2024-2025學(xué)年北京市豐臺區(qū)高三上冊10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市豐臺區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題中選出符合題目要求的一項。1．已知集合，集合，則（

）A．B．C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知角的頂點在原點，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與以原點為圓心的圓相交于點則，則（）A． B． C． D．4．在等差數(shù)列中，，則（

）A．9 B．11 C．13 D．155．下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增的是A． B．y= C． D．6．在△ABC中，角的對邊分別為，若，則（

）A．B．C． D．7．已知的展開式中，常數(shù)項為60，則的值為（

）A．2 B．2，-2 C．3 D．3，8．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．9．已知等差數(shù)列的公差為，且集合中有且只有個元素，則中的所有元素之積為（

）A． B． C． D．10．已知是函數(shù)的圖象上的兩個不同的點，則（

）A． B． C． D．第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．復(fù)數(shù)的虛部是．12．已知扇形AOB的面積為，圓心角為60°，則該扇形的半徑為，弧長為.13．在中，，則最大角的正弦值為.14．已知函數(shù)①當(dāng)時，的值域為；②若關(guān)于的方程恰有個正實數(shù)解，則的取值范圍是．15．已知函數(shù)，則下列說法正確的有①．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱②．是函數(shù)的周期③．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減④．當(dāng)時，三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．在中，．(1)求；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為，，求a的值．17．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，.（1）數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前n項和.18．在中，是邊上一點，，，，.(1)求的長；(2)求的面積.19．設(shè)函數(shù)．(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．20．函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值；(3)若關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍．21．已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．2024-2025學(xué)年北京市豐臺區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題中選出符合題目要求的一項。1．已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】求,判斷選項.【詳解】根據(jù)題意可得，，故選：A2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【正確答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)乘法運算可得，得出對應(yīng)的點為（-1，-1），可得結(jié)論.【詳解】因為，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（-1，-1），位于第三象限.故選：C.3．已知角的頂點在原點，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與以原點為圓心的圓相交于點則，則（）A． B． C． D．【正確答案】C由三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意可得：角的終邊與單位圓的交點為，所以，，所以，故選：C.4．在等差數(shù)列中，，則（

）A．9 B．11 C．13 D．15【正確答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意知，解得，所以，所以.故選：C.5．下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增的是A． B．y= C． D．【正確答案】D【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式考查函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】函數(shù)，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，故選D.6．在△ABC中，角的對邊分別為，若，則（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】根據(jù)余弦定理得，，則.故選：A.7．已知的展開式中，常數(shù)項為60，則的值為（

）A．2 B．2，-2 C．3 D．3，【正確答案】B【分析】求出展開式的通項為，合并同類項后令的指數(shù)為0可得，可求出展開式中的常數(shù)項從而得到.【詳解】展開式的通項為，令，可得，因此，展開式中的常數(shù)項為.則，.故選：B.8．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【正確答案】A由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.9．已知等差數(shù)列的公差為，且集合中有且只有個元素，則中的所有元素之積為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得，進(jìn)而可得的周期為，故只需研究前項的值，進(jìn)而可得解.【詳解】有等差數(shù)列可知，，周期，故只需考慮前項的值：，，，，，，由題意知，這個式子只能取到個不同的值.借助三角函數(shù)的定義，即在單位圓上有個點均分圓周，且這個點的縱坐標(biāo)只能取到個不同的值（如圖所示），于是集合，即所有元素乘積為，故選：C.10．已知是函數(shù)的圖象上的兩個不同的點，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】求出已知兩點的中點坐標(biāo)及的圖象上縱坐標(biāo)為的點，結(jié)合函數(shù)圖象建立不等式，借助基本不等式即可得解.【詳解】如圖所示，設(shè)Ax1,y1，B點在的圖象上，且軸，則，由圖知點在的左側(cè)，即，所以.故選：D二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．復(fù)數(shù)的虛部是．【正確答案】-2025【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義即可得解【詳解】復(fù)數(shù)的虛部是-2025.故-2025.12．已知扇形AOB的面積為，圓心角為60°，則該扇形的半徑為，弧長為.【正確答案】2【分析】根據(jù)扇形的面積公式和弧長公式計算即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，因為扇形AOB的面積為，圓心角為，由扇形的面積，可得：，解得：，可得扇形的弧長.故2；．13．在中，，則最大角的正弦值為.【正確答案】【分析】利用正弦定理邊角的轉(zhuǎn)化，將正弦值之比轉(zhuǎn)化為邊長之比，然后利用余弦定理即可求余弦值，再由平方關(guān)系即可求出正弦值.【詳解】∵，∴由正弦定理化簡得：分別設(shè)，則最大角為C，∴，所以故答案為.14．已知函數(shù)①當(dāng)時，的值域為；②若關(guān)于的方程恰有個正實數(shù)解，則的取值范圍是．【正確答案】【分析】①當(dāng)時，分別判斷兩段的值域，取并集得的值域；②方程恰有個正實數(shù)解，則軸左邊的函數(shù)圖像翻折到右邊，與右邊的圖像有兩個交點，作出圖像判斷的取值范圍.【詳解】①當(dāng)時，，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，；時，，函數(shù)單調(diào)遞增，，所以的值域為；②函數(shù)關(guān)于的方程恰有個正實數(shù)解，則軸左邊的函數(shù)圖像翻折到右邊，與軸右邊的圖像有兩個交點，分別作出函數(shù)的圖像，其中函數(shù)與的圖像相交于點和

結(jié)合圖像可知方程恰有個正實數(shù)解，為和，需要，所以的取值范圍為.故；.15．已知函數(shù)，則下列說法正確的有①．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱②．是函數(shù)的周期③．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減④．當(dāng)時，【正確答案】②③④【分析】經(jīng)驗證，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，即①錯誤，再利用周期函數(shù)定義可得②正確，；利用換元法構(gòu)造函數(shù)可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，即③正確；由選項C中的單調(diào)性可得，即④正確.【詳解】因為，，所以，故①錯誤；因為，所以是函數(shù)的周期，故②正確；設(shè)，所以，所以，當(dāng)時，可得，則，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故③正確；當(dāng)時，可得，則，又由，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故④正確.故選：②③④三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．在中，．(1)求；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為，，求a的值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理：邊轉(zhuǎn)角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出結(jié)果；（2）利用條件建立，邊與的方程組，求出與，再利用余弦定理，即可求出結(jié)果；；【詳解】（1）因為，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以.（2）因為，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.17．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，.（1）數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前n項和.【正確答案】（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．因為，所以．解得d=3．又因為，所以，即可以得出數(shù)列和的通項公式；（2）由（1）知，．因此，由等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項和即可得出數(shù)列前n項和.試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．因為，所以．解得d=3．又因為，所以．所以．（2）由（1）知，．因此數(shù)列前n項和為．?dāng)?shù)列的前n項和為．所以，數(shù)列前n項和為．18．在中，是邊上一點，，，，.(1)求的長；(2)求的面積.【正確答案】(1)2(2)【分析】（1）中，根據(jù)余弦定理求的長；（2）中，根據(jù)余弦定理求，即可求，再根據(jù)三角形的面積公式求解.【詳解】（1）因為，則，，，中，,即，解得：或（舍），所以；（2），因為所以，，所以.19．設(shè)函數(shù)．(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【正確答案】(1).(2)條件①不能使函數(shù)存在；條件②或條件③可解得，.【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把的解析式化簡，根據(jù)在上的單調(diào)性及函數(shù)的最值可求出，從而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若選條件③：由的單調(diào)性可知在處取得最小值，則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同．【詳解】（1）因為所以，因為，所以.（2）因為，所以，所以的最大值為，最小值為.若選條件①：因為的最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；若選條件②：因為在上單調(diào)遞增，且，所以,所以,,所以，又因為，所以，所以，所以，因為，所以.所以，；若選條件③：因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得最小值，即.以下與條件②相同．20．函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值；(3)若關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】(1)；(2)，；(3)．【分析】（1）利用函數(shù)圖象的頂點求出，利用周期求出，由特殊點求出，即可求出解析式；（2）利用三角函數(shù)圖象變換求得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法求得最值；（3）結(jié)合函數(shù)的定義域和三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定其值域，由圖象即求.【詳解】（1）由函數(shù)的部分圖象可知，，，，又，，解得，由可得，；（2）將向右平移個單位，得到，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，令，由，可得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，可得，；（3）因為關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，即與的圖象在有兩個交點.

由圖象可知符合題意的的取值范圍為