校級模擬）若二次根式57有意義，則無的取值范圍是（）

A.x.OB.x>0C.5D.x<5

【變式1］（2023?清江浦區(qū)校級模擬）使^/^與有意義的無的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）

A.-10

B.

C.-10

D.-10

【變式2］（2024?沐陽縣校級三模）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

，％+2

【變式3］（2024?揚(yáng)中市二模）使式子兇二1有意義的x的取值范圍是.

考點(diǎn)2：二次根式的性質(zhì)與化簡

【例2】（2024?宿遷三模）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（x-y）2=x2-y2B.^（-3）2=-3C.3a+4a=7/D.2a3+a3=3a3

【變式1］（2022?吳中區(qū)模擬）實(shí)數(shù)a,。在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡病+|。+6|結(jié)果為（）

-------!!---!----------------?

b---a0

A.2a—bB.—2a—bC.—bD.3b

【變式2］（2024?海門區(qū)一模）用一個(gè)無的值說明“正=無”是錯(cuò)誤的，則x的值可以是-

【變式3］.（2021?蘇州自主招生）若化簡|1-尤|-JY-8X+16的結(jié)果為2x-5,則x的取值范圍是—.

考點(diǎn)3：最簡二次根式

【例3】（2023?梁溪區(qū)校級二模）下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.720B.挺C.￡D.753

【變式1］（2021?海州區(qū)校級一模）下列式子中，為最簡二次根式的是（）

A.￡B.A/2C.A/4D.712

【變式2］（2022?射陽縣校級一模）下列二次根式中是最簡二次根式的是（）

A.730B.gC.712D.而

【變式3］（2017?邳州市校級模擬）若二次根式百是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)。=

考點(diǎn)4：二次根式的乘除法

【例4】（2024?南通）計(jì)算用的結(jié)果是（）

A.9B.3C.3A/3D.&

【變式1］（2024?姑蘇區(qū)校級二模）下列計(jì)算正確的是（）

A.（°3）2=/B.（孫2）3=孫6C.（-2b2）2=-4/Q.（6）?=q

【變式2］（2024?淮安）計(jì)算：溫義g=—.

【變式3］（2023?海州區(qū)校級二模）使得有意義的尤的取值范圍是_.

5/尤—2

考點(diǎn)5：分母有理化

【例5】（2024?玄武區(qū)二模）下列各數(shù)中，與2+退的積為有理數(shù)的是（）

A.2如B.2+^/3C.-2+73D.-2-73

【變式1］（2024?秦淮區(qū)校級模擬）計(jì)算,一而的結(jié)果是.

【變式2］（2022?鎮(zhèn)江二模）（1）計(jì)算：6+3COS30°+（-1）TX2；

(2)化簡：

aa+a

【變式3］（2021?徐州模擬）計(jì)算：

（1）一馬+|tan45。一拒1+（3.14—萬）°+2-2；x2+2%+1x

(2)

X2-1x-1

考點(diǎn)6：同類二次根式

【例6】（2024?濱湖區(qū)校級一模）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）

A.樞與上B.應(yīng)與后C.有與屈D.后與后

【變式1］（2023?廣陵區(qū)校級四模）下列二次根式中與點(diǎn)是同類二次根式的是（）

A.712B./C.￡D.J18

【變式2］（2021?江都區(qū)校級模擬）下列二次根式中與g是同類二次根式的是（）

A.712B.左C.￡D.J18

【變式3］（2024?無錫模擬）寫一個(gè)二次根式，使它與質(zhì)是同類二次根式，這個(gè)二次根式可以是

【變式4］（2023?鹽都區(qū)三模）若最簡二次根式正6與3應(yīng)是同類二次根式，則。=—,

考點(diǎn)7：二次根式的加減法

【例7】（2024?工業(yè)園區(qū)模擬）下列計(jì)算正確的是（）

A.—3+l=YB.疵一代=3C.x'°^x2=x8D.x（x-l）=x2-1

【變式1］（2024?泗陽縣模擬）計(jì)算：夜-曲=—.

【變式2］（2023?如東縣一模）計(jì)算后-的結(jié)果是—.

【變式3］（2024?浦口區(qū)校級三模）計(jì)算通+《的結(jié)果是.

考點(diǎn)8：二次根式的混合運(yùn)算

【例8】（2024?新北區(qū)一模）下列計(jì)算正確的是（）

A.（應(yīng)）。=點(diǎn)B.2-X/3+3A/3=5A/6C.氓=4叵D.若（2月2）=6-2若

【變式11（2024?玄武區(qū)一模）計(jì)算瓦一夕的結(jié)果是

A/3一

【變式2］（2024?祁江區(qū)校級三模）（1）計(jì)算：（-1）2-|^-2|+^-tan30°；

3無一4<2%+1

（2）解不等式組：5.X+3

--->X

2

【變式3］（2024?惠山區(qū)三模）計(jì)算:

(1)(萬-3)°-tan60°+(-2尸；(2)(x+3)(x-3)-(x-2)2.

【變式4］（2024?常熟市模擬）計(jì)算：（石一1）。+

考點(diǎn)9：二次根式的化簡求值

【例9】（2023?灌云縣校級模擬）閱讀下面的文字后，回答問題:

2

小強(qiáng)和小芳解答題目：先化簡下式，再求值：a+yll-2a+a,其中q=9時(shí)，得出了不同的答案.

小強(qiáng)的解答是：原式=4+J（l_q）2=4+（1-4）=1；

小芳的解答是：原式=4+J(l_q)2=?—(1—a)=2a—1=2x9—1=17.

請你判斷，解答正確的是（)

A.小強(qiáng)B.小芳

C.小強(qiáng)和小芳D.小強(qiáng)與小芳均錯(cuò)誤

【變式1］（2024?無錫模擬）已知工=退-1,則代數(shù)式三一4尤-?的值為—.

X

【變式2］（2023?邳州市一模）（1）先化簡，再求值：（〃一3七佇L其中a=走-1;

aa2

（2）tf-MI-21+A/9-2021°-2sin30°.

【變式3］（2022?泗洪縣一模）已知：a=&2,b=^-2,求（“+5）（4+匕2一心）的值.

考點(diǎn)10：二次根式的應(yīng)用

【例10］（2023?蘇州模擬）如圖，一塊正方形地磚的圖案是由4個(gè)全等的五邊形和1個(gè)小正方形組成的，

已知小正方形的面積和五邊形的面積相等，并且圖中線段。的長度為，Q-2,則這塊地磚的面積為（）

A.50B.40C.30D.20

【變式1］（2023?常州）如圖，小紅家購置了一臺(tái)圓形自動(dòng)掃地機(jī)，放置在屋子角落（書柜、衣柜與地面均

無縫隙）.在沒有障礙物阻擋的前提下，掃地機(jī)能自動(dòng)從底座脫離后打掃全屋地面.若這臺(tái)掃地機(jī)能從角落

自由進(jìn)出，則圖中的x至少為（精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：后1。4.58）.

【變式2](2022?海門市校級模擬)如圖，四邊形ABCD和CEFG是兩個(gè)相鄰的正方形，其中3,C,E在

同一條直線上，點(diǎn)。在CG上，它們的面積分別為27平方米和48平方米，則3E的長為一米.

【變式3](2024?揚(yáng)中市二模)中國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即己知三

角形的三邊長’求它的面積’用現(xiàn)代式子表示為S=(秦九韶公式).

古希臘數(shù)學(xué)家海倫利用三角形三條邊的邊長直接求出了三角形的面積.如果一個(gè)三角形的三邊長分別為a,

b,c,記p=a+；+c,那么這個(gè)三角形的面積S=飛p(p-a)(p-b)(p-c)(海倫公式).

請完成下列問題：

(1)一個(gè)三角形的三邊長依次為5,5,6,則該三角形的面積為一；

(2)請由秦九韶公式推導(dǎo)出海倫公式；

(3)若三角形的周長為24a“，一邊長為6c〃z,求此三角形的面積的最大值，并判斷此時(shí)三角形的形狀.

【變式4](2023?建湖縣校級模擬)閱讀下面材料：

將邊長分別為a,a+y/b,a+1\[b,a+3近的正方形面積分別記為工，S2,S3,S4.

貝！]S2—Sl=(a+\[b)~~a~

—[(a++a],[(a+yfb)—a]

=Qa+

=b+2asfb

例如：當(dāng)a=l,6=3時(shí)，5一H=3+2省

根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)當(dāng)a=l,。=3時(shí)，S3-S2=,S4-S3=；

(2)當(dāng)a=l,6=3時(shí)，把邊長為〃揚(yáng)的正方形面積記作5用，其中〃是正整數(shù)，從(1)中的計(jì)算結(jié)果,

你能猜出5例-S“等于多少嗎？并證明你的猜想；

(3)當(dāng)a=1,/?=3時(shí)，令.=邑一S],%?=S3—S2,GS—S3,…，=Sn+i—Sn,且T=%+三+/3+,??+%，

求T的值.

第二部分：高頻題型洞悉

題型1:求二次根式中的參數(shù)

【例1】(20-21九年級下?山西呂梁?階段練習(xí))已知a,b都是實(shí)數(shù)，6斗+屈二I-2,貝Ia6的

值為?

【變式1］（2016?廣東揭陽?二模）函數(shù)中自變量x的取值范圍是

1

【變式2］（2017?遼寧盤錦?中考真題）若式子有意義，則x的取值范圍是.

J2尤+3

題型2：已知最簡二次根式求參數(shù)

【例2】（2023江蘇揚(yáng)州模擬預(yù)測）若最簡二次根式2〃力同、3而石萬是同類二次根式，則，"-〃=

【變式1］（20-21八年級下?新疆烏魯木齊?期中）若最簡二次根式7§^二1與&是同類二次根式，貝壯的

值為.

【變式2］（2015?廣西柳州?二模）若二次根式^/§不是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)2=

題型3：分母有理化

【例3】（2023?江蘇淮安?模擬預(yù)測）先化簡，再求值：1一三」十一，其中x=g-i.

XX

【變式1］（2020?福建?中考真題）先化簡，再求值：fl11+二4,其中》=忘+1

Vx+2Jx+2

【變式2］（2023?江蘇南京?二模）先化簡，再求值：f—1―--其中0=6+1，b=l.

\a-ba-b）a+b

【變式3］（2023?江蘇宿遷?模擬預(yù)測）先化簡，再求代數(shù)式的值：（亭++其中a滿

\a-2a4-a）a

足方程/+4a+l=0

題型4：比較二次根式的大小

【例4】（2017?江蘇南京?一模）比較大?。?幣5（填”或

【變式1]（2018?山東濰坊?模擬預(yù)測）卜-四)

A.1-應(yīng)B.72-1C.1+72D.-1-V2

【變式2]（23-24八年級下?安徽淮南?階段練習(xí)）我們知道形如專,忑占后的數(shù)可以化簡，其化簡的

目的主要是把分母中的無理數(shù)化為有理數(shù)’如'=熹=*’馬=訪婚后西=轉(zhuǎn)走’

這樣的化簡過程叫做分母有理化，我們把血叫做血的有理化因式，石-若叫做石+班的有理化因式,

完成下列各題.

（1）幣的有理化因式是，3-272的有理化因式是;

⑵化簡：上尸；

3-2V3

（3）比較J2008-J2007,J2006-J2005的大小,說明理由.

【變式3]（23-24八年級下?浙江金華?階段練習(xí)）材料閱讀：二次根式的運(yùn)算中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)諸如

121V2V2

7r羽二方的計(jì)算，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是“分母有理化"&=卜可=耳

22^+7226+2逝2?+2夜.外

斥&一（6-閭（百+夜]（南一個(gè)廠一?

類似地，將分子轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，就稱為“分子有理化"0=正=（&）=2_；

1V2V2

6-1_（GT（石+1）_（括）_產(chǎn)_3-1_2

6-A/3（V3+1）-（73）2+A/3-3+6_3+73,

根據(jù)上述知識(shí)，請你解答下列問題：

⑴化簡上弓;

⑵比較近與如的大小，并說明理由.

分層訓(xùn)練?鞏固提升I

基礎(chǔ)夯實(shí)訓(xùn)練

1.（2023?江蘇揚(yáng)州?三模）-扃的倒數(shù)是（）

A.-8B.—叵C.8D.--

48

2.（2024?江蘇無錫?二模）函數(shù)>=5/771的自變量取值范圍是（）

A.x>—3B.x<-3C.x>—3D.

3.（2024八年級下?全國?專題練習(xí)）若式子技工行在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則〃的取值范圍是（

A.a>3B.a>3C.a<3D.a<3

4.（2023-江蘇鎮(zhèn)江?模擬預(yù)測）下列運(yùn)算正確的是（）

A.X2-X3=x6B.（-*=i

C.2T=1D.2括+3夜=5斯

5.（13-14九年級上?廣東汕頭?階段練習(xí)）式子耳工在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是

6.（21-22八年級下?浙江寧波?期中）若?^在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

7.（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測）計(jì)算返-gx后的結(jié)果是.

8.（22-23八年級下?四川廣安?期末）若|2023-同+〃-2024=加,貝%-20232=.

（23x+]

9.（2024?江蘇宿遷?中考真題）先化簡再求值：1+—7其中1=豆+3.

\x+1Jx-9

（2023.江蘇宿遷.中考真題）先化簡,再求值：[1-士）其中片及+1

10.

I-幾十m

n.（2024?江蘇南京?二模）品（刀為正整數(shù)）的近似值可以這樣估算：個(gè)y丁廠,其中〃是最接近〃

27m

的完全平方數(shù).例如：衣管=4.9,這與科學(xué)計(jì)算器計(jì)算舊的結(jié)果4.8989…很接近.

不妨假設(shè)鄧=y[m+a哦,

其中|a|VL

（1）按照以上方法，估計(jì)屬的近似值（精確到0.1）；

（2）結(jié)合圖中思路，解釋該方法的合理性.

12.（2024?江蘇南京?二模）與幾何證明一樣，代數(shù)推理也需要有理有據(jù).請先完成第（1）題的填空,

再完成第（2）題的證明.

（1）已知實(shí)數(shù)x,y滿足x>y>0,求證x2>V.

證明：V%>y>0,

x+y>0（實(shí)數(shù)的加法法則），

x-y>0（不等式的基本性質(zhì)1）.

二（x+y）（x-y）>0（①）.

（x+y）（x-y）=x?-y2（②），

x2-y2>0.

(③).

（2）已知實(shí)數(shù)x,y滿足x>y>0,求證石〉方.（注：無需寫出每步的依據(jù).）

能力拔高訓(xùn)練

13.（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測）整數(shù)。滿足/一&<°</+1成立，貝匹為（）

A.0B.1C.-1D.1或一1

14.（2024?江蘇宿遷?三模）下列說法正確的是（）

A.調(diào)查一批手機(jī)的防摔能力采用普查

B.為了解2022年泗陽縣中考數(shù)學(xué)成績，隨機(jī)抽取了500名學(xué)生成績，那么樣本容量是500

C.“泗陽縣今年7月15日12點(diǎn)有雨”是不可能事件

D.厄與后不是同類二次根式

15.（2024?江蘇南京?一模）如圖，實(shí)數(shù)機(jī)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為5.下列各數(shù)中，與，"最

接近的是（）

M

----??------------>

m------0

A.-472