復(fù)數(shù)（解析版）-2025年高中數(shù)學一輪復(fù)習

第03講復(fù)數(shù)

（9類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2024年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運算無

2024年新H卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的模無

2023年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運算、共輾復(fù)數(shù)無

2023年新II卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的幾何意義無

2022年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運算、共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)無

2022年新II卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運算無

2021年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運算、共輾復(fù)數(shù)無

2021年新II卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的幾何意義無

2020年新I卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的四則運算無

2020年新H卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運算無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，能夠掌握數(shù)集分類及復(fù)數(shù)分類，需要關(guān)注復(fù)數(shù)的實部、虛部、

及純虛數(shù)

2.能正確計算復(fù)數(shù)的四則運算及模長等問題，理解并掌握共軌復(fù)數(shù)

3.熟練掌握復(fù)數(shù)的幾何意義即復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點的對應(yīng)關(guān)系

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般考查復(fù)數(shù)的四則運算、共輾復(fù)數(shù)、模長運算、幾何意

義，題型較為簡單。

111.考點梳理

1

知識點1數(shù)集的分類

知識點2虛數(shù)單位及周期

知識點3復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及復(fù)數(shù)分類

知識點4箕數(shù)相等

核心知識點知識點5哂3

知識點6復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模

知識點7算數(shù)的四則運算

知識點8箕數(shù)的三角表示

考點1復(fù)數(shù)的四則運算

考點2求復(fù)數(shù)的實部與虎部

考點3復(fù)數(shù)相等

考點4復(fù)數(shù)的分類及加虛數(shù)概念考查

考點5復(fù)數(shù)的幾何意義

考點6復(fù)數(shù)的模長及與模相關(guān)的軌跡問題

考點7具數(shù)的三角形式

考點8歐拉公式

考點9復(fù)數(shù)多選題

知識講解

1.復(fù)數(shù)的定義

我們把形如“+6i(a,6eR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做.一虛數(shù)單位的周期

【答案】虛數(shù)單位-14

2.復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,6eR),其中的。與6分別叫做復(fù)數(shù)z的.

【答案】實部虛部

3.對于復(fù)數(shù)z=“+6i(4/eR),復(fù)數(shù)z=。+歷(a,6eR),z為實數(shù)o;z為虛數(shù)=

Z為純虛數(shù)oZ為非純虛數(shù)O

即復(fù)數(shù)z=a+bi(a,ftGR)<

2

'實數(shù)(6=0)

(2=04W0

【答案】6=06片0純虛數(shù)(。=0)

6w0bwO虛數(shù)僅30)<

非純虛數(shù)(aw0)

4.在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,6eR}中任取兩個數(shù)。+如c+di(a,b,c,deR),規(guī)定a+6i與c+di相等當且僅

當____________,即復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di<^>(a,b,c,deR).

5.共輾復(fù)數(shù)

Cl)定義：當兩個復(fù)數(shù)的實部,虛部時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共輾復(fù)數(shù).虛部不

等于0的兩個共軻復(fù)數(shù)也叫做共飄虛數(shù).

(2)表示方法：復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)用彳表示，即如果z=a+bi,那么彳=.

【答案】相等互為相反數(shù)a-bi

6.復(fù)數(shù)的幾何意義

為方便起見，我們常把復(fù)數(shù)z=a+bi說成點Z或說成向量應(yīng)，并且規(guī)定，的向量表示同一個復(fù)數(shù).

【答案】相等

7.復(fù)平面

建立直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做,x軸叫做,y軸叫做.實軸上的點都

8.復(fù)數(shù)的模

向量應(yīng)的模稱為復(fù)數(shù)z=a+6i的模或絕對值，記作或.即|z|=|a+bi|=,其中

a,beR.如果6=0,那么z=a+bi是一個實數(shù)a,它的模就等于.

22

【答案】閆\a+bi\yja+bH

9.復(fù)數(shù)的加、減法運算法則

設(shè)Z]=a+bi,z2=c+cA(a,b,c,dGR),貝!J4+z2=,4-z2-1

【答案】(a+c)+(b+d)i(Q-C)+他-d)i

3

10.復(fù)數(shù)加法的運算律

對任意句0區(qū)eC,有

(1)交換律：4+Z2=.(2)結(jié)合律：(Z|+Z2)+Z3=

ZZZ+Z

【答案】Z2+l1+(23)

11.復(fù)數(shù)的乘法

(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)Z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積

(a+Z)i)(c+di)-ac+bci+ad\+bdi2-.

(2)復(fù)數(shù)乘法的運算律

對于任意向/2/3eC,有

交換律*;___

結(jié)合律(平2"3=_

(z+z)=

乘法對加法的分配律Z123

【答案】(ac-6d)+(bc+ad)iz2Z[ZR+Z.

12.設(shè)4/2的三角形式分別是Z]=7](cos6>+isin01),z2=^(cos02+isin%),

那么，Z]Z2==.

這就是說，兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.簡記為：模相乘，

輻角相加.

r

【答案】\(cos+isin)-A;(cos02+isin02)rxr2[cos)+isin(0J+

13.設(shè)2]0的三角形式分別是Z]=4(cosa+isina),Z2=4(cose2+isine2),且z2H0,那么，?=

Z2

*

這就是說，兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減

去除數(shù)的輻角所得的差.簡記為：模相除，輻角相減.

【答案】-cos(4-a)+isin(q-a)

r2

考點一、復(fù)數(shù)的四則運算

.典例引領(lǐng)

1.(2024?全國?高考真題)設(shè)z=&i，貝IJzN=()

A.-iB.1C.-1D.2

【答案】D

4

【分析】先根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的定義寫出口然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算.

【詳解】依題意得，z=-V2i，故「=-2i2=2.

故選：D

5（l+i3）

2.（2023?全國?圖考真題）<<，=（）

（2+I）（2T）

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算求解即可.

5。+巧5(1)-i

【詳解】

(2+i)(2-i)5

故選：C.

即時檢測

I_________L___________

1.（2024?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（退+i）?（君-2i）=.

【答案】7-后

【分析】借助復(fù)數(shù)的乘法運算法則計算即可得.

［詳解］（石+-2i）=5+&_2&+2=7-6.

故答案為：7-萬.

2.（2023?全國?高考真題）設(shè)z=,2；,貝上=（）

1+1+1

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【分析】由題意首先計算復(fù)數(shù)z的值，然后利用共輾復(fù)數(shù)的定義確定其共輒復(fù)數(shù)即可.

2+i2+ii(2+i)2i-l

【詳解】由題意可得z==l-2i,

l+i2+i51-1+i

則亍=1+2i.

故選:B.

3.（2024?河南?三模）已知i為虛數(shù)單位，［二（）

（1-9

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法、除法運算化簡即可.

(1+i)3_(l+i)2(l+i)_2i(l+i)

【詳解】=-1-i.

(1-i)2~-2i~-2i

5

故選：D

考點二、求復(fù)數(shù)的實部與虛部

6典例引領(lǐng)

1-1

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知z=F，則z的實部是（）

1+1

A.-iB.iC.0D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算化簡，由實部定義可得.

【詳解】因為z=^=/°：：）.\=-i,所以Z的實部是0.

1+1+

故選：C.

2.（2024?黑龍江?三模）若?一=i,則zR-l）的虛部為（）

1—1

A.-1B.1C.3D.-3

【答案】A

【分析】先利用乘法運算法則化簡復(fù)數(shù)z,然后化簡z（N-1）得3-i,即可求出其虛部.

【詳解】因為吉=i,所以2=-2+（l-i）i=-l+i,所以N=

1-1

所以zW-l）=（-l+i）（-2-i）=3-i,則Z（7—1）的虛部為T.

故選：A

1.（2024?重慶?三模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2z-iF=l,則z的虛部為（）

11,

A.—B.—C.3D.—3

33

【答案】A

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i（q,6eR）,根據(jù)題意，列出方程，結(jié)合復(fù)數(shù)相等，求得6的值，即可求解.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷QbeR）,

因為復(fù)數(shù)z滿足2z-五=1,可得2a+2歷-i（"歷）=1,

即2。-6+（2b—a）i=1,貝1|2a—6=1,2b—a=0,解得b=

所以復(fù)數(shù)Z的虛部為;.

故選：A.

6

2.(2024.陜西.二模)復(fù)數(shù)z=i(l+『)(iJ2i)的實部為()

A.1B.3C.-2D.-1

【答案】B

【分析】通過復(fù)數(shù)的運算將復(fù)數(shù)化簡成。+歷的形式，即可得到實部.

【詳解】由z=i(l-D(l-2i)=(l+i)(l-2i)=3-i,可得復(fù)數(shù)z的實部為3,

故選：B.

3.(2024?江西鷹潭?二模)已知z=0+i)，則[的虛部為()

1-i

A.2iB.-2iC.-2D.2

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運算和四則運算法則求出復(fù)數(shù)z,繼而得胃的虛部.

【詳解】由2=°止[(l+i)2『(2i)2-4(1+i)

==-2(l+i)=-2-2i,

1-i1-i1-i(l-i)(l+i)

則z——2+2i,z的虛部為2.

故選：D.

考點三、復(fù)數(shù)相等

小—典例引領(lǐng)

1.(2023,全國考真題)設(shè)aER,(4+i)(l—ai)=2,,貝()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運算以及復(fù)數(shù)相等即可解出.

[詳解】因為(a+i)(l_qi);Q./i+i+q=2a+卜/)=2,

[2a=2,

所以I2八，解得：a=\.

[1一〃=0

故選：C.

2.(2022?浙江?高考真題)已知a,b￡R,a+3i=(b+i)i(i為虛數(shù)單位)，則()

A.。=1,6=-3B.ci=-l,b=3C.。=-1,6=-3D.a=l,b=3

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件可求。，氏

【詳解】a+3i=—l+歷,而為實數(shù)，故。=-1/=3,

故選：B.

7

.即_時__檢__測___

1.(2024?河南?模擬預(yù)測)己知i為虛數(shù)單位，a,beR,滿足(a-2i)i=b+i,則a+6=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡(。-2i)i,再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得出方程組，求出6的

值，即可得解.

【詳解】因為(a-2i)i=2+ai,

又(a-2i)i=6+i且a,6eR,所以,故a+b=3.

[b=2

故選：D.

2.(2024?安徽合肥?三模)已知z(i-3)=7+2,則二=()

42.42.

A.—+—1B.-----1

9999

42.42.

C.——+—1D.------1

9999

【答案】D

【分析】設(shè)2=a+6i(a/￡R),貝”=bi,根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運算和相等復(fù)數(shù)建立方程組，解之

即可求解.

【詳解】設(shè)z=a+bi(a,6cR),則亍=〃一例，

因為z(i—3)=三+2,所以(Q+6i)(i—3)=a—bi+2,

即—3Q—b+(a—3Z?)i=a+2—bi,

4

a=—

—3。一b=a+29

所以,解得

a-3b=-b2，

b=-

9

故選：D.

3.(2024?河北保定?三模)若復(fù)數(shù)2滿足z-2=則實數(shù)加=()

3-1

1111

A.-B.-C.——D.——

2323

【答案】B

【分析】設(shè)z=a+bi(a,beR),根據(jù)復(fù)數(shù)相等，即可列式求相.

【詳解】設(shè)z=a+，i(a,beR),則1=歷,所以z-W=26i，

由z—z=加+i,得2歷(3-i)=〃z+i,貝!J26+6歷=m+i,

3-1

8

b=-

2b=m6

所以人?,解得

6b=11

m=—

3

故選：B.

考點四、復(fù)數(shù)的分類及純虛數(shù)概念考查

中典例引領(lǐng)

1.(2024?河北?二模)已知復(fù)數(shù)z==T+ai(aeR)是實數(shù)，則。=()

(1+1)

A.^2B.一5/2C.-2D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則計算得到z=-l+(a-2)i,再根據(jù)實數(shù)的定義求解即可.

4-2i4-21

z=+fli=+fli=_1+(fl-2)i

［詳解］7］—y77in

因為z是實數(shù)，

所以a—2=0,即a=2.

故選：D.

2.(2024?河南?三模)已知復(fù)數(shù)胃(aeR)為純虛數(shù)，貝!I。的值為()

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出z,根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，列出相應(yīng)等式和不等式，即可求得答案.

1+tzil+q+(a—l)i

【詳解】

1+i(l+i)(「i)2

1+(2=0

由題意得?八，所以Q=-1,

[Q—1w0

故選：c.

中即時檢測

1.(2024?遼寧大連?二模)設(shè)xeR,則"x=1"是"復(fù)數(shù)z=(/-l)+(x+l)i為純虛數(shù)”的()

A.充分必要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

9

【分析】由復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù)求得X的值，再根據(jù)充分必要條件關(guān)系判斷.

Y2_1_Q

【詳解】因為復(fù)數(shù)2為純虛數(shù)，所以1-，解得X=l，

[x+lwO

所以x=I是復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的充要條件.

故選：A.

m+i

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)L為實數(shù)，則實數(shù)加等于（）

2+1

11

A.—B.—1C.—D.2

32

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)的除法把等化簡，表示成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，由虛部為0,求加的值.

2+1

m+i2m+1（2-m）.

【詳解】------+--i,若復(fù)數(shù)”為實數(shù),

2+i（2+i）。-i）5-----552+1

則2—加=0,即加=2.

故選：D.

考點五、復(fù)數(shù)的幾何意義

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，0+3i）（3-i）對應(yīng)的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為（l+3i）（3-i）=3+8i-3f=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

2-i

2.（2021?全國?高考真題）復(fù)數(shù)11在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡二，從而可求對應(yīng)的點的位置.

1-31

21+31

【詳解】—=（-0（）=5+5i_=I±L,所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為

l-3i10102122j

該點在第一象限，

故選：A.

10

3.（2024?山西?三模）已知復(fù)數(shù)（l+2i）-/（3-i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，則實數(shù)加的取值范圍

是.

【答案】（-心-2）

【分析】整理得到不等式組，解出即可.

【詳解】由于（l+2i）-加（3-i）=（l-3加）+（2+”?）i,

fl-3m>0

故點（1-3叫2+冽）位于第四象限，因此,解得加<-2,

[2+m<0

即加的取值范圍是（-*-2）.

故答案為：（-叫-2）.

.即_時__檢__測___

1.（2024?山東?二模）已知復(fù)數(shù)z滿足（l-i）z=3+i,則7在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】由題意求出z,進而解出口判斷彳在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限即可.

3+i（3+i）（l+i）

【詳解】由題意知：z=「=.）.=l+2i,

所以』=l_2i，所以彳在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點（1,-2）位于第四象限.

故選：D.

2.（2024?江西?模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標為,則，L=（）

l-2i

42.24.42.24.

A.----1B.----1C.—I—1D.—I—1

55555555

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標可以得出對應(yīng)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再結(jié)合復(fù)

數(shù)的四則運算法則，即可得解.

【詳解】因為復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標為（1,T）,所以z=l-i,

22i2i(l+2i)42.

所以z2=(l-i>=_2i,所以丁zW-----------------1

(l-2i)(l+2i)55

故選：A.

3.（2024?江西?模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)[滿足12。231=1_方，貝」在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為（）

A.（2,1）B.（-2,1）

C.（-2,-1）D.（2,-1）

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運算法則，求得三=2+i，得到z=2-i,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

11

【詳解】由i2023l=i_2i，可得“1亮=匕=2+卜貝Uz=2-i，

1-1

則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為(2,-1).

故選：D.

考點六、復(fù)數(shù)的模長及與模相關(guān)的軌跡問題

典例引領(lǐng)

1.(2024,全國?高考真題)已知z=-1-i,則忖=()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】C

【分析】由復(fù)數(shù)模的計算公式直接計算即可.

【詳解】若2=-1-匕則忖="

故選：C.

2.(2023?全國,高考真題)|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.y/5D.5

【答案】C

【分析】由題意首先化簡2+i2+2『，然后計算其模即可.

【詳解】由題意可得2+乎+2下=2-l-2i=l-2i，

則|2+i2+2i3|=|l-2i|="+(-2丫=石.

故選：C.

3.(2024?廣東揭陽?二模)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(a,6),且|z+i|=4,則

A.a2+(Z>+1)*=4B.a2+(6+1)'—16

C.(a+lf+b2=4D.(a+l)2+b2-16

【答案】B

【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得z=a+bi,再利用模長公式即可得.

【詳解】由題意得2=.+歷，所以卜+伍+1川=4,則/+優(yōu)+1)2=16.

故選：B.

也即鶴叫

1.(2024?福建南平二模)若復(fù)數(shù)z滿足z+i=2i(z-i),則忖=()

A.1B.72C.V3D.2

12

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式計算即可.

【詳解】由題意可知,復(fù)數(shù)z滿足z+i=2i(z-i),

2-i(2-i)(l+2i)43.

則可轉(zhuǎn)化為-----------------------------=-------1-----1

(l-2i)(l+2i)55

所以1z|=Jc|)2+(|)2=1.

故選：A.

2.(2024?貴州畢節(jié)?三模)若復(fù)數(shù)z滿足(1+%尸”=3產(chǎn)4_不，則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運算化簡即可求出z=-4-3i,再由復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.

【詳解】因為(1+尸+/)/=驢°24一不，則(l-l+i)-z=3-4i,

3-4i(3-4i)i3i-4i23i+4/

即anz=----=1-^-=---------=--------=-431,

ii2-1-1

故|Z|=J(-4)2+(_3)2=5.

故選：B.

3.(2024?遼寧?二模)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=l,則卜-碼的最小值為()

A.73-1B.1C.V3+1D.3

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義及圓中最值問題數(shù)形結(jié)合計算即可.

【詳解】|z-i|=1的幾何意義是復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z到點4(0,1)的距離為1,

即點Z在以點/(0,1)為圓心，1為半徑的圓上，

|z-的幾何意義是點Z到點8(亞0)的距離.

如圖所示，故|7-。|疝?=「可=^用一1=2-1=1.

故選：B.

考點七、復(fù)數(shù)的三角形式

13

典例引領(lǐng)

1.(2024?黑龍江哈爾濱三模)復(fù)數(shù)z=a+6i(a,6eR,i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為Z,設(shè)r=|OZ|,6是

以x軸的非負半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角，則z=a+歷=r(cos6+isin。),把r(cos0+isin。)叫

做復(fù)數(shù)。+歷的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進行復(fù)數(shù)的指數(shù)運算，

[r(cos0+isin。)]"=r"(cos"0+isin〃0eN,例如：=(cos@+isin=cos2兀+isin2;r=1,

4^os兀+isin7i)=-4,復(fù)數(shù)z滿足:z3=1+i則z可能取值為()

B,同cos口+isin當

l44J

1771..17R

D.------bism-----

1212

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形及運算，利用復(fù)數(shù)相等可得z=^即

可得解.

【詳解】設(shè)z=T(cose+isin。),

貝lj=1+i=y/2卜os:+isin=r3

(cos36+isin3。),

所以r=蚯，30=2kn+-,keZ,^0=—+—,keZ,

4312

所以7=啦c°s]—+Fj+isin[^+f],左eZ

故左=2時，e=故Z可取於jcosU^+isinU^],

12I1212)

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：理解復(fù)數(shù)三角形及三角形下復(fù)數(shù)的指數(shù)運算是解題的關(guān)鍵，通過三角形的運算，再

利用復(fù)數(shù)相等，建立方程即可得出所求復(fù)數(shù)的一般形式.

2.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模)棣莫弗公式(cosx+i-sinx)〃=cos(詞+i?sin(〃x)(其中i為虛數(shù)單位)是由法國

數(shù)學家棣莫弗(1667-1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)[cos；+i-sin：|2在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位

于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】由棣莫弗公式化簡結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.

14

w、辛在刀（Jr..兀、2兀..2兀1^3.

L評解】cos—+1-sin—=cos----Fi-sin——=----1------i，

I33j3322

在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為,在第二象限.

故選：B.

即時檢測

1.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個復(fù)數(shù)

3=4(cos'+isinej,z2=r2(cos%+isin^2)(^,^>0),則z{z2=rxr2[cos(q+02)+isin(q+2)]?設(shè)

,2024的虛部為（）

Z*與則Z

A-4C.1D.0

【答案】B

【分析】變形復(fù)數(shù)Z,根據(jù)題中定義進行計算，即可判定.

1=C0S47i..4兀

【詳解】—1-T-----bism——，

33

4Kx2024..4TIX2024

所以Z23=cos------------+ism-------------

33

2兀..2兀1省.

=cos----1-ism——=-------1-------1,

3322

所以Z2°24的虛部為亞

2

故選:B.

2it27r

2.（2。23?全國?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=cos逅+ism芯2022-1(=(

A.2022B.2023C.-2022D.-2023

【答案】B

【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)運算可得》的方程/。23_1=（）的根為I//?,…/2。22,進而整理可得

220222022

x-zx_z???(x-z1=1+X+--+X,取X=1即可得結(jié)果.

打+ism當

【詳解】設(shè)%=cos-,nG42022，

20232023

2023

2〃?兀..2〃?兀

則以23cos--------F1sm------=cos(2〃.兀)+isin(2〃.兀)=1,

20232023

由題意可得：ZO=1,Z.=Z\〃￡N*,〃<2O22

可得關(guān)于X的方程x2°23-1=0的根為1,2,z2,…,z2°22

15

故婷32T=(x_l)(x_2乂X_2)…1—2靖)，

.20231

?#(x-z)(x-r)---(x-?022)=1+X+…+鏟巴

gp(x-z)(x-?)--(x-z2022)=1+X+…+/22,

令X=l,可得。_2乂1—72)…(l—z2°22)=]+]+…+]2。22=2023,

且2022為偶數(shù)，所以(z-l*2-l)L(z2022-1)=2023.

故選：B.

考點八、歐拉公式

典例引領(lǐng)

1.（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）歐拉公式/=cosO+isinO把自然對數(shù)的底數(shù)e,虛數(shù)單位i,cos。和sin。聯(lián)

系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美，被譽為"數(shù)學中的天橋”.則6.+1=（）

A.-1B.0C.1D.i

【答案】B

【分析】把。=兀代入歐拉公式即可。

【詳解】e'"+1=COST:+isin兀+1=-1+1=0.

故選：B

2.（2022?重慶北倍?模擬預(yù)測）歐拉是18世紀最偉大的數(shù)學家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻.由《物

理世界》發(fā)起的一項調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式"e加+1=0"與麥克斯韋方程組并稱為"史上最偉大的公

生.紅,

rT，

式”.其中，歐拉恒等式是歐拉公式：e'°=cos0+isin0的一種特殊情況.根據(jù)歐拉公式，e+e)

A.1B."C.V2D.V3

22

【答案】C

【分析】化簡復(fù)數(shù)e?+e/，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.

VIV

71T-1n..7157r..JTIi+6.

【詳解】e3+e6=cos—■i-ism-FCOS--Fisin——=--------F1

33662------2

故選：C.

即時檢測

16

1.（2023?云南昆明?一模）歐拉公式：/=cos8+isin。將復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，在復(fù)變函數(shù)中

占有非常重要的地位，根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)e%在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合象限角的三角函數(shù)值的符號分析判斷

【詳解】由題意可得：e3i=cos3+i-sin3對應(yīng)的點為（cos3,sin3）,

：3e兀],貝!]cos3<0,sin3>0,

故（cos3,sin3）位于第二象限.

故選：B.

2.（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測）已知e，=cos6+isin。，則在下列表達式中表示sin。的是（）

-\6A6.-10

A.e-eB.e+e

2i2i

C.e-eD.-e+e

2i2i

【答案】A

【分析】根據(jù)題設(shè)小的表達式求出e*的表達式，再代入選項逐一檢驗即得.

【詳解】因―=cos6+，sin。，貝峰一落=cos（—0）+isin（—0）=cos9—isin。,

1-1

“工Ae^-e^cosO+isin。一（cos6-isin。）2sin。i.八A田丁成

對于A,-------=--------------------------=-------=sm6,4故4rA項正確；

2i2i2i

對于B,e'°+e==cos。+1sm。+（cos8tsm8）=2^=—_s/i,故B項錯誤;

2i2i2i

㈢工廠e-1^-e10d0—e一ecosO+isin。一（cos。一isin。）2sri0i.八44L小小、口

對于C,-------=---------=---------------------------J---------—sm。，故rC項錯厭；

2i2i2i2i

對于D,由B項知，---------=cosO'i,故D項錯誤.

2i

故選：A.

考點九、復(fù)數(shù)多選題

中典例引領(lǐng)

1.（2024?福建福州?三模）己知復(fù)數(shù)句/2,下列結(jié)論正確的是（）

A.若Z]=z2，貝Uz；=z；B.Zj-z2=z1-z2

C.若空2=0,貝！]4=0或Z2=0D.若2產(chǎn)0且Z]=z?,則乎2=匕「

【答案】BCD

17

【分析】通過列舉特殊復(fù)數(shù)驗證A；設(shè)Z1=a+6i,(a,6eR),則z?=a-歷,(a,6cR),通過復(fù)數(shù)計算即可判斷

B；由44=0得㈤㈤=0,即可判斷C；設(shè)z=a+，i,g,6eR),通過復(fù)數(shù)計算即可判斷D.

【詳解】對于A,設(shè)4=l+i,則Z2=l-i,所以z；=(l+i)z=2i,而z；=(l-i>=-2i,

所以z；Nz；,故A不正確；

對于B,設(shè)馬=a+H(a,beW)9z2=c+cfi(c,dGR),

貝ljzi-z2=(a-c)-(b-d)i=(a-bi)~{c~(K)=z1-z2,故B正確；

對于C若4-2=0,所以匕卜0,所以歸閆=0,

所以|zj=o或匕2|=°，所以4/2至少有一個為0,故C正確.

對于D,=a+bi,(a