廣東省惠州市2024-2025學(xué)年高三上冊(cè)9月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，只需將答題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．設(shè)a，，則“”是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)的部分圖象大致為（

）

A.B.C.D.5．已知對(duì)數(shù)函數(shù)（且）是減函數(shù)，若，，，則m，n，p的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．6．已知，則（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則恰有2個(gè)零點(diǎn)B．若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是C．若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是D．若，則恰有4個(gè)零點(diǎn)8．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)為正實(shí)數(shù)，已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為B．已知，，且的最小值為，則C．當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是10．已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．是以8為周期的周期函數(shù)C．D．存在函數(shù),使得對(duì)，都有11．已知定義在上的函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足為常數(shù)，則下列敘述中正確的為（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，的解析式為C．當(dāng)時(shí)，在上恒成立D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知函數(shù)，正數(shù)滿足，則的最小值為．13．藥物的半衰期指的是血液中藥物濃度降低到一半所需時(shí)間．在特定劑量范圍內(nèi)，（單位，h）內(nèi)藥物在血液中濃度由（單位，）降低到（單位，），則藥物的半衰期．已知某時(shí)刻測(cè)得藥物甲、乙在血液中濃度分別為和，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后再次測(cè)得兩種藥物在血液中濃度都為，設(shè)藥物甲、乙的半衰期分別為，，則．14．若a，b為正實(shí)數(shù)，且在上遞增，則的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．(13分)我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性(不用證明)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．(15分)記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．(1)求角；(2)設(shè)的中點(diǎn)為，若，且，求的面積．17．(15分)已知函數(shù)且．(1)求函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．18．(17分)已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有三個(gè)不相等的零點(diǎn)，且在點(diǎn)處切線的斜率為，求的取值范圍及的值.19．(17分)定義：如果函數(shù)與的圖象上分別存在點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，則稱函數(shù)和具有“伙伴”關(guān)系.(1)設(shè)函數(shù)，，①證明和在上具有“伙伴”關(guān)系；②若和在上的關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M和N的橫坐標(biāo)為，判斷并證明數(shù)列的增減性.若函數(shù)和在區(qū)間上具有“伙伴”關(guān)系，求m的取值范圍。答案1．D【詳解】由題可知，，，所以，故選：D．2．C【詳解】復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限.故選：C3．A【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以即，當(dāng)時(shí)，取，得不到，所以是充分不必要條件，故選:A.4．A【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，故可排除C，D；又，所以可排除B，故選:A．5．B【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)（且）是減函數(shù)，所以，所以，，，所以，故選：B6．D【詳解】因?yàn)?所以,所以,即,所以,所以.故選：D.7．D令，則，解得或.當(dāng)時(shí)，.由，得；由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.，當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，故的大致圖象如圖所示.由圖可知，有且僅有1個(gè)實(shí)根.當(dāng)時(shí)，恰有1個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；由恰有2個(gè)零點(diǎn)，得恰有1個(gè)實(shí)根，且，則或或，則B錯(cuò)誤.由恰有3個(gè)零點(diǎn)，得恰有2個(gè)實(shí)根，則或或，則錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)根，則恰有4個(gè)零點(diǎn)，故D正確；8．C【詳解】由（），得，若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則方程有2個(gè)不相等的正實(shí)根，所以，解得，所以，令（），則，所以在上遞增，所以，所以，故選：C9．BCD【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為,A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，為的最小值點(diǎn)，為的最大值點(diǎn)，則，即，且，所以.B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)，故C正確；D選項(xiàng)，∵，則，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，D正確；故選：BCD.10．ABC【詳解】對(duì)于A，由題意，且，即①，用替換中的，得②，由①+②得，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，故A正確；對(duì)于B，由，可得，，所以，所以是以8為周期的周期函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，又因?yàn)?，所以，令，則有2，令，則有，令，則有，所以，所以，故C正確.對(duì)于D，由①知，則，所以，故,故函數(shù)是周期為8的函數(shù)，而不是周期函數(shù)，D錯(cuò)誤；故選：ABC.11．ABD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A正確；對(duì)于B，設(shè)時(shí)，則,;同理：當(dāng)時(shí)，,B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，的圖象如下：

直線剛好經(jīng)過(guò)第n個(gè)"山峰”的“山頂"，它與前面?zhèn)€"山峰"都有兩個(gè)交點(diǎn)，與后面的“山峰"沒有交點(diǎn)，共個(gè)交點(diǎn)，D正確;故選：ABD12．12【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，又，所以為奇函?shù)，有，又，所以，即，又因?yàn)闉檎龜?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，13．2【詳解】由題意得，．14．【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，顯然當(dāng)趨近于時(shí)，不等式并不恒成立，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，即滿足即可，即，由可得，設(shè)，則，令可得，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為.15．【詳解】（1）解法1：顯然函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，…1分由題意，…3分…5分，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.…6分解法2：由題意，令，…1分顯然函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，…2分且，…4分所以函數(shù)是奇函數(shù)，…5分所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.…6分（2）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞增，…7分由（1）知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故有，即…8分∴…10分因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即，…11分解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.…13分16．【詳解】（1）由題意可得，所以由正弦定理得．…2分即，…3分在中，因?yàn)?，，?分所以，因?yàn)?，所以．?分（2）由(1)知，在中，由余弦定理得，…8分所以①，…9分在中，由余弦定理得②，…11分由①②兩式消去b，得，所以，…12分又，解得，．…13分所以的面積.…15分17．【詳解】（1）令關(guān)于的不等式，有．…1分①當(dāng)時(shí)，解不等式，可得，…2分此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?；?分②當(dāng)時(shí)，解不等式，可得，…4分此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞；…5分（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞，…6分令，有…7分，…8分令，可得，因?yàn)?，所以，?分有，…11分由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，…13分有，有，…14分所以，故的最小值為．…15分18.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，切點(diǎn)為，切線斜率,…1分故切線方程為,…2分即切線方程為…3分（2），…4分當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；…5分當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，令，得或，…6分所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.…7分（3）由（2）知，有三個(gè)零點(diǎn)，則，且…9分即，解得，…10分當(dāng)時(shí)，，且，所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，…11分同理，，所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，…12分又在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，所以有三個(gè)零點(diǎn)，綜上可知的取值范圍為.…13分由有三個(gè)不相等的零點(diǎn)，不妨設(shè)，其中，…14分則.…15分…16分…17分19．【詳解】（1）函數(shù)與具有“伙伴”關(guān)系，理由如下：…1分根據(jù)定義，若與具有“伙伴”關(guān)系，則在與的定義域的交集上存在x，使得.①設(shè)，，在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，…3分所以函數(shù)與具有“伙伴”關(guān)系；…4分②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，…5分由①知，在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，零點(diǎn)為點(diǎn)M和點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，∴，，…6分于是有…7分又由（1）知在上是遞增的，故，…8分所以，數(shù)列是遞增數(shù)列?！?分證法二設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn)則的零點(diǎn)在內(nèi)，故，所以，數(shù)列是遞增數(shù)列。（2）因?yàn)楹?，由，令，?0分因?yàn)榕c在上具有“伙伴”關(guān)系，所以在上存在零點(diǎn)，因?yàn)椋?1分當(dāng)且時(shí)，因?yàn)椋?，所以，?/p>