北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：基本平面圖形（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）

第四章基本圖形

課標(biāo)要求

1.通過(guò)豐富的實(shí)例，認(rèn)識(shí)線段、射線、直線、角等簡(jiǎn)單平面圖形.

2.能用符號(hào)表示角、線段;理解與多邊形和圓有關(guān)的概念.

3.會(huì)進(jìn)行線段或角的比較,能估計(jì)一個(gè)角的大小，認(rèn)識(shí)度、分、秒，會(huì)進(jìn)行角的單位換算.

4.初步培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力、語(yǔ)言表達(dá)能力及邏輯思維能力.

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

知識(shí)點(diǎn)1直線、射線與線段的概念

端點(diǎn)

類型圖例表示方法書(shū)寫(xiě)規(guī)范

個(gè)數(shù)

直線直線43或直線

./.0個(gè)兩個(gè)大寫(xiě)字母無(wú)順序

A4或直線/

AB

兩個(gè)大寫(xiě)字母中的第一個(gè)表

_/

射線??射線。/或射線/1個(gè)

AB示端點(diǎn)

________1_______.線段AB或線段

線段2個(gè)兩個(gè)大寫(xiě)字母無(wú)順序

AB或線段/

注意：直線是可以向兩邊無(wú)限延伸的，射線受端點(diǎn)的限制，只能向一邊無(wú)限延伸；線段不能延

伸，所以直線與射線不可測(cè)量長(zhǎng)度，只有線段可以測(cè)量。

知識(shí)點(diǎn)2:基本事實(shí)

1.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線

2.兩點(diǎn)之間的線段中，線段最短，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)間線段最短

知識(shí)3：線段的性質(zhì)

兩點(diǎn)之間的線段中，線段最短，簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)間線段最短。

知識(shí)點(diǎn)4：基本概念

1.兩點(diǎn)間的距離：兩個(gè)端點(diǎn)之間的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離。

2.線段的等分點(diǎn)：把一條線段平均分成兩份的點(diǎn)，叫做這個(gè)線段的中點(diǎn)

知識(shí)5：雙中點(diǎn)模型:

C為AB上任意一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC中點(diǎn)，貝ljMN=-AB

2

知識(shí)點(diǎn)6：角的概念

1.角的定義：

(1)定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩

條邊.如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)0,邊是射線0A、0B.

(2)定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部.如圖2

所示，射線0A繞它的端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)到0B的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置0A是角的始邊，終止位置

0B是角的終邊.

注意：

(1)兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān).

(2)平角與周角：如圖1所示射線0A繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置0B和起始位置0A成一條直線時(shí)，所形成

的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，0B和0A重合時(shí)，所形成的角叫做周角.

BoA0A(B)

平角周角

圖1圖2

2?角的表示法：角的幾何符號(hào)用表示，角的表示法通常有以下四種:

表示方法圖示記法適用范圍

乙AOB任何情況都適

(1)用三個(gè)大

或用，表示頂點(diǎn)的

寫(xiě)字母表示上

0B乙BOA字母寫(xiě)在中間

以某一點(diǎn)為頂點(diǎn)

(2)用一個(gè)大的角只有一個(gè)

40

寫(xiě)字母表示/時(shí)，可以用頂點(diǎn)

O

表示角

(3)用阿拉

41任何情況都適用

伯?dāng)?shù)字表示/

(4)用希臘字

Z.Q任何情況都適用

母表示

注意：

用數(shù)字或小寫(xiě)希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫(xiě)希臘字母.

3.角的畫(huà)法

(1)用三角板可以畫(huà)出30°、45°、60°、90°等特殊角.

(2)用量角器可以畫(huà)出任意給定度數(shù)的角.

(3)利用尺規(guī)作圖可以畫(huà)一個(gè)角等于已知角.

知識(shí)點(diǎn)7：角度制及其換算

角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1。的角，1°的,為1分,

60

記作“1'”，1'的二-為1秒，記作“1〃這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.

60

1周角=360°,1平角=180°,1°=60',1'=60".

注意：

在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高

一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位.

知識(shí)點(diǎn)8：鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題

鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°,時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°,

時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5。，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)9：方位角

在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角.例如，圖中射線0A的方向是北偏東60°；射線

0B的方向是南偏西30°.這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角.

(1)正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示.

(2)方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說(shuō)成“東偏北30°”.

(3)在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫(huà)出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的

正東、正西、正南、正北的方向.

(4)圖中的點(diǎn)。是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以。為端點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)10：角平分線

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線.如圖所示，OC是/

A0B的角平分線，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,

ZAOC=ZBOC=-ZA0B.

2

/A

2

OB

注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣.

知識(shí)點(diǎn)11:角的運(yùn)算

如圖所示，/AOB是/I與/2的和，記作：ZAOB=Z1+Z2；/I是/AOB與/2的差，記作：Zl=

ZA0B-Z2.

注意：

（1）用量角器量角和畫(huà)角的一般步驟：①對(duì)中（角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊）；②重合（一邊與刻度尺上的

零度線重合）；③讀數(shù)（讀出另一邊所在線的度數(shù)）.

（2）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫(huà)出15°,75°,

105°,120°,135°，150°,165°的角.

知識(shí)點(diǎn)12：角的比較

角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種.

方法1：度量比較法.先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.

方法2：疊合比較法.把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較.

如比較/AOB和/A，0，B'的大小：如下圖，由圖（1）可得NAOBC/A，（TB7；由圖（2）可得/A0B=

/A'O'B'；由圖（3）可得NAOB>/A'O'B'.

知識(shí)點(diǎn)13：多邊形及正多邊形

1.定義：多邊形是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形.其中，各邊相等、

各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如下圖:

五邊形正六邊形

2.正多邊形

1.各個(gè)角都相等,各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形

2.正多邊形的每個(gè)內(nèi)角（仁2）x180。

n

3.正多邊形每個(gè)外角的度數(shù)：衛(wèi)360-°

n

(3)平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋,叫做用多邊形覆蓋平面。

3.相關(guān)概念：

頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角(可簡(jiǎn)稱為多邊形的

一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角.

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.

對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

多邊形公式

l.n邊形一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線數(shù)：n-3

2.n邊形的對(duì)角線總數(shù)：n(n-3)

2

3.n邊形的外角和：360°

4.補(bǔ)充拓展：n邊形截去一個(gè)角后得到n/n-l/n-2邊形

知識(shí)點(diǎn)14：圓及扇形

1.圓的定義

如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，一條線段繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓,

固定的端點(diǎn)叫做圓心，線段0A叫做半徑.

注意:

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可.

②圓是一條封閉曲線.

2.扇形

(1)圓?。簣A上任意兩點(diǎn)A,B間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，記作注3,讀作“圓弧AB”或“弧AB”.如

下圖:

B

（2）扇形的定義：如上圖，由一條弧AB和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑OA,0B所組成的圖形叫做扇形.

注意：圓可以分割成若干個(gè)扇形.

（3）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.如上圖，NAOB是圓的一個(gè)圓心角，也是扇形OAB的圓心角.

（4）扇形的弧長(zhǎng)和面積

扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：/=竺的;（2）扇形面積公式：S=^-=-lR

1803602

n：圓心角R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑/：扇形弧長(zhǎng)S：扇形面積

重要題型

【題型1直線、射線與線段】

【典例1]（2022秋?辛集市期末）下列幾何圖形與相應(yīng)語(yǔ)言描述相符的是（）

A.如圖1所示，延長(zhǎng)線段m到點(diǎn)C

B.如圖2所示，射線C3不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A

C.如圖3所示，直線。和直線6相交于點(diǎn)A

D.如圖4所示，射線CD和線段A3沒(méi)有交點(diǎn)

【變式（2023春?泰安期中）下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.射線MP和射線PAf表示同一條射線

B.射線有兩個(gè)端點(diǎn)

C.線段A3和線段m表示同一條線段

D.射線A3和線段A3對(duì)應(yīng)同一圖形

【變式1-2］（2023?任丘市校級(jí)模擬）下列各選項(xiàng)中的射線ER和直線A3能相交的是（）

【變式1-3］（2023春?環(huán)翠區(qū)期中）如圖，下列不正確的說(shuō)法是（）

OAB

A.直線A3與直線R4是同一條直線

B.線段A3與線段癡是同一條線段

C.射線與射線A3是同一條射線

D.射線與射線是同一條射線

【題型2直線的性質(zhì)】

【典例2】（2023?婺城區(qū)模擬）如圖，小亮為將一個(gè)衣架固定在墻上，他在衣架兩端各用一個(gè)

釘子進(jìn)行固定，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋他這樣操作的原因，應(yīng)該是（）

A.過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線

B.兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離

C.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線

D.兩點(diǎn)之間，線段最短

【變式2-1］（2022秋?衡東縣期末）平面上有不同的三個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)其中任意兩點(diǎn)畫(huà)直線，一共

可以畫(huà)（）

A.1條B.2條C.3條D.1條或3條

【變式2-2］（2022秋?瀘縣期末）小紅家分了一套住房，她想在自己的房間的墻上釘一根細(xì)木

條，掛上自己喜歡的裝飾物，那么小紅至少需要幾根釘子使細(xì)木條固定（）

A.1根B.2根C.3根D.4根

【變式2-3］（2022秋?莘縣期末）如圖，建筑工人在砌墻時(shí)，為了使砌的墻是直的，經(jīng)常在兩

個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的細(xì)線繩作參照線.這樣做的依據(jù)是:

【題型3線段的應(yīng)用】

【典例3】（2023春?高青縣期中）如圖，A3是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)

表示5個(gè)車站，在這段路線上往返行車，需印制多少種車票？（）

?????

ABCDE

A.10B.11C.18D.20

【變式3-1］（2022秋?鄂城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在線段AD上有兩點(diǎn)3,C,則圖中共有

條線段，若在車站A、。之間的線路中再設(shè)兩個(gè)站點(diǎn)3、C,則應(yīng)該共印刷種車票.（）

ABCD

A.3,3B.3,6C.6,6D.6,12

【變式3-2］（2022秋?普寧市期末）由汕頭開(kāi)往廣州東的。75n動(dòng)車，運(yùn)行途中須?？康能囌?/p>

依次是：汕頭一潮汕一普寧一汕尾一深圳坪山一東莞一廣州東.那么要為。75n動(dòng)車制作

的車票一共有（）

A.6種B.7種C.21種D.42種

【變式3-3］（2022秋?婺城區(qū)期末）杭衢高鐵線上，要保證衢州、金華、義烏、諸暨、杭州每

兩個(gè)城市之間都有高鐵可乘，需要印制不同的火車票（）

A.20種B.15種C.10種D.5種

【題型4作圖-直線射線和線段】

【典例4】（2022秋?沈丘縣月考）如圖，平面上有三個(gè)點(diǎn)A,B,C.

（1）根據(jù)下列語(yǔ)句畫(huà)圖：作出射線AC,CB,直線A&在射線直上取一點(diǎn)。（不與點(diǎn)C

重合），使BD=BC；

（2）在（1）的條件下，回答問(wèn)題：

①用適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)句表述點(diǎn)。與直線A3的關(guān)系：；

②若3。=3,貝ICD=

A?

?B

c

【變式4-1](2022秋?館陶縣期末)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)按下列

要求作圖(不寫(xiě)作圖步驟，保留作圖痕跡，而且要求作圖時(shí)先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須

使用黑色字跡的簽字筆描黑)：

(1)作射線A3；

(2)作直線AC與直線5。相交于點(diǎn)。；

(3)在射線A3上作線段AC,使線段與線段AC相等.

.D

A?

【變式4-2](2022秋?新豐縣期末)已知平面上四點(diǎn)A、B、C、D,如圖:

(1)畫(huà)直線AD；

(2)畫(huà)射線3C,與AD相交于。；

(3)連接AC、3。相交于點(diǎn)色

D

R

【題型5線段的性質(zhì)】

【典例5】（2022秋?衡山縣期末）某同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分（如圖），

發(fā)現(xiàn)剩下的銀杏葉的周長(zhǎng)比原銀杏葉的周長(zhǎng)要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）

A.兩點(diǎn)確定一條直線

B.點(diǎn)動(dòng)成線

C.直線是向兩方無(wú)限延伸的

D.兩點(diǎn)之間線段最短

【變式5-11（2022秋?吉州區(qū)期末）曲橋是我國(guó)古代經(jīng)典建筑之一，它的修建增加了橋的長(zhǎng)度，

也增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞風(fēng)光，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是

（）

A.兩點(diǎn)之間，線段最短

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線

D.連接兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離

【變式5-2］（2023春?文山市期末）把一條彎曲的高速路改為直道，可以縮短路程，其道理用

幾何知識(shí)解釋?xiě)?yīng)為（）

A.兩點(diǎn)確定一條直線

B.兩點(diǎn)之間，線段最短

C.垂線段最短

D.平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

【變式5-3］（2023?新華區(qū)模擬）如圖，從A地到3地的四條路線中，路程最短的是（)

1

【題型6兩點(diǎn)間距離】

【典例6】（2023秋?龍城區(qū)校級(jí)月考）如果A、3、C在同一直線上，線段AB=4cm,BC=8cm,

那么A、C兩點(diǎn)間的距離是（）

A.12cmB.8cmC.4cmD.4c機(jī)或12c機(jī)

【變式6-1］（2022秋?新興縣期末）如圖，點(diǎn)C是線段A3上的點(diǎn)，點(diǎn)。是線段的中點(diǎn),

AB=10,AC=6,則線段CD的長(zhǎng)是（）ACDB

A.4B.3C.2D.1

【變式6-2］（2022秋?綏寧縣期末）如圖，AB=\2,C為A3的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段AC上，且

AD：CB=1：3,則。3的長(zhǎng)度為（）

??______?___________?

ADCB

A.4B.6C.8D.10

【變式6-3］（2022秋?交口縣期末）直線上有A,B,C三點(diǎn)，已知AB=8cm,BC=2cm,則

AC的長(zhǎng)是（）

A.10cmB.6cmC.10c機(jī)或6c機(jī)D.不能確定

【題型7比較線段長(zhǎng)短】

【典例7】（2023?館陶縣校級(jí)模擬）如圖，用圓規(guī)比較兩條線段的大小，其中正確的是（）

NB'C

A.A'B'>A'CB.A'B'=A'CC.A'B'<A'CD.不能確定

【變式7-1］（2022秋?肥東縣期末）如圖，若AB=CD,則AC與3。的大小關(guān)系為（)

ABCD

A.AOBDB.AC<BDC.AC=BDD.不能確定

【變式7-2］（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖,AOBD,比較線段AB與線段CD的大小（）

????

ACBD

A.AB=CDB.AB>CDC.AB<CDD.無(wú)法比較

【變式7-3］（2022秋?紅橋區(qū)期末）如圖，AB=CD,那么AC與3。的大小關(guān)系是（）

I____I____________I______I

ACRD

A.AC=BDB.AC<BDC.AOBDD.不能確定

【題型8線段的簡(jiǎn)單計(jì)算】

【典例8】（2022秋?湖北期末）如圖，已知CB』AB,AC=-ADJ如果匿=2。機(jī)，求線段CD的

33

長(zhǎng).

ABCD

【變式8-1］（2022秋?濟(jì)南期末）如圖，。為AC的中點(diǎn)，DC=2cm,求A3的長(zhǎng).

DBC.

【變式8-2］（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）如圖，延長(zhǎng)線段A3到。，使3c=3AB,點(diǎn)。是線段

3c的中點(diǎn)，如果CD=3cm,那么線段AC的長(zhǎng)度是多少？

ARDC

【變式8-3］（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，線段AC=6cw,線段5C=15c機(jī)，點(diǎn)M是AC

的中點(diǎn)，在底上取一點(diǎn)N,使得CN：NB=1：2,求MN的長(zhǎng).

AKfCNB

【變式8-4](2022秋?通川區(qū)校級(jí)期末)已知，點(diǎn)C是線段A3上的一點(diǎn)，點(diǎn)般是線段AC的

中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn).

(1)如果A3=10cm,那么MN等于多少？

(2)如果AC：BC=3：2,NB=3.5cm,那么A3等于多少？

AMCNB

【題型9“雙中點(diǎn)”模型】

【典例9】(2022秋?禹城市期末)如圖，已知點(diǎn)C為線段A3上一點(diǎn)，AC=12cm,CB=8cm,

D、E分別是AC、A3的中點(diǎn).求：

(1)求AD的長(zhǎng)度；

(2)求DE的長(zhǎng)度；

(3)若般在直線A3上，且M3=6cm,求AM的長(zhǎng)度.

I_________I______II___________I

ADECB

【變式9-1](2022秋?鐵西區(qū)校級(jí)期末)如圖，線段A3=8cro,C是線段A3上一點(diǎn)，M是A3

的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn).

(1)AC=3cm,求線段CM、M0的長(zhǎng)；

(2)若線段AC=〃z,線段_BC=〃，求MN的長(zhǎng)度(加〈〃用含機(jī)，〃的代數(shù)式表示).

AVC~VB

【變式9-2](2022秋?南昌期末)如圖，線段AB=8,點(diǎn)C是線段A3的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段

3c的中點(diǎn).

（1）求線段AD的長(zhǎng)；

（2）若在線段A3上有一點(diǎn)E,CE=XBC,求AE的長(zhǎng).

4

ACDB

【題型10度分秒換算】

【典例10]（2022秋?寧波期末）用度表示30°9'36〃為.

【變式10-1】（2022秋?新?lián)釁^(qū)期末）計(jì)算：18°42,+42°58,=.

【變式10-2】（2022秋?盤(pán)山縣期末）計(jì)算：57.32°=度分秒.

【變式10-3】（2022秋?惠城區(qū)期末）把18°21'36"可表示為.

【變式10-4】（2023春?文登區(qū)期末）18.21°=°'".

【題型11角的概念及表示】

【典例11】（2022秋?長(zhǎng)壽區(qū)期末）下列四個(gè)圖形中，能用Nl、ZAOB,N。三種方法表示同

【變式（2022秋?阜平縣期末）下列圖形中，能用Na,ZAOB,N。三種方法表示同一

個(gè)角的是（）

B,

0

A.AB.OA

【變式11-2】（2022秋?宛城區(qū)期末）如圖所示，能用NA05,/O,N1三種方法表示同一個(gè)

角的圖形的是（）

【變式11-3]（2022秋?廣平縣期末）如圖，下列對(duì)圖中各個(gè)角的表示方法不正確的是（）

A.ZAB.Z1C.ZCD.ZABC

【題型12作圖-基本作圖】

【典例12]（2023?綠園區(qū)一模）觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡：

其中，能夠說(shuō)明A3>AC的是（）

A.①②B.②③C.①③D.③④

【變式12-1】（2023秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,根據(jù)尺規(guī)作

圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

B.ZBAD=ZBC.DE=DCD.AE=AC

【變式12-2]（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）如圖，用尺規(guī)作圖作出則作圖痕

跡弧是（）

A.以點(diǎn)3為圓心,以。。長(zhǎng)為半徑的弧

B.以點(diǎn)3為圓心,以DC長(zhǎng)為半徑的弧

C.以點(diǎn)E為圓心,以長(zhǎng)為半徑的弧

D.以點(diǎn)E為圓心,以DC長(zhǎng)為半徑的弧

【變式12-3]（2023?松原模擬）^AABC中，NA4c=90°,AB>AC,ZBW30。，用無(wú)刻

度的直尺和圓規(guī)在3C邊上找一點(diǎn)。，使下列作法正確的是（）

【題型13鐘面角】

【典例13]（2022秋?滕州市校級(jí)期末）在時(shí)刻10：18,時(shí)鐘上時(shí)針與分針的夾角為（）

A.105°B.155°C.159°D.157°

【變式13-1】（2023春?泰山區(qū)期中）下午3：30時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)鶌A銳角的度數(shù)是（）

A.67.5°B.70°C.75°D.80°

【變式13-2】（2022秋?永安市期末）下午3時(shí)30分，鐘面上時(shí)針與分針的夾角為（)

C.75°D.65°

【變式13-3】（2022秋?九龍坡區(qū)期末）當(dāng)分針指向12,時(shí)針這時(shí)恰好與分針成60°的角，此

時(shí)是（）

A.9點(diǎn)鐘B.10點(diǎn)鐘

C.4點(diǎn)鐘或8點(diǎn)鐘D.2點(diǎn)鐘或10點(diǎn)鐘

【題型14方位角】

【典例14］（2022秋?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，四條表示方向的射線中，表示北偏東30°的是

【變式14-1】（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期末）如圖，在觀測(cè)站。發(fā)現(xiàn)客輪A、貨輪3分別在它北

偏西50°、西南方向，則NA03的度數(shù)是（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

【變式14-2】（2023?耿馬縣三模）如圖，在海島C測(cè)得船A在其南偏東70。的方向上，測(cè)得

燈塔3在其北偏東50°的方向上，則NAC3=（）

【變式14-3】（2022秋?西豐縣期末）如圖，甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)，沿圖示方向分別步

行前進(jìn)到3、C兩地，現(xiàn)測(cè)得NA4c為100°,3地位于A地的北偏東50°方向，則C地

位于A地的（）

南

A.北偏西50°方向B.北偏西30°方向

C.南偏東50°方向D.南偏東30°方向

【題型15角平分線】

【典例151（2023春?東阿縣期末）如圖，OALOB,ZBOC=5Q°,平分NAOC,則N30D

的度數(shù)是（）

【變式15-1]（2022秋?防城港期末）如圖，點(diǎn)0在直線AB上,射線。C平分N30D,若N

30c=34°,則NAOD等于（）

D

C

AOB

A.34°B.68°C.144°D.112°

【變式15-2】（2023春?淇濱區(qū)月考）如圖所示，直線A3、CD,交于點(diǎn)射線0M平分/

AOC.若NAOM=36°,則N30C等于（）

C

【變式15-2】（2023?鄲城縣一模）如圖，點(diǎn)。為直線A3上一點(diǎn)，OE平分NBOC,平分

ZAOC,若N3OE=28°,則NA。。的度數(shù)為（）

A.58°B.60°C.62°D.70°

【題型16角的運(yùn)算】

【典例16]（2022秋?洪山區(qū)期末）如圖，已知NAO3=120°,0c是NA03內(nèi)的一條射線,

且NAOC：ZBOC=1：2.

（1）求NAOC的度數(shù)；

（2）過(guò)點(diǎn)。作射線?！?gt;,若NA0D=1NA03,求NC。。的度數(shù).

【變式16-1]（2022秋?市北區(qū)校級(jí)期末）已知如圖，ZAOB：ZBOC=3：2,OD是NBOC

的平分線，OE是NAOC的平分線，且乙BOE=12°,求NDOE的度數(shù).

DB

A

【變式16-2】(2023春?綏化期末)如圖，已知在同一平面內(nèi)NAO3=90°,ZAOC=60°.

(1)填空：ZBOC=；

(2)如果0。平分N30C,OE平分NAOC,求NDOE的度數(shù)；

(3)如果在(2)的條件下將NAOC=60°改為NAOC=2a(a<45°),其他條件不變,

【變式16-3](2022秋?嘉峪關(guān)校級(jí)期末)如圖，點(diǎn)A、。、E在同一直線上，ZAOB=40°,

ZEOD=28°,0。平分NCOE,求NCOB的度數(shù).

【題型17角的大小比較】

【典例17](2022秋?臨海市期末)若/觀=10.5°,Zp=10°10',則NaZp.(填“

或“=

【變式17-1](2023春?渭濱區(qū)期中)如圖，NA03和NC。。都是直角，則N1Z2(填

>,=,<).

A

B

\ll/

OD

【變式17-2】（2023春?萊西市期中）如圖所示，由正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C,D,O

是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么NA03與NC。。的大小關(guān)系是NA03NCOD（填“V”

或“=”）

【變式17-3］（2022秋?江北區(qū)期末）分別記以下三個(gè)時(shí)刻3：30,6：40,9：00時(shí)針和分針

所成角的大小為a,（3,Y，請(qǐng)比較a,仇Y的大小.（用號(hào)連結(jié)）

【題型18多邊形】

【典例18］（2022秋?高碑店市期末）下列是