高等數(shù)學(xué)課件-D85平面方程資料教程

第五節(jié)一、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角平面及其方程第八章2/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件①一、平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向稱①式為平面

的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故2/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例1.求過(guò)三點(diǎn)即解:取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點(diǎn)法式得平面

的方程2/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程.時(shí),平面方程為分析:利用三點(diǎn)式按第一行展開(kāi)得即2/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價(jià),

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.2/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件特殊情形?

當(dāng)

D=0時(shí),Ax+By+Cz=0表示

通過(guò)原點(diǎn)的平面;?當(dāng)

A=0時(shí),By+Cz+D=0的法向量平面平行于x軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xOy面的平面;平行于yOz面的平面；平行于zOx面的平面.2/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例2.

求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解:因平面通過(guò)

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點(diǎn)得化簡(jiǎn),得所求平面方程(P39例4,自己練習(xí))2/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件三、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常指銳角)稱為兩平面的夾角.2/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件特別有下列結(jié)論：2/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件因此有例4.一平面通過(guò)兩點(diǎn)垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且2/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件外一點(diǎn),求例5.設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點(diǎn)到平面的距離公式)2/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例6.解:

設(shè)球心為求內(nèi)切于平面

x+y+z=1

與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且因此所求球面方程為四面體的球面方程.故2/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式三點(diǎn)式2/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:2/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件思考與練習(xí)P42題4,5,8第六節(jié)作業(yè)P422,6,7,92/8/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件備用題