《直線與角》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識(shí)講解

《直線與角》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識(shí)講解撰稿：孫景艷審稿：吳婷婷【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界抽象幾何圖形的過程，能說出常見的幾何體和平面圖形；2．掌握直線、射線、線段、角這些基本圖形的概念、表示方法、性質(zhì)、及畫法；3．初步學(xué)會(huì)應(yīng)用圖形與幾何的知識(shí)解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡單的實(shí)際問題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、幾何圖形1.幾何圖形的分類要點(diǎn)詮釋：在給幾何體分類時(shí)，不同的分類標(biāo)準(zhǔn)有不同的分類結(jié)果.2.幾何圖形的構(gòu)成元素幾何體是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的.點(diǎn)動(dòng)成線，線與線相交成點(diǎn)；線動(dòng)成面，面與面相交成線；面動(dòng)成體，體是由面組成.要點(diǎn)二、線段、射線、直線1.直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本事實(shí)(1)直線:兩點(diǎn)確定一條直線．(2)線段:兩點(diǎn)之間線段最短．要點(diǎn)詮釋：①本知識(shí)點(diǎn)可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個(gè)木條，只要兩個(gè)釘子就可以了，因?yàn)槿绻涯緱l看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線.②兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).③兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離.3．線段的長短比較與運(yùn)算（1）線段的比較：①度量法；②疊合法；③估算法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.（3）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有：.要點(diǎn)詮釋：①線段中點(diǎn)的等價(jià)表述：如上圖，點(diǎn)M在線段上，且有，則點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn).②除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.如下圖，點(diǎn)M,N,P均為線段AB的四等分點(diǎn)，則有.要點(diǎn)三、角1．角的概念及其表示（1）角的定義：從一點(diǎn)引出的兩條射線所形成的圖形叫做角，這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個(gè)大寫英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫英文字母表示，三是用一個(gè)小寫希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖：要點(diǎn)詮釋：①角的兩種定義是從不同角度對角進(jìn)行的定義.②當(dāng)一個(gè)角的頂點(diǎn)有多個(gè)角的時(shí)候，不能用頂點(diǎn)的一個(gè)大寫字母來表示.2.角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β＝90°90°<∠β<180°∠β＝180°∠β＝360°3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.要點(diǎn)詮釋：①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時(shí)間中的小時(shí)分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用乘法逐級進(jìn)行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用除法逐級進(jìn)行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一成60.4.角的比較與運(yùn)算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法；③估算法.（2）角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.5.余角、補(bǔ)角（1）定義：如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)平角，那么我們就稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ).如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)直角，那么我們就稱這兩個(gè)角互為余角，簡稱互余.（2）性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等.要點(diǎn)詮釋：①余角(或補(bǔ)角)是兩個(gè)角的關(guān)系，是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)角不能稱其為余角(或補(bǔ)角).②一個(gè)角的余角(或補(bǔ)角)可以不止一個(gè)，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)．④“等角是相等的幾個(gè)角”，而“同角是同一個(gè)角”．6.方位角以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向，這種表示方向的角叫做方位角.要點(diǎn)詮釋：（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、測繪等實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛.要點(diǎn)四、用尺規(guī)作線段與角1.尺規(guī)作圖幾何中，通常用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圓，這種畫圓的方法叫做尺規(guī)作圖.2.用尺規(guī)作線段（1）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段.要點(diǎn)詮釋：畫一條線段等于已知線段①度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個(gè)長度的線段.②用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝ａ，如下圖：（2）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的倍數(shù).（3）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的和.（4）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的差.3.用尺規(guī)作角（1）用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角.（2）用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的倍數(shù).（3）用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的和.（4）用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的差.【典型例題】類型一、幾何圖形1.對于棱柱體而言，不同的棱柱體由不同的面構(gòu)成：三棱柱由2個(gè)底面，3個(gè)側(cè)面，共5個(gè)面構(gòu)成；四棱柱由2個(gè)底面，4個(gè)側(cè)面，共6個(gè)面構(gòu)成；五棱柱由2個(gè)底面，5個(gè)側(cè)面，共7個(gè)面構(gòu)成；六棱柱由2個(gè)底面，6個(gè)側(cè)面，共8個(gè)面構(gòu)成；（1）根據(jù)以上規(guī)律判斷，十二棱柱共有多少個(gè)面？（2）若某個(gè)棱柱由24個(gè)面構(gòu)成，那么這個(gè)棱柱是什么棱柱？（3）棱柱底面多邊形的邊數(shù)為，則側(cè)面的個(gè)數(shù)為多少？棱柱共有多少個(gè)面？（4）底面多邊形邊數(shù)為的棱柱，其頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為多少個(gè)？有多少條棱？【答案與解析】解：(1)十二棱柱由2個(gè)底面，12個(gè)側(cè)面，共14個(gè)面構(gòu)成．(2)這個(gè)棱柱有24個(gè)面，由于底面有2個(gè)，故其側(cè)面共有22個(gè)，從而這個(gè)棱柱是二十二棱柱．(3)棱柱底面多邊形的邊數(shù)與側(cè)面的個(gè)數(shù)是相等的，即底面多邊形的邊數(shù)為n，則側(cè)面的個(gè)數(shù)也為n，棱柱的面數(shù)為(n+2)．(4)底面多邊形的邊數(shù)為n的棱柱，其頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為2n個(gè)，共有3n條棱．【總結(jié)升華】根據(jù)立體圖形的特點(diǎn)，從特殊到一般，尋找規(guī)律．舉一反三：【變式】如圖把一個(gè)圓繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是（）A.B.C.D.【答案】B類型二、線段和角的概念或性質(zhì)2.下列判斷錯(cuò)誤的有()①延長射線OA；②直線比射線長，射線比線段長；③如果線段PA＝PB，則點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)；④連接兩點(diǎn)間的線段，叫做兩點(diǎn)間的距離．A．0個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】D【解析】①由于射線向一方無限延伸，因此，不能延長射線；②由于直線向兩方無限延伸，射線向一方無限延伸，因此它們都是不能度量的，所以它們不存在相等或不相等的關(guān)系，而線段是可以度量的，可以比較線段的長短；③線段PA＝PB，只有當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，才是線段AB的中點(diǎn)，否則就不是；④兩點(diǎn)間的距離是表示大小的量，而線段是圖形，二者的本質(zhì)屬性不同．【總結(jié)升華】本題考查的是基本概念，要抓住概念間的本質(zhì)區(qū)別．舉一反三：【變式】下列說法正確的個(gè)數(shù)有()①若∠1+∠2+∠3＝90°，則∠1，∠2，∠3互余．②互補(bǔ)的兩個(gè)角一定是一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角．③因?yàn)殁g角沒有余角，所以，只有當(dāng)角為銳角時(shí)，“一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角大”這個(gè)說法才正確．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【答案】B提示：③正確3.(安徽蕪湖)如圖所示的4×4正方形網(wǎng)格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于()．A．330°B．315°C．310°D．320°【答案】B【解析】通過網(wǎng)格的特征首先確定∠4＝45°．由圖形可知：∠l與∠7互余，∠2與∠6互余，∠3與∠5互余，所以∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°．【總結(jié)升華】互余的兩個(gè)角只與數(shù)量有關(guān)，而與位置無關(guān)．舉一反三：【變式】如圖所示，AB和CD都是直線，∠AOE＝90°，∠3＝∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2，∠3．【答案】解：因?yàn)椤螦OE＝90°，所以∠2＝90°-∠1＝90°-27°20′＝62°40′．又∠AOD＝180°-∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD．所以∠3＝∠AOD＝76°20′．答：∠2為62°40′，∠3為76°20′．4.如圖所示，時(shí)鐘的時(shí)針由3點(diǎn)整的位置(順時(shí)針方向)轉(zhuǎn)過多少度時(shí)，與分針第一次重合．【答案與解析】解：設(shè)時(shí)針轉(zhuǎn)過的度數(shù)為x°時(shí)，與分針第一次重合，依題意有：12x＝90+x解得答：時(shí)針轉(zhuǎn)過°時(shí)，與分針第一次重合．【總結(jié)升華】在相同時(shí)間里，分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是時(shí)針的12倍，此外此問題可以轉(zhuǎn)化為追及問題來解決．舉一反三：【變式】125°÷4＝°＝°′【答案】31.25°，31°15′類型三、線段或角的計(jì)算1.方程的思想方法5.如圖所示，B、C是線段AD上的兩點(diǎn)，且，AC＝35cm，BD＝44cm，求線段AD的長．【答案與解析】解：設(shè)AB＝xcm，則或于是列方程，得解得：x＝18，即AB＝18(cm)所以BC＝35-x＝35-18＝17(cm)(cm)所以AD＝AB+BC+CD＝18+17+27＝62(cm)【總結(jié)升華】根據(jù)題中的線段關(guān)系，巧設(shè)未知數(shù)，列方程求解．2.分類的思想方法6.同一直線上有A、B、C、D四點(diǎn)，已知AD＝DB，AC＝CB，且CD＝4cm，求AB的長．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意畫出圖形，再從圖上直觀的看出各線段的關(guān)系及大?。敬鸢概c解析】解：利用條件中的AD＝DB，AC＝CB，設(shè)DB＝9x，CB＝5y，則AD＝5x，AC＝9y，分類討論：（1）當(dāng)點(diǎn)D，C均在線段AB上時(shí)，如圖所示：∵AB＝AD+DB＝14x，AB＝AC+CB＝14y，∴x＝y(tǒng)∵CD＝AC－AD＝9y－5x＝4x＝4，∴x＝1，∴AB＝14x＝14(cm)．（2）當(dāng)點(diǎn)D，C均不在線段AB上時(shí)，如圖所示：方法同上，解得(cm)．（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上而點(diǎn)C不在線段AB上時(shí)，方法同上，解得(cm)．（4）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上而點(diǎn)D不在線段AB上時(shí)，方法同上，解得(cm)．綜上可得：AB的長為14cm，cm，cm．【總結(jié)升華】解決沒有圖形的題目時(shí)，一要注意滿足條件下的圖形的多樣性；二要注意解決的方法，注意設(shè)量法在圖形中的體現(xiàn)，使比較復(fù)雜的問題得以順利的解決，在正確答案中，(3)與(4)的答案雖然相同，但作為圖形上的差別應(yīng)了解．類型四、線段或角的作圖7.閱讀：在用尺規(guī)作線段AB等于線段a時(shí)，小明的具體作法如下：

已知：如圖，線段a求作：線段AB，使得線段AB=a．

作法：①作射線AM；

②在射線AM上截取AB=a．

∴線段AB為所求．解決下列問題：

已知：如圖，線段b．（1）請你仿照小明的作法，在上圖中的射線AM上作線段BD，使得BD=b；

（不要求寫作法和結(jié)論，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，取AD的中點(diǎn)E．若AB=5，BD=3，求線段BE的長．（要求：第（2）問重新畫圖解答）【思路點(diǎn)撥】（1）在射線BM上截取線段BD，則BD′=b或BD=b即為所求；

（2）由于點(diǎn)D與線段AB的位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：

①點(diǎn)D在線段AB的延長線上，則BE=AB-AE=1；

②點(diǎn)D在線段AB的延長線上，則BE=A