二元一次方程組 章節(jié)復(fù)習(xí)卷（13個知識點+50題練習(xí)）（解析版）

第10章二元一次方程組章節(jié)復(fù)習(xí)卷（13個知識點

+50題練習(xí)）

知識點

知識點1.二元一次方程的定義

（1）二元一次方程的定義

含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.

（2）二元一次方程需滿足三個條件①首先是整式方程.②方程中共含有兩個未知數(shù).③

所有未知項的次數(shù)都是'次.不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程.

知識點2.二元一次方程的解

（1）定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程

的解.

（2）在二元一次方程中，任意給出一個未知數(shù)的值，總能求出另一個未知數(shù)的一個唯一確

定的值，所以二元一次方程有無數(shù)解.

（3）在求一個二元一次方程的整數(shù)解時，往往采用“給一個，求一個”的方法，即先給出

其中一個未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個的對應(yīng)值.

知識點3.解二元一次方程

二元一次方程有無數(shù)解.求一個二元一次方程的整數(shù)解時，往往采用“給一個，求一個”的

方法，即先給出其中一個未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個的對

應(yīng)值.

知識點4.由實際問題抽象出二元一次方程

（1）由實際問題列方程是把“未知”轉(zhuǎn)化為“己知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和

未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系.

（2）一般來說，有2個未知量就必須列出2個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示

的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相符.

（3）找等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵和難點.常見的一些公式要牢記，如利潤問題，路程問題,

比例問題等中的有關(guān)公式.

知識點5.二元一次方程的應(yīng)用

二元一次方程的應(yīng)用

（1）找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）挖掘題目中的關(guān)系，找出等量關(guān)系，列出二元一次方程.

（4）根據(jù)未知數(shù)的實際意義求其整數(shù)解.

知識點6.二元一次方程組的定義

（1）二元一次方程組的定義：

由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組.

（2）二元一次方程組也滿足三個條件：

①方程組中的兩個方程都是整式方程.

②方程組中共含有兩個未知數(shù).

③每個方程都是一次方程.

知識點7.二元一次方程組的解

（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點，當遇到

有關(guān)二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

知識點8.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程,

將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.②將變形后的關(guān)系式

代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程.③解這個一元一次方程，求

出x（或y）的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個未知數(shù)的

值.⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元

一次方程.③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程

組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，

就得到原方程組的解，用|,力的形式表示.

ly=b

知識點9.由實際問題抽象出二元一次方程組

（1）由實際問題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把己知量

和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系.

（2）一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示

的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相符.

（3）找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點，有如下規(guī)律和方法：

①確定應(yīng)用題的類型，按其一般規(guī)律方法找等量關(guān)系.②將問題中給出的條件按意思分割

成兩個方面，有“；”時一般“；”前后各一層，分別找出兩個等量關(guān)系.③借助表格提供

信息的，按橫向或縱向去分別找等量關(guān)系.④圖形問題，分析圖形的長、寬，從中找等量

關(guān)系.

知識點10.二元一次方程組的應(yīng)用

（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組.

（4）求解.

（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程.

知識點1L同解方程組

同解方程組定義：如果兩個方程組的解相同，那么這兩個方程組就是同解方程組.

關(guān)于兩個方程組同解的問題，要知道兩個方程組四個二元一次方程都有同一組公共解，即隨

便把其中兩個方程聯(lián)立成方程組，解仍然相同.

知識點12.解三元一次方程組

（1）三元一次方程組的定義：方程組含有三個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都

是1,并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

（2）解三元一次方程組的一般步驟：

①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組

中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組.②然后解這個二元一次

方程組，求出這兩個未知數(shù)的值.③再把求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系

數(shù)比較簡單的方程，得到一個關(guān)于第三個未知數(shù)的一元一次方程.④解這個一元一次方程,

求出第三個未知數(shù)的值.⑤最后將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起即可.

知識點13.三元一次方程組的應(yīng)用

在解決實際問題時，若未知量較多，要考慮設(shè)三個未知數(shù)，但同時應(yīng)注意，設(shè)幾個未知數(shù),

就要找到幾個等量關(guān)系列幾個方程.

（1）把求等式中常數(shù)的問題可轉(zhuǎn)化為解三元一次方程組，為以后待定系數(shù)法求二次函數(shù)解

析式奠定基礎(chǔ).

（2）通過設(shè)二元與三元的對比，體驗三元一次方程組在解決多個未知數(shù)問題中的優(yōu)越性.

練習(xí)卷

--二元一次方程的定義（共2小題）

1.（2023春?旺胎縣期末）下列屬于二元一次方程的是（）

2]

A.x2+y-0B.x-2y=0C.x=——I-1D.y+—=xy

y2

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義逐一判斷即可，二元一次方程的定義是含有兩個未知數(shù)且

含有未知數(shù)的項的次數(shù)都為1.

【解答】解A.該方程中含有兩個未知數(shù)，但是含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2,不屬于

二元一次方程，故本選項錯誤.

8、該方程中符合二元一次方程的定義，故本選項正確.

C、該方程不是整式方程，不屬于二元一次方程，故本選項錯誤.

。、該方程中含有兩個未知數(shù)，但是含有未知數(shù)的項最高次數(shù)是2,不屬于二元一次方程,

故本選項錯誤.

故選：B.

【點評】考查了二元一次方程的定義，二元一次方程必須符合以下三個條件：

（1）方程中只含有2個未知數(shù)；

（2）含未知數(shù)項的最高次數(shù)為一次；

（3）方程是整式方程.

2.0023春?射陽縣期中）方程（加-2）x-嚴吊=i是關(guān)于x,/的二元一次方程，則切=4.

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義計算即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：|加一3|=1且“2-2*0,

m=4.

故答案為：4.

【點評】本題考查了二元一次方程的定義，掌握二元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵，含有兩

個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程，注意x前

面的系數(shù)不等于0.

二.二元一次方程的解（共3小題）

[X=—1

3.（2023春?徐州期末）已知1是二元一次方程機x+2y=l的解，則=3.

口=2

【分析】根據(jù)二元一次方程解的定義，將x,＞的值代入二元一次方程即可解答.

【解答】解：已知尸一是二元一次方程i2y=1的解，

b=2

-m+2x2=1,

解得in=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了二元一次方程的解，是一個基礎(chǔ)題目，根據(jù)二元一次方程解的定義即可

求解.

4.（2023春?如東縣校級期中）已知尸=2是二元一次方程＞-6=7的解，則左的值是（

）

A.2B.-2C.4D.-4

【分析】將尸=2代入二元一次方程y一依=7,得到關(guān)于左的一元一次方程，解方程即可

[^=-1

求解.

【解答】解：根據(jù)題意得，-1-2左=7,

解得：k=—4.

故選：D.

【點評】本題考查了二元一次方程的解的定義，掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)

鍵.

5.（2023春?海安市校級期中）已知x=4,y=-2,與x=-2,y=-5都是方程〉=履+6

的解，求6-左的值.

【分析】把X與y的兩對值代入方程計算，即可求出左與b的值，再代入式子進行計算即

可.

（一2=4"+

【解答】解：把x=4,y=-2^x=-2,>=一5代入方程得：一，，，

■[-5=-2^+6

L-1

解得：2，

b=-4

.■.^-Z）=l-（-4）=4.5.

【點評】此題考查了二元一次方程的解，方掌握程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)

的值是關(guān)鍵.

三.解二元一次方程（共3小題）

6.（2023春?宿遷期末）已知》與歹互為相反數(shù)，且3工-2>=5.則x,歹分別為（）

fx—1|%■—1Ix—5fx—5

A.\B.\C.\D.\

b=-lb=l卜=517=-5

【分析】根據(jù)X與y互為相反數(shù)，得到x+y=0,與已知方程聯(lián)立求出X與y的值即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：2+?二°①

[3x-2y=5?

①x2+②得：5x=5,

解得：x=\,

把％=1代入①得：1+y=0,

解得：y=-l,

[x=1

則方程組的解為

b=-i

故選：A.

【點評】此題考查了解二元一次方程，解二元一次方程組，相反數(shù)，熟練掌握二元一次方程

組的解法是解本題的關(guān)鍵.

7.（2023春?鎮(zhèn)江期末）寫出方程x+2y=5的正整數(shù)解：_x=l/了=2或x=3「

y=1_-

【分析】要求方程x+2y=5的正整數(shù)解，就要先將方程做適當變形，根據(jù)解為正整數(shù)確定

其中一個未知數(shù)的取值范圍，再分析解的情況.

【解答】解：由已知得x=5-2y,

要使X,y都是正整數(shù)，必須滿足：①5-2了>0,求得②y>0

根據(jù)以上兩個條件可知，合適的y值只能x=l,2,

相應(yīng)的y值為x=3,1.

二.方程x+2y=5的正整數(shù)解是x=l,y=2或x=3,y=l.

【點評】本題是求不定方程的整數(shù)解，先將方程做適當變形，確定其中一個未知數(shù)的取值范

圍，然后列舉出適合條件的所有整數(shù)值，再求出另一個未知數(shù)的值.

8.（睢寧縣校級月考）在二元一次方程5x-3y=16中，若x、y互為相反數(shù)，求x與y

值.

【分析】根據(jù)x,y互為相反數(shù)，得到x+y=O,與已知等式聯(lián)立求出x與y的值即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：①，

[x+y=0②

①+②x3得：8x=16,即x=2,

JEX=2代入②得：y=-2.

【點評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

四.由實際問題抽象出二元一次方程（共2小題）

9.（揚州校級月考）籠中有x只雞y只兔，共有36只腳，能表示題中數(shù)量關(guān)系的方程是（

）

A.x+y=lSB.x+y=36C.4x+2y=36D.2x+4>=36

【分析】根據(jù)“一只雞2只腳，一只兔子4只腳，共有36只腳”列出方程.

【解答】解：x只雞有2x只腳，y只兔有勺只腳，則2x+4y=36.

故選：D.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程.由實際問題列方程是把“未知”轉(zhuǎn)化

為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)

系.

10.（銅山區(qū)期末）甲、乙兩人各工作5天，共生產(chǎn)零件80件.設(shè)甲每天生產(chǎn)零件X件，乙

天生產(chǎn)零件y件，可列二元一次方程—5（x+y）=80_.

【分析】根據(jù)5（甲+乙）=80列出方程，此題得解.

【解答】解：依題意得：5（x+y）=8O.

故答案為：5（x+y）=80.

【點評】考查了由實際問題抽象出二元一次方程，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系.

五.二元一次方程的應(yīng)用（共6小題）

11.（2023春?高郵市期中）把面值20元的紙幣換成1元或5元的紙幣，則換法共有（）

A.4種B.5種C.6種D.7種

【分析】設(shè)1元和5元的紙幣分別有x、y張，得到方程x+5y=20,然后根據(jù)x、y都是

自然數(shù)即可確定x、y的值.

【解答】解：設(shè)1元和5元的紙幣分別有x、y張，

?把面值20元的紙幣換成1元或5元的紙幣，

:.x+5y=20，

x=20-5y,

而x...0,y...0,且x、y是整數(shù)，

:.y=l,2,3,4,0,x=15,10,5,0,20.

.?.有5種換法.

故選：B.

【點評】此題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，此題首先要正確理解題意，根據(jù)題意找出題

目的隱含條件，然后利用這些條件列出方程或不等式解決問題.

12.（2023春?江都區(qū)期末）小凡出門前看了下智能手表上的運動NPP,發(fā)現(xiàn)步數(shù)計數(shù)是一

個兩位數(shù)，步行下樓后發(fā)現(xiàn)十位數(shù)字與個位上數(shù)字互換了，到小區(qū)門口時，發(fā)現(xiàn)步數(shù)計數(shù)比

下樓后看到的兩位數(shù)中間多了個1,且從出門到小區(qū)門口共走了586步，則出門時看到的步

數(shù)是26.

【分析】設(shè)出門時看到的步數(shù)的十位數(shù)字為x,個位數(shù)字為y，根據(jù)從出門到小區(qū)門口共走了586步，可

列出關(guān)于x,y的二元一次方程，結(jié)合x,y均為一位正整數(shù)，即可得出x,y的值，再將其代入

(lOx+y)中，即可求出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)出門時看到的步數(shù)的十位數(shù)字為x,個位數(shù)字為y,

根據(jù)題意得：100y+10+x—(lOx+>)=586,

:.lly=64+x.

又???、，y均為一位正整數(shù)，

fx=2

'Lv=6'

1Ox+y=10x2+6=26,

即出門時看到的步數(shù)是26.

故答案為：26.

【點評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵.

13.(2023春?沐陽縣期末)為落實“雙減”政策，劉老師把班級里10名學(xué)生分成若干小組

進行小組互助學(xué)習(xí)，每小組只能是2人或3人，則有2種分組方案.

【分析】設(shè)可以分成尤組2人組，y組3人組，根據(jù)互助學(xué)習(xí)小組共10名學(xué)生，可列出關(guān)

于x,y的二元一次方程，結(jié)合x,y均為自然數(shù)，即可得出共有2種分組方案.

【解答】解：設(shè)可以分成x組2人組，丁組3人組，

根據(jù)題意得：2x+3y=10,

「3

:.x=5----y,

2

又???x,y均為自然數(shù)，

，產(chǎn)或「，

V=o卜=2

???共有2種分組方案.

故答案為：2.

【點評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的

關(guān)鍵.

14.(2023春?沛縣期末)“母親節(jié)”當天，小明去花店為媽媽選購鮮花，若康乃馨每枝2元,

百合每枝3元，小明計劃用30元購買這兩種鮮花（兩種都買），則不同的購買方案共有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

【分析】設(shè)可以購買無支康乃馨，了支百合，根據(jù)總價=單價x數(shù)量，即可得出關(guān)于尤，y

的二元一次方程，結(jié)合x,y均為正整數(shù)即可得出小明有4種購買方案.

【解答】解：設(shè)可以購買無支康乃馨，丁支百合,

依題意，得：2x+3y=30,

2

/.y—10—x.

3

???X,V均為正整數(shù)，

[x=3[x=6.\x=9fx=12

卜=8[y=6[y=4[y=2

小明有4種購買方案.

故選：B.

【點評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的

關(guān)鍵.

15.（天寧區(qū)校級月考）某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計劃同時租用/型車“輛，2型車8輛，

準備一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物.已知：每輛/型車載滿貨物一次可運貨3噸,

每輛B型車載滿貨物一次可運貨4噸.

（1）請你幫該物流公司設(shè)計租車方案；

（2）若/型車每輛需租金100元/次，8型車每輛需租金120元/次.請選出最省錢的租車

方案，并求出最少租車費.

【分析】（1）由/型車所載的貨+8型車所載的貨=31噸，列出方程，然后由。、人都是整

數(shù)來解方程；

（2）根據(jù)（1）中所求方案，利用/型車每輛需租金100元/次，3型車每輛需租金120元

/次，分別求出租車費用即可.

【解答】解（1）依題意得：3a+46=31,

因為b都是整數(shù)，

a=9Q=5_p.Cl—\

所以,或,或

b=lb=4b=7

答：有3種租車方案：

方案一：/型車9輛，8型車1輛;

方案二：/型車5輛，2型車4輛;

方案三：/型車1輛，8型車7輛.

（2）?.?/型車每輛需租金100元/次，8型車每輛需租金120元/次,

.,.方案一需租金：9x100+1x120=1020（元）

方案二需租金：5x100+4x120=980（元）

方案三需租金：1x100+7x120=940（元）

?■?1020>980>940

.?.最省錢的租車方案是方案三：/型車1輛，8型車7輛，最少租車費為940元.

【點評】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的實際應(yīng)用，此題型是各地中考的

熱點，同學(xué)們在平時練習(xí)時要加強訓(xùn)練，屬于中檔題.

16.（揚州期中）某校七年級初一（20）班組織由男生和女生組成的小組去參加義務(wù)植樹活動,

男生每人植樹4棵，女生每人植樹3棵，全組共植樹48棵，設(shè)男生有x人，女生有y

人.

（1）請列出關(guān)于x、y的二元一次方程：_4x+3y=48_；

（2）在下面的表格中寫出該組男生人數(shù)、女生人數(shù)的所有可能情況：

男生人數(shù)（X）369

女生人數(shù)（J）1284

（3）根據(jù)你列的方程，再編一個類似的實際問題.

【分析】（1）由題意可得等量關(guān)系：男生植樹的棵樹+女生植樹的棵樹=48棵;

（2）男生和女生人數(shù)都為整數(shù)，分別討論二元一次方程的整數(shù)解；

（3）編應(yīng)用題時一定要符合實際情況.

【解答】解：（1）由題意得：男生植樹4x棵；女生植樹3x棵；

4x+3y=48；

（2）x,y表示學(xué)生人數(shù),

.?.必須為正整數(shù)，也就是求4x+3y=48的正整數(shù)解,

當x=3時，y=12,

當x=6時，y=8,

當x=9時，y=4,

（3）汶川地震過后，某班小學(xué)生捐款獻愛心，有的學(xué)生捐3元，有的捐4元，全班共捐款

48元，算一算有多少捐3元，有多少捐4元的學(xué)生？

【點評】此題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)方程編應(yīng)用題是一個開放性的題目，充

分鍛煉了學(xué)生的思維.

六.二元一次方程組的定義（共2小題）

17.（2022春?興化市月考）下列方程中，是二元一次方程組的是（）

?[x-2y=3?x+^~[3（x-4）-2x=l?23一

l"2z=7y_l=_1卜一k52x+3y」

.xL2

A.①②③B.②③C.③④D.①②

【分析】組成二元一次方程組的兩個方程應(yīng)共含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的項最高次數(shù)都應(yīng)

是一次的整式方程.

【解答】解：①不是二元，是三元，故此選項錯誤；

②工是分式，故該選項錯誤；

③符合二元一次方程組的定義；

④符合二元一次方程組的定義.

故選：C.

【點評】此題主要考查了二元一次方程組的定義，一定要緊扣二元一次方程組的定義“由兩

個二元一次方程組成的方程組”，細心觀察排除，得出正確答案.

18.（2022春?海門市校級期中）下列方程組是二元一次方程組的是（）

A,卜。-2=0--1=

B.:x

[y=x+1

3x+y=0

x-y=lD.

C.

xy=2[>=2x+3

【分析】利用二元一次方程組的定義判斷即可.

【解答】解：*;二是二元一次方程組’

故選：D.

【點評】此題考查了二元一次方程組的定義，熟練掌握二元一次方程組的定義是解本題的關(guān)

鍵.

七.二元一次方程組的解（共6小題）

19.（2023春?睢寧縣月考）已知關(guān)于x,＞的方程組卜+“=1°的解是尸=1,則關(guān)于x,

[mx-ny=6U=2

1a(x+y)+|/)(x-y)=10

y的方程組?::的解為()

—m(x+y)——n(x-y)=8

、23

(x=2[x=4]x=3

A.B.1C.<D.V=2

1;:21y=1[J=-2

【分析】把所求方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、6的形式，然后根據(jù)已知方程組的解列出關(guān)于x、J

的方程組的解，再求解即可.

x+y7x-y1八

a?——-+b-------=10

【解答】解：方程組變形為23

23

ax-l-by=10口x=l

???關(guān)于X,y的方程組c的解是

mx-ny=6j=2

且=1

2

???所求的方程組中

。=2

[3

x+y=2

整理得,

x-y=6

解得廣=4

U=-2

即所求方程組的解是J

2=-2

故選：C.

【點評】本題考查了二元一次方程組的解，把所求方程整理成關(guān)于。、b,m,〃的形式,

并列出關(guān)于x、y的方程組是解題的關(guān)鍵，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.

20.（2023春?江陰市期中）請寫出一個二元一次方程組=5（答案不唯一），

=1

使它的解為

U=2

【分析】根據(jù)二元一次方程組的解為找到x與〉的數(shù)量關(guān)系，然后列出方程組即

b=2

可.

【解答】解：???二元一次方程組的解為卜=3,

卜=2

這個方程組可以是+=5（答案不唯一）.

[x-y=l

故答案為：=5（答案不唯一）.

[x-y=1

【點評】本題考查的是二元一次方程組解的定義，解答此題的關(guān)鍵是把方程的解代入各組方

程中，看各方程是否成立.

21.（2023春?興化市期末）若二元一次方程組2+2歹=，-1的解也是二元一次方程

[2x+>=5左+4

%+歹=—1的解，則左的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【分析】將①+②，整體代入求解即可.

x+2y=k-1①

【解答】解:方程組

2x+y=5k+4②

①+②得：3x+3y=6k+3,

整理得：x+y=2k+1,

x+y=-1,

2左+1=—1,

解得：k=-\,

故選：A.

【點評】本題考查了含參數(shù)的二元一次方程組的整體代入求法，掌握求法是解題的關(guān)鍵.

1\=一1

22.（2023春?南京期末）寫出一個解為一的二元一次方程組是

x-y=-2

x+y=Q-

【分析】所謂方程組的解，指的是該數(shù)值滿足方程組中的每一方程.在求解時，應(yīng)先圍繞

"x=-1

<列一組算式，然后用無，y代換即可列不同的方程組.

[y=i

"x=-1

【解答】解：先圍繞1列一組算式如-1-1=-2,-1+1=0,

b=1

然后用無，歹代換得如1'等.

x+j=0

答案不唯一，符合題意即可.

x—y=-2

故答案為：\

x+j=0

【點評】考查了二元一次方程組的解，此題是開放題，要學(xué)生理解方程組的解的定義，圍繞

解列不同的算式即可列不同的方程組.

23.（2023春?鹽城月考）小紅和小風(fēng)兩人在解關(guān)于x,y的方程組+”=5時，小紅只

[bx+2y=S

因看錯了系數(shù)。，得到方程組的解為尸=T,小風(fēng)只因看錯了系數(shù)6,得到方程組的解為

b=2

卜=1,求a,b的值和原方程組的解.

b=4

【分析】把兩組解分別代入正確的方程可求得。和b,可得出原方程組，再解原方程組即

可.

【解答】解：根據(jù)題意，F(xiàn)=T不滿足方程"+3y=5,但應(yīng)滿足方程6x+2y=8,

〔歹=2

代入此方程，得一6+4=8,解得6=-4.

fY—1

同理，將1代入方程辦+3y=5,得Q+12=5,

Lx=4

解得。=-7.

-lx+3)=5

所以原方程組應(yīng)為

—4x+2y=8

【點評】本題主要考查方程組解的定義，掌握方程組的解滿足方程組中的每一個方程是解題

的關(guān)鍵.

24.（2023春?儀征市期中）已知尸會是方程2尤-即=9的一個解，解決下列問題：

卜=1

（1）求a的值；

（2）化簡并求值：（。-1）（。+1）-2（。-1）2+。（。一3）.

【分析】（1）把無、y的值代入方程可求得a的值；

（2）根據(jù)乘法公式先化簡，再把a的值代入求值即可.

【解答】解：⑴?.?1I是方程2x-ay=9的一個解,

U=i

.".6—a=99解得a=—3；

（2）（a-1）（（2+1）-2（a-1）2+a（a-3）

—a2—1—2(Q2-2〃+1)+/—3Q

—Q2—1—2/+4?！?+a2—3(1

=a-3,

把Q=-3代入上式可得：原式=-3-3=-6.

【點評】本題主要考查方程解的概念，掌握方程的解滿足方程是解題的關(guān)鍵.

八.解二元一次方程組（共6小題）

25.（2023春?虎丘區(qū)校級期中）已知方程組產(chǎn)+>=7,則x+y的值是（）

[%+2〉=8

A.5B.1C.0D.-1

【分析】觀察方程組，即可發(fā)現(xiàn)，只需兩個方程相加，得3x+3y=15,解得無+y=5.

【解答】解：在方程組[2x+>=7中，

[x+2y=S

兩方程相加得：3x+3y=15,

即x+>=5.

故選：A.

【點評】注意此題的簡便方法.

26.（2023春?東?？h期中）對于二元一次方程組卜="一1①、，將①式代入②式，消去V

可以得到（）

A.x+2x—1—7B.x+2x—2=7C.x+x—1—7D.x+2x+2=7

【分析】將①式代入②式，得x+2（x-l）=7,去括號即可.

【解答】解：f=X-1?,將①式代入②式，

[x+2y=l?

得x+2（x—1）=7,

x+2x—2=7,

故選：B.

【點評】本題考查了解二元一次方程組，掌握代入消元法解二元一次方程組是解題關(guān)鍵.

27.（2023春?灌南縣期末）關(guān)于無，y方程組['+"="?+2滿足5x+8y=6,則山=

[2x+3y=m

2

【分析】①+②得5x+8y=2加+2,結(jié)合題意，得到2加+2=6,再解方程即可求解.

3%+5歹=冽+2①

【解答】解:

2x+3y=m?

①+②得5x+8y=2機+2,

5x+8〉=6,

/.2m+2=6,

m=2,

故答案為：2.

【點評】此題考查了二元一次方程組的解，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

28.（2023春?灌云縣月考）若方程組[2X+5.V=6,則三=H.

[3x-y=ty-16一

【分析】把才當成已知數(shù)，求出方程組的解，再代入求出即可.

2x+5y=6t@

【解答】解:

3x-y=t?

①+②x5得：17x=l”,

解得：X=—,

17

把》=生代入②得：—~y=t,

1717

解得：y=—,

17

所以'=u,

y16

故答案為：

16

【點評】本題考查了解二元一次方程組，能求出二元一次方程組的解是解此題的關(guān)鍵.

29.（2023春?江陰市期中）解方程組:

3y-4x=0

(1)

4x+y=8

x+>=3

(2)!x-1y3?

I424

【分析】（1）方程組利用加減消元法求出解即可；

（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可.

【解答】解：⑴戶-4》=史，

[4x+y=8②

①+②得，

4y=8,

解得y=2,

把y=2代入②得，

4x+2=8,

解得x=3,

2

__3

則方程組的解為"=5；

J=2

(2)方程組整理得卜+'=3?^,

[x+2y=4@

②-①得，

y=19

把＞=1代入①得，

x+1=3,

解得x=2,

則方程組的解為「=2.

V=i

【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法是代入消元法與加

減消元法.

30.(2023春?清江浦區(qū)校級期中)小明、小麗兩人同時解方程組["+”=15,請根據(jù)兩

[4x-by^-2

人對話，求出外的值.

我的解是因為我

看錯了方程②中的b。

小麗

【分析】先把=T代入4x一切=一2,再把］*=5代入方+5>=15,再解方程即可得到答

b=-i［尸4

案.

【解答】解：把尸7代入4x-勿=一2,

b=-!

—12+b=—2,

.?.6=10,

（x=5

把4代入ax+5y=15,

［y=4

5a+20=15,

解得：a=-1,

=—1x10=—10.

【點評】本題考查的是二元一次方程組的錯解問題，理解題意，利用代入法解方程是解本題

的關(guān)鍵.

九.由實際問題抽象出二元一次方程組（共5小題）

31.（2023春?鎮(zhèn)江期中）本屆運動會共有24個隊、260名運動員參加其中的籃球、排球比

賽，其中籃球隊每隊10名，排球隊每隊12名.若設(shè)參賽的籃球隊有x支，參賽的排球隊有

y支，根據(jù)題意，可列方程組（）

A.x+k24y=24+x

[10%+12〉=26010x+12y=260

(x+y=260

?1lOx+12歹=24□[U。

【分析】根據(jù)運動會共有24個隊、260名運動員參加，可以列出方程組，本題得以解決.

【解答】解：設(shè)參賽的籃球隊有X支，參賽的排球隊有y支,

x+y=24

由題意可得

10x+12y=260

故選：A.

【點評】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是找到題中的等量關(guān)系,

列出方程組.

32.（2023春?淮安區(qū)期末）如圖，直線45與CQ相交于點O,且NEO5比

NCOE大90。,設(shè)NCO￡=x。，/EOB=y。，則可得到的方程組為（）

A[x=y-9QB卜=)+90

\x+y=150[x+y=150

Cix=y-90%=>+90

*[x+>=180x+y=180

【分析】根據(jù)“4400=150。.ZEOB比/COE大90?！奔纯傻贸鲫P(guān)于x、y的二元一次方

程組.

【解答】解：；48=150。.

ZCOE+NEOB=ZBOC=ZAOD=150°,

x=>-90

由題意可得:

x+y=150

故選：A.

【點評】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找到等

量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程組,也考查了對頂角.

33.（2024春?泰州期中）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該書第三卷記載：“今

有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，問禽、獸各幾何？”譯文今

有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個頭與46只腳.問獸、鳥各有

多少？設(shè)獸有x個，鳥有〉只，可列方程組為"

[4x+2y=46

【分析】根據(jù)獸與鳥共有76個頭與46只腳，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，此題

得解.

【解答】解：???獸與鳥共有76個頭，

/.6x+4y=76,

???獸與鳥共有46只腳，

4x+2j=46,

6x+4y=76

.??根據(jù)題意可列方程組

4x+2y=46

6x+4y=76

故答案為:

4x+2y=46

【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識，找準等量關(guān)系，正確

列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

34.（2023春旺R江區(qū)期末）《九章算術(shù)》卷八方程第十題原文為：“今有甲、乙二人持錢不

知其數(shù).甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十.問：甲、乙持錢各幾何？”意思是:

甲、乙兩人各帶了若干錢.如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50；如果乙得到甲

7

所有錢的4,那么乙也共有錢50.問：甲、乙兩人各帶了多少錢？設(shè)甲、乙兩人持錢的數(shù)

3

xH—y—50

2

量分別為X,y,根據(jù)題意列出方程組為

2八

y+—x=50

3

7

【分析】根據(jù)題意可得，甲的錢+乙所有錢的一半=50,乙的錢+甲所有錢的3=500,據(jù)

3

此列方程組可得.

x+—y=50

【解答】解：根據(jù)題意得：

2

y+yx=50

x+~y=50

故答案為：＜

2

y+—x=50

3

【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出

未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組.

35.（2023春?廣陵區(qū)期末）被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”的《九章算術(shù)》是中國古代算

法的扛鼎之作.《九章算術(shù)》中記載“今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕.一雀

一燕交而處，衡適平.并燕、雀重一斤.問燕、雀一枚各重幾何？”

譯文：“今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕.將一只

雀、一只燕交換位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量為1斤.問雀、燕每只各重多少

斤？”

設(shè)每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程組為—1x"+

[5x+6y=l

【分析】設(shè)每只雀有X兩，每只燕有y兩，根據(jù)五只雀、六只燕，共重1斤（等于16兩）,

雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，列方程組即可.

【解答】解：設(shè)每只雀有無兩，每只燕有y兩，

4x+y=5y+x

由題意得,

5x+6y=l

4x+y=5y+x

故答案為

5x+6y=l

【點評】本題考查了有實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出

未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組.

一十.二元一次方程組的應(yīng)用（共3小題）

36.（2023春吁B江區(qū)校級期末）如圖，寬為50cm的長方形圖案由10個相同的小長方形拼

【分析】由題意可知本題存在兩個等量關(guān)系，即小長方形的長+小長方形的寬=50c加，小

長方形的長+小長方形寬的4倍=小長方形長的2倍，根據(jù)這兩個等量關(guān)系可列出方程組,

進而求出小長方形的長與寬，最后求得小長方形的面積.

【解答】解：設(shè)一個小長方形的長為玄比，寬為“加，

x+y=50

則可列方程組

x+4y=2x

x=40

解得

V=10

則一個小長方形的面積=40cmx10cm=400cm2.

故答案為：400.

【點評】解答本題關(guān)鍵是弄清題意，看懂圖示，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組.并弄清

小長方形的長與寬的關(guān)系.

37.（2023春?灌云縣月考）一個學(xué)習(xí)小組共有x個學(xué)生，分為歹個小組.若每組5人，則余

下3人；若每組6人，則有一組少3人，則可得方程組（）

\5x+3=y\5y=x+3

A.<B.<

[6x-3=y[6y+3=x

C尸=x+3D產(chǎn)=x-3

〔6歹=x+3[6y=x+3

【分析】找到題中的等量關(guān)系，每組5人x組數(shù)+3=總?cè)藬?shù)；每組6人x組數(shù)-3=總?cè)藬?shù),

據(jù)此列方程組即可.

【解答】解：由題意得：「了+3=\

[6y-3=x

整理可得|"="一3,

[6y=x+3

故選：D.

【點評】本題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

38.（2023春?江都區(qū)月考）一方有難，八方支援.鄭州暴雨牽動數(shù)萬人的心，眾多企業(yè)也

伸出援助之手.某公司購買了一批救災(zāi)物資并安排兩種貨車運往鄭州.調(diào)查得知，2輛小貨

車與3輛大貨車一次可以滿載運輸1800件3輛小貨車與4輛大貨車一次可以滿載運輸2500

件.

（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別滿載運輸多少件物資？

（2）現(xiàn)有3100件物資需要再次運往鄭州，準備同時租用這兩種貨車，每輛均全部裝滿貨物，

有幾種租車方案？請寫出所有租車方案.

【分析】（1）設(shè)1輛小貨車一次可以滿載運輸X件物資，1輛大貨車一次可以滿載運輸y件

物資，根據(jù)“2輛小貨車與3輛大貨車一次可以滿載運輸1800件3輛小貨車與4輛大貨車

一次可以滿載運輸2500件”列關(guān)于x,y的二元一次方程組求解即可；

（2）設(shè)租用小貨車。輛，大貨車b輛，根據(jù)租用的兩種貨車一次可以滿載運輸3100件物質(zhì)，

列出關(guān)于0,，的二元一次方程，結(jié)合a,6均為正整數(shù)，即可得出各租車方案.

【解答】解：（1）設(shè)1輛小貨車一次可以滿載運輸x件物資，1輛大貨車一次可以滿載運輸

y件物資

2x+3y=1800

由題意可得:

3x+4y=2500

x=300

解得:

y=400

答：1輛小貨車一次可以滿載運輸300件物資，1輛大貨車一次可以滿載運輸400件物資.

（2）解：設(shè)租用小貨車a輛，大貨車b