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文檔簡(jiǎn)介
二次函數(shù)的最值
二次函數(shù)在某一閉區(qū)間上的最值:
首先將二次函數(shù)式化為y=a(x—k)2+h的形式.
1.若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間上,則
當(dāng)a>0時(shí),
在頂點(diǎn)處取得最小值,
在離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得最大值.
當(dāng)a<0時(shí),
在頂點(diǎn)處取得最大值,
在離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得最小值.
二次函數(shù)在某一閉區(qū)間上的最值:
首先將二次函數(shù)式化為y=a(x—kF+h的形式.
2.若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上,則
當(dāng)a>0時(shí),
最小值在距離對(duì)稱軸較近的端點(diǎn)處取得,
最大值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得.
當(dāng)a<0時(shí),
最大值在距離對(duì)稱軸較近的端點(diǎn)處取得,
最小值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得.
3.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題的思路:
抓住"三點(diǎn)一軸"數(shù)形結(jié)合,
"三點(diǎn)"是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn),
"一軸"指的是對(duì)稱軸,結(jié)合配方法,
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想解決問(wèn)題.
1.函數(shù)了=f+4》+3在[―1,0]上的最小值是()【答案】B
A.-1B.0C.1D.3
2.當(dāng)0<x?3時(shí),二次函數(shù)/(九)=必一4尤+3的值域?yàn)椋ǎ?/p>
A.[f(D,/(O)]B.[/(2),/(3)]
c.[f(3),/(0)]D.[/(2),/(0)]
【答案】D
【解析】??"(x)=(x-2)2—1,0<%<3,
???/(%焉=于⑵,/(X)max=f(0)?
3.函數(shù)/(x)=2+2x-x?,xe[0,3]的值域是()
A.(—8,3]B.[-1,3]
C.[—2,3]D.(—3,+8)
【答案】B
—
,*,f(x)—(x—1)2+3,xE,[0,3]J
...=/(3)=-1,—=/(1)=3?
4.對(duì)任意的xe[—2,1]時(shí),不等式為2+2x—a<o恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.(—00,0]B.(—00,3]C.[0,+oo)D.[3,4-00)
【答案】D
【解析】設(shè)/0)=爐+2》一。,;./。)1_<0-
:二次函數(shù)開(kāi)口向上,最大值在端點(diǎn)處取得,
/(-2)<0
解得a>3.
/(1)<0
考點(diǎn)一對(duì)稱軸、區(qū)間都給定
【例1】如果函數(shù)/(%)=必+伍+1h+6(>6[0力])的圖象關(guān)于直線1=1對(duì)稱,求函數(shù)
/(x)的的最大值為最小值為則M+m的值為()
A.8B.16C.24D.40
【答案】C
a+1
------二1
2a=-3
【解析】在[a,句上的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱,.,?<:解得
a+b1b=5
----二1
[2
/(x)-X2-2x+5,xe[-3,5]./(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4.
???%=lw[—3,5],???%=1時(shí),/(%)*=4;/(磯1ax=〃—3)=/(5)=20.
【方法技巧】二次函數(shù)/0)=以2+法+。在[/〃,川|上的最值:
b
(1)當(dāng)x=------e[m,n]Ht,
2a
4ac-b2?.人日,+
--------是它的一個(gè)最值,
4a
另一個(gè)最值在區(qū)間端點(diǎn)處取得.
b
(2)當(dāng)%=----[[m,n]時(shí),
2a
最大值和最小值分別在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處取得.
考點(diǎn)二對(duì)稱軸定、區(qū)間變動(dòng)
【例2】已知二次函數(shù)/(幻=必—2x+2,在+上有最大值g⑺,求g⑺的解
析式.
【解析】???/(X)=/—2X+2,對(duì)稱軸是X=1.
當(dāng)即時(shí),有g(shù)?)=/?)=產(chǎn)一2/+2,
當(dāng)^^〉1,即時(shí),有g(shù)⑺=/?+1)=產(chǎn)+1,
2cc1
t—2t+2,%?—,
2
【方法技巧】二次函數(shù)/(x)=ajc2+bx+c(a>0)在區(qū)間[相,n]上的最值的步驟:
(1)求最大值時(shí)需分兩類,
±
當(dāng)X-Tn-\-H.r/、r/、
-一時(shí),/(?max=/(〃);
2±?
當(dāng)X-
-之三一時(shí),/Max=/(㈤?
2?
(2)求最小值時(shí)需分三類.
。
當(dāng)
X
-
-
-
;
/(附
焉=
,/。
<7"時(shí)
2?
±
X
當(dāng)b
-
-
--);
=/(
)^
,/(x
,n\時(shí)
e[m
X
2a
2a
±
當(dāng)
-
-
-
)-
=/(?
^n
,/(X
>“時(shí)
2a
解
。⑺的
⑺,求
小值°
上有最
j+l]
xe[/
2,在
2%+
=好一
數(shù)/(%)
二次函
】已知
【變式
析式.
2
l,
=t+
+l)
=f(t
,(p(t)
<0時(shí)
,即/
1<1
】當(dāng)。+
【解析
1,
/⑴=
雙力=
1時(shí),
WY
,即0
f+1
當(dāng)YlW
,
2t+2
——
f(?)
((t)—
時(shí),p
當(dāng)1>1
t<0,
t~+1,
V1,
0V/
,
=<1
;?(p(t)
.
Z>1
/+2,
/—2
間固定
動(dòng)、區(qū)
對(duì)稱軸
考點(diǎn)三
的解
g(a)
a),求
值g(
最小
]上有
e[0,2
,當(dāng)x
以-1
f—2
)=-
數(shù)/(x
次函
知二
】已
【例3
析式.
2
2
.
=—1
軸是x
對(duì)稱
—a,
+a)
—(%
(x)=
】f
【解析
,
5-4a
2)--
)-/(
,g(a
時(shí)
,即
VI
當(dāng)一a
1,
)=-
=/(0
(a)
時(shí),g
<一1
即。
>l,
當(dāng)一a
1,
a<—
—1,
={
g(a)
l.
a>
4a,
[-5-
驟:
的步
最值
上的
[冽,n\
在區(qū)間
<0)
+c(a
?+法
)=奴
數(shù)/(x
次函
】二
技巧
【方法
類,
分三
時(shí)需
大值
求最
(1)
b
);
=/(m
max
,/(?
<7"時(shí)
-「
當(dāng)%=
2a
-);
/(-
)^=
,/(x
,汨時(shí)
e["2
=一丁
當(dāng)工
2a
2a
b
/(〃)?
ax=
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