高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修三）第12講622導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值（2知識(shí)點(diǎn)6題型強(qiáng)化訓(xùn)練）

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）理解函數(shù)極值、極值點(diǎn)的有關(guān)概念，掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法；（2）注意結(jié)合函數(shù)的圖象理解用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法，培養(yǎng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問題和解決問題的思維習(xí)慣；（3）了解函數(shù)最值的有關(guān)概念；（4）會(huì)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。（1）了解函數(shù)的極大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；（2）理解極大值、極小值的概念掌握；（3）掌握不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大（小）值的求法；（4）了解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系；（5）理解函數(shù)最值的概念并掌握指定區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大（小）值的求法。知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)的極值點(diǎn)、極值1、極值與極值點(diǎn)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，如果對(duì)于附近的任意不同于的，都有：（1），則稱為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，且在處取極大值；（2），則稱為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，且在處取極小值；極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)都成為極值點(diǎn)，極大值與極小值都成為極值。2、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系一般地，如果是的極值點(diǎn)，且在處可導(dǎo)，則必有（1）函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念，是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)附近的點(diǎn)而言的；（2）極值點(diǎn)是函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn)，而函數(shù)定義域的端點(diǎn)絕不是函數(shù)的極值點(diǎn)；（3）極大值與極小值沒有必然的的大小關(guān)系，一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，且在某一點(diǎn)的極小值可能大于某一點(diǎn)的極大值；（4）只是可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值的必要條件，不是充分條件。3、函數(shù)的單調(diào)性與極值一般地，設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且（1）如果對(duì)于左側(cè)附近的任意，都有；對(duì)于右側(cè)附近的任意，都有，那么此時(shí)是的極大值點(diǎn)；（2）如果對(duì)于左側(cè)附近的任意，都有；對(duì)于右側(cè)附近的任意，都有，那么此時(shí)是的極小值點(diǎn)。（3）如果在的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為正號(hào)（或均為負(fù)號(hào)），則一定不是的極值點(diǎn)。【即學(xué)即練1】（2324高二上·山西忻州·期末）函數(shù)的極大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以的極大值為.故選：B.知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)的最值1、函數(shù)最值的定義（1）最大值：如果在函數(shù)的定義域內(nèi)存在一點(diǎn)使得任意一點(diǎn)，使得對(duì)任意的，總有，那么稱為函數(shù)在定義域上的最大值。（2）最小值：如果在函數(shù)的定義域內(nèi)存在一點(diǎn)使得任意一點(diǎn)，使得對(duì)任意的，總有，那么稱為函數(shù)在定義域上的最小值。2、對(duì)函數(shù)最值的定義理解（1）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最值。（2）函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念。（3）函數(shù)在上連續(xù)，是函數(shù)在上有最大值或最小值的充分而非必要條件。3、函數(shù)極值與最值的關(guān)系一般地，如果函數(shù)在定義域內(nèi)的第一點(diǎn)都可導(dǎo)，且函數(shù)存在最值，則函數(shù)的最之巔一定是某個(gè)極值點(diǎn)；如果函數(shù)的定義域?yàn)榍掖嬖谧钪担瘮?shù)在內(nèi)可導(dǎo)，那么函數(shù)的最值點(diǎn)要么是區(qū)間端點(diǎn)或，那么是極值點(diǎn)?！炯磳W(xué)即練2】（2223高二下·新疆喀什·階段練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（）A．若在上有極大值，則極大值一定是上的最大值．B．若在上有極小值，則極小值一定是上的最小值．C．若在上有極大值，則極大值一定是在和處取得．D．若在上連續(xù)，則在上存在最大值和最小值．【答案】D【解析】函數(shù)在上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，故AB錯(cuò)誤；函數(shù)在上的極值一定不會(huì)在端點(diǎn)處取得，故C錯(cuò)誤；若在上連續(xù)，則在上存在最大值和最小值，故D正確.故選：D.【題型一：導(dǎo)函數(shù)圖象與極值的關(guān)系】例1．（2223高二下·北京·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A．有極小值，但無極大值B．既有極小值，也有極大值C．有極大值，但無極小值D．既無極小值，也無極大值【答案】A【解析】由導(dǎo)函數(shù)圖像可知：導(dǎo)函數(shù)在上小于0，于是原函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上大于等于0，于是原函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以原函數(shù)在處取得極小值，無極大值，故選：A.變式11．（2223高二下·廣東梅州·期末）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．C．為的極小值D．有一個(gè)極大值【答案】D【解析】令的圖象與x軸最右邊交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，觀察圖象知，由，得或，由，得或，函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；函數(shù)在上單調(diào)遞增，，B錯(cuò)誤；顯然2不是函數(shù)的極值點(diǎn)，則不為的極小值，C錯(cuò)誤；顯然1是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則有一個(gè)極大值，D正確.故選：D變式12．（2324高二上·安徽·期末）已知函數(shù)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，的圖像如圖所示，以下命題正確的是（）A．是函數(shù)的極大值B．是函數(shù)的極小值C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．的零點(diǎn)是和【答案】B【解析】因?yàn)?，由圖可知：，；或，；且或，；，；可得或，；，；且函數(shù)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，則在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可知有且僅有一個(gè)極小值，無極大值，故AC錯(cuò)誤，B正確；由于不知的解析式，故不能確定的零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：B.變式13．（2324高二上·湖南長沙·期末）（多選）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)有最大值【答案】BC【解析】由題意可知：當(dāng)時(shí)，（不恒為0）；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.可知：A錯(cuò)誤；B正確；且函數(shù)在處取得極大值，故C正確；雖然確定的單調(diào)性，但沒有的解析式，故無法確定的最值，故D錯(cuò)誤；故選：BC.【方法技巧與總結(jié)】只是可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值的必要條件，不是充分條件。只有當(dāng)兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)異號(hào)才可確定其為極值點(diǎn)。【題型二：求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)】例2．（2324高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）若函數(shù)，則的極大值點(diǎn)為.【答案】2【解析】，令，解得或6，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在取得極大值，故極大值點(diǎn)為2.變式21．（2324高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）函數(shù)的極值點(diǎn)是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，令，則，得．由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知在的左右兩側(cè)的正負(fù)相反，故為函數(shù)的極值點(diǎn)，故選：A變式22．（2324高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）設(shè)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．（1）求實(shí)數(shù)a；（2）求函數(shù)的極值．【答案】（1）2;（2）極小值為，極大值為0.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)增區(qū)間是，所以的解集是.所以方程的解是，，所以.（2）當(dāng)時(shí)，令，則或當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：x1f'(x)+0f(x)↘極小值↗極大值↘當(dāng)時(shí)，有極小值；當(dāng)時(shí)，有極大值.變式23．（2324高二上·山東濱州·期末）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的極值.【答案】（1）；（2）極小值為，無極大值【解析】（1）的定義域?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以切點(diǎn)為，所以曲線在處的切線方程為（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，且極小值為，無極大值.【方法技巧與總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法步驟（1）求導(dǎo)數(shù)；（2）求方程的所有實(shí)數(shù)根；（3）觀察在每個(gè)根附近，從左到右導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)如何變化．①如果的符號(hào)由正變負(fù)，則是極大值；②如果由負(fù)變正，則是極小值．③如果在的根的左右側(cè)的符號(hào)不變，則不是極值點(diǎn)．【題型三：已知函數(shù)的極值求參數(shù)】例3．（2324高二上·陜西西安·期末）已知函數(shù)在時(shí)取得極大值4，則．【答案】【解析】由題意可知，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得極大值4，所以，解之得，檢驗(yàn)，此時(shí)，令或，令，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即滿足題意，故.變式31．（2324高二上·山西呂梁·期末）若函數(shù)在處有極小值，則（）A．B．C．或D．【答案】A【解析】由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在處有極大值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，令，可得或；令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在處有極小值，符合題意，綜上可得，.故選：A.變式32．（2324高二上·陜西榆林·開學(xué)考試）若2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】，令，得或，當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以沒有極值點(diǎn)，不符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.變式33．（2324高二上·安徽·期末）已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，因?yàn)椋?，即，可得，令，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，作出函數(shù)在上圖象，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，且，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，合乎題意.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.變式34．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知沒有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，根據(jù)題意得，解得．故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】1、已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)問題的解題步驟：=1\*GB3①求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；=2\*GB3②由極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0，列出方程（組），求解參數(shù)注意：求出參數(shù)后，一定要驗(yàn)證是夠滿足題目的條件。2、對(duì)于函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)無機(jī)制的問題，往往轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)的值非負(fù)或非正在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，即轉(zhuǎn)化為或在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，此時(shí)需注意不等式中的等號(hào)是否成立?！绢}型四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】例4．（2223高二下·黑龍江鶴崗·期中）函數(shù)的最大值為（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】因?yàn)?，且，令，則或（舍），當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，即最大值為.故選：A變式41．（2223高二下·河南·期中）已知函數(shù)，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，令，得，當(dāng)，，為減函數(shù)，當(dāng)，，為增函數(shù)，又，則.故選：C.變式42．（2223高二下·吉林長春·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（）A．1B．C．0D．【答案】C【解析】，，令，解得；令，解得或，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，故在上的最小值是0.故選：C．變式43．（2324高二上·江蘇宿遷·期末）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是.（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1），，所以，解得，（2）由（1）得，當(dāng)，令，解得或，故在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，，，由于，，所以變式44．（2324高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求在上的最小值．【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t．當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得,由，得，故此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，(i)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，；(ii)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，；(iii)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，．綜上所述，．【方法技巧與總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法（1）若函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，在曲線內(nèi)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)，且在這一點(diǎn)處取得極值，則該點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn).（2）求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，一定是找出該區(qū)間上導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)，無需判斷出是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，只需將這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，期中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值。【題型五：已知函數(shù)的最值求參數(shù)】例5．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)椋?，令，得或，令，得或；令，得，所以函?shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，令，解得或，若函數(shù)在內(nèi)存在最小值，則，解得.變式51．（2324高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故在處取得最小值，最小值為，滿足要求，當(dāng)或時(shí)，，令得或，當(dāng)時(shí)，恒成立，故表格如下：0+0極小值極大值故在上取得極小值，且，，要想在區(qū)間上的最小值為，則要，變形得到，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，，故的解集為，時(shí)，令可得，當(dāng)時(shí)，，令得，故在上單調(diào)遞減，故在處取得最小值，最小值為，滿足要求，當(dāng)時(shí)，恒成立，故表格如下：+00+極大值極小值故在上取得極小值，且，，要想在區(qū)間上的最小值為，則要，變形得到，令，，時(shí)，，單調(diào)遞增，又，故上，無解，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C變式52．（2223高二下·重慶江北·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為2e，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，令，得，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，而，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為2e，必有，即.故選：B變式53．（2223高二下·陜西西安·期中）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，其中，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，此時(shí)在內(nèi)無最值，當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故在處取最大值，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A.變式54．（2223高二下·湖北·期末）已知1是函數(shù)（a，b，）的極值點(diǎn)，在處的切線與直線垂直.（1）求a，b的值；（2）若函數(shù)在上有最大值2，在上有最小值也有最大值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】（1）依題意，在處的切線的斜率為，，，，所以，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；（2）由（1）得，，，，的變化情況如下表所示x1200遞增遞減遞增所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，又在上有最大值和最小值，所以.【方法技巧與總結(jié)】已知函數(shù)的最值求參數(shù)問題常用方法有函數(shù)圖象法、導(dǎo)數(shù)法等。（1）圖象法是較為直觀的一種方法，通過觀察函數(shù)的圖象來判斷函數(shù)的極值及其對(duì)應(yīng)的參數(shù)值；（2）導(dǎo)數(shù)法：對(duì)于已知的函數(shù)，我們可以先求出其導(dǎo)數(shù)，然后找出導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或者導(dǎo)數(shù)變號(hào)的點(diǎn)，這些點(diǎn)就是函數(shù)取得極值的地方。接下來，可以通過這些點(diǎn)進(jìn)行一些判斷，例如使用二階導(dǎo)數(shù)來判斷極值類型，從而得到函數(shù)的最值及其對(duì)應(yīng)的參數(shù)值?！绢}型六：函數(shù)極值與最值綜合應(yīng)用】例6．（四川省宜賓市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（理科）試題）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若，的最小值是，求實(shí)數(shù)m的所有可能值.【答案】（1）時(shí)，恰有一個(gè)極值點(diǎn)；時(shí)，恰有三個(gè)極值點(diǎn)；（2）.【解析】（1）函數(shù)的定義域是，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，遞減，遞增，，①當(dāng)時(shí)，，遞減，遞增，有1個(gè)極小值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，令，則，函數(shù)在上遞增，，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，使得，令，有，令，，即有在上遞增，，函數(shù)在上遞增，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，使得，因此遞減，遞增，遞減，遞增，有3個(gè)極值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，恰有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)極值點(diǎn).（2）由（1）知，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則；②當(dāng)時(shí)，，使得，，使得，遞減，遞增，遞減，遞增，其中，則，顯然符合要求，即有，綜上提，所以m的所有可能值是上的實(shí)數(shù).變式61．（2324高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的極值；（2）若在上的最小值為，求的取值范圍.【答案】（1）極大值為，極小值為；（2）【解析】（1），，.因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，則.所以，，令得或1，列表得1+00+↗極大值↘極小值↗所以的極大值為，極小值為.（2）.①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，的最小值為，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，令，則或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，的最小值為，不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，的最小值為，不滿足題意.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍時(shí).變式62．（2223高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).（1）求與的值；（2）若函數(shù)在上有最小值為，在上有最大值，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以，由條件知，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意；（2）由（1）可知，則，令，得或，和隨的變化情況如下表：2112+00+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因?yàn)樗院瘮?shù)在上的最小值為，所以，解得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在和上遞增，在上遞減，且，畫出函數(shù)圖象如圖所示，由于函數(shù)在區(qū)間上有最大值，根據(jù)圖象可知，即.變式63．（2324高二上·福建福州·期末）已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線與y軸垂直，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)存在極大值為，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）依題意，，，則，因?yàn)樵谔幍那芯€與y軸垂直，所以，解得；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間，此時(shí)有極大值，解得，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，分以下三種情況：若，則在定義域內(nèi)恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，無極值，舍去；若，令得或，令得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，此時(shí)有極大值，解得；若，令得或，令得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，此時(shí)有極大值，設(shè)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，故此時(shí)不存在a符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù).【方法技巧與總結(jié)】在函數(shù)極值與最值的綜合問題時(shí)，一定要準(zhǔn)確區(qū)分極值與最值的關(guān)系。一、單選題1．（2324高二上·江蘇徐州·期末）己知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，有三個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，則可得函數(shù)在上的單調(diào)性為先增再減，再增又減，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè).故選：A2．（2324高二上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)的極小值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，令得，令得，令得，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為.故選：D3．（2324高三上·陜西·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可得.由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.故選：D.4．（2324高二上·江蘇泰州·期末）已知函數(shù)在處取得極小值1，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，因?yàn)樵谔幦〉脴O小值1，所以有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故滿足題意，于是有.故選：C5．（2324高三下·福建·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得．當(dāng)時(shí)，得或，當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，．減區(qū)間為，即時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，即，解得或，故要使函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，需有，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：A．6．（2223高二下·甘肅蘭州·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的值為（）A．7B．C．9D．【答案】A【解析】依題意，，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減.，，所以在區(qū)間上的最大值為.故選：A7．（2324高二上·江蘇鹽城·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，則或，明顯函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，所以方程必有根，設(shè)為，即的根為或，又是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，即，所以，得.故選：B.8．（2223高二下·陜西榆林·期末）若函數(shù)存在最小值，且其最小值記為，則的最大值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，令得，此時(shí)單調(diào)遞減，令得，此時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，，令得，此時(shí)單調(diào)遞增，令得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.故選：A.二、多選題9．（2324高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，C．處是函數(shù)的極值點(diǎn)D．時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0【答案】BD【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，對(duì)于A項(xiàng)，在上，，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，在上，，在上，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，是的變號(hào)零點(diǎn)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是的不變號(hào)零點(diǎn)，不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，故D正確.故選：BD.10．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．是增函數(shù)，無極值B．是減函數(shù)，無極值C．的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為D．是極大值，是極小值【答案】CD【解析】定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；AB錯(cuò)誤，C正確；的極大值為，極小值為，D正確.故選：CD.11．（2324高二上·江蘇泰州·期末）已知函數(shù)，則（）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有2個(gè)極值點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，必有一個(gè)零點(diǎn)為2【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，令，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，即恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)，A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，令，有，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，作出圖象如下圖：又，所以方程必有個(gè)根，即必有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，且，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)恰有2個(gè)極值點(diǎn)，B正確；對(duì)于CD：當(dāng)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，或，所以或，將或代入得或，解得或，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.三、填空題12．（2223高二上·浙江·期中）函數(shù)的最小值是.【答案】【解析】顯然函數(shù)的定義域?yàn)?，令，顯然，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為.13．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.若在區(qū)間[1，4]上的最小值為8，則a的值為.【答案】【解析】，令，解得或，當(dāng)，或，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，在上為增函數(shù)，由解得，不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)，即時(shí)，在上的最小值，不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)，即時(shí)，在上的最小值可能在或上取得，而當(dāng)時(shí)，即，解得或，均不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)，即，解得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上的最小值為，符合題意.綜上所述，.14．（2324高二上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有極小值，無極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)只有極小值，無極大值，所以0在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)左負(fù)右正的異號(hào)根，即關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)左負(fù)右正的異號(hào)根，所以，得.四、解答題15．（2324高二下·安徽淮南·開學(xué)考試）已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有極值．（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值和最小值分別為【解析】（1），由題意，解