2025新高考數(shù)學(xué)改革下新型題目結(jié)構(gòu)：新定義解答題綜合強(qiáng)化訓(xùn)練（學(xué)生版）

2025新高考改革下新型題目結(jié)構(gòu):新定義解答題綜合訓(xùn)練

目錄

題型一函數(shù)及導(dǎo)數(shù)新定義綜合.............................................................1

題型二數(shù)列新定義綜合...................................................................14

題型三集合新定義綜合..................................................................24

題型四平面向量新定義綜合..............................................................37

題型五立體幾何新定義綜合..............................................................48

題型六解析幾何新定義綜合..............................................................52

考情探究

2025新高考改革:新定義解答題強(qiáng)化訓(xùn)練與思維提升

(1)新定義引入：2025年高考數(shù)學(xué)引入新定義，提供更嚴(yán)謹(jǐn)全面的數(shù)學(xué)語言，要求學(xué)生理解函數(shù)背后的邏

輯和應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)習(xí)深度和廣度。

(2)融化思堆訓(xùn)練：新高考注重思維品質(zhì)和思維能力的考察，通過新定義解答題，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維和

綜合能力，減少死記硬背。

(3)試題形式創(chuàng)新:增加試題的開放性、探索性和創(chuàng)新性，優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)，豐富呈現(xiàn)方式，引導(dǎo)學(xué)生提升思

維品質(zhì)和創(chuàng)新能力。

(4)綜合訓(xùn)練提升:通過綜合訓(xùn)練，幫助學(xué)生熟練掌握新定義,并靈活運(yùn)用解決實(shí)際問題,提升跨學(xué)科思

維能力和綜合素質(zhì)。

(5)此次改革旨在培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力，以適應(yīng)未來學(xué)術(shù)和職業(yè)生涯的需求

試題特別突出對學(xué)生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考

和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。

面對新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個(gè)解答題，新定義版塊作為一個(gè)重要的考查領(lǐng)域，通常在第19題這樣的壓軸

大題中，分值為17分，將考查學(xué)生的解題能力和思維深度,是高考數(shù)學(xué)的分水嶺，難度極大。

本文緊密圍繞新高考新結(jié)構(gòu)試卷的核心特征，深入剖析了新定義解答題的命題規(guī)律與解題技巧。通過

結(jié)合具體、生動的新定義解答題實(shí)例，本文旨在為廣大師生提供一份全面、詳盡的新定義解答題綜合訓(xùn)

練指南。這份指南不僅涵蓋了新定義解答題的基本概念與解題步驟，還深入探討了如何運(yùn)用這些技巧

在新高考中取得優(yōu)異成績的策略。???

題型一函數(shù)及導(dǎo)致新定義綜合

1.(2024.廣西.二模)已知函數(shù)/Q)=lnz,若存在g(c)&/Q)恒成立，則稱g(c)是/㈤的一個(gè)“下界函

數(shù)”.

(1)如果函數(shù)g(rr)=上—Inrc為了(為的一個(gè)“下界函數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

X

(2)設(shè)函數(shù)F(z)=/(力),試問函數(shù)斤(乃是否存在零點(diǎn)？若存在，求出零點(diǎn)個(gè)數(shù);若不存在，

請說明理由.

2.(2024?湖南?二模)羅爾定理是高等代數(shù)中微積分的三大定理之一，它與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān),是由法

國數(shù)學(xué)家米歇爾?羅爾于1691年提出的.它的表達(dá)如下:如果函數(shù)/(⑼滿足在閉區(qū)間［a,b］連續(xù),在開區(qū)

間(Q,b)內(nèi)可導(dǎo)，且/(a)=/(b),那么在區(qū)間(Q,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得/〈恒)=0.

(1)運(yùn)用羅爾定理證明:若函數(shù)/Q)在區(qū)間［a,6］連續(xù),在區(qū)間(a,6)上可導(dǎo)，則存在gG(a,b),使得廣

(切-b-a.

(2)已知函數(shù)/(力)=xlnx,g(x)=-^-x2—bx+1,若對于區(qū)間(1,2)內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)力i,力2,都有

1/(^1)—/(^2)1>歷(力1)—g(e2)1成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

(3)證明：當(dāng)p>l,n>2時(shí)，有」-~1――——三二

npP-1L(n-l)p-xnP-1J

???

3.（23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí)）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定

函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)小，打，函數(shù)〃為在C=0處的［m,n］階帕德近似定義為：RQ）=

獨(dú)此竺士二墳Q,且滿足：/(0)=砥0),廣(0)=R(0),/"(0)=R"(0),……，/m+")(0)=Rg+n)(0),

n

l+brX-\---\~bnx

注:廣⑺=注㈤]'，1r㈤=Lf"3)r，*3)=LTQ)]'，/⑸⑺=[/⑷(切'，……

已知函數(shù)/(6)=ln(ic+l).

（1）求函數(shù)/（t）=111（宓+1）在2=0處的［1,1］階帕德近似RQ）,并求lnl.1的近似數(shù)（精確到0.001）；

⑵在（1）的條件下:

①求證：占

<1;

②若/（力）一+（力）＜1—COS/恒成立，求實(shí)數(shù)772的取值范圍.

???

4.(2024.河北滄州.一模)對于函數(shù)0=/3),/e/,若存在/,使得/(3)=如則稱應(yīng)為函數(shù)/(⑼的一

階不動點(diǎn)；若存在ge/,使得/(/(0))=如，則稱g為函數(shù)“⑼的二階不動點(diǎn)；依此類推，可以定義函

數(shù)了(①)的"階不動點(diǎn).其中一階不動點(diǎn)簡稱為“不動點(diǎn)”，二階不動點(diǎn)簡稱為“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)/(⑼的“不

動點(diǎn)"和“穩(wěn)定點(diǎn)”構(gòu)成的集合分別記為A和8,即/={“/3)=2},8={力卜(/(2：))=2}.

⑴若/(為=ee(±>0),證明:集合人={巾3)=必}中有且僅有一個(gè)元素；

(2)若/(c)=(a+l)rr—2+旦竽(a>—1),討論集合B的子集的個(gè)數(shù).

xe2

5.(2024-山東聊城.二模)對于函數(shù)/(⑼，若存在實(shí)數(shù)3,使/(g)/(g+#=1,其中4#0,則稱/(⑼為“可移

A倒數(shù)函數(shù)”,x0為“于(x)的可移4倒數(shù)點(diǎn)”.已知g{x)=e\h(x)=c+a(a>0).

(1)設(shè)4⑼=。(⑼3儂),若方為“%Q)的可移—2倒數(shù)點(diǎn)”，求函數(shù)卬3)的單調(diào)區(qū)間；

'g(rr),x>0

(2)設(shè)03)=i-c，若函數(shù)s(c)恰有3個(gè)“可移1倒數(shù)點(diǎn)”，求a的取值范圍.

［聽c<°

???

6.（2024?浙江寧波?二模）定義:對于定義在區(qū)間［a,b］上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)cC（a,b）,使得函數(shù)在區(qū)間

［a,c］上單調(diào)遞增（遞減）,在區(qū)間［c,b］上單調(diào)遞減（遞增），則稱這個(gè)函數(shù)為單峰函數(shù)且稱c為最優(yōu)點(diǎn).已

知定義在區(qū)間［a,b］上的函數(shù)/（乃是以c為最優(yōu)點(diǎn)的單峰函數(shù)，在區(qū)間（a,b）上選取關(guān)于區(qū)間的中心

號對稱的兩個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)如芯，稱使得1/（^.）-/（c）|（i=l,2）較小的試驗(yàn)點(diǎn)Xi為好點(diǎn)（若相同，就任選其

一），另一個(gè)稱為差點(diǎn).容易發(fā)現(xiàn),最優(yōu)點(diǎn)c與好點(diǎn)在差點(diǎn)的同一側(cè).我們以差點(diǎn)為分界點(diǎn),把區(qū)間［a,切分

成兩部分，并稱好點(diǎn)所在的部分為存優(yōu)區(qū)間，設(shè)存優(yōu)區(qū)間為［出,仇］，再對區(qū)間［出,法］重復(fù)以上操作，可以

找到新的存優(yōu)區(qū)間92也］，同理可依次找到存優(yōu)區(qū)間-，3，匕4&］,…，滿足［a,b］2［的,仇］N［aM2

［a3,b3］N必4也］二…，可使存優(yōu)區(qū)間長度逐步減小.為了方便找到最優(yōu)點(diǎn)（或者接近最優(yōu)點(diǎn)），從第二次操

作起，將前一次操作中的好點(diǎn)作為本次操作的一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，若每次操作后得到的存優(yōu)區(qū)間長度與操作前

區(qū)間的長度的比值為同一個(gè)常數(shù)。，則稱這樣的操作是“優(yōu)美的”,得到的每一個(gè)存優(yōu)區(qū)間都稱為優(yōu)美存

優(yōu)區(qū)間，。稱為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間常數(shù).對區(qū)間［a也進(jìn)行4次“優(yōu)美的”操作，最后得到優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間

，圖］，令.=與二&，我們可任取區(qū)間［%,bn］內(nèi)的一個(gè)實(shí)數(shù)作為最優(yōu)點(diǎn)c的近似值，稱之為/（功在區(qū)

間［a,切上精度為en的“合規(guī)近似值”，記作已知函數(shù)/⑺=Q+l）cosx-l,xC,函

數(shù)g（2）=sinrc—ln（l+7T—G［告，兀］.

（1）求證:函數(shù)/Q）是單峰函數(shù)；

（2）已知c為函數(shù)/（①）的最優(yōu)點(diǎn)，d為函數(shù)g（c）的最優(yōu)點(diǎn).

（i）求證：c+d＜兀；

5）求證：%（9,，兀］）一%（6［°，5］）＞d_C_荒.

注：，~1.414,73?1.732.V5?2.236,V7?2.646.

???

7.(2024?廣西?二模)設(shè)ceR,用［句表示不超過土的最大整數(shù)，則"=［①］稱為取整函數(shù)，取整函數(shù)是德國

數(shù)學(xué)家高斯最先使用，也稱高斯函數(shù).該函數(shù)具有以下性質(zhì)：

①沙二［句的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閆;

②任意實(shí)數(shù)都能表示成整數(shù)部分和純小數(shù)部分之和，即①=［句+{/}(0W{C}<1),其中［句為①的整數(shù)

部分，{4}=①一［句為①的小數(shù)部分；

(3)［n+x］=n+［a;］(nGZ)；

④若整數(shù)a,b滿足a=bq+r(b>0,q,rCZ,0令Vb)，則［y］=q.

⑴解方程［平］二號Z；

(2)已知實(shí)數(shù)r滿足［T+瑞■］+卜+樣"+卜+君+…+卜+齡■］=546,求［100r］的值；

(3)證明：對于任意的大于等于3的正整數(shù)n,均有［坐士?］>［若1］.

［4Tl—2JI4J

???

8.(2024?湖北?模擬預(yù)測)歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)4為正整數(shù)，集合X.=｛1,2,…，九―1｝,歐

拉函數(shù)？仇)的值等于集合X"中與"互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)；記M(x,y)表示*除以"的余數(shù)｛x和y均為

正整數(shù))，

(1)求？(6)和以15)；

⑵現(xiàn)有三個(gè)素?cái)?shù)p，q,e(p<Q<e),n=pq,存在正整數(shù)d滿足Al(de,0(n))=1；已知對素?cái)?shù)a和；cC

X”均有M(xQ-1,a)=L證明:若a;CX”,則x=M([M(xe,n)]d,n)；

(3)設(shè)n為兩個(gè)未知素?cái)?shù)的乘積，由，e2為另兩個(gè)更大的已知素?cái)?shù)，且2e1=3e2+1;又q=M[^,n),c2

=M(xet,n),xEX",試用Ci，C2和n求出x的值.

9.(2024.河北石家莊.二模)設(shè)集合河是一個(gè)非空數(shù)集,對任意x,yGM,定義p(x,y)=口—引，稱p為集合

M的一個(gè)度量，稱集合雙為一個(gè)對于度量P而言的度量空間，該度量空間記為(M,p).

定義1：若f河是度量空間(M,p)上的一個(gè)函數(shù),且存在aE(0,1)，使得對任意⑨4CM,均有：p

(/(⑼，AS)WapQ,y),則稱/是度量空間(河,p)上的一個(gè)“壓縮函數(shù)”.

定義2：記無窮數(shù)列a0,如42,…為｛冊｝著°,若｛垢｝著。是度量空間(河,p)上的數(shù)歹U，且對任意正實(shí)數(shù)￡>

0，都存在一個(gè)正整數(shù)N,使得對任意正整數(shù)項(xiàng),九〉N,均有p(a3<￡,則稱｛a/著,是度量空間(M,

p)上的一個(gè)“基本數(shù)列”.

(1)設(shè)/(⑼=sin①+9，證明：/是度量空間([]，2],p)上的一個(gè)“壓縮函數(shù)”；

⑵已知fRtR是度量空間(R,p)上的一個(gè)壓縮函數(shù),且劭CA,定義a?+1=/(a?),n=0,1,2,…,證明:

｛冊｝著為度量空間(凡p)上的一個(gè)“基本數(shù)列”.

???

10.（22-23高二上?上海普陀?階段練習(xí)）給出下列兩個(gè)定義：

，對于函數(shù)定義域?yàn)椤＃移湓?。上是可?dǎo)的，若其導(dǎo)函數(shù)定義域也為。，則稱該函數(shù)是“同定

義函數(shù)”.

〃.對于一個(gè)“同定義函數(shù)=/（乃，若有以下性質(zhì)：

①尸（力）=。（/（乃）；②/（，）=〃/'（⑦）），其中。=。（，）,9=人（必）為兩個(gè)新的函數(shù)，沙=/'（⑦）是。=/（為

的導(dǎo)函數(shù).

我們將具有其中一個(gè)性質(zhì)的函數(shù)沙=八為稱之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個(gè)性質(zhì)都具有的函數(shù)沙=/（①）稱

之為“雙向?qū)Ш瘮?shù)"，將夕=9（0稱之為“自導(dǎo)函數(shù)”.

⑴判斷函數(shù)4=tame和夕=lmc是“單向?qū)Ш瘮?shù)"，或者''雙向?qū)Ш瘮?shù)”，說明理由.如果具有性質(zhì)①，則寫

出其對應(yīng)的“自導(dǎo)函數(shù)”；

（2）已知命題p:y=f（x）是“雙向?qū)Ш瘮?shù)”且其“自導(dǎo)函數(shù)”為常值函數(shù),命題q:f（x）=k-a\kER,a>0,

a￥1）.判斷命題p是q的什么條件，證明你的結(jié)論；

（3）已知函數(shù)/Q）=（xa—b）ex.

①若/（①）的“自導(dǎo)函數(shù)”是"=以試求a的取值范圍；

②若a=b=1,且定義[Q）=ex/（rr）—/+A;田，若對任意k€[l,2],a;G[0,A;]，不等式/（rr）&c恒成

0

立，求C的取值范圍.

???

題型二數(shù)列新定義綜合

1.（2024?廣東梅州?二模）已知｛冊｝是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前八項(xiàng)的最大值記為跖，即跖=

max｛ai,a2,…,冊｝；前九項(xiàng)的最小值記為mn,即7Tmin｛ai,a2,…,冊｝,令p“=峪—雙加=1,2,3,―）,

并將數(shù)列｛為｝稱為｛冊｝的“生成數(shù)列”.

⑴若冊=3",求其生成數(shù)列｛p?｝的前幾項(xiàng)和；

（2）設(shè)數(shù)列｛“J的“生成數(shù)歹『'為｛M｝,求證：p“=q”；

（3）若｛pj是等差數(shù)列，證明:存在正整數(shù)叫,當(dāng)n>為時(shí)，冊，a.，%+2,…是等差數(shù)列.

2.（2024?安徽池州?模擬預(yù)測）定義:若對V%C乂#>2,耿-1+隊(duì)+142以恒成立,則稱數(shù)列｛廝｝為“上凸數(shù)

歹廣.

（1）若冊=石』，判斷｛冊｝是否為“上凸數(shù)列”，如果是，給出證明;如果不是,請說明理由.

（2）若｛a?｝為"上凸數(shù)列"，則當(dāng)m>71+2（m,nGN*）時(shí)，%+%W0mT+an+1.

（i）若數(shù)列S”為｛aj的前ri項(xiàng)和,證明：S”>葭4+冊）；

._____

（ii）對于任意正整數(shù)序列力1,力2,如…，孫…,一（九為常數(shù)且九>2,九GN*）,若媛一1》

i=l

1恒成立，求才的最小值.

???

3.(2024.北京東城?一模)有窮數(shù)列①,。2,…，>2)中，令S(p,q)=CLpCLp+i+,,?

+Qq(l<p<q<?2,p,qeN*),當(dāng)p=q時(shí)，規(guī)定S(p,q)=ap.

(1)已知數(shù)列—3,2,—1,3,寫出所有的有序數(shù)對(p,q),且pVq,使得S(p,q)>0；

(2)已知整數(shù)列ag…,時(shí),"為偶數(shù)，若S(i,九—i+D(i=l,2,…號)，滿足:當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，

S(i,n—i+1)>0；當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)，S(i,n—i+1)V0.求|QJ+|a2|4---F|an|的最小值；

(3)已知數(shù)列a1;a2,…，a”滿足S(1,TI)>0,定義集合人={i|s(i+l,n)>0,i=l,2,…,n—1}.若人=

伍上,…,i/J(keN*)且為非空集合，求證：S(l,n)>ait+ai2-\---

4.(2024.遼寧大連.一模)對于數(shù)列4即&2?3@6乂1=1,2,3),定義“7變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列8：

瓦也也，其中“=匕+1—應(yīng)。=1,2),且/=血一電|.這種“T變換”記作8=T(4),繼續(xù)對數(shù)列8進(jìn)行

“T變換”，得到數(shù)列C：C1,C2,C3,依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為。時(shí)變換結(jié)束.

(1)寫出數(shù)列A：3,6,5經(jīng)過5次“T變換”后得到的數(shù)列：

(2)若ai,a2,a3不全相等，判斷數(shù)列A：ai,a2,a3不斷的“T變換”是否會結(jié)束，并說明理由；

(3)設(shè)數(shù)列42020,2,2024經(jīng)過R次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值.

???

5.（2024?遼寧?三模）若實(shí)數(shù)列｛an｝滿足VnCN*,有％+冊+2>2冊+1，稱數(shù)列｛冊｝為“T數(shù)列”.

⑴判斷飆==是否為“T數(shù)列”，并說明理由；

（2）若數(shù)列｛④｝為“T數(shù)列”，證明：對于任意正整數(shù)及巾，出且kVmV",都有馬）純子

n—mm—k

2024

（3）已知數(shù)列｛冊｝為“T數(shù)列”，且〉2氏=。?令M=max｛|Qi|」Q2024]｝,其中max｛a,b｝表示a,b中的較大

i=i

者.證明：Vke｛1,2,3,--,2024｝,都有—券|河《念《河.

6.（2024?廣東深圳?二模）無窮數(shù)列m，…，M，…的定義如下:如果n是偶數(shù)，就對n盡可能多次地除以

2,直到得出一個(gè)奇數(shù),這個(gè)奇數(shù)就是狐；如果"是奇數(shù)，就對3%+1盡可能多次地除以2,直到得出一

個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是冊.

（1）寫出這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)；

⑵如果冊=771且a根=求？71,71的值；

（3）記a?=f（n）,nEN*,求一個(gè)正整數(shù)n,滿足</（/（n））VY/（/（…/⑺…

2024個(gè)/

???

7.（2024.遼寧.二模）如果數(shù)列｛琢｝，｛%｝，其中為6Z,對任意正整數(shù)"都有|4—點(diǎn)，則稱數(shù)列｛久｝為

數(shù)列｛g｝的“接近數(shù)列”.已知數(shù)列｛0｝為數(shù)列｛冊｝的“接近數(shù)列”.

⑴若冊=2n+日（71CN*）,求bl,b2,b3的值；

（2）若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列,且公差為d（dGZ），求證:數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列；

（3）若數(shù)列｛“｝滿足電=得，且an+1=-^-an+條,記數(shù)列｛冊｝、值｝的前幾項(xiàng)和分別為Sn,Tn,試判

-LUUJ.UNU

斷是否存在正整數(shù)打，使得S.VT；?若存在，請求出正整數(shù)八的最小值;若不存在,請說明理由.（參考

數(shù)據(jù)：log_2_詈-16.7）

8.（2023?山西?模擬預(yù)測）對于數(shù)列｛飆｝,若存在M>0,使得對任意4GN*,總有匯加+i—<7，則稱

k=l

｛冊｝為“有界變差數(shù)列”.

（1）若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛冊｝為有界變差數(shù)列,求其公比q的取值范圍；

（2）若數(shù)歹U｛bj滿足勾+1+十=2,且優(yōu)=2,證明：｛0｝是有界變差數(shù)列；

（3）若｛為｝,｛勿｝均為有界變差數(shù)歹U,且為>%>0,證明：（叁4是有界變差數(shù)列.

??

9.(2024?江西上饒二模)對于數(shù)列入:的42,03a6乂1=1,2,3),定義“9變換”：尸將數(shù)列入變換成數(shù)列口:

仇也也，其中仇=|&-a/(i=l,2),且63=展一向|.這種“尸變換”記作8=F(⑷，繼續(xù)對數(shù)列8進(jìn)行

“尸變換”，得到數(shù)列C：C1,C2,C3,依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束.

(1)寫出數(shù)列A2,5,3,經(jīng)過6次“F變換”后得到的數(shù)列；

⑵若aiQO不全相等，判斷數(shù)列入：的42?3經(jīng)過不斷的變換”是否會結(jié)束，并說明理由；

(3)設(shè)數(shù)列4185,3,188經(jīng)過％次“F變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求看的最小值.

10.(2024.河北石家莊.二模)設(shè)集合M是一個(gè)非空數(shù)集,對任意x,yG河,定義p(x,y)=上—引，稱p為集合

M的一個(gè)度量,稱集合M為一個(gè)對于度量P而言的度量空間，該度量空間記為(M,p).

定義1：若九M-M是度量空間(河,p)上的一個(gè)函數(shù)，且存在aC(0,1),使得對任意力,4C河,均有：p

(/(⑼，/(4))&&。3，夕)，則稱/是度量空間(河，。)上的一個(gè)“壓縮函數(shù)”.

定義2：記無窮數(shù)列a0,ai,a2,…為｛飆｝獸。，若｛冊｝獸。是度量空間(M,p)上的數(shù)列，且對任意正實(shí)數(shù)￡>

0，都存在一個(gè)正整數(shù)N,使得對任意正整數(shù)小,九>N,均有。(為“冊)<￡,則稱｛冊上二是度量空間(M,

p)上的一個(gè)“基本數(shù)列”.

(1)設(shè)/(工)=尤1!力+9,證明：/是度量空間上的一個(gè)“壓縮函數(shù)”；

(2)已知九R~R是度量空間(_R,p)上的一個(gè)壓縮函數(shù)，且劭W兒定義M+i=/(an),九=0,1,2,…，證明:

｛冊｝著為度量空間(Rp)上的一個(gè)“基本數(shù)列”.

??

題型三集合新定義綜合

1.（24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知集合皿?=｛a；eN*|cW2n｝5CN*,n>4）,若存在數(shù)陣7=

"J'"滿足:①｛如02,…,冊｝U｛仇也,…也｝=Mn；②瓢一1）卜=k（k=1,2,???,n）；則稱跖為“好

-仇,匕2,,,,,匕九-

集合”，并稱數(shù)陣T為塢的一個(gè)“好數(shù)陣”.

（1）已知數(shù)陣T=15儀切］是昭的一個(gè)好數(shù)陣，試寫出小小z,w的值；

.7,3,2,2.

（2）若集合Mn為“好集合”，證明:集合“的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個(gè)；

（3）判斷M是否為“好集合”.若是,求出滿足條件"6｛出42,…,飆｝的所有“好數(shù)陣”;若不是，說明理

由.

2.（2024?廣東?模擬預(yù)測）已知集合y1中含有三個(gè)元素多,4,2,同時(shí)滿足①①<沙<z；②a;+v>z；③c+夕

+z為偶數(shù),那么稱集合A具有性質(zhì)P.已知集合Sn=｛1,2,3,???,2n｝（nCN*,n>4）,對于集合Sn的非空

子集8,若S”中存在三個(gè)互不相同的元素a,b,c,使得a++c,c+a均屬于B,則稱集合B是集合S”

的“期待子集”.

（1）試判斷集合A=｛1,2,3,579｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

（2）若集合B=｛3,4,a｝具有性質(zhì)P,證明:集合8是集合S」的“期待子集”；

（3）證明:集合"具有性質(zhì)P的充要條件是集合"是集合S”的“期待子集”.

???

3.(2024.北京延慶.一模)已知數(shù)列{%},記集合T={S(iJ)|s(ij)=劣+a.+…+a”&i</,i,j6N*).

(1)若數(shù)歹U{%}為1,2,3,寫出集合T；

⑵若冊=2n,是否存在i,7CN*,使得S(i#)=512?若存在，求出一組符合條件的i,/；若不存在,說明理

由；

(3)若冊=n,把集合T中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為仇也,若黑42024,求7n的最

大值.

4.(2024.湖南邵陽.二模)給定整數(shù)n>3,由九元實(shí)數(shù)集合P定義其隨影數(shù)集@={|/—"leyeR/Wy}.

若min(Q)=1,則稱集合P為一個(gè)n元理想數(shù)集,并定義P的理數(shù)t為其中所有元素的絕對值之和.

(1)分別判斷集合S={—2,—1,2,3},T={-0.3,-1.2.2.1,2.5)是不是理想數(shù)集；(結(jié)論不要求說明理由)

⑵任取一個(gè)5元理想數(shù)集P,求證：|min(F)|+|max(P)|>4；

⑶當(dāng)P={現(xiàn)電，…,x202i}取遍所有2024元理想數(shù)集時(shí),求理數(shù)t的最小值.

注：由ri個(gè)實(shí)數(shù)組成的集合叫做?1元實(shí)數(shù)集合，max(P),min(P)分別表示數(shù)集P中的最大數(shù)與最小數(shù).

5.（2024.北京.模擬預(yù)測）已知集合人={1,2,3,…，"}，其中n€N*,AX,A2,…，4n都是人的子集且互不相

同，記皿=4的元素個(gè)數(shù)，%=（AA4）的元素個(gè)數(shù)（iJG{i,2,

⑴若九=4,4={1,2},4={1,3},縱3=購=1,直接寫出所有滿足條件的集合4；

（2）若九=5,且對任意1WiV，Wm,都有N戶。，求m的最大值；

（3）若%＞7，MW3（i=l,2,…,m）且對任意1Wi＜，Wm,都有%=L求m的最大值.

6.（24-25高三上?河北滄州?階段練習(xí)）已知有限集A={的“2?3「一,冊}（九＞2）,若人中的元素

a4i=l,2,…,8）滿足CZQ…%=S+a2H-kM，則稱A為“門兀重生集”.

（1）集合{0，是否為“2元重生集”，請說明理由;

乙乙）

（2）是否存在集合中元素均為正整數(shù)的“3元重生集”？如果有，請求出有幾個(gè)，如果沒有,請說明理由；

（3）若OiCN*,證明：“n元重生集”A有且只有一個(gè)，且n=3.

7.（23-24高三上?北京昌平?期末）已知Q:QS2,…，耿為有窮正整數(shù)數(shù)歹!J，且的&。2&…C&，集合X=

{-1,0,1}.若存在①2弋X,i=l,2,…#，使得gai+ga2H-^^=力，則稱力為k一可表數(shù)，稱集合7=

{tIt=x1a1+x2a2-\--卜力能丁為eX,i=l,2,…，k}為k—可表集.

（1）若k=10s=2i,i=l,2,…#，判定31,1024是否為卜一可表數(shù)，并說明理由；

⑵若{1,2,…,n}GT,證明鱉廣;

（3）設(shè)a2=3'T,i=1,2,…，k,若{1,2,…,2024}GT,求k的最小值.

8.（23-24高三下?北京?階段練習(xí)）設(shè)A是正整數(shù)集的一個(gè)非空子集,如果對于任意比C4,都有t—1eA

或力+ieA,則稱A為自鄰集.記集合An={l,2,?,"}S>2,neN）的所有子集中的自鄰集的個(gè)數(shù)為

Q九.

（1）直接寫出4的所有自鄰集；

（2）若n為偶數(shù)且71>6,求證：人”的所有含5個(gè)元素的子集中，自鄰集的個(gè)數(shù)是偶數(shù)；

（3）若>4,求證：冊W2冊

???

9.（24-25高三上?四川瀘州?階段練習(xí)）已知正整數(shù)集合S0={X|X=（*i，力2,…，型），{O,l},i

=1,2,-??,n}.對于Sh中的元素A=（°i，02,…，QJ，8=（仇，慶，…也），定義入出二口也+的與+…

+a7bl.令7；={xesMx?x=3}.

（1）直接寫出16的兩個(gè)元素及或的元素個(gè)數(shù)；

（2）已知4,4,…，4ne或，滿足對任意i<i都有44=1，求館的最大值；

（3）證明:對任意4,4,…，4+ieTn，總存在+使得Ai,Aj=1.

10.（2024?北京豐臺?一模）已知集合={cGN*,W2n}（nCN,n>4）,若存在數(shù)陣T=

Q1…冊］滿

02/灑足：

①{Q1Q，…，為}U{仇也，…也}=跖；

②（1卜—1）卜=k（k=L2,…,n）.

則稱集合“為“好集合”，并稱數(shù)陣T為跖的一個(gè)“好數(shù)陣”.

⑴已知數(shù)陣T=［VZ］是此的一個(gè)“好數(shù)陣”，試寫出以y,z,w的值；

_7w12.

（2）若集合Mn為“好集合”，證明：集合跖的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個(gè)；

⑶判斷監(jiān)⑺=5,6）是否為“好集合”.若是,求出滿足條件nC{SQ,…,詼}的所有“好數(shù)陣”;若不

是，說明理由.

??

題型四平面向量新定義綜合

1.（21-22高一下?北京豐臺?期末）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對任意兩個(gè)向量方=（如協(xié)），n

=（g,紡），作曲=歸，而=日.當(dāng)慶，行不共線時(shí)，記以O(shè)Af,ON為鄰邊的平行四邊形的面積為

S（m,n）=限以一電加；當(dāng)沆,一共線時(shí)，規(guī)定S（流日）=0.

（1）分別根據(jù)下列已知條件求S（左⑹：

①后=（2,1）,日=（-1,2）；②后=（1,2）,n=（2,4）；

（2）若向量/=4晶+〃日（4〃6凡#+//2￥0），求證:S依詞+S（p,n）=（|/l|+|//|）S（m,n）；

（3）若48,。是以。為圓心的單位圓上不同的點(diǎn)，記方=4,OB=b,OC=c.

⑴當(dāng)日時(shí)，求S0㈤+S0E）的最大值；

（ii）寫出S（a,b）+S（6,c）+S（c,a）的最大值.（只需寫出結(jié)果）

???

2.(21-22高一下?山東日照?期末)已知在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量而=(a,b)的

"相伴函數(shù)"為y=asinrc+bcosx(xGR),向量OM=(a,b)稱為函數(shù)0=asinrc+bcosx(xGR)的“相伴

向量”;記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S

(1)已知aER,h(x)=cos(a;+a)+2cos若函數(shù)%(rr)為集合S中的元素，求其“相伴向量”的模的取值

范圍；

(2)已知點(diǎn)M(a,b)滿足條件：a=3,0<bWA/^,若向量OM的"相伴函數(shù)""=g(x)在①=g處取得最

大值，當(dāng)b在區(qū)間(0,四］變化時(shí)，求tan2&的取值范圍；

(3)當(dāng)向量而=(四,1)時(shí)，“相伴函數(shù)”為了(⑼,若cG［0,皆］,方程產(chǎn)(⑼+(2—a)f(x)+a—3=0存

在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

??

ai飛、

3.(2024.全國.模擬預(yù)測)設(shè)有八維向量4=:b==，稱[a,b]=Q/i+a262T--FQ也為向量4和1的

1Q九)Ibn)

內(nèi)積，當(dāng)位同=0,稱向量4和1正交.設(shè)S九為全體由一1和1構(gòu)成的71元數(shù)組對應(yīng)的向量的集合.

rn

9

(1)若4=，寫出一個(gè)向量|使得［a,b］=0.

3

、4,

⑵令B={［落艮Jes”}.若me_8,證明：m+n為偶數(shù).

⑶若n=4,/(4)是從S,中選出向量的個(gè)數(shù)的最大值,且選出的向量均滿足［4,同=0,猜測/⑷的值,

并給出一個(gè)實(shí)例.

??

4.（23—24高一下?福建福州?期中）對于向量集｛尻蒞，…總｝（7iCN且n>3）,記向量Sn=房+扇+…，晨】

+an.如果存在向量裁pC｛1,2,3,…,n｝），使得硝>同―編，那么稱乙，是向量集｛貳W，…,誦的“長

向量”.

⑴設(shè)向量％=⑺逃+27i）,"CN*.若扇是向量集｛貳豆，扇｝的“長向量”，求實(shí)數(shù)工的取值范圍；

（2）設(shè)向量4=（sin等,cos等），"CN*,則向量集｛房，六…，匚｝是否存在“長向量”？給出你的結(jié)論并

說明理由；

（3）已知石，豆,區(qū)均是向量集｛房芯,易｝的“長向量"，其中尻=（sinrr,cosrr）,a2=（2cosc,2simr）.設(shè)在平

面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)集｛B4,…,2｝,其中至=6,證=五，且P2k+1與為人關(guān)于點(diǎn)Pi對稱，Et+2

與P2k+1關(guān)于點(diǎn)￡對稱（ReN*）,求|豆藐藍(lán)|的最小值.

???

5.（23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí)）我們知道,在平面內(nèi)取定單位正交基底建立坐標(biāo)系后,任意一個(gè)平

面向量，都可以用二元有序?qū)崝?shù)對（出42）表示.平面向量又稱為二維向量.一般地，八元有序?qū)崝?shù)組

（如,a”…,心）稱為八維向量，它是二維向量的推廣.類似二維向量，對于打維向量,也可定義兩個(gè)向量的

數(shù)量積、向量的長度（模）等：設(shè)立=（a1）a2,,b=（仇也,…也），則4?X=（?Q,…?

（仇也，…也）=aibi+a2b2H|-anfen；|a|=---F成.已知向量日=（a1）a2,-??,0?）滿足冊=日，向

量擊=（必也,…也）滿足⑥=2".

⑴求日了的值；

Qn+12>22eJ2Z

⑵若A=（C?2,…,品），其中cn=In，當(dāng)?且?N*時(shí)，證明：同>五?

6.（22—23高一下?北京?階段練習(xí)）對于向量X°=（劭也,/）,若a。，加，&三數(shù)互不相等，令向量Xm=

（應(yīng)+i也+i,q+i），其中aM=\ai~b\,bi+1=,ci+1=l^-aj,i=0,l,2,3,?-?.

⑴當(dāng)Xo=（5,2,1）時(shí)，試寫出向量Xi。。；

（2）證明:對于任意的iCM向量不中的三個(gè)數(shù)a”如q至多有一個(gè)為0；

⑶若aoMgCN,證明：存在正整數(shù)3使得Xt=X‘+3.

???

7.（22-23高一下?北京東城?期末）對于三維向量ak=（即外，%）（秋,以，為€N,k=0,l,2,…）,定義"尸變

換“：&+1=R（Q。，其中，曲+1=\xk~yk\yVk+l=\Vk-zk\yzk+l=\Zk~Xk\?記｛ak）=xkVkzk9llafcll~xk~^~Vk

+〃?

⑴若由=（3,1⑵，求〈正）及底11；

（2）證明:對于任意房，經(jīng)過若干次尸變換后,必存在KGN*,使〈品）=0；

（3）已知房=（p,2,q）（q>p）,|腐||=2024,將￡再經(jīng)過7n次F變換后，|扁||最小，求館的最小值.

8.(23—24高三下?湖南常德?階段練習(xí))對于給定的正整數(shù)n,記集合R"=

{灑4=(如/2,g,???,4),叼￡凡/=1,2,3,…,n},其中元素4稱為一個(gè)八維向量.特別地，6=(0,0,—,0)稱

為零向量.設(shè)kGR,a—(Q1Q,…g)eRn，辰=(4也,…也)GA",定義加法和數(shù)乘：ka=

(kai，ka2,…,kaQ,4+6=(a1+b1,a2+b2,,,,,an+6n).對一組向量尻,a2,,Zs(sGN+，s＞2)，若存在一組

不全為零的實(shí)數(shù)自，無，…，鼠，使得卜有+自房+…+鼠2=6,則稱這組向量線性相關(guān).否則,稱為線性無

關(guān).

(1)對n=3,判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān),并說明理由.

①2=(1,1,1),￡=(2,2,2)；

②a=(1,1,1)，B=(2,2,2),7=(5,1,4).

(2)已知落線性無關(guān),判斷方+濟(jì)￡+落方+聲是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.

(3)已知小(小＞2)個(gè)向量Z,房，…，襦線性相關(guān)，但其中任意巾-1個(gè)都線性無關(guān)，證明：

①如果存在等式自Z+k2房H卜km襦=6(鼠eR,i=1,2,3,-??,m),則這些系數(shù)自，k2,…，k根或者全

為零，或者全不為零；

②如果兩個(gè)等式自房+k2O2H----卜除區(qū)＞=6,I布+l2a2H----FZ”疝X=百(總e_R,〃C_R,i=l,2,3,…，m)

同時(shí)成立，其中廿0,則與=書=”?=”

(1‘2Im

???

9.（23—24高二下.江蘇淮安.階段練習(xí)）九個(gè)有次序的實(shí)數(shù)a1，。2,…，M所組成的有序數(shù)組（QI,Q2,…,QQ

稱為一個(gè)九維向量，其中?（i=1,2…,？1）稱為該向量的第i個(gè)分量.特別地，對一個(gè)維向量2=

（Q1Q,…,冊），若［Q』=l（i=l,2,…,九），稱五為九維信號向量.設(shè)日=（Q1Q,…,Qn）,b=（瓦,甌…也）2則

n

4和b的內(nèi)積定義為4?匕=220也,且4_Lb^a-b=Q.

i=l

（1）直接寫出4個(gè)兩兩垂直的4維信號向量；

⑵證明：不存在10個(gè)兩兩垂直的10維信號向量；

（3）已知k個(gè)兩兩垂直的2024維信號向量石，R…，耳滿足它們的前小個(gè)分量都是相同的,求證：

Vkm<45.

???

10.(20—21高一下.北京?期中)我們學(xué)過二維的平面向量，其坐標(biāo)為日=(撲功仁GR,k=l,2),那么對于

n(nE7V*,n>2)維向量，其坐標(biāo)為>=電,辦…,益)86耳卜=1,2,…,n).設(shè)n(n￡N*,n>2)維向量的所

有向量組成集合4九=同2=(撲表2,…小)m6外力=1，2,…,n}.當(dāng)方=

⑸右,…力)(友?{0,。#=1,2,…,72)時(shí)，稱為4的“特征向量”，如A2=[a\a=(t1,t2),tkeR,k=l,2}的

“特征向量”有質(zhì)=(0,0),房=(0,1),&=(1,0),&=(1,1).設(shè)》=(Xi,x2,和彼=(%,紡，…,外)為

4的“特征向量”,定義同川=[[(g+%—山—加)+但+紡―同一統(tǒng)|)H----\-{xn+yn—|x?—yn|)].

⑴若落mG4,且才=(1,1,0),%=(0,1,1),計(jì)算應(yīng)國，同司的值；

⑵設(shè)且B中向量均為4的“特征向量”，且滿足：\/乙己68,當(dāng)日=8時(shí)，B，同為奇數(shù);當(dāng)日w片

時(shí)，同同為偶數(shù).求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值；

⑶設(shè)BG4dCN*,7i>2),且口中向量均為4的“特征向量”，且滿足：v落8且日片彼時(shí)，同同

=0.寫出一個(gè)集合8,使其元素最多，并說明理由.

??

題型五立體幾何新定義綜合

1.（22—23高三上?河北?階段練習(xí)）已知a=,b=@跖溝），c=（小統(tǒng)用），定義一種運(yùn)算:

（axb）-c=C1U2Z3+x2y3z1+x3yAz2——x2yIZ3—x3y2z1,在平行六面體ABCD—AXBXCXDX中，AB

=（1,1,0）,AD=（0,2,2）,封=（1,—1,1）.

（1）證明：平行六面體ABCD-ABGA是直四棱柱；

（2）計(jì)算|（Mx益）并求該平行六面體的體積，說明|（國x國）?高|的值與平行六面體

ABCD-體積的關(guān)系.

???

2.(22-23高二上?北京?期中)“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼?閔可夫斯基提出來

的.如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段的同是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們

只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用d(AB)表示，又稱

“曼哈頓距離”，即d(A,B)=\AC\+|CB|,因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”:若4%%)，號(附,紡)，則

=\x2-xr\+\y2-yr\

(1)①點(diǎn)A(3,5),8(2,—1),求d(A,B)的值.

②求圓心在原點(diǎn),半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程.

(2)已知點(diǎn)B(1,O),直線2]—4+2=0,求3點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；

⑶設(shè)三維空間4個(gè)點(diǎn)為4=(?,%,&),i=123,4,且如為，z’C{0,1}.設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”

的平均值即％求3最大值，并列舉最值成立時(shí)的一組坐標(biāo).

???

3.（20-21高一下?福建泉州?期末）球面三角學(xué)是球面幾何學(xué)的一部分，主要研究球面多邊形（特別是三角

形）的角、邊、面積等問題，其在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用.定義:球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)

稱為球的一對對徑點(diǎn);過球心的平面與球面的交線稱為該球的大圓;對于球面上不在同一個(gè)大圓上的點(diǎn)

A,B,C,過任意兩點(diǎn)的大圓上的劣弧最，BC,&所組成的圖形稱為球面△ABC,記其面積為

S球面AABb易知:球的任意兩個(gè)大圓均可交于一對對徑點(diǎn)，如圖1的/和；若球面上A,8,C的對徑點(diǎn)

分別為4,⑶，G,則球面/\A'B'C與球面△4BC全等.如圖2,已知球O的半徑為R,圓弧崩和布

所在平面交成的銳二面角8-AO-C的大小為a,圓弧溫和晶所在平面、圓弧CA和&所在平面

交成的銳一面角的大小分別為0,7.記S（a）=S球面4^0+S球面△A，BC+S球面2VJBO+S球面

圖1圖2

（1）請寫出S（兀），S居），S管）的值，并猜測函數(shù)S（a）的表達(dá)式；

⑵求S球面^^^/用a,7,R表不）.

??

4.(22—23高二上?上海徐匯?期中)設(shè)P為多面體"的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為1

-(NQFQ2+32PQ3+…+NQ—PQA+NQ/Qi)，其中Q?(i=1,2,…，A;,A;>3)為多面體M的所

2兀

有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PC>2，平面QzPOs，…，平面Qk-^PQk和平面Q『Q