二次函數(shù)的最值（解析）-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)在某一閉區(qū)間上的最值：

首先將二次函數(shù)式化為y=a（x—k）2+h的形式.

1.若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間上，則

當(dāng)a>0時(shí)，

在頂點(diǎn)處取得最小值，

在離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得最大值.

當(dāng)a<0時(shí)，

在頂點(diǎn)處取得最大值,

在離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得最小值.

二次函數(shù)在某一閉區(qū)間上的最值：

首先將二次函數(shù)式化為y=a（x—kF+h的形式.

2.若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上，則

當(dāng)a>0時(shí)，

最小值在距離對稱軸較近的端點(diǎn)處取得,

最大值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得.

當(dāng)a<0時(shí)，

最大值在距離對稱軸較近的端點(diǎn)處取得,

最小值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得.

3.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題的思路：

抓住"三點(diǎn)一軸"數(shù)形結(jié)合，

"三點(diǎn)"是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，

"一軸"指的是對稱軸，結(jié)合配方法，

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想解決問題.

1.函數(shù)了=f+4》+3在［―1,0］上的最小值是（）【答案】B

A.-1B.0C.1D.3

2.當(dāng)0<x?3時(shí)，二次函數(shù)/（九）=必一4尤+3的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[f(D,/(O)]B.[/(2),/(3)]

c.[f(3),/(0)]D.[/(2),/(0)]

【答案】D

【解析】??"(x)=(x-2)2—1,0<%<3,

???/(%焉=于⑵，/(X)max=f(0)?

3.函數(shù)/(x)=2+2x-x?,xe[0,3]的值域是()

A.(—8,3]B.[-1,3]

C.[—2,3]D.(—3,+8)

【答案】B

—

,*,f(x)—(x—1)2+3,xE,[0,3]J

...=/(3)=-1,—=/(1)=3?

4.對任意的xe[—2,1]時(shí)，不等式為2+2x—a<o恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(—00,0]B.(—00,3]C.[0,+oo)D.[3,4-00)

【答案】D

【解析】設(shè)/0）=爐+2》一。，；./。）1_<0-

:二次函數(shù)開口向上，最大值在端點(diǎn)處取得,

/(-2)<0

解得a>3.

/(1)<0

考點(diǎn)一對稱軸、區(qū)間都給定

【例1】如果函數(shù)/（%）=必+伍+1h+6（>6[0力]）的圖象關(guān)于直線1=1對稱，求函數(shù)

/（x）的的最大值為最小值為則M+m的值為（）

A.8B.16C.24D.40

【答案】C

a+1

------二1

2a=-3

【解析】在［a,句上的圖象關(guān)于直線x=l對稱，.,?<:解得

a+b1b=5

----二1

[2

/(x)-X2-2x+5,xe[-3,5]./(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4.

???%=lw[—3,5]，???%=1時(shí)，/(%)*=4；/(磯1ax=〃—3)=/(5)=20.

【方法技巧】二次函數(shù)/0)=以2+法+。在［/〃,川|上的最值：

b

(1)當(dāng)x=------e[m,n]Ht,

2a

4ac-b2?.人日，+

--------是它的一個(gè)最值,

4a

另一個(gè)最值在區(qū)間端點(diǎn)處取得.

b

(2)當(dāng)％=----［［m,n］時(shí)，

2a

最大值和最小值分別在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處取得.

考點(diǎn)二對稱軸定、區(qū)間變動(dòng)

【例2】已知二次函數(shù)/(幻=必—2x+2,在+上有最大值g⑺，求g⑺的解

析式.

【解析】???/(X)=/—2X+2,對稱軸是X=1.

當(dāng)即時(shí)，有g(shù)?)=/?)=產(chǎn)一2/+2,

當(dāng)^^〉1,即時(shí)，有g(shù)⑺=/?+1)=產(chǎn)+1,

2cc1

t—2t+2,%?—,

2

【方法技巧】二次函數(shù)/(x)=ajc2+bx+c(a>0)在區(qū)間［相,n］上的最值的步驟:

(1)求最大值時(shí)需分兩類，

±

當(dāng)X-Tn-\-H.r/、r/、

-一時(shí)，/(?max=/(〃)；

2±?

當(dāng)X-

-之三一時(shí)，/Max=/(㈤?

2?

(2)求最小值時(shí)需分三類.

。

當(dāng)

X

-

-

-

；

/(附

焉=

，/。

<7"時(shí)

2?

±

X

當(dāng)b

-

-

--);

=/(

)^

，/(x

,n\時(shí)

e[m

X

2a

2a

±

當(dāng)

-

-

-

)-

=/(?

^n

，/(X

>“時(shí)

2a

解

。⑺的

⑺，求

小值°

上有最

j+l]

xe[/

2,在

2%+

=好一

數(shù)/(%)

二次函

】已知

【變式

析式.

2

l,

=t+

+l)

=f(t

，(p(t)

<0時(shí)

,即/

1<1

】當(dāng)。+

【解析

1,

/⑴=

雙力=

1時(shí)，

WY

,即0

f+1

當(dāng)YlW

,

2t+2

——

f(?)

((t)—

時(shí),p

當(dāng)1>1

t<0,

t~+1,

V1,

0V/

,

=<1

；?(p(t)

.

Z>1

/+2,

/—2

間固定

動(dòng)、區(qū)

對稱軸

考點(diǎn)三

的解

g(a)

a),求

值g(

最小

]上有

e[0,2

,當(dāng)x

以-1

f—2

)=-

數(shù)/(x

次函

知二

】已

【例3

析式.

2

2

.

=—1

軸是x

對稱

—a,

+a)

—(%

(x)=

】f

【解析

,

5-4a

2)--

)-/(

，g(a

時(shí)

,即

VI

當(dāng)一a

1,

)=-

=/(0

(a)

時(shí)，g

<一1

即。

>l,

當(dāng)一a

1,

a<—

—1,

={

g(a)

l.

a>

4a,

[-5-

驟：

的步

最值

上的

[冽,n\

在區(qū)間

<0)

+c(a

？+法

)=奴

數(shù)/(x

次函

】二

技巧

【方法

類，

分三

時(shí)需

大值

求最

(1)

b

)；

=/(m

max

，/(?

<7"時(shí)

-「

當(dāng)％=

2a

-)；

/(-

)^=

，/(x

,汨時(shí)

e["2

=一丁

當(dāng)工

2a

2a

b

/(〃)?

ax=