浙江省四校2024-2025學年高一上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題

2024學年第一學期高一年級12月四校聯(lián)考數(shù)學學科試題卷命題人：長興中學邱天程穎考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場、座位號及準考號（填涂）；3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用補集和交集的定義可求得集合.【詳解】因為全集，，，則，因此，.故選：B.2.已知命題，，則命題p的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，即可得到答案.【詳解】命題，的否定為：，.故選：D3.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標系下中的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由拋物線開口向下，可得，可排除A，C，根據(jù)拋物線過點得，可知過原點可排除B，進而可得正確選項.【詳解】因為二次函數(shù)開口向下，所以，所以的圖象必在二四象限，可排除選項A，C因為過點，所以，所以，所以即過點，故選項B不正確，選項D正確；故選：D.4.已知，都是實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】通過舉反例可以證明充分性不成立，再利用重要不等式可以證明必要性.【詳解】取，，此時，，滿足，此時不成立；當時，因為，所以，所以，所以，即，綜上，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.若，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，又，即可求出結(jié)果.【詳解】因為在R上單調(diào)遞減，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得到，又，所以，即.故選：C.6.已知函數(shù)在上有且僅有個零點，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析出函數(shù)為偶函數(shù)，可得出，即可得出實數(shù)的值.【詳解】函數(shù)的定義域為，因為，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，因為函數(shù)在上有且僅有個零點，則，解得.故選：A.7.已知函數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分別令、和，運算求解即可.【詳解】因為，令，可得；令，可得；兩式相加可得，令，可得；則，即.故選：D.8.已知函數(shù)，若正實數(shù)a，b，c互不相等，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到，，即可得到答案.【詳解】的圖象如下圖所示：，設，由圖知：，即，得.所以.函數(shù)單調(diào)遞減，與軸交于點，由圖知：.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得六分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知，，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)作差法、特值法和不等式的性質(zhì)，依次判斷選項即可.【詳解】對選項A，因為，所以，即，故A正確.對選項B，，當時，，故B錯誤.對選項C，，當時，，故C錯誤.對選項D，由選項A知：，，所以，故D正確.故選：AD10.對于函數(shù)給出下列四個命題，其中正確命題的序號是（）A.該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)B.該函數(shù)的圖象關于直線（）對稱C.當且僅當（）時，該函數(shù)取得最小值D.當且僅當（）時，【答案】BD【解析】【分析】由函數(shù)的解析式，先做出函數(shù)的圖像，再根據(jù)函數(shù)的定義，分別對每個命題中的函數(shù)性質(zhì)進行分析判斷，由函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，并由圖像研究出的結(jié)論判斷和函數(shù)有關的命題的真假.【詳解】對于選項A：，因為不滿足對所有的x成立，所以不是以為最小正周期的周期函數(shù)，故選項A錯誤.對于選項B：由圖像可知，可知選項B正確.對于選項C:當（）或（）時，取得最小值，故選項C錯誤.對于選項D：有圖像知（）時，，最大值為，可得；由圖像可知在一個周期內(nèi)只有在內(nèi)有；故選項D正確.故選：BD11.已知，，，，則以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A選項，利用函數(shù)與和圖像交點的橫坐標，以及對稱性求得，；對于B選項，，，，可求得，對于其他的，則利用不等式基本性質(zhì)判斷，注意取等的條件.【詳解】對于選項A：分別可以看作函數(shù)與和圖像交點的橫坐標，函數(shù)的圖像關于直線對稱，的圖像也關于直線對稱，所以兩個交點也關于直線對稱，所以，故選項A正確.對于選項B：由，得到，即，所以，故選項B正確.對于選項C：，由圖像可知，，所以,故選項C錯誤.對于選項D：當且僅當時取等號.但是，所以等號不能取，故選項D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知實數(shù)m，n滿足，則________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)指對數(shù)互化式和對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.【詳解】，.所以故答案為：113.已知，且，則________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知角與所求角之間的關系，利用誘導公式與同角三角函數(shù)關系求值即可.【詳解】.，，，則，．故答案為：.14.對于，若存在，滿足，則稱為“類三角形”，則“類三角形”一定滿足有一個內(nèi)角為定值，為________.【答案】##【解析】【分析】由于因為，得，分為銳角三角形，是鈍角三角形，不妨設鈍角為，兩種情況，根據(jù)誘導公式解決即可.【詳解】因為，所以，所以為銳角三角形，若也是銳角三角形，由，得，三式相加，得（與三角形內(nèi)角和定理矛盾），所以假設不成立，所以鈍角三角形，不妨設鈍角為，則，得，三式相加得又因為，所以．故答案為：四、解答題（第15題13分，第16題15分，第17題15分，第18題17分，第19題17分，共5小題77分）解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導公式將題干化簡，即可求得（2）對所求的式子兩邊同時除以，再將（1）得到得結(jié)果代入即可.【小問1詳解】由誘導公式，以及，所以原式，即【小問2詳解】將分子分母同時除以（因為，否則無意義），所以，又由（1）知代入上式得故16.已知命題，不等式恒成立；命題，使成立.（1）若命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若命題中恰有一個為真命題，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由得到關于的不等式，解得即可；（2）首先求出命題為真時參數(shù)的取值范圍，再分真假、假真兩種情況討論.【小問1詳解】命題，不等式恒成立，為真命題，則，解得，即實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】命題，使成立，當為真命題時，即，解得或，.當命題中恰有一個為真命題時，①為真命題，為假命題，即，所以；②為假命題，為真命題，即，所以；綜上可得：.17.已知某超市的新鮮雞蛋存儲溫度x（單位：攝氏度）與保鮮時間t（單位：小時）之間的函數(shù)關系式為該超市的新鮮雞蛋在存儲溫度為8攝氏度的情況下，其保鮮時間約為432小時；在存儲溫度為6攝氏度的情況下，其保鮮時間約為576小時.（1）求該超市的新鮮雞蛋在存儲溫度為4攝氏度的情況下，其保鮮時間約為多少小時；（2）若該超市想要保證新鮮雞蛋的保鮮時間不少于1024小時，則超市對新鮮雞蛋的存儲溫度設置應該不高于多少攝氏度?【答案】（1）768小時（2）2攝氏度【解析】分析】（1）由題意有，則，代入，計算即可得；（2）令，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算即可得.【小問1詳解】依題意得，則，當時，，即該超市的新鮮雞蛋在存儲溫度為4攝氏度的情況下，其保鮮時間約為768小時；【小問2詳解】令，得，即，則，因為函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，故超市對新鮮雞蛋的存儲溫度設置應該不高于2攝氏度.18.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.（1）求的值，并證明為奇函數(shù)（2）求證：在上是增函數(shù)（3）若，解關于x的不等式【答案】（1），證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用賦值法計算，再利用奇函數(shù)定義推理得證.（2）根據(jù)給定的等式，利用增函數(shù)的定義推理即可.（3）求出，結(jié)合給定等式化不等式為，再利用單調(diào)性求解即得.【小問1詳解】定義在上的函數(shù)滿足，取，則，所以，，取，則，于是，所以為奇函數(shù).【小問2詳解】，則，由當時，，得，，所以在上是增函數(shù).【小問3詳解】由，得，不等式，則，由（2）知，，即，解得或，所以原不等式的解集為.19.若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)在定義域（）上為“依賴函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實數(shù)，使得對任意，不等式都成立，求實數(shù)s的最大值．【答案】（1）不是“依賴函數(shù)”，理由見解析；（2）（3）最大值為.【解析】【分析】（1）由“依賴函數(shù)”的定義進行判斷即可；（2）先根據(jù)題意得到，解得：，再由，解出，根據(jù)的范圍即可求出的取值范圍；（3）根據(jù)題意分，，考慮在上單調(diào)性，再根據(jù)“依賴函數(shù)”的定義即可求得的值，代入得恒成立，由判別式，即可得到，再令函數(shù)在的單調(diào)性，求得其最值，可求得實數(shù)的最大值.【小問1詳解】對于函數(shù)的定義域內(nèi)存在，則無解，故不是“依賴函數(shù)”.【小問2詳解】因為在上遞