二次函數(shù)（題型歸納）（原卷版）

專題22二次函數(shù)

題型分析

所|題型演練|

r■MI■?■]

題型一y=ax1與y=ax2+k的圖像與性質(zhì)

1.點(diǎn)N（加-1,必），^（"，，凹^都在拋物線^二一上.若必<%,則加的取值范圍為（）

A.m>4B.m<4C.m<—D.m>^

22

2.已知〃%a）,2（",4a）是二次函數(shù)”（x-l『圖象上的兩點(diǎn)，則下列命題正確的是（）

A.若加〉0,〃>0時(shí)，則2加一〃二1B.若加>0,〃<0時(shí)，則2m-n=l

C.若加<0,〃>0時(shí)，貝！J2m-n=1D.若機(jī)<0,〃<0時(shí)，貝12m-n=1

3.已知拋物線了=/一1過(guò)/（一2,%），2（0,%）,C。,%）三點(diǎn)，則必，外，％大小關(guān)系是（）

A.B.C.D.

4.拋物線>的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ACMB的邊。/在x軸上，ZOAB=9Q°,OA=2,拋物線y=x?與。5交

于C點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD〃CM交48于。點(diǎn).若CD過(guò)ACMB的重心G,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為

.IIII■

題型二y=a(x-A)2與y=a(.x-h)的圖像與性質(zhì)

I________________________________________：

2

1.設(shè)函數(shù)M=-(x-a),y2=-(X-a2).直線x=l的圖象與函數(shù)”，8的圖象分別交于點(diǎn)/(l，cj，

8(1,。2)，得()

A.若1＜4＜。2，貝1。1＜。2B.若q＜1＜。2，貝＜。2

C.若弓＜。2＜1，貝＜。2D.若為＜為＜1，貝h2＜5

7.對(duì)于二次函數(shù)y=-3(x-2)2的圖象，下列說(shuō)法正確的是()

A.開(kāi)口向上B.對(duì)稱軸是直線％=-2

C.當(dāng)x＞-2時(shí)，了隨X的增大而減小D.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)

8.關(guān)于二次函數(shù)y=(x-l『+5,下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)圖象的開(kāi)口向下

B.函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,5)

C.該函數(shù)有最大值，最大值是5

D.當(dāng)尤＞1時(shí)，了隨x的增大而增大

9.拋物線^=-2(尤-1)2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

10.二次函數(shù)y=-(x+3)2+〃?Wx4/+2)的圖象上任意二點(diǎn)連線不與x軸平行，貝心的取值范圍為

題型三二次函數(shù)y=ox2+Ax+c的圖像與性質(zhì)

1.已知二次函數(shù)了="2+區(qū)+°(。/0),圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0),對(duì)稱軸為直

線n二—對(duì)于下列結(jié)論：①仍。＜0；②〃-4ac〉0；③Q+b+c=O；（4）am2+bm＜^（a-2b）（其中

加。-J）；⑤若4再，必）和5（//2）均在該函數(shù)圖象上，且玉＞%＞1，則%＞為?其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共

有（）個(gè).

A.2B.3

2.已知二次函數(shù)＞="2+&+o（。。0）的圖象如圖所示，直線、=1是它的對(duì)稱軸，下列結(jié)論：①仍c〉0；

②/-4℃＞0;③3a+c＞0；④2a-6=0；⑤方程辦？+6x+c-3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

根.⑥（a+c）2＜/,其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2

3.設(shè)二次函數(shù)弘=加/-77X+1y2=x-nx+m（m,〃是實(shí)數(shù)，〃7/0）的最小值分別為p,g,貝U（）

A.若。-4=1,貝！|p=2,q=1B.若p-q=0,則p=q=°

C.若p+q=l,則。=q=g

D.若p+4=0,貝!|p=q=°

4.若拋物線M:y=#-（3"L3）x-3與拋物線"：＞=#+1（^+2〃+5關(guān)于y軸對(duì)稱，則機(jī)+"=

5.已知，（再,必）,3（々，如）是拋物線y="2-3x+l上的兩點(diǎn),其對(duì)稱軸是直線x=%,若昆-引＞%―/（）|

時(shí)，總有%＞外,同一坐標(biāo)系中有N（3,2）且拋物線J；=G2_3X+1與線段MN有兩個(gè)不相同的交

點(diǎn)，則。的取值范圍是

題型四二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系

1.如圖，二次函數(shù)>="2+云+4。彳0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2）且與工軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為多，入2,其中

-1<X1<0,1<%<2,下列結(jié)論①4a+26+c<0,②2a+6<0,③〃+8。>4ac，④a<T,⑤(a+cj<〃

其中結(jié)論正確的有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)

2.如圖，二次函數(shù)了="2+bx+c（。*0）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為無(wú)1，%與V軸正半軸的交點(diǎn)為C,

?1<再<0,x,=2,則下列結(jié)論正確的是（

A.b~-4ac<0B.9o++c>0D.a+b>0

3.拋物線yuaf+fcr+c(xwO)的部分圖象如圖，則下列說(shuō)法：①a6c>0；②2a+6=0；③〃>4ac；

(4^)a+6+c<—3,正確的是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)D.4個(gè)

4.二次函數(shù)了="2+瓜+。（。/0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①/一4ac>0;②a6c<0；③4a+6=0；

④9a-36+c<0.其中正確結(jié)論是.（請(qǐng)將正確結(jié)論的序號(hào)填在橫線上）

5.二次函數(shù)."="2+區(qū)+0e/0）的部分圖象如圖，圖象過(guò)點(diǎn)（-1,0））,對(duì)稱軸為直線x=,下列結(jié)論:

①4°+6=0；②9a+c>3b；③5a+c=0；④當(dāng)x>-l時(shí)，y的值隨x值的增大而增大;⑤

Aa+2b>am2+bm（m為任意實(shí)數(shù)）.其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）.

1.點(diǎn)5（3,%）,巴。，^^均在二次函數(shù)^二一產(chǎn)+為+^:的圖象上，則必，％,M的大小關(guān)系是

A.%>%>%B.yx=y2<y3C.必=%>%D.%%

2.二次函數(shù)y=^2+&+。的自變量x與函數(shù)值了的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

X0123

y1mn1

下列判斷正確的是()A.m>nB.m<nC.m=nD.m=In

3.已知拋物線y=-（無(wú)-W+26+c",c為常數(shù)）經(jīng)過(guò)不同的兩點(diǎn)（-2-4加-l+c,〃?）,那么該拋物線

的頂點(diǎn)坐標(biāo)不可能是下列中的（）

A.(-2,-7)B.(-1,-3)C.(1,8)D.(2,13)

4.若函數(shù)y=x2+6x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,0）和（3,0）,則該函數(shù)的對(duì)軸稱是直線

5.二次函數(shù)了=卜+1）（》-3）圖象的對(duì)稱軸為.

題型六二次函數(shù)的最值

I.______________________■

1.若關(guān)于x的方程r2-2x+w-l=0有兩個(gè)實(shí)根孫x2＞則再彳21；+x；）-2x；+4%的最大值是（）

A.3B.4C.4.5D.5

2.若函數(shù)-2x+l在a4x4a+2上的最小值為4,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.-3或3B.—1或1C.0或2D.2或4

3.二次函數(shù)了=a/+4x+l（。為實(shí)數(shù)，且。＜0）,對(duì)于滿足加的任意一個(gè)x的值，都有

-2WyW2,則加的最大值為（）

123

A.-B.-C.2D.-

232

4.二次函數(shù)y=2x2+4x+3的最小值是.

5.若點(diǎn)尸（私〃）在二次函數(shù)y=f-2尤+2的圖象上，且點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離不大于3,則"的取值范圍是

題型七待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

I_______________________

1.二次函數(shù)了="2+加+c的圖象過(guò)不同的六點(diǎn)/（一2,加一1）、B（-l,加）、C（0,必）、D（2,力）、

￡（3,%）、F（4,m+1）,則必、%、%的大小關(guān)系是（）

A.必＜%＜%B.yr＜y3＜y2C.為＜%＜弘D.

2.如圖，拋物線y=x2+6x+c（b,c為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)/。,0）,點(diǎn)網(wǎng)0,3）,點(diǎn)尸在該拋物線上，其橫坐標(biāo)

為m,若該拋物線在點(diǎn)尸左側(cè)部分（包括點(diǎn)P）的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2-加.則加的值為（）

.n3—yj~5?3+VscT_p.3—Vs

A.m=3B0.機(jī)=-----C.m=--------D.力2=3或加=-----

222

3.“人一定要有夢(mèng)想，萬(wàn)一實(shí)現(xiàn)了呢？”鞏立姣的這句賽后感言在網(wǎng)絡(luò)上廣為流傳，激勵(lì)了許多正在拼搏的

人.如圖①是她在鉛球練習(xí)中的一次擲球，鉛球出手以后的軌跡可近似看作是拋物線的一部分，已知鉛球

出手時(shí)離地面1.6米，鉛球離拋擲點(diǎn)水平距離3米時(shí)達(dá)到最高，此時(shí)鉛球離地面2.5米.如圖②，以水平面

為x軸，她所站位置的鉛垂線為丁軸建立平面直角坐標(biāo)系，則她擲鉛球的運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)表達(dá)式為（）

圖①

4.已知一次函數(shù)＞=履+4的圖像與了軸的交點(diǎn)為P,若二次函數(shù)7=辦2-56^+4°的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，則二

次函數(shù)的解析式為.

5.已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,-3）,且與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,5）,則該拋物線的解析式為

題型八二次函數(shù)圖像的平移

I________________________________

1.將二次函數(shù)y=（x-的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線

2

y=x+bx+cf貝!Jb,。的值分別是（）

A.6=4,c=2B.6=—8,c=18

C.b=4,c=6D.b=-8,c=14

2.將拋物線了=f通過(guò)一次平移可得到拋物線v=（x+5『，對(duì)這一平移過(guò)程描述正確的是（）

A.向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度B.向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度

3.將二次函數(shù)＞=。卜-力）2+上的圖像先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到二次函數(shù)

y=2（x-3『+/的圖像，則。、h、上的值為（）

A.i=2,〃=3,左=1B.a=2,h=5,k=—2

C.a=2,h=6,k=3D.a=2,/z=l,左=4

4.將拋物線y=5/向左平移2個(gè)單位.再向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式為

5.將二次函數(shù)y=x2的圖象先向上平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象的解析式為

題型九二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

1.如圖，若拋物線y=x2+6x+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為

A.（1,0）B.（2,0）C.（3,0）D.（4,0）

2.二次函數(shù)>=如2+及：+4。*0）的圖象如圖所示.下列結(jié)論:①。>0；②6<0；③〃-ZoO；@

a+b+c<0,其中正確的有（）

3.如果關(guān)于x的分式方程也?=2+4有整數(shù)解，且二次函數(shù)V=（加T）x）+2、+g的圖象與x軸有交點(diǎn),

x-22-x2

那么符合條件的所有整數(shù)加的個(gè)數(shù)有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

4.如圖，已知二次函數(shù)〉=/+為+。的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（一1,0）,點(diǎn)8（1,-2）,該圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,

則AC的長(zhǎng)為.

5.拋物線y=-/+6x+c的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程-Y+bx+cuO的解是

題型十圖像法確定一元二次方程的近似根

2.在估算一元二次方程/+12》-15=0的根時(shí)，小彬列表如右由此可估算方程/+121-15=0的一個(gè)根工

的范圍是（）.

X11.11.21.3

x2+12x-15-2-0.590.842.29

A.1<x<1.1B.1.1<x<1.2C.1.2<x<1.3D.x>1.3

3.一元二次方程/+及+°=3的兩個(gè)根分別為-2和4,若二次函數(shù)歹=/+及+。與x軸的交點(diǎn)為多,

%（占＜%2），則對(duì)于3，4的范圍描述正確的是（）

A.-2<項(xiàng)<4<%2B.-2<4<<x2C.-2<xi<x2<4D.<-2<4<x2

4.拋物線歹=%2-2;<:+0.5如圖所示，利用圖象可得方程V-2x+0.5=0的近似解為（精確到

0.1).

5.如圖，拋物線y=a/與直線y=6x+c的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為/（-3,6）,8（1,3）,則方程加-6x-c=0

的解是.

題型十一二次函數(shù)與不等式的關(guān)系

1.如圖是二次函數(shù)y=ox2+6x+c的圖像，則不等式辦?+6x+c<3的解集是（）

Mm

A.x<0B.x<-l或%>3C.0<x<2D.xvO或x〉2

2.我們規(guī)定：形如>="2+6忖+。伍<0）的函數(shù)叫作“M型”函數(shù).如圖是“M型”函數(shù)了=-—+4國(guó)-3的圖

象，根據(jù)圖象，以下結(jié)論：

①圖象關(guān)于了軸對(duì)稱；

②不等式工2-4忖+3<0的解集是-3<x<-l或l<x<3；

③方程3+4忖-3=左有兩個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)上<-3.正確的是（）

A.①②.B.②③.D.①②③.

3.新定義：若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為二倍點(diǎn).若二次函數(shù)y=V一2x+c（c為常

數(shù)）在-l<x<4的圖象上存在兩個(gè)二倍點(diǎn)，則c的取值范圍是（）

A.-5<c<4B.0<c<lC.-5<c<1D.0<c<4

4.如圖，已知拋物線y=辦2+反+。與直線歹=履+人相交于（一2,加）,（2,幾）兩點(diǎn)，貝IJ不等式a/+法一//2點(diǎn)一。

的取值范圍是.

5.如圖，一次函數(shù)尸履+6的圖像與二次函數(shù)歹="2+。的圖像交于力（—1,1）,5（2,4）兩點(diǎn)，則當(dāng)

kx+b>ax2+c,x的取值范圍為.

1.如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為6,動(dòng)點(diǎn)〃?沿4-8-C的路徑移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)〃■作MN〃8。交正方形的一

邊于點(diǎn)N,則A4W的面積＞與點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)的路程x之間形成的函數(shù)關(guān)系圖像大致是（）

2.如圖，當(dāng)某運(yùn)動(dòng)員以40m/s的速度將小球沿與地面成30。角的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線是一條拋物

線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度〃（單位：m）與飛行時(shí)間f（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系

/z=20f-5r.下列結(jié)論不正確的是（）

A.小球從飛出到落地要用4s

B.小球飛行的最大高度為20nl

C.當(dāng)小球飛出時(shí)間從Is到2s時(shí)，飛行的高度隨時(shí)間的增大而減小

D.當(dāng)小球飛出時(shí)間從3s到3.8s時(shí)，飛行的高度隨時(shí)間的增大而減小

3.如圖，三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，左右兩個(gè)拋物線形是全等的，正常水位時(shí)，大孔水面寬度

為20m,頂點(diǎn)距水面6m,小孔頂點(diǎn)距水面4.5m,當(dāng)水位上漲剛好淹沒(méi)小孔時(shí)，大孔的水面寬度為（）

A.5mB.5gmC.10mD.10V3m

4.如圖是拋物線型拱橋,當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m,水面下降2m,水面寬m.

i7S

5.一名男生參加拋實(shí)心球測(cè)試，已知球的高度V(m)與水平距離x(m)之間的關(guān)系是尸-/2+：龍+鼻,

則這名男生拋實(shí)心球的成績(jī)是m.

題型十三二次函數(shù)的綜合

I________________________________________________■

1.如圖，拋物線y=/+6x+c與x軸分別交于點(diǎn)/(TO),點(diǎn)、B,與夕軸交于點(diǎn)C(0,—3).

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)尸為該拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸/=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)"■(加,〃)(0＜加＜3)在拋物線上，當(dāng)加取何值時(shí)，AMBC的面積最大？并求出面積的最大值.

（圖1）（圖2）

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)E為第一象限拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡作近1/，》軸，垂足為點(diǎn)M,交直線BC于點(diǎn)N,設(shè)

點(diǎn)2的橫坐標(biāo)為加，EN長(zhǎng)為d,求d與"?的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量機(jī)的取值范圍)；

（3）如圖2,在（2）的條件下，直線了=-;x-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)/,且與y軸交于點(diǎn)。.點(diǎn)廠為線段上的一點(diǎn)，連

接尸N交x軸正半軸于點(diǎn)G,當(dāng)/GD尸=3/840時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

3.二次函數(shù)了="2+法+0（。/0）的圖象，與x軸交于原點(diǎn)和點(diǎn)￡,頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,4）.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）大家知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，過(guò)。（0,0）,￡（4,0）兩點(diǎn)可畫無(wú)數(shù)條拋物線，設(shè)頂點(diǎn)為。，過(guò)點(diǎn)

。向x軸、了軸作垂線，垂足為點(diǎn)M,N.求當(dāng)所得的四邊形OMQN為正方形時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式；

（3）G點(diǎn)在（1）中求出的二次函數(shù)圖象上，且〃點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,2）,是否存在△GHE的面積為2,若存在，

求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

4.閱讀下面的問(wèn)題及其解決途徑.結(jié)合閱讀內(nèi)容，完成下面的問(wèn)題.

（1）填寫下面的空格.

y=~6

問(wèn)題：將函數(shù)X的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是什么？

二'點(diǎn)P在原函數(shù)圖像上.）

、_________1

1/

?/

:/

設(shè)平移后新的函數(shù)圖(f平移后的圖像對(duì)

1/

將點(diǎn)P向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)1，

■.

像上任意點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式

度得點(diǎn)/（上，▲）.

為（X,y）.為▲.

（2）將函數(shù)y=lx?+3尤+1的圖象沿了軸翻折，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為

(3)將函數(shù)了="2+加+。(a,b,c是常數(shù)，a*0)的圖象先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿V軸翻折，最后

繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，求所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

5.城市綠化部門定期安排灑水車為公路兩側(cè)綠化帶澆水，如圖1,灑水車沿著平行于公路路牙方向行駛，

噴水口以離地豎直高度為1.5m.如圖2,可以把灑水車噴出水的內(nèi)、外邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩

條拋物線的部分圖象把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,其水平寬度。E=3m,豎直高度跖=0.5m.內(nèi)

邊緣拋物線”是由外邊緣拋物線M向左平移得到，外邊拋物線必最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m,高出

噴水口0.5m,

圖1

(1)求外邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；

(2)求內(nèi)邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)8。=1m時(shí)，判斷灑水車行駛時(shí)噴出的水能否澆灌到整個(gè)綠化帶，并說(shuō)明理由.

IIII?

題型十四二次函數(shù)與幾何的綜合

I._________________________r

1.已知拋物線＞=/+云+C與X軸交于點(diǎn)8(3,0)兩點(diǎn)，與〉軸交于點(diǎn)C,連接3c.

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)使得8、C兩點(diǎn)到直線的距離相等，如果存在，求出點(diǎn)"的坐標(biāo)，如果

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)尸為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以尸為旋轉(zhuǎn)中心，把線段2c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段G7/,其中點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

點(diǎn)G,當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸剛好經(jīng)過(guò)G”中點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

2.拋物線夕="2+云+,經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(-3,0),8(1,0),與y軸交于點(diǎn)C