2025中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：相似三角形的熱考幾何模型（考點(diǎn)清單12種題型解讀+8種方法解讀）原卷版

考點(diǎn)清單6.2相似三角形的熱考幾何模型

（12種題型解讀+8種方法解讀）

半角模型利用"A型''或"X型〃模型求線(xiàn)段的長(zhǎng)

對(duì)角互補(bǔ)模型"A"字相似模型

三平行模型“8〃字相似模型

相似三角形的熱考幾何模型

角平分線(xiàn)分線(xiàn)段成比例模型一線(xiàn)三等角相似模型

飛魚(yú)模型三角形內(nèi)接矩形模型

手拉手模型射影定理

強(qiáng)型陸單

解題方法：當(dāng)“A型”或“X型”在幾何圖形中出現(xiàn)時(shí)，我們可以利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理及推論建立有關(guān)線(xiàn)L

段的比例式，把線(xiàn)段的長(zhǎng)代人比例式，通過(guò)解方程求出線(xiàn)段的長(zhǎng)

1.（24-25九年級(jí)上?安徽六安?期中）如圖，在AaBC中，點(diǎn)。為AC上一點(diǎn)，且黑=g過(guò)點(diǎn)。作DEIIBC交

AB于點(diǎn)E,連接CE,過(guò)點(diǎn)。作DF||CE交4B于點(diǎn)尸.若4B=15,求EF的長(zhǎng).

2.（24-25九年級(jí)上?陜西咸陽(yáng)?期中）如圖，直線(xiàn)川Bllb，分別交直線(xiàn)小，n于點(diǎn)4B,C,D,E,F,若

AB=6,BC=10,DF=24,求DE的長(zhǎng).

3.(24-25九年級(jí)上?海南?階段練習(xí))閱讀材料，并解決問(wèn)題.

角平分線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理：如圖①，在△ABC中，AD平分NB4C,則簧=黑，下面是這個(gè)定理的部分證

明過(guò)程.

證明：如圖②，過(guò)點(diǎn)C作CEIID4交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.

E

CDBBDEC

③④

(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；

(2)填空：如圖③，已知Rt△力BC中，AB=3,BC=4,/.ABC=90°,4。平分乙B4C,則8。的長(zhǎng)是一；

(3)如圖④，在△ABC中，E是BC的中點(diǎn)，力。是NBAC的平分線(xiàn)，EFIRD交4C于點(diǎn)F,AB=7,AC=15,

求4尸長(zhǎng).

【考點(diǎn)題型二】“A"字相似模型

類(lèi)型-基礎(chǔ)-變形一

A字模型」反A字模型-注邊反A字模型-剪刀反A字模型?

條件-DE〃BC-Z1=Z2PZ1=Z2P

.4

圖示-/

A

BD

BCA

BAC4BCp

結(jié)論-AADEsAABCdAADEsAABC.AACDSAABCUAADEc^AABCu

,4C，=AD?AB99

4.(23-24九年級(jí)上.北京昌平.期中)如圖，在ATIBC中，NC=90。，點(diǎn)。在AC上，DE12B于點(diǎn)E.

A

(1)求證：AADE-AABC；

(2)XC=4,48=5且4。=3,求力E的長(zhǎng).

5.(24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí))如圖，。是ANBC的邊4B上一點(diǎn)，連接CD,若乙4CD=AB,

(1)求證：△ACDsAABC

(2)若4。=2,BD=4,求AC的長(zhǎng).

6.(23-24八年級(jí)下?江蘇無(wú)錫?期末)［基礎(chǔ)學(xué)習(xí)］

(1)如圖1,在AABC中，D,E,F分別為力B,AC,BC上的點(diǎn)，DE||BC,4F交DE于點(diǎn)G,求證：嶺=

BF

CF

圖1

［嘗試應(yīng)用］

(2)如圖2,已知D、E為△4BC的邊BC上的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足3BD=3DE=CE,一條平行于4C的直線(xiàn)分別

交48、4。和4E于點(diǎn)P、Q和M,求”的值.

A

圖2

［拓展提高］

（3）如圖3,矩形4BCD中力B=3a,4D=2a（a為常數(shù)），點(diǎn)E是矩形力B邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)

F,使4F=22E,連接DE,CF,DE與CF相交于點(diǎn)G,連接BG,求BG的最小值（用a的代數(shù)式表示）.

7.（24-25九年級(jí)上?四川內(nèi)江?期中）（1）如圖1,在AABC中，E是4B上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡作BC的平行線(xiàn)交

AC于點(diǎn)F.點(diǎn)。是BC上任意一點(diǎn).連結(jié)力。交EF于點(diǎn)G,求證：笑=哭；

（2）如圖2,在⑴的條件下，連結(jié)BF,DF,若得=點(diǎn)且FE、FB恰好將Z4FD三等分.求黃的值;

（3）如圖3,在等邊AaBC中，DC-.DB=1:4,連結(jié)4D,點(diǎn)G在4。上，若NBGC=120。，求出的值.

【考點(diǎn)題型三】“8"字相似模型

類(lèi)型e基礎(chǔ)Q變形4

正8字模型-反8字模型」剪刀反8字模型-

條件」AB〃CDQZA=2D或乙2B=zlC或d

B=Z.CQZBAO=ZODC^

圖示ABXB

A

DC

結(jié)論VAAOBsAcOgAAOBSADOC/ABDESACAE>

AAOBSADOB

8.（2021.山東聊城?一模）如圖，在平行四邊形4BCD中，點(diǎn)E是4。上一點(diǎn)，AE=2ED,連接BE交4C于

點(diǎn)G,延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)R則失的值為（）

9.（23-24九年級(jí)下?江蘇南京?自主招生）如圖，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線(xiàn)分別與圓交于A,B和C,。兩點(diǎn)，分

別求證：PA-PB=PCPD.

10.（24-25九年級(jí)上?福建泉州?階段練習(xí)）如圖，BD,4C相交于點(diǎn)P,連接AB,BC,CD,DA,ADAP=

乙CBP.

DC

(1)求證：4ADPFBCP,并判斷AADP與ABCP是不是位似圖形？(不必說(shuō)明理由)

(2)若AB=8,CD=4,DP=3,求力P的長(zhǎng).

IL(遼寧省錦州市第四中學(xué)教育集團(tuán)2024—2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷)如圖，在梯形

4BCD中，AD||BC,AC與BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線(xiàn)段OB上，4E的延長(zhǎng)線(xiàn)與BC相交于點(diǎn)F,OD2=OB-

OE.

(1)求證：四邊形4FCD是平行四邊形；

(2)如果AE-AF=AD-BE,求證：AE-DC=AD-BE.

【考點(diǎn)題型四】一線(xiàn)三等角相似模型

12.(24-25九年級(jí)上?山西?期中)如圖，已知矩形紙片ABC。，AD=2CD-10,點(diǎn)E在CD上，把紙片沿

4E折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。'恰好落在BC上，則DE的長(zhǎng)度為()

A.3B.20-10V3C.10-5V3D.2.5

13.（24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期中）如圖，點(diǎn)E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上，且2E1EF.

⑴求證：AABEECF；

(2)若BE=3,EC=7,求CF的長(zhǎng).

14.（22-23九年級(jí)上?廣東深圳?期中）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在A4BC中,乙4cB=90°,4?=BC,。是

4B邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，ACDF=45°.求證：AC-BF=AD-BD-,

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在四邊形4BFC中，點(diǎn)。是4B邊的中點(diǎn)，乙4=AB=/CDF=45。，若AC=9,

BF=8,求線(xiàn)段CF的長(zhǎng).

【拓展提高】（3）在AABC中，48=4&28=45。，以4為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形ADE（其中

AD-.DE=1:V2）,點(diǎn)。在BC上，點(diǎn)E在2C上.若CE=2底求CD的長(zhǎng).

15.（24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系久Oy中，點(diǎn)2,點(diǎn)8在x軸上（點(diǎn)4在點(diǎn)

B的左側(cè)），且點(diǎn)4、B的橫坐標(biāo)是方程/+2%-3=0的解，點(diǎn)C（0,3叫為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接2C,

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（用含皿的代數(shù)式表示）

⑵點(diǎn)N是點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接AN,CN,是否存在這樣的小值，使ACAN與△力。C相似？若存在,

請(qǐng)求出租的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)題型五】三角形內(nèi)接矩形模型

【提示】大招結(jié)論切勿死記硬背，解題時(shí)首先根據(jù)已知條件得到AAGFSAABC,從而得到G空F=蕓，再將相關(guān)數(shù)

BCAN

值代入求解.*

16.（2023九年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在AABC中，BC=12,高4。=6,正方形EFGH一邊在8C

上，點(diǎn)E,F分別在4B,4C上，AD交EF于點(diǎn)、N,求4N的長(zhǎng).

17.（24-25九年級(jí)上?遼寧營(yíng)口?期中）如圖所示，有一塊三角形余料ABC,它的邊長(zhǎng)=120,高2。=

80.要把它加工為矩形零件.

（1）如果使矩形的長(zhǎng)為寬的兩倍，且長(zhǎng)邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在48、AC上，則加工成矩形零件的長(zhǎng)

和寬分別是多少？

（2）如果要使加工的矩形零件面積最大，求矩形零件面積達(dá)到最大時(shí)的兩邊長(zhǎng).

18.（21-22九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）一塊直角三角形木板的面積為1.5m2,一條直角邊4B為1.5m,怎樣

才能把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)

明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）.

19.(24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí))如圖，銳角A4BC中，BC=12,BC邊上的高AD=8,矩形

EFG”的邊GH在BC上，其余兩點(diǎn)E、F分另U在AB、AC上，且EF交AD于點(diǎn)K.

(1)求篙的值;

(2)設(shè)4K=x,矩形EFGH的面積為S.

①求S與比的函數(shù)關(guān)系式;

②請(qǐng)直接寫(xiě)出S的最大值為

【考點(diǎn)題型六】射影定理

21.(24-25九年級(jí)上?四川眉山?期中)如圖，在AABC中，乙4cB=90。，CD14B于。,

B

(1)求證：CD2=AD?BD；

(2)若AC=4,AB=5,求CD的長(zhǎng).

22.(2024?江蘇徐州?中考真題)在AABC中，點(diǎn)。在邊4B上，若CD?=AD-DB,則稱(chēng)點(diǎn)。是點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)

點(diǎn)

⑴如圖(1),在AABC中，若乙4c8=90。，CD于點(diǎn)D.試說(shuō)明：點(diǎn)。是點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

(2)如圖(2),已知點(diǎn)D在線(xiàn)段4B上，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作一個(gè)△ABC,使其同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：①點(diǎn)

。為點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；②N2CB是鈍角(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法).

(3)若A/IBC為銳角三角形，且點(diǎn)。為點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.設(shè)=DB=n,用含m、n的代數(shù)式表示4c的

取值范圍(直接寫(xiě)出結(jié)果).

23.(2024?山東濟(jì)南?中考真題)某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了圖形的相似后，對(duì)三角形的相似進(jìn)行了

深入研究.

(一)拓展探究

如圖1,在A4BC中，/-ACB=90°,CD1AB,垂足為D.

(1)興趣小組的同學(xué)得出AC?=4。理由如下:

???乙ACB=90°?.?+=90°

??,Z.A=乙4ABCACD

???CD1AB

.??-=@______

AC

??.^ADC=90°

??.AC2=AD-AB

.??乙4+AACD=90°

???Z-B=?______

請(qǐng)完成填空：①;②;

(2)如圖2,尸為線(xiàn)段CD上一點(diǎn)，連接4F并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,連接CE,當(dāng)"CE="FC時(shí)，請(qǐng)判斷A4EB的

形狀，并說(shuō)明理由.

(二)學(xué)以致用

(3)如圖3,△力8c是直角三角形，乙ACB=90°,AC=2,BC=2正,平面內(nèi)一點(diǎn)D,滿(mǎn)足連接

CD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,且NCEB=NCBD,當(dāng)線(xiàn)段BE的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求線(xiàn)段CE的長(zhǎng).

【考點(diǎn)題型七】手拉手模型

模型詳解(一般三角形手拉手模型)：，

ID4c

條件：在AABC和ADE中，ZBAC=ZDAE,--=

,4DAE

解題策略：連接BD,CE,根據(jù)已知條件可證明AAB2AACE4

結(jié)論：AABDC^AACE,AADECOAABC1

24.(山西省臨汾市202—2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題)綜合與探究

問(wèn)題情境

小麗在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)

成.在相對(duì)位置變化時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形.它們類(lèi)似大手拉著小手，這種模型稱(chēng)為“手拉手模

型”.小麗進(jìn)行了如下操作：

圖1圖2備用圖

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖1,在AOAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,^AOB=/.COD=40°,連接AC,BD交于點(diǎn)M.小

麗發(fā)現(xiàn)這就是手拉手模型，易證AAOC三△B。。，進(jìn)而可以得知：

①黑的值為;

DU

②乙4MB的度數(shù)為.

⑵類(lèi)比探究

如圖2,在ACMB和△OCD中，若乙4OB=NC。。=90。，—=—=V3,連接4C交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

DOBO

4。與BM交于點(diǎn)尸.小麗發(fā)現(xiàn)不等腰的三角形也可得到手拉手模型.請(qǐng)你求出此時(shí)裝的值及N4MB的度

數(shù)，并說(shuō)明理由；

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，將△OCD繞點(diǎn)。在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，AC,BD所在直線(xiàn)交于點(diǎn)若。。=1,OB=

V7,請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng).

25.(23-24八年級(jí)下.江蘇蘇州?階段練習(xí))(1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖①，正方形ABC。，DEFG,將正方形

DEFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，直線(xiàn)AE、CG交于點(diǎn)P,請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段力E與CG之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系

是;

(2)【拓展探究】如圖2,矩形ABC。，DEFG,AD=2DE,AB=2DG,AD=DG,將矩形DEFG繞￡)旋

轉(zhuǎn)；直線(xiàn)4E,CG交于點(diǎn)P,(1)中線(xiàn)段之間的關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)

段之間的關(guān)系；

(3)【解決問(wèn)題】若2D=2DE=4,AB=2DG=8,矩形DEFG繞。旋轉(zhuǎn)過(guò)程中當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合時(shí)，

26.(23-24九年級(jí)上?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí))1.問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

圖(1),在AOAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,AAOB=/.COD=35°,連接AC,BD交于點(diǎn)

①咚的值為;②乙4MB的度數(shù)為.

(2)類(lèi)比探究

圖(2),在小。43和4OCD中，NAOB=乙COD=90°,AOAB=乙OCD=30°,連接力C,交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于

點(diǎn)請(qǐng)計(jì)算片的值及乙4MB的度數(shù)；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，若。。=2,AB=8,將仆。。。繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周.

①當(dāng)直線(xiàn)DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且點(diǎn)C在線(xiàn)段80上時(shí)，求4C的長(zhǎng)；

②請(qǐng)直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中〃點(diǎn)到直線(xiàn)。B距離的最大值.

27.(2022?山東煙臺(tái)?中考真題)

(1)【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1,△A8C和△AOE都是等邊三角形，連接BQ,CE.求證：BD=CE.

(2)【類(lèi)比探究】如圖2,△ABC和△AOE都是等腰直角三角形，ZABC^ZADE^90°.連接B。，CE.請(qǐng)

直接寫(xiě)出的值.

CE

(3)【拓展提升】如圖3,△ABC和△ADE都是直角三角形，ZABC^ZADE^90°,且黑=解=1連接

BCDE4

BD,CE.

①求的值；

CE

②延長(zhǎng)CE交于點(diǎn)尸，交AB于點(diǎn)G.求sin/BFC的值.

【考點(diǎn)題型八】飛魚(yú)模型

28.(24-25九年級(jí)上?四川樂(lè)山?期中)如圖，AABC中，4。是BC邊上的中線(xiàn)，尸是4。上一點(diǎn)，有4尸:尸。=

2:3,連接CF,并延長(zhǎng)交力B于E,貝|2E:EB等于()

￡

A.2:3B.1:4C.1:3D.1:2

29.（23-24九年級(jí)上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知：如圖，AABC中，AE=CE,BC=CD,求證：ED=

3EF.

30.（24-25九年級(jí)上?福建泉州?期中）如圖，BD是AABC的中線(xiàn)，點(diǎn)E是8D的中點(diǎn)，延長(zhǎng)4E交BC于點(diǎn)

F,若8c=6,則BF的長(zhǎng)為.

31.（24-25九年級(jí)上?安徽滁州?期中）如圖，4。是△力BC的中線(xiàn)，點(diǎn)F是力。上一點(diǎn)，且DF=24F,連接

CF并延長(zhǎng)交48于點(diǎn)E.

（1）若4E=1,求4B的長(zhǎng);

（2）求答的值.

Cr

32.（24-25九年級(jí)上?安徽亳州?階段練習(xí)）如圖，AD是AABC的中線(xiàn)，點(diǎn)M在4。上，連接并延長(zhǎng)交4C

于點(diǎn)N.

【填空】

(1)若AM=DM,貝IjAN=_CN；

(2)若AM=2DM,貝iMN=_CN；

(3)若AM=3DM,則AN=_CN；

【論證】請(qǐng)選擇上述情況中的一種，畫(huà)出符合條件的圖形，并證明你的結(jié)論；

【猜想】若4M=九?！埃惐豊=_CN（用含〃的代數(shù)式表示，不用說(shuō)明理由）.

【考點(diǎn)題型九】角平分線(xiàn)分線(xiàn)段成比例模型

33.（2024?吉林長(zhǎng)春.三模）如圖①，4。是A4BC的角平分線(xiàn).數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論：黑=裝.經(jīng)過(guò)討

論得到如下3種證明思路：

思路1：過(guò)點(diǎn)。向NB4C兩邊作垂線(xiàn)段，利用三角形的面積比證出結(jié)論；

思路2：過(guò)點(diǎn)C作的平行線(xiàn)，與4D的延長(zhǎng)線(xiàn)相交，利用三角形相似證出結(jié)論；

思路3：過(guò)點(diǎn)C作的平行線(xiàn)，與B4的延長(zhǎng)線(xiàn)相交，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例證出結(jié)論.

圖①圖②

（1）請(qǐng)參考以上3種證明思路，選擇其中一種證出結(jié)論；

（2）在圖①中，4。是AABC的角平分線(xiàn).若4B=6,AC=4,BC=7,貝加。的長(zhǎng)度為；

（3）如圖②，在ATIBC中，Z.BAC=60°,ATlBC的角平分線(xiàn)B。、CE相交于點(diǎn)F,若黃=點(diǎn)則詈的值為

34.（23-24九年級(jí)上.江蘇淮安?階段練習(xí)）聰明好學(xué)的晨晨看到一課外書(shū)上有個(gè)重要補(bǔ)充：

角平分線(xiàn)定理：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)分對(duì)邊所成的兩條線(xiàn)段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例，于是他就

和其他同學(xué)研究一番，寫(xiě)出了已知、求證如下：“已知：如圖①，△ABC中，AD平分NB4C交BC于點(diǎn)

求證：.=組

CDAC

可是他們依然找不到證明的方法，經(jīng)過(guò)老師的提示：過(guò)點(diǎn)8作BEII4C交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,于是得到4

BDECDA,從而打開(kāi)思路.

【問(wèn)題初探】（1）請(qǐng)你按老師的提示或你認(rèn)為其他可行的方法幫晨晨完成證明；

A

【現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用】利用角平分線(xiàn)定理解決如下問(wèn)題：

(2)已知，△ABC中，4D是角平分線(xiàn)，AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm,貝UBD的長(zhǎng)為_(kāi)cm；

(3)如圖②，AABC中，AB=3cm,AC=5cm,點(diǎn)。是8c邊上一點(diǎn)，將△ABD沿著4。翻折，使得點(diǎn)B

與4C邊上的點(diǎn)E重合，若ACDE是直角三角形，求BC的長(zhǎng)度.

圖②

【問(wèn)題解決】

(4)如圖③，已知反比例函數(shù)丫=2，點(diǎn)A是該圖象第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，連接4。并延長(zhǎng)交另一支于點(diǎn)

B,以4B為斜邊作等腰直角△ABC,頂點(diǎn)C在第四象限，4C與無(wú)軸交于點(diǎn)尸，連接BP,點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過(guò)程

中，是否存在/力PB=NA8P+4NP8C的情況？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

35.(23-24九年級(jí)上?山西大同?期末)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

角平分線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的認(rèn)識(shí)

定理：三角形內(nèi)角平分線(xiàn)分對(duì)邊所得的兩條線(xiàn)段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，即：如圖①，在A4BC

中，AD平分NB4C,貝=M

綜合與實(shí)踐課上，“奮斗”小組利用不同的方法驗(yàn)證出該定理的正確性.

方法一：證明：如圖②，過(guò)點(diǎn)D作。E||C4交線(xiàn)段4B于點(diǎn)E

(1)填空：方法1中的依據(jù)1指的是,依據(jù)2指的是

(2)“方法二”給出了這個(gè)定理的部分證明過(guò)程，請(qǐng)按照材料中的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；

(3)如圖④，已知在RtAABC中，AB=3,BC=4,Z.ABC=90°,4。平分乙B4C,請(qǐng)你直接寫(xiě)出線(xiàn)段4。的

長(zhǎng).

36.(23-24八年級(jí)下.江蘇淮安?階段練習(xí))【結(jié)論提出工三角形的角平分線(xiàn)分對(duì)邊所成的兩條線(xiàn)段段比等

于夾這個(gè)角的兩條邊的比.

【思路說(shuō)明】⑴已知：如圖1,zkABC中，4D平分NBAC交BC于。.試說(shuō)明：居=震.

理由：過(guò)點(diǎn)C作CEII4D,交54延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,易得患=，

由CEIMD,AD平分NB4C,可得4E=,代入上式得生=

【直接應(yīng)用】

(2)如圖2,RtAABC中，ZC=90°,4D平分NBAC交BC于。，若BD=15,CD=9,在不添加輔助線(xiàn)

的情況下直接寫(xiě)出AB=_.

(3)如圖3,若四邊形4BCD為矩形，AB=10,AD=8,將△4DE沿力E翻折得至!]△4FE,延長(zhǎng)EF、AF

分別交4B,BC于〃、H兩點(diǎn)，當(dāng)=時(shí).

①求的長(zhǎng)；

②直接寫(xiě)出翳=_.

【拓展延伸】

(4)如圖4,若平行四邊形2BCD中4B=6,BC=5,4ABe=60°,當(dāng)點(diǎn)E為力B邊的三等分點(diǎn)時(shí)，將小

BCE沿CE翻折得到ACFE,直線(xiàn)EF與BC所在直線(xiàn)交于點(diǎn)P、與AD所在直線(xiàn)交于點(diǎn)0,請(qǐng)直接寫(xiě)出4Q的

長(zhǎng)一.

【考點(diǎn)題型十】三平行模型

條件=AB//EF〃Cg

37.(23-24九年級(jí)上.山東聊城.階段練習(xí))如圖：ADWEGWBC,EG分別交力B、DB、AC于點(diǎn)E、F、G,已

知力。=6,BC=9,AE=9,4B=12,則FG=

38.（21-22九年級(jí)上?安徽安慶?期中）圖，ABWGHWCD,點(diǎn)”在BC上，AC與8。交于點(diǎn)G,AB=2,CD

=3,求G8的長(zhǎng).

39.（24-25九年級(jí)上?廣西百色?期中）如圖，平行四邊形4BCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)。，CE平分ABCD交

AB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,S.^ABC=60°,AB=2BC,連接?！晗麓?J結(jié)論：?EO1AC；@S^A0D=

4SAOCF；③4C:BD=舊:7；④FB2=OF-DF.其中正確的結(jié)論有（）

--------------

A.①②③B.①③④C.②③④D.④

40.（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：

有這樣一個(gè)題目：設(shè)有兩只電阻，分別為名和&，問(wèn)并聯(lián)后的電阻值氏是多少？

我們可以利用公式3=《+《，求得R的值，也可以設(shè)計(jì)一種圖形直接得出結(jié)果

如圖①，在直線(xiàn)/上任取兩點(diǎn)A、B,分別過(guò)點(diǎn)A、8作直線(xiàn)/的垂線(xiàn)1，BD=R2,且點(diǎn)C、。位于直線(xiàn)/

的同側(cè)，連接2。、BC,交于點(diǎn)E,則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度就是并聯(lián)后的電阻值R.

證明：?:EF1I,CA1I,

:.乙EFB=/.CAB=90°,

又,：乙EBF=ACBA,

：.AEBF八CBA（依據(jù)1）,

隱盜(依據(jù)2).

同理可得：￡=￡

.BF_^AF_EFEF

**ABAB-AC丁B。'

,dEFEF

??1=------t1-------，

ACBD

J_=J_.J_

EFAC丁BD

11,1

n即n：a=瓦+瓦.

任務(wù):

(1)上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指:

依據(jù)1：;

依據(jù)2：；

(2)如圖②，兩個(gè)電阻并聯(lián)在同一電路中，已知％=3千歐，氏2=6千歐，請(qǐng)?jiān)趫D③中(1個(gè)單位長(zhǎng)度代表

1千歐)畫(huà)出表示該電路圖中總阻值R的線(xiàn)段長(zhǎng)；

(3)受以上作圖法的啟發(fā)，小明提出了已知％和R,求的一種作圖方法，如圖④，作AaBC,NC=

90°MC=BC=Rlt過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線(xiàn)，并在垂線(xiàn)上截取BD=R,使點(diǎn)。與點(diǎn)A在直線(xiàn)BC的同一側(cè)，作

射線(xiàn)2D,交C8的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)￡,則BE即為你認(rèn)為他的方法是否正確，若正確，請(qǐng)加以證明，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

41.(23-24九年級(jí)上?浙江杭州.階段練習(xí))某天晚上，小明看到人民廣場(chǎng)的人行橫道兩側(cè)都有路燈，發(fā)現(xiàn)

自己在兩路燈下的影長(zhǎng)與自身的站定位置具有一定關(guān)系，小明從有關(guān)部門(mén)查得左側(cè)甲路燈Q4B)的高度為

4.8米，右側(cè)乙路燈(CD)的高度為6.4米，兩路燈之間的距離(BD)為12米，已知小明的身高(EF)為1.6

米，小明在兩路燈之間行走(如圖所示)，并測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù).

⑴當(dāng)小明站在人行橫道的中央時(shí)(即點(diǎn)F是BD的中點(diǎn))，則小明在兩路燈下的影長(zhǎng)之和PQ=米;

(2)當(dāng)小明移動(dòng)到某一點(diǎn)時(shí)，ACQP=45°,求影長(zhǎng)FP的長(zhǎng)度；

(3)當(dāng)小明移動(dòng)到某一點(diǎn)時(shí)，兩路燈產(chǎn)生的影長(zhǎng)相等(FP=FQ),此時(shí)小明距離甲路燈多遠(yuǎn)？

【考點(diǎn)題型十一】對(duì)角互補(bǔ)模型

42.(21-22九年級(jí)上?黑龍江雞西?期末)如圖，在RfANBC中，乙4BC=90。，AB=6,BC=8,在

MPN中，乙MPN=90°,點(diǎn)P在力C上，PM交力B于點(diǎn)E,PN交BC于點(diǎn)尸，當(dāng)PE=2PF時(shí)，4P的長(zhǎng)為

()

43.(2024?江蘇揚(yáng)州?二模)如圖,已知△力BC中，NACB=90。,乙4=45。,48=6&,點(diǎn)。在邊4B上，

AD=2V2.數(shù)學(xué)老師讓同組的幾位同學(xué)用一塊含30。的三角板。EF,開(kāi)展如下的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：將△0第

繞著點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中ADEF邊DE、DF始終分別與A4BC的邊AC、BC相交于點(diǎn)〃、

N.

(1)【特殊化感知】在三角板。EF的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若。E14C,DF1BC,貝UAM+|BN=_

(2)【一般化研究】在三角板DEF的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AM+：BN的值是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不

是，說(shuō)明理由；

(3)【拓展延伸】

①如圖1,在三角板DEF的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求4ATBN的最大值；

②如圖2,連接MN,取MN的中點(diǎn)P,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求點(diǎn)N在從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的

路徑為

44.（2024?湖北隨州?模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)尸在四邊形力BCD的對(duì)角線(xiàn)4C上，直角三角板PEF的直角邊PE,PF分別

交力B,BC邊于點(diǎn)M,N.

圖1

【特例探究】（1）如圖1,若。是邊長(zhǎng)為2的正方形A8CD對(duì)角線(xiàn)AC,8。的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。處時(shí)，無(wú)

論三角板PEF繞點(diǎn)。怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)，三角板與正方形重疊部分的面積總等于

【類(lèi)比探究】（2）如圖2,在（1）的條件下，改變點(diǎn)P的位置（尸在對(duì)角線(xiàn)AC上），若胎=匕則有

PM=kPN.

下面是該結(jié)論的證明過(guò)程：

證明：過(guò)點(diǎn)尸作PGL4B于點(diǎn)G,作PH1BC于點(diǎn)孫

請(qǐng)按以上證明思路完成剩余的證明過(guò)程；

【遷移探究】（3）如圖3,在（2）的條件下，將“正方形力BCD”改為“矩形力BCD"，且4B=3,BC=4,

其他條件不變.若卜=|，且PE過(guò)點(diǎn)8