北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題：特殊平行四邊形的三種幾何變換問題（解析版）

專題01特殊平行四邊形的三種幾何變換問題

類型一、翻折問題

例L（幾何翻折）實(shí)踐操作

在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,現(xiàn)將紙片折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)P,折痕為所（點(diǎn)

E、尸是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)），再將紙片還原.

初步思考

（1）若點(diǎn)尸落在矩形ABCD的邊A3上（如圖①）.

①當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，ZDEF=_°；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，ZDEF=_°；

②當(dāng)點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)尸在。C上時(shí)（如圖②），求證：四邊形DE7平為菱形，并直接寫出

當(dāng)AP=7時(shí)的菱形EPED的邊長(zhǎng).

深入探究

（2）若點(diǎn)尸落在矩形ABCD的內(nèi)部（如圖③），且點(diǎn)E、歹分別在AZ）、。。邊上，請(qǐng)直接

寫出AP的最小值.

圖③

拓展延伸

（3）若點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在AD上，射線54與射線EP交于點(diǎn)"（如圖④）.在各種

不同的折疊位置中，是否存在某一情況，使得線段A"與線段DE的長(zhǎng)度相等？若存在，請(qǐng)

直接寫出線段AE的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖④

【答案】⑴①90。；45。②邊長(zhǎng)是裝，證明見解析⑵2(3)存在，長(zhǎng)度是g或警

14511

【分析】(1)①當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖1,畫出圖形可得結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí),

如圖2,則EF平分

②證明ADO尸=APOE(AS4)得根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等得：四邊形DEPb是平行

四邊形，加上對(duì)角線互相垂直可得nDEP尸為菱形，當(dāng)4尸=7時(shí)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x,根據(jù)

勾股定理列方程得：62+(7-X)2=X2,求出x的值即可；

(2)如圖4,當(dāng)尸與C重合，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，AP有最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)求

CD=PC=8,由勾股定理求AC=10,所以AP=10-8=2；

(3)分兩種情況根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可.

【詳解】(1)①90。；45°

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，所是4)的中垂線，

:.NDEF=90°；

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，此時(shí)NDEF=《NDAB=45。.

②設(shè)￡＞產(chǎn)交所于點(diǎn)。，

四邊形A3CD是矩形

:.DF//AB

:./ODF=/OPE,ZOFD=ZOEP

??,點(diǎn)。沿￡1尸折疊后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸，

:.EF±DP,DO=PO

在ADO尸和中，

ZODF=ZOPE

<ZOFD=ZOEP

DO=PO

:.ADOF^APOE（AAS）

:.DF=PE

-.-DF//AB

??.四邊形?！?7是平行四邊形

\-EF±DP

.?口DEFP是菱形

QC

當(dāng)AP=7時(shí)，菱形的邊長(zhǎng)為3.

設(shè)菱形邊長(zhǎng)為無，則AE=7-尤,OE=x

在必△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2^DE2>

:.62+（7-X）2=x2,

..X=—85.

14

（2）AP的最小值為2.

若點(diǎn)P落在矩形43co的內(nèi)部，且點(diǎn)E、尸分別在45、DC邊上,

當(dāng)A,尸,尸在一條直線上時(shí)，AP最小,

最小值為-x=后,

，6-+x+x

所以當(dāng)無最大取8時(shí)，AP的最小值為2.

6-42

(3))或IF

情況一：連接

:DE=EP=AM,EM=EM,

MEAMWAMPE

設(shè)=貝I]AlLDEnG-x,

則3M=x+2

:.MC=8-x

.,.(x+2)-+62=(8-x)2,解得：x=j；

情況二:

DE=EP=AM,ZMAG=NEPG,ZMGA=NEGP,

.isGAM=^GPE

設(shè)=貝i]DE=6-x,

則AM=PE=DE=6—x,MP=AE=x,

則MC=A/P+PC=JC+8,BC=6,BM=14-x,

.-.(14-X)2+62=(X+8)2,解得：x=t?綜上所述，M的長(zhǎng)度為g或?qū)?/p>

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定、勾股定理、折疊

的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是關(guān)鍵，本題難度適中，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想.

例2.(與函數(shù)結(jié)合)如圖1,將矩形ABOC放置于第一象限，使其頂點(diǎn)。位于原點(diǎn)，且點(diǎn)

B,C分別位于x軸，y軸上.若A。％”)滿足Jm-20+M-12|=0.

⑴求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)取AC中點(diǎn)M,連接MO,△CMO與△TWO關(guān)于MO所在直線對(duì)稱，連接AN并延長(zhǎng)，

交x軸于點(diǎn)P.

①求AP的長(zhǎng)；

②如圖2,點(diǎn)。位于線段AC上，且CD=16.點(diǎn)E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),滿足DEVOE,連接PE.請(qǐng)

你求出線段PE長(zhǎng)度的最大值.

【答案】(1)(20,12)；(2)①2屈：②10+2M

【分析】(1)由Jm—20+山一12|=0.可得7〃-20=0,71-12=0,即可求解；

(2)①證明NCW=90°,得到△OCM學(xué)△ABP(AAS),可得P3=CM=10=308,即可求解；

②取0。的中點(diǎn)。，連接QE,QP.當(dāng)點(diǎn)P、Q、E三點(diǎn)共線時(shí)，PE的長(zhǎng)度最大，進(jìn)而求

解.

【詳解】(1)解：,??>/加一20+山一12|=0.

in—20=0,“-12=0,解得〃z=20,/?=12,

.??點(diǎn)A的坐標(biāo)為(20,12)；

(2)①與關(guān)于MO所在直線對(duì)稱，

;.ON=OC=12,MN=CM=AM=10,CNYOM,

■.■MN=AM=MC,

.\ZMAN=ZMNAfZMNC=ZMCN,

設(shè)ZMAN=/MNA=a,ZMNC=ZMCN=/3t

在ZSAQV中，ZACN+NCAN+ZANM+ZMNC=\8QP,

2a+2/7=180。，

:.a+P=90°,

.\ZCNA=90°,

/.ZNCA+Z.CAN=90°,

???ZNCA+ZOMC=90°,

.\ZCAN=ZOMCf

:.OM//AP,

???AC//OB,

二?四邊形AMOP是平行四邊形，

:.OP=AM=10=-OB,

2

???點(diǎn)P為OB的中點(diǎn)，

.?.P(10,0),

AP=^(20-10)2+122=2屈;

②取。。的中點(diǎn)。，連接。石，QP.

?.?NO￡Z)=NOC4=90。，點(diǎn)。是。。的中點(diǎn),

???CD=16.

?.D(16,12),

:.BD=y/162+122=20,

.\QE=^BD=10,

由中點(diǎn)坐標(biāo)可知：點(diǎn)。的坐標(biāo)為(8,6),

OQ=V62+82=10,

vP(10,0),

：.OQ=OP=QE=QD=}0,

..?當(dāng)點(diǎn)尸、。、E三點(diǎn)共線時(shí)，PE的長(zhǎng)度最大,

則尸E的最大值=QE+P°,

???P(10,0),0(8,6),

PQ=7(10-8)2+(6-0)2=2屈,

的最大值=。石+尸。=10+2怖.

故答案為：10+25/10.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行

四邊形的判定，解決本題的關(guān)鍵是得到四邊形4WOP是平行四邊形.

【變式訓(xùn)練1】綜合與實(shí)踐

動(dòng)手操作:

第一步：如圖①，將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)。的直線折疊，使得點(diǎn)A,點(diǎn)。都落在8C邊上,

此時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，記為E,折痕分別為8。、CO,如圖②；

第二步：再沿過點(diǎn)。的直線折疊，使得直線0B與直線OC重合，且。、E、C三點(diǎn)在同一

條直線上，折痕分別為。G、OH,如圖③;

第三步:在圖③的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊,使VOGB與△O"C重合,得到圖④,展開鋪平,連接F",

MG交于點(diǎn)N,如圖⑤，圖中的虛線為折痕.

⑴在圖⑤中，/BGO的度數(shù)是；

(2)在圖⑤中，請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說明理由;

(3)試判斷線段ON與G4的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(4)若AB=1,則AF的長(zhǎng)是(提示：念I(lǐng)=

【答案】⑴112.5。

(2)四邊形a?是菱形，理由見解析

(3)ON=GH；證明見解析

⑷0-1

【分析】(1)根據(jù)折疊性質(zhì)得出NAOb=NR93=/BOG=NGOE,ZABO=NEBO,求出

ZBOG=-ZAOE=22.5°,NGBO=工NABE=45。,再求出結(jié)果即可；

42

(2)證明AOPH是等腰直角三角形，AOMG是等腰直角三角形，得出

ZOFN=45°,ZOMN=45°,求出/0兩+/尸0暇=180°,/0"^+//3/=180°,證明

FN//OM,MN//OF,得出四邊形OFW是平行四邊形，證明0^=0”,得出結(jié)論；

(3)根據(jù)SAS證明AOMN絲AGOH,即可得出結(jié)論；

(4)過點(diǎn)/作EPLO8交。8于點(diǎn)尸，根據(jù)角平分線的定義川=即，設(shè)AF=EP=x,得

出FB=H，根據(jù)AB=1,得出x+&;r=l,求出x的值即可.

【詳解】(1)解：..?四邊形A5C。是矩形，

,-.ZA=ZABC=90°,由折疊的性質(zhì)，可知N3EO=NA=90。，

ZA=ZABC=NBEO=90°,

四邊形ABEO為矩形，

,/AB=BE,

，四邊形ABEO是正方形，

:.ZAOE=90°,

由折疊的性質(zhì)得ZAOF=ZFOB=ZBOG=ZGOE,ZABO=NEBO,

NBOG=-NAOE=22.5。，ZGBO=-ZABE=45°,

42

ZBGO=180°-(22.5°+45°)=112.5°；

故答案為：112.5。.

(2)解:四邊形是菱形，理由如下：

同(1)可得，ZCHO=112.5°,

Z.OGH=NOHG=180°-112.5°=67.5°,

ZGOH=180°-ZOGH-ZOHG=45°,

由折疊的性質(zhì)可知OF=OG,OG=OH,

:.OF=OH,

/FOB=ZBOG=22.5°,

ZFOH=Z.GOH+NFOB+Z.BOG=90°,

.?.△OM是等腰直角三角形，

同理可證，AOMG是等腰直角三角形，

ZOFN=45°,ZOMN=45°,

又=135°,

ZOFN+ZFOM=180°,ZOMN+ZFOM=180°,

FN//OM,MN//OF,

/.四邊形OFNM是平行四邊形，

又?.?OG=OM,O尸=OG,

:.OF=OM,

四邊形OEVM是菱形；

(3)解:ON=GH,理由如下：

由(2)可知/OAW=45。，AGON=ZHON=22.5°,

ZGOH=ZGON+ZHON=45°,

ZGOH=ZOMN,

,四邊形OFNM是菱形，:.OM=MN=OF=FN,

由折疊性質(zhì)可知，OF=OG,OM=OH,

:.OG=OH=OM=MN,

OM=GO

在AOMN和&GOH中，］ZOMN=ZGOH.^OMN^GOH,:.ON=GH-,

MN=OH

(4)解：過點(diǎn)尸作EPLOB交OB于點(diǎn)尸，如圖所示：

?1-ZA=90°,FP±OB,MZAOF=ZBOF=22.5°,

:.AF=FP,

設(shè)AF=FP=x,

ZBPF=90°,ZPBF=45°,

43尸尸為等腰直角三角形,

?*-FB=6X，

'：AB=1.

x+'Jlx=1,

解得：x=正+[=五-1,

即AF=y/2-l.

故答案為：A/2-1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì),

三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握正方形和菱

形的判定和性質(zhì).

【變式訓(xùn)練2】綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

(1)操作判斷

操作一：對(duì)折正方形紙片，使AD與3C重合，得到折痕E尸，把紙片展平；

操作二：在BE上選一點(diǎn)"，沿折疊，使點(diǎn)8落在E戶上的點(diǎn)G處，得到折痕S,把紙

片展平；

根據(jù)以上操作，直接寫出圖1中NCHB的度數(shù)：;

Q)拓展應(yīng)用

小華在以上操作的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究，延長(zhǎng)序交AD于點(diǎn)連接CN交E廠于點(diǎn)N(如圖

2).判斷AMGN的形狀，并說明理由；

(3)遷移探究

如圖3,己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm,當(dāng)點(diǎn)X是邊AB的三等分點(diǎn)時(shí)，把VB方沿CH翻

折得△GC",延長(zhǎng)形交AD于點(diǎn)請(qǐng)直接寫出A"的長(zhǎng).

【答案】(1)75。

(2)AMGN是等邊三角形，見解析

(3)AM=3cm或AM=4.8cm

【分析】⑴根據(jù)翻折可得：CF=gcG,得到NCGb=30。，即可求解；

(2)先證明ACGAI2CDW(HL),得到NGWC=N￡)MC,再根據(jù)平行證明

ZEGH=ZAMG^6Q°,即可求解；

21

(3)分兩種情況討論：AH=-AB=4^AH=-AB=2.

33

【詳解】(1)解：由題意可得：CF^BC,

由翻折性質(zhì)可得：CG=BC,

：.CF^-CG,

2

：.NCG尸=30。，

??,EF//BC,

：.ZCGF=ZBCG=30°,

由翻折性質(zhì)可得：ZHCG=ZBCH,

?.,ZHCG+ZBCH=/BCG,

：.ZBCH=15°,

：.ZCHB=90°-15°=75°；

(2)解：△MGN是等邊三角形；

由題意可得：?B90?,

由翻折性質(zhì)可得：NHGC=NB=96。,CG=BC,

：.ZCGM=90°,

???四邊形ABC。是正方形，

：.CD=BC,

；?CG=CD,

?;CM=CM,

：.RUCGA12RtACDM(HL),

???ZGMC=ZDMC,

由(1)得：/CHB=75。，

：.NC〃G=75。，

???ZEHG=180°-75°-75°=30°,

：.ZEGH=90°-30°=60°,

：.ZMGN=6O°,

???EF//AD,

：.ZEGH=ZAMG=60°,

VZGMC=ZDMC,Z.GMC+ADMC=120°,

???ZGMC=60°,

???ZGNM=60°,

???△MGN是等邊三角形；

(3)解：①連接MC,如圖所示，

???正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm,點(diǎn)H是邊的三等分點(diǎn),

JAH=2A3=4,BH=-AB=2,ZB=ZD=9O°,

33

由翻折性質(zhì)可得：CG=BC,ZB=ZHGC=90°fHG=BH=2,

ACG=DC,ZMGC=9Q°,

CM=MC,

：.Rt^CGM在RtACDM(HL),

MG=MD=xcm,則AM=(6-x)cm,HM=(2+x)cm

由勾股定理得：AM2+AH2=HM2,

解得：x=3cm,

即AM=3cm；

②如圖所示，

:正方形ABC。的邊長(zhǎng)為6cm,點(diǎn)H是邊A3的三等分點(diǎn)，

12

AH=-AB=2,BH=—AB=4,ZB=ZD=90°,

33

由翻折性質(zhì)可得：CG=BC,NB=NHGC=90。,HG=BH=4,

：.CG=DC,ZMGC=90°,

,/CM=MC,：.RIACGM空RtCDM(HL),

MG-MD=xcm,則AM=(6-x)cm,HM=(4+x)cm

由勾股定理得：AM2+AH2=HM2,解得：x=4.8cm,即W=4.8cm；

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何問題，涉及到正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)、全等三角形的判定和性

質(zhì)，難度較大，正確理解題意和靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

圖1圖2圖3

(1)操作判斷

操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合，得到折痕￡71把紙片展平，連接AM；

操作二：在AD上選一點(diǎn)P,沿BP折疊,使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)〃處，把紙片展平，連接

PM,BM.

根據(jù)以上操作，請(qǐng)判斷圖1中A/回!是什么特殊三角形？答：.

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片ABCD按照(1)中的方式操作，并延長(zhǎng)尸河交C￡＞于點(diǎn)Q,連接BQ.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在E尸上時(shí)，NMBQ=。，/CBQ=。；

②改變點(diǎn)P在此＞上的位置(點(diǎn)尸不與點(diǎn)A,。重合)，如圖3,判斷與/C3Q的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由.

⑶拓展應(yīng)用

在(2)的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8cm,當(dāng)尸。=1cm時(shí)，直接寫出”的

長(zhǎng).

【答案】(DAABM是等邊三角形

⑵①15,15；②ZMBQ=2CBQ,理由見解析

~40324

(3)——cm或一cm

1113

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可得AB=VB，=,進(jìn)而可得==可知AABM

是等邊三角形；

(2)①由“HL”可證RLBCQ絲RtARWQ,可得NCBQ=NMBQ=15°；②由“HL”可證

Rt^BCQ^Rt^BMQ,可得NCBQ=NMBQ；

(3)分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)和勾股定理可求解.

【詳解】(1)解：由折疊的性質(zhì)可得=AM=BM,

：.AB=MB=AM,

/^ABM是等邊三角形，

故答案為：等邊三角形；

(2)解:①?..四邊形ABC。是正方形，

AAB=BC,/fiAD=NC=90。，

由折疊可得：AB=BM,ZBAD=ZBMP=90。,

：.BM=BC,ZBMQ=ZC=90°,

又BQ=BQ,

：.RtABCQ^Rt△BMg(HL),

ZCBQ=ZMBQ,

同（1）可證△ABM是等邊三角形,

ZABM=60°,

：.NCBM=90°-ZABM=30°,

ZCBQ=ZMBQ=g/CBM=15°,

故答案為:15,15；

@ZMBQ=ZCBQ,理由如下：

1?四邊形ABCD是正方形，

AAB=BC,/BAD=NC=90。，

由折疊可得：AB=BM,/BAD=/BMP=90。,

：.BM=BC,ZBMQ=ZC=90°,

又?；BQ=BQ,

Rt^BCQ^Rt^BMQ,

：.ZCBQ=ZMBQ；

（3）解：由折疊的性質(zhì)可得OP=CF=4cm,AP=PM,

,：Rt^BCQ^Rt^BMQ,

：.CQ=MQ,

*.*FQ=1cm,MQ=CQ=3cm,DQ=5cm,

PQ2=PD2+DQ2,（AP+3）2=（8-AP）2+52,Z.AP=^cm,

如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段D尸上時(shí)，

FQ=1cm,/.MQ=CQ=5cm,DQ=3cm,

??PQ2=PD2+DQ2,/.（AP+5）2=（8-AP）2+32,/.AP=—cm,

綜上所述：AP的長(zhǎng)為,4c0m或1241cm.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角

形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

類型二、旋轉(zhuǎn)問題

例1.（線段旋轉(zhuǎn)）【課本再現(xiàn)】把兩個(gè)全等的矩形和矩形CEFG拼成如圖1的圖案,

貝I]ZACF=°.

【遷移應(yīng)用】如圖2,在正方形MCD中，E是8邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C,。重合），連接BE,

將BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至壓，作射線陽交3c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,求證：CG=BC.

【拓展延伸】在菱形中，NA=120。，E是8邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C,D重合），連接

BE,將BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至EE,作射線ED交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

①線段CG與BC的數(shù)量關(guān)系是.

②若鉆=6,E是。的三等分點(diǎn)，則ACEG的面積為.

【答案】【課本再現(xiàn)】90；【遷移應(yīng)用】見解析；【拓展延伸】①CG=g12C；②:a百l或3g/-

【分析】（1）【課本再現(xiàn)】先證明RtAADC絲RtACGF,可得NACD=/GEC,從而得到

ZACD+ZGCF=90°,即可；

【遷移應(yīng)用】過點(diǎn)/作FHLCD交C。于點(diǎn)打，結(jié)合正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明

△BEC%EFH,可得FH=CE,EH=BC,從而得到=進(jìn)而得到△DCG是等腰直

角三角形，即可；

【拓展延伸】①過點(diǎn)F作Z.EFH=ZBEC,與ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,可證得ABEC對(duì)EFH,

從而得到收=CE,￡H=BC,ZH=/BCD=120。,進(jìn)而得到77/=?！?，

NCDG=NFDH=30°,繼而得到CG=gc￡>=：BC；②分兩種情況討論，即可.

【詳解】???矩形ABCD和矩形CEFG是全等矩形,

/.AC=CF,AD=CG,ZADC=NCGF=90°,

在Rt^AOC和RtACGF中,

[AC=FC

[AD=CG"

：.RtAADC^RtACGF(HL),

JZACD=ZGFC,

:/GFC+NGCF=90。,

：.ZACD+ZGCF=90°,

JZACF=90°；

故答案為：90

【遷移應(yīng)用】如圖，過點(diǎn)尸作切，8交8于點(diǎn)H,

???四邊形ABC。是正方形，

CB=CD,NBCD=9。。,

：.ZH=ZBCD=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZBEF=90°,EF=BE,

?.?/BEC+NCBE=ZBEC+/FEH=90。,

:.ZCBE=ZFEH,

在△3EC和△瓦H中，

ZCBE=ZFEH

<BE=EF,

/BCE=/H

：?小BEC'EFH,

??.FH=CE,EH=BC,

：.EH=CD,

：.CE+DE=DE+DH,

：.CE=DH,

JFH=DH,

：.NFDH=45。,

：.NCDG=45。,

'：ZDCG=90°f

???△OCG是等腰直角三角形，

：.CG=CD=BC；

【拓展延伸】①過點(diǎn)/作ZEFH=N5EC,與￡。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：/BEF=12。。,BE=EF,

：./BEC+/FED=60。,

???四邊形ABC。是菱形，

：.ZA=ZBCD=120°f

：.Z￡BC+ZBEC=60°,

J/FED=/EBC,

在△BEC和△EFH中,

ZCBE=/FED

<BE=EF,

/BEC=/EFH

：.^BEC^EFH,

:?FH=CE,EH=BC,ZH=NBCD=120。,

???EH=BC=CD,

：.CE+DE=DE+DH,

：.CE=DH,

???FH=DH,

：.4CDG=/FDH=30。,

ZDCG=180°-ZBCD=60°,

???NG=90。，

CG=-CD=-BC；

22

故答案為：CG^BC

②當(dāng)CE=gc￡>時(shí)，有

CE=-x6=2,

3

由①得：CG=；CO=3,

DG=ylCD2-CG2=373,

VACEGACDG的底邊CE,CD上的高相等，

[113

SCFC=—^CDC=—X—X3y/3=—>/3；

3322、、

19

當(dāng)?！?]CQ時(shí)，^CE=-CD,

；?S?cEG=ISc。G=§*$*36=3出

綜上所述，ACEG的面積為|G或36.

故答案為：（幣或3#I

【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等

知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵.

例2.（圖形旋轉(zhuǎn)）（1）如圖1,正方形A3CZ）的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)。又是正方形

的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為1,四邊形為兩個(gè)正方形重疊部分.正方

形A/C0可繞點(diǎn)°轉(zhuǎn)動(dòng).則下列結(jié)論正確的是（填序號(hào)即可）.

①AAEO四△BFO；?OE=OF-③四邊形OEB尸的面積總等于;S正方琢口；④連接收，總

AE2+CF2=EF2.

【類比遷移】

（2）如圖2,矩形ABCD的中心。是矩形4月G。的一個(gè)頂點(diǎn)，4。與邊A2相交于點(diǎn)E,G。

與邊CB相交于點(diǎn)尸，連接所，矩形ABC。可繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，猜想AE,C「,E尸之間的數(shù)

量關(guān)系，并進(jìn)行證明；

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,在RtAu4CB中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,直角/EDF的頂點(diǎn)。在邊

AB的中點(diǎn)處，它的兩條邊DE和。尸分別與直線AC,BC相交于點(diǎn)耳尸，/EZ卯可繞著點(diǎn)

。旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AE=2cm時(shí)，求線段E戶的長(zhǎng)度.

【答案】（1）①②③④；（2）AE2+CF2=EF2,理由見解析；⑶生叵cm或士叵cm

88

【分析】（1）先證明A4EO四△3FO,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定

理，逐項(xiàng)判斷即可求解；

（2）連接AC,延長(zhǎng)E0交。于點(diǎn)G,連接FG,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),

再證明AAEgACGO，可得AE=CG,OE=OG,再由線段垂直平分線的性質(zhì)可得EF=FG,

在Rt^RCG中，根據(jù)勾股定理，即可求解；

（3）設(shè)CF=xcm.分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)E在C4延長(zhǎng)線上

時(shí)，結(jié)合勾股定理，即可求解.

【詳解】解：（1）在正方形和正方形A與G。中，

AB=BC,OA=OB,ZOAB=ZOBC=45°,NAOB==90°,

ZAOE=ZBOF,

：.,故①正確；

：,OE=OF,S“AEO=S.BFO,故②正確；

???四邊形OEBF的面積=S&BOE+S^BOF=S&BOE+=S^AQB=-S正方形鉆8，

四邊形o麗的面積總等于;s正方形的3,故③正確；

如圖，

AAEO^ABFO,

???AE=BF,

,:AB=BC,

：.BE=CF,

'：NA5C=90。，

BF2+BE2^EF2,

：.AE2+CF2=EF-,故④正確；

故答案為：①②③④

(2)AE2+CF2=EF2,理由如下：

連接AC,延長(zhǎng)E。交8于點(diǎn)G,連接尸G,

是矩形A3CD的中心，

.?.點(diǎn)。是AC的中點(diǎn).

AO=CO,

???在矩形ABC。中，/BCD=90。,AB//CD,

：.ZBAO=NDCO,ZAEO=ZCGO,

^AEO^CGO,

：.AE=CG,OE=OG,

在矩形AMG。中，N4OG=90。，

:.EF=FG,

在RtAbCG中，CG1+CF1=GF-

：.AE2+CF2=EF-

(3)設(shè)CF=xcm.

①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，

AE=2cm,

CE=1cm

:在Rt^PCE中，ZC=90°,

CE2+CF2=EF2,

/.l2+x2=EF2,

又由(2)得：EF2=AE2+BF2,

EF2=22+BF2

A12+X2=22+（4-X）\

￡F2=22+（4+X）2,

又在Rt^FCE中，EF2=X2+（3+2）2.

Z.X2+（3+2）2=22+（4+X）2

故EF的長(zhǎng)度為cm或cm.

88

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，

熟練掌握正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用類比思想

解答是解題的關(guān)鍵.

類型三、平移問題

例1.（線段的平移）已知正方形ABC。，點(diǎn)E，尸分別在射線3C,射線8上，BE=CF,

AE馬BF交于點(diǎn)、H.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E,b分別在線段BC,8上時(shí)，求證：AE=BF,且AE_L加'；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，將線段BE沿B尸平移至FG,連接AG.

①依題意將圖2補(bǔ)全；

②用等式表示線段AG,PG和AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見解析

(2)①見解析；②AG?=24加+2打?2,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)正方形性質(zhì)可得AB=3C,ZABE=ZBCF=90°,進(jìn)而可證明

AABE=ABCF(SAS),依據(jù)全等三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；

(2)①按題目要求補(bǔ)全圖形即可；

②連接EG,根據(jù)平移性質(zhì)即可得出四邊形BEGF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得

EG=BF,EG//BF,再由AABE=ABCF(SAS),可得非二5/，NBFC=ZAEB,進(jìn)而可得

出EG=AE,ZAEG=90°,由勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖1,

四邊形ABCD是正方形，

:.AB=BC,ZABE=/BCF=90。,

BE=CF

在AASE和ABC尸中，＜ZABE=ZBCF,/^ABE=ABCF(SAS),

AB=BC

:.AE=BF,NBAE=ZCBF,

ZCBF+ZABH=90°,ZBAE+ZABH=90°,

:.ZAHB=90°,.\AE_LBF,故AE=5產(chǎn)，且AE_LAF；

(2)解：①補(bǔ)全圖如圖2所示；

圖3

???線段BE沿BF平移至FG,

一.四邊形3EG廠是平行四邊形,

:.EG=BFfEG//BF,

在和ABCF中，

BE=CF

<ZABE=ZBCF,

AB=BC

:.AABE=ABCF(SAS),

:.AE=BF,ZBFC=ZAEB,

-,EG=BF=AE,

ZBFC+ZCBF=90°,

:.ZAEB+ZCBF=90°f

:.NBHE=90°,

?:EGIIBF,

ZAEG=ZBHE=90°,

AG2=AE2+EG2=2AE2,

AE2=AB2+BE2=AD2+FG2,

AG2=2AD2+2FG2.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平移的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)

用，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)定理.

例2.(圖形的平移)平行四邊形43CZ)中，AEIBC^E,且=

(1)如圖1,若DE=3近,求平行四邊形ABCD的面積.

(2)如圖2,連接OE,過A作AFLAB交ED于歹，在A3上截取AG=AF,連接OG,點(diǎn)H

為G。中點(diǎn)，連接AH,求證：4AH2+DF2=2AF2-

圖2

(3)如圖3,連接把沿直線3D方向平移，得到△AMD,若CZ)=W，EC=2,

請(qǐng)直接寫出平移過程中A'C+B'C的最小值.

【答案】⑴5.88=9

(2)見解析

⑶AC+3'C的最小值為^

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出AD〃3C,證明NZME=/A￡B=90。，利用勾股定理

求出AD=3,利用平行四邊形面積公式即可得出結(jié)果；

(2)延長(zhǎng)AH交CD于T,連接石G,GF,證明NG￡F=90。，EG=DF,EF=AT=2AH

即可解決問題；

(3)由題意可知四邊形AZ'CD是平行四邊形，推出推出AC+9C的最小值

=AC+AZ>的最小值，點(diǎn)4在過點(diǎn)A且平行于3。的定直線上，作點(diǎn)。關(guān)于定直線的對(duì)稱

點(diǎn)、E,AC^B,C=A!C+A!D=A!C+A!E,>CE,,則CE'的長(zhǎng)度即為A'C+9。的最小值，

求出CE'的最小值，可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：,??四邊形ABC。為平行四邊形，

???AD//BC,

'：AELBC,

：.ZAEB=90°,

：.ZDAE=ZAEB=90°,

VAD=AE,DE=3底,

2AD2=DE2，

：.AD=3f

：.AE=3,

**?^aABCD=AD，AE=9?

(2)證明：如圖，延長(zhǎng)AH交。于T,連接EG,GF,

：.AB//CD,

：.ZAGH=/TDH,

VZAHG=ZTHDfHG=HD,

：.AAHG^ATW(ASA),

：?AH=TH,AG=DT,

VAELBC,AD//BC,

：.AE±AD,

VAF1AG,

：.ZEAD=ZGAF^90°,

：.ZGAE=ZFAD,

VAD=AE,AF=AG,

：.也△EW(SAS),

:?DF=GE,ZAEG=ZADE=45°f

'：ZAED=45°,

JZGEF=90°,

JEG1+EF2=FG2=2AF2,

VZ^AE+ZB=90°,ZBAE-^-ZEAF=90°,

I.ZB=NEAF,

,:ZB=ZADT,

：.ZEAF=ZADT,

VAG=AF,AG=DT,

：.AF=DT,

???AE=AD,

：.△E4F也△ADT(SAS),

???EF=AT=2AH,

A4AH2+DF2=2AF2-

(3)解：如圖，

0r-a

5EHC

'：A'B'=CD,AB'//AB//CD,

?1?四邊形AB,CD是平行四邊形，

/.A!D=B'C,

：.AC+B'C的最小值=AC+AD的最小值，

?.?點(diǎn)A在過點(diǎn)A且平行于BD的直線上，

，作點(diǎn)。關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E',

：AC+B'C=AC+A'D=AC+AE'>CE',則CH的長(zhǎng)度即為A'C+B'C的最小值，

過點(diǎn)￡作后月，3c于巴交AZ）于J,過點(diǎn)A作AT,加于T,設(shè)DE'交A4'于K,過點(diǎn)C

作CR_L4?于R,

?/ZAEC=ZEAR=ZARC=90°,

四邊形AEC7?是矩形，

:.AR=EC=2,T§1AE=AD=X,

在RtACRD中，貝I］有爐+（工一2）2=10,

解得x=3或-1（舍去），

AAD=AE=BC^3,BE=BC-EC=1,

過點(diǎn)8作BQ_LD4交ZM的延長(zhǎng)線于。，則4。==1,DQ=AQ+=4,3Q=AE=3,

?1-BD=yjBQ2+DQ2=732+42=5，

'：S^D=^BDAT^ADBQ,

9

??.AT=1,

???四邊形ATOK是矩形，

9

???DK=AT=KEf=-,

5

117?

S.QE=—ADE'J=—DE'?AK,???E'J=——,

：.AJ=EH=AD-DJ=3--=—

2525f

2129

??.CH=EC-EH=2——,

2525

72147

?.,EH=E'J+JH=—+3=——,

2525

在RtACE“中，CE=j+償:="?,

AC+3'C的最小值為遮I.

5

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解

直角三角形，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用

轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，屬于中考?jí)狠S題.

【變式訓(xùn)練I】（1）如圖I,正方形ABC。的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)。又是正方形A與G。的

一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為1,四邊形o師為兩個(gè)正方形重疊部分.正方形

A四G。可繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng).則下列結(jié)論正確的是（填序號(hào)即可）.

①AAEO/△BFO；?OE=OF-③四邊形OE即的面積總等于;S設(shè)小四；④連接政，總

AE2+CF2=EF2.

【類比遷移】

（2）如圖2,矩形ABCD的中心。是矩形AgCQ的一個(gè)頂點(diǎn)，4。與邊A3相交于點(diǎn)E,G。

與邊CB相交于點(diǎn)尸，連接收，矩形4月。?？衫@著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，猜想A￡,CF,M之間的數(shù)

量關(guān)系，并進(jìn)行證明；

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,在Rt^ACB中，ZC=90°,AC=3cm,3C=4cm,直角/瓦獷的頂點(diǎn)。在邊

的中點(diǎn)處，它的兩條邊DE和OR分別與直線AC,BC相交于點(diǎn)區(qū)尸，/瓦莊可繞著點(diǎn)

D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A￡=2cm時(shí)，求線段防的長(zhǎng)度.

【答案】（1）①②③④；（2）AE2+CF2=EF2,理由見解析；（3）”7cm或上^cm

88

【分析】（1）先證明△AEO絲△BFO,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定

理，逐項(xiàng)判斷即可求解；

（2）連接AC,延長(zhǎng)E。交8于點(diǎn)G,連接尸G,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),

再證明AAEg^CGO，可得4E=CG,OE=OG,再由線段垂直平分線的性質(zhì)可得EF=FG,

在Rt△尸CG中，根據(jù)勾股定理，即可求解；

（3）設(shè)CF=xcm.分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)E在C4延長(zhǎng)線上

時(shí)，結(jié)合勾股定理，即可求解.

【詳解】解：（1）在正方形和正方形4800中，

AB=BC,OA=OB,ZOAB=ZOBC=45°,NAOB=NAQQ=90°,

：.ZAOE=NBOF,

：.AAEO^ABFO,故①正確；

：.OE=OF,S.AEO=S“BF。，故②正確；

，四邊形OEB尸的面積=5,BOE+S^BOF-SOOE+sAAOE=^^AOB-WS正方形ABC。，

四邊形OEB尸的面積總等于;S正方修88,故③正確；

如圖，

G

AAEgABFO,

：.AE=BF,

AB=BC,

：.BE=CF,

'：ZABC=90°,

:?BF?+BE。=EF?，

：.AE2+CF2=EF2，故④正確；

故答案為：①②③④

(2)AE2+CF2=EF2,理由如下：

連接AC,延長(zhǎng)E。交8于點(diǎn)G,連接尸G,

是矩形ABCD的中心，

.,.點(diǎn)。是AC的中點(diǎn).：.AO=CO,

;在矩形ABC。中，ZBCD=90°,AB//CD,

：.ZBAO=ZDCO,ZAEO=ZCGO,

AAEO^ACGO,：.AE=CG,OE=OG,

90

在矩形AB|G。中，ZA°CI=°，：.EF=FG,

在R/bCG中，CG'CF?=GF?

AE2+CF2=EF2；

(3)設(shè)CF=xcm.

①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，

A

CF\B

AE=2cm,CE=1cm

???在Rt△bCE中，ZC=90°,：.CE2^CF2=EF2,：.]2+x2=EF2,

又由（2）得：EF?=AE?+B產(chǎn),

EF2=22+BF-?I2+x2=22+（4-x）2,解得x=￡.所=5yfn

②當(dāng)點(diǎn)E在C4延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可證稗2=4召2+5尸

G

：.EF2=22+（4+X）2,又在Rt△尸CE中，EF2=X2+（3+2）2.

.,.X2+（3+2）2=22+（4+X）2,解得x=）.二E尸=,52+（9）

故EF的長(zhǎng)度為名叵cm或cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，

熟練掌握正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用類比思想

解答是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,AE±BD,垂足是E.點(diǎn)尸

是點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接A尺所.

圖①圖②備用圖

（1）求AF和班的長(zhǎng);

（2）若將沿著射線8。方向平移，設(shè)平移的距離為加（平移距離指點(diǎn)8沿8。方向所

經(jīng)過的線段長(zhǎng)度）.當(dāng)點(diǎn)尸分別平移到線段AB、AD上時(shí)，直接寫出相應(yīng)的加的值.

（3）如圖②，將繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角。（0°＜。＜180。），記旋轉(zhuǎn)中AAB尸為

NA'BF',在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A，尸所在的直線與直線AZ）交于點(diǎn)P,與直線3D交于點(diǎn)Q.是

否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使VDP。為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)。。的長(zhǎng)；若不存在，

請(qǐng)說明理由.

129916

【答案】（1）AF=—,BF=~.（2）m=-^m=—；（3）存在4組符合條件的點(diǎn)P、點(diǎn)。，

使VDP。為等腰三角形；。。的長(zhǎng)度分別為2或字或記-5或5-

o55

【分析】（1）利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解；

（2）依題意畫出圖形，如圖①-1所示.利用平移性質(zhì)，確定圖形中的等腰三角形，分別求

出m的值；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰ADPQ有4種情形，分別畫出圖形，對(duì)于各種情形分別進(jìn)行計(jì)算

即可.

【詳解】（1）?；四邊形ABCD是矩形，

ZBAD=90°,

在RtAABD中，AB=3,AD=4,

由勾股定理得：BD=VAB2+AD2=V32+42=5-

?.*SAABD=|BD?AE=gAB?AD,

1/點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn),

.\AF=AE=y,BF=BE,

VAEXBD,

.?.ZAEB=90°,

在RtaABE中，AB=3,AE=y,

由勾股定理得：BE=JAB?一AE?=卜_[g=|；

(2)設(shè)平移中的三角形為AABF,如圖①-1所示：

圖①4

9

由對(duì)稱點(diǎn)性質(zhì)可知，Z1=Z2.BF=BE=-,

9

由平移性質(zhì)可知，AB//AfB\Z4=Z1,BF=BF=g,

①當(dāng)點(diǎn)F落在AB上時(shí)，

???AB〃AB,

AZ3=Z4,

根據(jù)平移的性質(zhì)知：N1=N4,

AZ3=Z2,

99

???BB'=B'F'=—,即機(jī)=—；

55

②當(dāng)點(diǎn)F落在AD上時(shí)，

?.,AB〃AE,AB±AD,

；.Z6=Z2,ABJ_AD,

VZ1=Z2,Z5=Z1,

???N5=N6,

又知AB」AD,

???△BFD為等腰三角形，

9

??.BD=BF=M，

BB，=BD-BD=5-,即m=史；

555

(3)存在.理由如下:

??,四邊形ABCD是矩形,

,ZBAD=90°,

VAEXBD,

.'.ZAEB=90°,

Z2+ZABD=90°,ZBAE+ZABD=90°,

AZ2=ZBAE,

???點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于A