2.1相交線與平行線第2課時(shí)（課件）-2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步課堂（北師大版）

2.1兩條直線的位置關(guān)系

第2章

相交線與平行線第2課時(shí)北師大版（2024）

七年級(jí)

下冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解垂線的有關(guān)概念、性質(zhì)及畫(huà)法，了解點(diǎn)到直線的距離的概念；

2.能夠運(yùn)用垂線的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，并解決實(shí)際問(wèn)題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）新課導(dǎo)入復(fù)習(xí)回顧1.在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關(guān)系有

和

兩種.若兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn),我們稱這兩條直線為

.在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做

.相交平行相交線平行線2.兩條直線相交所成的四個(gè)角中,若兩個(gè)角有

頂點(diǎn),且它們的兩邊互為

延長(zhǎng)線,則這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角

.

3.如果兩個(gè)角的和是180°,那么稱這兩個(gè)角互為

.如果兩個(gè)角的和是90°,那么稱這兩個(gè)角互為

.

4.同角(或等角)的補(bǔ)角

,同角(或等角)的余角

.

公共反向相等補(bǔ)角余角相等相等

觀察下面的圖片，你能找出其中相交的直線嗎?它們有什么特殊的位置關(guān)系?新課導(dǎo)入情境引入日常生活中，如圖中的兩條直線的關(guān)系很常見(jiàn)，你能再舉出其他例子嗎？新課講授

探究一：垂直的定義與表示如圖,已知∠1=60°,那么∠2=

，∠3=

，∠4=

.改變圖中∠1的大小，若∠1=90°,則∠2=

，∠3=

，∠4=

，這時(shí)兩條直線的關(guān)系是

.ba1243思考：兩條相交直線在什么情況下是垂直的？120°60°120°90°90°90°垂直這是兩條直線相交的特殊情況.新課講授知識(shí)歸納1.垂直的定義:

兩條直線相交成四個(gè)角,如果有一個(gè)角是直角,那么這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫做另一條直線的垂線.它們的交點(diǎn)叫做垂足.注意：(1)線段與線段、線段與射線、射線與射線、線段與直線、射線與直線垂直,指它們所在的直線互相垂直;(2)兩條直線互相垂直,則形成的四個(gè)角為直角.反之,要說(shuō)明兩條直線垂直,只要說(shuō)明這兩條直線相交成的角中有一個(gè)角為直角即可.新課講授通常用符號(hào)“⊥”表示兩條直線互相垂直.DCBAO如圖：如果直線AB與直線CD垂直，記作：AB⊥CD（或CD⊥AB），其中，點(diǎn)O是垂足；直線l與m垂直，記作l⊥m.Olm知識(shí)歸納2.垂直的表示方法:我是這樣思考的:由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=180°,可得∠AOC=∠BOC=90°，所以O(shè)C⊥AB.新課講授補(bǔ)角的性質(zhì)等量代換思考·交流(1)如圖所示，O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC=∠BOC，那么OC與AB垂直嗎?為什么?(2)以下是小穎的思考過(guò)程，她的想法正確嗎?你知道她每一步的依據(jù)嗎？與同伴進(jìn)行交流。ABOC垂直的定義已知新課講授(3)如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC嗎?為什么?與同伴進(jìn)行交流。ABOC∠AOC=∠BOC，理由如下：因?yàn)镺C⊥AB，所以∠AOC=90°，∠BOC=90°所以∠AOC=∠BOC.垂直的定義等量代換已知新課講授1.如圖，C為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C引兩條射線CE，CD，且∠ACE=31°，∠DCB=59°.那么CE，CD的位置關(guān)系是什么?為什么?ACBDE解：CE⊥CD，理由如下：∵∠ACE=31°，∠DCB=59°(已知),∴∠ECD=180°-∠ACE-∠DCB=180°-31°-59°=90°,∴CE⊥CD(垂直的定義).新課講授

探究二：垂線的畫(huà)法嘗試·思考(1)你能用折疊的方法折出互相垂直的直線嗎？試試看!沿折痕對(duì)折展開(kāi)(2)如果只用直尺，你能畫(huà)出圖中方格紙上已知直線的垂線嗎?你還能再畫(huà)出兩條互相垂直的直線嗎?新課講授

方格紙上每一條橫線和豎線都是互相垂直的,我們可以利用格線來(lái)畫(huà)出兩條互相垂直的直線.還有其他畫(huà)垂線的方法嗎？新課講授(1)用直角三角尺畫(huà)垂線;(2)用量角器畫(huà)垂線;(3)借助網(wǎng)格紙畫(huà)垂線.知識(shí)歸納畫(huà)已知直線的垂線的方法：新課講授2.下面是畫(huà)在方格紙上的兩個(gè)圖形，請(qǐng)分別找出圖中互相垂直的線段。

解:(1)OA⊥OC，

OB⊥OD.(2)BC⊥CD，

CE⊥CD.(1)如圖，點(diǎn)A在直線l上,你能用三角尺過(guò)點(diǎn)A畫(huà)直線l的垂線，你能畫(huà)出多少條?你是怎樣做的？與同伴進(jìn)行交流.lA.嘗試·交流新課講授

探究三：垂線的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離過(guò)直線上一點(diǎn)畫(huà)直線的垂線，可以畫(huà)一條.步驟：1.放2.靠3.移4.畫(huà)新課講授(2)如圖，點(diǎn)A在直線l外,過(guò)點(diǎn)A畫(huà)直線l的垂線，你能畫(huà)出多少條?你是怎樣做的？與同伴進(jìn)行交流.根據(jù)以上操作，你能得出什么結(jié)論？lA.過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)直線的垂線，可以畫(huà)一條.新課講授知識(shí)歸納垂線的性質(zhì)1：同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.注意：1.“過(guò)一點(diǎn)”中的點(diǎn)，可以在已知直線上，也可以在已知直線外；2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.新課講授3.下列各圖中,過(guò)直線l外的點(diǎn)P畫(huà)直線l的垂線,三角尺操作正確的是(

)C新課講授嘗試·交流(3)如圖所示，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，PO⊥l，點(diǎn)O是垂足.點(diǎn)A，B，C在直線l上,比較線段PO，PA，PB，PC的長(zhǎng)短，你發(fā)現(xiàn)了什么?線段PO最短.新課講授直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線,垂足為B,線段AB的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)A到直線l的距離.點(diǎn)到直線的距離：知識(shí)歸納垂線的性質(zhì)2：簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短.4.如圖所示,在立定跳遠(yuǎn)中,體育老師這樣測(cè)量運(yùn)動(dòng)員的成績(jī):將一塊三角尺的一條直角邊靠在起跳線上,拉直的皮尺與另一條直角邊重合,則皮尺測(cè)量的AB的長(zhǎng)度即為運(yùn)動(dòng)員的成績(jī),這樣做的理由是 (

)A.兩點(diǎn)之間線段最短B.過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線C.垂線段最短D.過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線新課講授C典例分析例1：如圖所示,已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O,OC⊥OE,OF平分∠AOE,∠COF=34°,求∠BOD的度數(shù).解:因?yàn)镺C⊥OE,所以∠COE=90°.又因?yàn)椤螩OF=34°,所以∠FOE=56°.因?yàn)镺F平分∠AOE,所以∠EOF=∠AOF=56°,所以∠AOC=∠AOF-∠COF=56°-34°=22°,所以∠BOD=∠AOC=22°.典例分析例2：如圖所示，在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D.若AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,則點(diǎn)A到直線BC的距離為

cm,點(diǎn)B到直線AC的距離為

cm,點(diǎn)C到直線AB的距離為

cm.

432.4典例分析例3：P為直線m外一點(diǎn)，A,B,C為直線m上的三點(diǎn)，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm,則點(diǎn)P到直線m的距離 (

)A.等于4cm B.等于2cmC.小于2cm D.不大于2cmD解析：點(diǎn)到直線的距離是該點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度,而垂線段是該點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中最短的,從條件看,PC是三條線段中最短的,但不一定是所有線段中最短的,所以點(diǎn)P到直線m的距離應(yīng)該是不大于2cm.學(xué)以致用1.如圖所示，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，下列條件中，不能說(shuō)明AB⊥CD的是(

)A.∠AOD=90°B.∠AOC=∠BOCC.∠BOC+∠BOD=180°D.∠AOC+∠BOD=180°C2.如圖所示,OB⊥OD,OC⊥OA,∠BOC=32°,那么∠AOD等于 (

)A.148° B.132° C.128° D.90°A4.如圖所示，單位要在河岸l上建一個(gè)水泵房引水到C處.他們的做法是:過(guò)點(diǎn)C作CD⊥l于點(diǎn)D,將水泵房建在了D處.這樣做最節(jié)省水管,其數(shù)學(xué)道理是

.

學(xué)以致用3.如圖所示,已知點(diǎn)O在直線AB上,CO⊥DO.若∠1=155°,則∠3的度數(shù)為

.

垂線段最短65°5.如圖所示,∠BAC=90°,AD⊥BC,則下列結(jié)論中正確的是

.(填序號(hào))

①AB⊥AC;②AD與AC互相垂直;③點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AB;④點(diǎn)A到BC的距離是線段AD的長(zhǎng)度;⑤線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離.①④⑤學(xué)以致用6.如圖所示，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)CB的垂線,并指出哪條線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)A到直線CB的距離.解:如圖,過(guò)點(diǎn)A畫(huà)CB的垂線,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.E根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義:從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度,叫這點(diǎn)到這條直線的距離.可得AE的長(zhǎng)度即為點(diǎn)A到直線CB的距離.學(xué)以致用7.如圖所示，直線AB，CD，EF都經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠EOB，∠BOF的度數(shù).解:因?yàn)锳B⊥CD,所以∠COB=90°,所以∠EOB=90°-∠COE=90°-35°=55°,所以∠BOF=180°-∠EOB=180°-55°=125°.故∠EOB的度數(shù)是55°,∠BOF的度數(shù)是125°.課堂小結(jié)兩條直線的位置關(guān)系2垂直的定義當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中,有一個(gè)角是直角時(shí),這兩條直線互相垂直,其中一