高考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練：數(shù)列（選填壓軸題）含答案及解析

專題17數(shù)列（選填壓軸題）

目錄

①等差數(shù)列..........................................................1

②等比數(shù)列..........................................................3

③數(shù)列的通項(xiàng)........................................................4

④遞推數(shù)列..........................................................5

⑤數(shù)列求和..........................................................6

⑥數(shù)列的極限........................................................7

⑦等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合...........................................8

⑧數(shù)列不等式........................................................9

⑨數(shù)列新定義.......................................................10

①等差數(shù)列

1.（2023?福建寧德??？级＃┘褐猄“是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，4=2,%=3,%=4,數(shù)列｛%+q,+i+4+2｝

是公差為1的等差數(shù)列，則$4。=（）

A.366B.367C.368D.369

2.（2023?江西上饒?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)數(shù)列｛%｝中，4=1,%+「q=1,記

+1）（。\（a＞整數(shù)加滿足lg（IO"?+想。0143+1人則數(shù)列秒“｝的前機(jī)項(xiàng)和為（）

551111

A.—B.—C.—D.—

11122624

3.（多選）（2023?山東,山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）己知｛叫為等差數(shù)列，前w項(xiàng)和為S“，4=10,公差d=-2,

則（）.

A.an=-2n+12

B.邑二跖

C.當(dāng)〃=5或6時(shí)，s“取得最大值為30

D.數(shù)列4，出，…，％023與數(shù)列｛3m+10｝（meN*）共有671項(xiàng)互為相反數(shù)

4.（多選）（2023?湖南長沙倜南中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和是S“，則下列說法正確的是（）

A.若S“=a”,則｛%｝是等差數(shù)列

B.若q=2,an+｝=2a?+3,則｛4+3｝是等比數(shù)列

C.若｛見｝是等差數(shù)列，則S“，S2n-Sn,$3“一邑，成等差數(shù)列

D.若｛%｝是等比數(shù)列，則S“，S,n-Sn,S—S2,成等比數(shù)列

5.（2023?福建泉州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知S“是等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，若僅當(dāng)〃=5時(shí)S”取到最小值，

且I%1＞14I，則滿足S"＞。的〃的最小值為.

6.（2023,上海青浦,統(tǒng)考二模）已知數(shù)歹!]｛q｝滿足=。"2+〃，若滿足＜的＜。3＜。4＜/＜。6且對(duì)任意

AZG[9,+OO）,都有a“＞a“+],則實(shí)數(shù)。的取值范圍是_.

7.（2023?福建福州?福州四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知無窮等差數(shù)列｛%｝中的各項(xiàng)均大于0,且%+始+%=8,

則￡1_41的最小值為.

8.（2023?海南省直轄縣級(jí)單位?文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)都不為0的數(shù)列｛4｝的前上項(xiàng)和既滿足

2S—,其中4=1,設(shè)數(shù)列,的前”項(xiàng)和為（，若對(duì)一切〃eN*,恒有方“-北＞5成立，則f能取

[an\16

到的最大整數(shù)是.

9.（2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考三模）如圖，某數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成公比

相同的等比數(shù)列，數(shù)陣中各項(xiàng)均為正數(shù)，劭2=3,%3=1°，%4=即4、/，貝1KL；在數(shù)列｛%」｝中

的任意見」與必川兩項(xiàng)之間，都插入左心€z）個(gè)相同的數(shù)（-1盧乂，組成數(shù)列｛c,J,記數(shù)列｛.｝的前〃項(xiàng)和

為則"）=.

10.（2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義|聞表示與實(shí)數(shù)x的距離最近的整數(shù)（當(dāng)x為兩相鄰整數(shù)的算術(shù)平均

值時(shí)，可取較大整數(shù)），如忖=1,口=2,忸|=2,||2司=3,令函數(shù)K（x）=W，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式

_1

為環(huán)高，其前”項(xiàng)和為S“，貝l」S6=;$2025=.

②等比數(shù)列

L（2023?陜西寶雞?統(tǒng)考二模）已知S"是等比數(shù)歹!］｛%｝的前〃項(xiàng)和，且S“=2用+〃，貝！|。1%+。2%+…+=

（）

223-8213-8225-8

A.B.D.

333

2.（2023?四川綿陽?三臺(tái)中學(xué)?？家荒＃┮阎黜?xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝,滿足%=2。］+的，若存在兩

項(xiàng)冊(cè)，《，使得M，a”=,則,+*最小值為（）

mn

31

A.2B.-C.-D.1

23

3.（2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列｛凡｝中，V〃eN*,"角=M］，且2<%<3,則下列結(jié)論成立

的是（）

A.。2022<。2020B.%020+%022>%021+%023

C?。2022+。2023<2〃2021D.。2023>。2021

4.（2023?山東青島?統(tǒng)考二模）設(shè)國表示不超過X的最大整數(shù)（例如：艮5]=3,[—1.5]=-2）,則

[log2l]+[log22]+[log23]+---+[log22046]=（）

A.9x210-8B.9x2"-8C.9x210+2D.9x2n+2

5.（2023,河南開封,開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）己知數(shù)列｛七｝的前"項(xiàng)和為S"，且%=?±1%,

24〃+2

rj

若不等式（-1）"2<s"+會(huì)對(duì)一切“eN*恒成立，則X的取值范圍為（）

6.（多選）（2023?福建三明?統(tǒng)考三模）設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，前”項(xiàng)積為「，若滿足。<叫<1,

%，“4040>1,（%）23一1）（為024一1）<°，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.｛?！埃秊檫f減數(shù)列B.S2023+I<$2024

C.當(dāng)〃=2023時(shí)，T0最小D.當(dāng)時(shí)，”的最小值為4047

7.（2023,福建泉州?統(tǒng)考三模）某商場(chǎng)設(shè)有電子盲盒機(jī)，每個(gè)盲盒外觀完全相同，規(guī)定每個(gè)玩家只能用一

個(gè)賬號(hào)登陸，且每次只能隨機(jī)選擇一個(gè)開啟.已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為從第二次抽盲

盒開始，若前一次沒抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為若前一次抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為2.記玩

z3

家第”次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為4,則（）

A.B.數(shù)列為等比數(shù)列

19

C.P?<—D.當(dāng)"22時(shí)，”越大，月越小

8.（2023?重慶巴南?統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列｛凡｝滿足：al+a2=20,%+4=8。.數(shù)列也｝滿足

b

6'=log2%（〃eN*）,其前一項(xiàng)和為S"，若守?42恒成立，則幾的最小值為.

9.（2023?黑龍江?黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┘褐獢?shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是為=2〃-1,記與為｛凡｝在區(qū)間

［犯2'"）（根GN*）內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則b5=,不等式以「勾>2062成立的m的最小值為.

10.（2023?山東荷澤?統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列｛風(fēng)｝是以g為首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)列，在生和的之間插入1個(gè)

數(shù)占1，使4,xn,生成等差數(shù)列；在出和。3之間插入2個(gè)數(shù)孫，程，使出，孫，/2，生成等差數(shù)列；…；

在與和%+1之間插入"個(gè)數(shù)無皿，xn2,xm,使%,xnl,xn2,xm,%+1成等差數(shù)列,則如=;

4

令S〃=玉1+孫+兀22+…+?！?+%〃2+…+%〃，則.

③數(shù)列的通項(xiàng)

1.（2023?山東濟(jì)寧?嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知函數(shù)y=/（x）（xeR）,滿足

2.（2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)列｛4｝滿足q=1,

A.（8,10）B.（10,12）C.（12,19）D.（14,16）

3.（多選）（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的

數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長將數(shù)列1、2進(jìn)行“美好成長"，第一次得到數(shù)列1、2、2；

第二次得到數(shù)列1、2、2、4、2；L；設(shè)第〃次"美好成長”后得到的數(shù)列為1、不、巧、L、4、2,并

記?！?log2（lx石XX2X...X/X2）,貝!J（）

A.2=5B.k=T+l

c.??+1=3??-lD.數(shù)列工的前幾項(xiàng)和為:一行，

+1

[?A+1J23"+l

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛%｝,%=%=1,a“+2=4+a“+i（"eN*）,該數(shù)列為著名的裴波那契

數(shù)列，它是自然界的產(chǎn)物揭示了花瓣的數(shù)量、樹木的分叉、植物種子的排列等植物的生長規(guī)律，則下面結(jié)

論正確的是（）

123

A.a2+a4+...a2n=a2n+l-1B.a1++---+a^=anan+l

C.數(shù)列，氏+I+16%＞為等比數(shù)列D.數(shù)列，4+「上手%?為等比數(shù)列

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）引得無數(shù)球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔爾舉行，為了弘揚(yáng)頑強(qiáng)拼

搏的體育競(jìng)技精神，某學(xué)校的足球社團(tuán)利用課余時(shí)間展開“三人足球”的比賽，比賽的第一階段為"傳球訓(xùn)練

賽"，即參賽的甲、乙、丙三名同學(xué)，第一次傳球從乙開始，隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者

再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，則第6次傳球，重新由乙同學(xué)傳球的概率為.

6.（2023春?湖北武漢?高二武漢西藏中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)列45，。）（〃=12…），其中再=0,彳2=1.4是

線段A4的中點(diǎn)，4是線段4A的中點(diǎn)，…，4是線段ATAT的中點(diǎn)，.…記4=斗+1-斗.則%=；

④遞推數(shù)列

1.（2023春?安徽黃山?高二統(tǒng)考期末）數(shù)列a｝中，4=1,對(duì)任意正整數(shù)P應(yīng)都滿足數(shù)列2=2。",

若瓦+b2T----\-bk=629貝ljk=（）

A.3B.4C.5D.6

,、ell1

2.（2023春?新疆?高二校聯(lián)考期末）若數(shù)列｛q｝滿足％=-3,--------------=1,貝1]/85=（）

?！?14A+1

11

A.2B.——C.-3D.-

23

3.（2023春?廣西河池?高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列｛“〃｝滿足〃1=3,cin+ian+an+x-+1=0,〃$N*,則。2023=

（）

1i

A.——B.3C.yD.-2

32

4.（多選）（2023春?江西贛州?高二江西省龍南中學(xué)?？计谀┮阎猄”是｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，%=2,

----5之2）,則（）

%

A.%023=2B.52023=1013

C.%""3"+1%"+2=1D.｛%｝是以3為周期的周期數(shù)列

5.（2023春?浙江■高二期中）已知數(shù)列｛q｝滿足q=。,2=a+l，a.+2-2a“+i+a“=〃-20,其中。是給定的

實(shí)數(shù)設(shè)d=%+「4,以下判斷正確的是（）

A.也｝是等差數(shù)列

B.。4="53

C.｛bn｝的通項(xiàng)公式為bn=（7），-40）+］

D.數(shù)列｛%｝的最小項(xiàng)是。40

6.（2023?貴州黔東南?凱里一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛七｝滿足：成,=。2"-「。2用，2a2.+i=%,+%,+2,

若電=2q=2,貝I數(shù)歹"」一］的前50項(xiàng)和為

1%"

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)>=［可為數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)造的取整函數(shù)，［可表示不超過x的最大整數(shù),

如［0.90］=。，［lg99］=l,已知數(shù)列｛氏｝滿足%=3,且。“=〃&+「2）,若2=［坨4］,則數(shù)列他J的前2023

項(xiàng)和為.

8.（2023春?山東?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列也｝中，4=1,a?+1+（-l）"a?=?,?eN*,則%=;

｛q｝的前40項(xiàng)和為,

⑤數(shù)列求和

1.（2023?北京??？寄M預(yù)測(cè)）已知公差不為零的等差數(shù)列｛%｝滿足：%+1=2。，且%是々與知的等比

中項(xiàng).設(shè)數(shù)列出｝滿足2=」一（〃eN*）,則數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S“為（）

4A+i

“11、〃1八1）〃

,212M+1J2n+l?2（2n+1）2n+l

C.-fl-——^=—D.-fl+—I―K—

2（2/z+lJ2n-l2（2/i+lJ2n-l

2.（2023?福建廈門?廈門一中?？家荒＃┮阎獢?shù)列｛叫滿足：4+為=0,a,,+2+（-1）等a,,=2,則數(shù)列｛q｝

的前100項(xiàng)的和為（）

A.50B.98C.100D.102

,、a,2n/-、\

3.（多選）（2023春?安徽亳州?高二亳州二中?？计谥校┮阎獢?shù)歹U｛%｝滿足4=-2,1=1（〃N2,"eN）,

an-\〃一］

數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為s“，則（）

A.%=-8B.an=-T-n

C.邑=一30D.S〃=（l—耳?2向—2

4.（多選）（2023春?重慶沙坪壩?高二重慶八中校考期末）已知數(shù)列｛%｝滿足q=8,a2=l,

、//用

一班★將，4為數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和，則下列說法正確的有（）

｛4-2,“為奇數(shù)

A.an=-2B.T2n=-iv+9n+1

C.%9=-2049D.T“的最大值為21

5.（2023春?湖南?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）我們定義一^211^一N*）為數(shù)列｛叫｝的“特別數(shù)〃.現(xiàn)已

,、2111

知數(shù)列｛an｝的〃特別數(shù)〃為則廠上廠+廠工廠+■??+-/——/—=_________.

fl74+N〃27。2+7〃37“2022'7々2023

6.（2023?陜西西安?陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列｛%｝中，a?=log?+1（n+2）（neN*）.定義：使數(shù)列｛““｝

的前左項(xiàng)的積為整數(shù)的數(shù)網(wǎng)左eN*）叫做期盼數(shù)，則區(qū)間U2023］內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于.

7.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足%=4,%包=2%，數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為2=號(hào)，記數(shù)

列｛。也｝的前〃項(xiàng)和為I,,則北=________;若存在正數(shù)左，使普”;對(duì)任意〃eN*恒成立,則左

n

kln

的最小值為.

⑥數(shù)列的極限

1.（2023?全國?高二專題練習(xí)）若數(shù)列｛凡｝滿足：I--?=5-g「（weN*）,其中4=1,%4%-且

a2n<a2n+l,若對(duì)任意“eN*成立,則實(shí)數(shù)M的最小值是（）

292523

A.—B.4C.—D.—

666

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知“eN*,記max｛%,…,/｝表示再，…，居中的最大值，min,,表示

中的最小值.若=3x+2,g（x）=2"-l,數(shù)列｛6｝和也｝滿足.=min｛”a"）,g（%）｝,

%=max｛6“,g（d）｝,ax=a,t\=b,a,b&R,則下列說法中正確的是（）

A.若。24,則存在正整數(shù)機(jī)，使得%包<4"

B.若。42,貝L照4=。

c.若622,貝儂。=。

D.若beR,則存在正整數(shù)使得

3.（多選）（2023春?江西上饒?高二校聯(lián)考期中）如圖，有一列曲線鼻，......,。.，......，且是邊

長為1的等邊三角形，是對(duì)=2,…）進(jìn)行如下操作而得到：將曲線。，的每條邊進(jìn)行三等分，以每

邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到。.，記曲線?！?=1,2,…）的

邊數(shù)為4,周長為G,，圍成的面積為S“，則下列說法正確的是（）

△0OO…

Q］。3。4

A.數(shù)列｛〃｝是首項(xiàng)為3,公比為4的等比數(shù)列

4

B.數(shù)列｛Q｝是首項(xiàng)為3,公比為§的等比數(shù)列

C.數(shù)列｛“｝是首項(xiàng)為手，公比為g的等比數(shù)列

D.當(dāng)"無限增大時(shí)，S“趨近于定值竽

4.（多選）（2023?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）佩爾數(shù)列是一個(gè)呈指數(shù)增長的整數(shù)數(shù)列.隨著項(xiàng)數(shù)越來越大，

其后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值越來越接近于一個(gè)常數(shù)，該常數(shù)稱為白銀比.白銀比和三角平方數(shù)、佩爾數(shù)及正

八邊形都有關(guān)系.記佩爾數(shù)列為｛%｝,且％=0,%=1，an+2=2an+l+an.則（）

A.陽=985B.數(shù)列｛4,「為｝是等比數(shù)列

C.a*乎［（與+1尸-（一0+1尸］D.白銀比為及+1

5.（2023春?上海浦東新?高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和為S“數(shù)

列｛4｝滿足bn=2%,則%（々+仇+…+6“）=.

⑦等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合

1.（2023?全國?高二專題練習(xí)）對(duì)于無窮數(shù)列｛%｝,給出下列命題：

①若｛%｝既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則｛%｝是常數(shù)列；

②若等差數(shù)列｛%｝滿足|%|42022,則｛%｝是常數(shù)列；

③若等比數(shù)列｛%｝滿足|。“|42022,則｛an｝是常數(shù)列；

④若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列｛《｝滿足14%42022,則｛a?｝是常數(shù)列.

其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.4

2.（2023春?廣東佛山?高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、...，

其中第一項(xiàng)是2°，接下來的兩項(xiàng)是2°、21，再接下來的三項(xiàng)是2°、2:22,以此類推，若N>100且該數(shù)列

的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)哥，則N的最小值為（）

A.440B.330C.220D.110

3.（多選）（2023春?廣西河池?高二校聯(lián)考期中）在數(shù)列｛4｝中，如果對(duì)任意2（〃eN*）,都有誓一9=%

彳I”一1

（左為常數(shù)），則稱數(shù)列｛2｝為比等差數(shù)列，%稱為比公差.則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，且比公差％=1

B.等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列

C.若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，抄“｝是等比數(shù)列，則數(shù)歹必為也,｝一定是比等差數(shù)列

D.若數(shù)列｛叫滿足4=%=1,a,l+｝=an+a?_^n>i）,則該數(shù)列不是比等差數(shù)列

4.（多選）（2023春?安徽蚌埠?高二蚌埠二中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列｛““｝中，如果對(duì)任意〃eN*都有

a—a

*_"*=k（左為常數(shù)），則稱｛4｝為等差比數(shù)列，k稱為公差比?下列說法正確的是（）

an+lan

A.等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列

B.等差比數(shù)列的公差比一定不為0

C.若見=-3"+2,則數(shù)列｛4｝是等差比數(shù)列

D.若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比

5.（2023春?天津?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）等比數(shù)列｛%｝中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且4,g%,2%成等差數(shù)列，則

413+〃14_

〃14+〃15

2

6.（2023春?吉林長春?高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.（〃$N*）,且滿足+Snx=2n+n,

若對(duì)eN\an<4+i恒成立，則首項(xiàng)生的取值范圍是.

⑧數(shù)列不等式

1.（2023?全國?高二專題練習(xí)）對(duì)于無窮數(shù)列｛%｝,給出下列命題：

①若｛%｝既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則｛%｝是常數(shù)列；

②若等差數(shù)列｛七｝滿足㈤（2022,則加“｝是常數(shù)列；

③若等比數(shù)列｛%｝滿足⑷<2022,則｛4｝是常數(shù)列；

④若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝滿足14%42022,則｛q｝是常數(shù)列.

其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.4

2.（2023春?廣東佛山?高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，

其中第一項(xiàng)是2°，接下來的兩項(xiàng)是2°、21，再接下來的三項(xiàng)是2°、22,以此類推，若N>100且該數(shù)列

的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)幕，則N的最小值為（）

A.440B.330C.220D.110

3.（多選）（2023春?廣西河池,高二校聯(lián)考期中）在數(shù)列｛%｝中，如果對(duì)任意〃22（〃eN*）,都有*-9=左

（左為常數(shù)），則稱數(shù)列｛2｝為比等差數(shù)列，人稱為比公差.則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，且比公差％=1

B.等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列

C.若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，物,｝是等比數(shù)列，則數(shù)歹!!｛4也,｝一定是比等差數(shù)列

D.若數(shù)列｛%｝滿足4=%=1，an+l=an+an_^n>2）,則該數(shù)列不是比等差數(shù)列

4.（多選）（2023春?安徽蚌埠,高二蚌埠二中校考階段練習(xí)）在數(shù)列｛〃"｝中，如果對(duì)任意“eN*都有

（2—a

皿「=k（左為常數(shù)），則稱｛““｝為等差比數(shù)列，k稱為公差比?下列說法正確的是（）

an+\an

A.等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列

B.等差比數(shù)列的公差比一定不為0

C.若凡=-3”+2,則數(shù)列｛q｝是等差比數(shù)列

D.若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比

5.（2023春?天津?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）等比數(shù)列｛%｝中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且%,；%,24成等差數(shù)列，則

〃13+」14_

〃14+〃15

2

6.（2023春?吉林長春?高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為（〃￡N*）,且滿足+Sn+i=2n+n,

若對(duì)V"eN’,a“<4+1恒成立，則首項(xiàng)為的取值范圍是.

⑨數(shù)列新定義

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一

個(gè)數(shù)列｛《｝本身不是等差數(shù)列，但從｛4｝數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列｛2｝（則

稱數(shù)列｛%｝為一階等差數(shù)列），或者｛2｝仍舊不是等差數(shù)列，但從也｝數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一

項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列｛，｝（則稱數(shù)列｛%｝為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列.類比高階

10

等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛4｝：1，1,3,27,729…是一階等比數(shù)列，則Zlogs。"

n=l

的值為（參考公式：F+22+…〃2=2（77+1）（2〃+1））（）

6

A.60B.120C.240D.480

2.（2023春?黑龍江牡丹江?高二牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎x數(shù)列｛q+「4｝為數(shù)列｛%｝的“差

數(shù)列"，若4=2,｛q｝的"差數(shù)歹!]"的第”項(xiàng)為2",則數(shù)列｛%｝的前2023項(xiàng)和%23=（）

A.22022-1B.22022C.22024D.22024-2

3.（2023?河南?河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）“角谷猜想"首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來

一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢(shì)把它叫作“角谷猜想"."角谷猜想”是指一個(gè)正

整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1,如果是偶數(shù)就除以2,這樣經(jīng)過若干次運(yùn)算，最終回到L對(duì)任意正整數(shù)

%,按照上述規(guī)則實(shí)施第〃次運(yùn)算的結(jié)果為4,（〃eN）,若生=1，且q（力=1,2,3,4）均不為1,則%=（）

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

4.（2023春?上海寶山?高一上海交大附中?？计谀┮獯罄麛?shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，

發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,21,…….該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)都是1,從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)

都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把由這樣一列數(shù)組成的數(shù)列｛%｝稱為"斐波那契數(shù)列"，記S“是數(shù)列｛%｝的前

“項(xiàng)和,則（/—51）+（o4—S2）+（a5—S3）H----10G—S98）=.

5.（2023?遼寧大連?育明高中?？家荒＃┠掣咧袌D書館為畢業(yè)生提供網(wǎng)上閱讀服務(wù)，其中電子閱覽系統(tǒng)的

登錄碼由學(xué)生的屆別+班級(jí)+學(xué)號(hào)+特別碼構(gòu)成.這個(gè)特別碼與如圖數(shù)表有關(guān)，數(shù)表構(gòu)成規(guī)律是：第一行數(shù)由正

整數(shù)從小到大排列得到，下一行數(shù)由前一行每兩個(gè)相鄰數(shù)的和寫在這兩個(gè)數(shù)正中間下方得到.以此類推特別

碼是學(xué)生屆別數(shù)對(duì)應(yīng)表中相應(yīng)行的自左向右第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字，如：1997屆3班21號(hào)學(xué)生的登陸碼為

1997321*.（*為表中第1997行第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字）.若已知某畢業(yè)生的登錄碼為201*2138,則可以推斷該

畢業(yè)生是屆2班13號(hào)學(xué)生.

12345678-

3579111315…

81216202428???

2028364452…

6.（2023,安徽黃山?屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列｛%｝,記"=min｛4，%,…,應(yīng)｝,左=1,2,…以“eN*,

則稱也｝是｛q｝的"下界數(shù)列"，令4=-川+20”,｛%｝是｛4｝的下界數(shù)列,則

（4-4）+3）+…+（%-2）=；

（參考公式：12+22+32+-+1=〃（〃+1）（2〃+1））

6

專題17數(shù)列(選填壓軸題)

目錄

①等差數(shù)列..........................................................1

②等比數(shù)列..........................................................3

③數(shù)列的通項(xiàng)........................................................4

④遞推數(shù)列..........................................................5

⑤數(shù)列求和..........................................................6

⑥數(shù)列的極限........................................................7

⑦等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合...........................................8

⑧數(shù)列不等式........................................................9

⑨數(shù)列新定義.......................................................10

①等差數(shù)列

1.(2023?福建寧德,?？级?已知S“是數(shù)列｛(/“｝的前”項(xiàng)和，%=2,a2=3,%=4,數(shù)列｛?！?%+1+2+2｝

是公差為1的等差數(shù)列，則又=()

A.366B.367C.368D.369

【答案】A

【詳解】設(shè)％=%+〃用+%+2,由題意｛a｝是公差為1的等差數(shù)列，則4=q+%+%=9,

故2=9+(〃一l)xl=〃+8,貝%=4+1=10,

故仿+々+…+%=0+8)+(5+8)+…+(38+8)=]3X8+13X(；+38)=364

S40=Q[+(出+/+04)+(05+〃6+%)，，，+(〃38+〃39+〃40)="1+，2+,?，，+48

=2+364=366.

故選：A

2.(2023?江西上饒?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在正項(xiàng)數(shù)列｛%｝中，記

1

b=整數(shù)加滿足lg(10M2+l)<M<lg(n)143+i),則數(shù)列也｝的前機(jī)項(xiàng)和為(

nM+l+])(%+““+l)?

551111

A.——B.—c.—D.—

11122624

【答案】c

【詳解】因?yàn)?=1,4+1-=1,

所以｛4｝為首項(xiàng)是1,公差是1的等差數(shù)列,

所以=心+5—l)xl=〃，

所以%=G，

___________]

b

n=(%+1)("〃+i+1)(。"+%

1

(6+1)(J/+1+1)(?+J幾+1)

[y/n+])(J〃+l+])(AA?+，幾+1)(J"+1—Vnj

+J〃+l+1)

(J〃+l+1)-(冊(cè)+1)

+JJ+1+1)

11

G+1y/n+l+1

11__i_.

｛4｝的前〃項(xiàng)和為1=...+

J〃+l+12y/n+1+1J

整數(shù)7"滿足lg(10142+l)</n<lg(10143+1),

所以142=lgl0142<lg(10142+l)<m<lg(1O143+l)<lg(10143x10)=10144=144,

m是整數(shù)，

所以機(jī)=143，

所以則數(shù)列也｝的前143項(xiàng)和為:

11_11H

2-7144+1-2-13-26,

故選：C.

3.(多選)(2023.山東?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒?已知｛%｝為等差數(shù)列，前a項(xiàng)和為S“，％=10,公差d=-2,

則（）.

A.an=-2n+12

B.S4=S7

C.當(dāng)〃=5或6時(shí)，S“取得最大值為30

D.數(shù)列4,出,…,外。23與數(shù)列｛3m+10｝（meN*）共有671項(xiàng)互為相反數(shù)

【答案】ABC

【詳解】數(shù)列｛““｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S“，4=10,公差d=-2,

aa

貝ll有n=\+（〃一l）d=10—2（n—1）=—2n+12,A正確；

因?yàn)?=。，所以另一邑=%+4+%=34=。，B正確；

因?yàn)閐=-2<0,即數(shù)列｛““｝為遞減等差數(shù)列，且當(dāng)"V6時(shí)，an>0,

因此數(shù)列｛4,｝的前5項(xiàng)均為正，第6項(xiàng)為0,從第7項(xiàng)起為負(fù)，

所以當(dāng)〃=5或6時(shí)，S”取得最大值$5=56=與"*6=30,C正確；

令數(shù)列｛%｝的第〃項(xiàng)為與數(shù)列｛3根+10｝的第m項(xiàng)互為相反數(shù)，即a?+3m+10=0,

3

于是〃二一加+11,而〃eN"則"為偶數(shù)，令m=2k,ksN*,有3機(jī)+10=6左+10,

2

因此數(shù)列｛%｝與數(shù)列｛3m+10｝成互為相反數(shù)的項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列｛Q｝,且q=6左+10,

顯然Q-1。2023=4034,即6k+10<4034,乂keN*,則=670,

所以數(shù)列4,%，…烏儂與數(shù)列｛3根+1。｝（meN*）共有670項(xiàng)互為相反數(shù)，D錯(cuò)誤.

故選：ABC

4.（多選）（2023?湖南長沙倜南中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和是S“，則下列說法正確的是（）

A.若S”=4,則｛?！埃堑炔顢?shù)列

B.若弓=2,an+l=2a?+3,貝式%+3｝是等比數(shù)列

C.若｛%｝是等差數(shù)列，則S“，S2n-Sn,S.-Sz.成等差數(shù)列

D.若｛q｝是等比數(shù)列，則S",S2n-Sn,%「邑”成等比數(shù)列

【答案】ABC

【詳解】對(duì)于A,Sn=an,“22時(shí)，an=Sn-Sn_x=an-an_x,解得a,i=0,因此〃eN*,a,=0,｛。“｝是

等差數(shù)列，A正確；

對(duì)于B,q=2,an+x=2a?+3,貝Ij。用+3=2（a“+3）,而Q+3=5,｛%+3｝是等比數(shù)列，B正確；

對(duì)于C,設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為d,首項(xiàng)是4，S,=4+%+…+%，

S2n-Sn=a“+i+a“+2+???+%”=(4+"d)+(%+Au/)+…+(a“+"d)=S"+”2d,

2

$3"-S°"=a2)t+l+a2n+2+…+”3“=(a,.+nd)+(an+2+”[)+???+(%“+nd)=(S2n-Sn)+nd,

因此2（5.-S/=S"+（S3"一與"），則S”,邑-S"H"-邑"成等差數(shù)列，C正確;

對(duì)于D,若等比數(shù)列｛%｝的公比4=-1,則S?=0,§4-52=0,56-邑=0不成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.

故選：ABC

5.（2023?福建泉州,校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知S“是等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，若僅當(dāng)〃=5時(shí)S“取到最小值,

且I%1>14I，則滿足S“>0的〃的最小值為.

【答案】11

【詳解】因?yàn)镾,=〃q+Mpd=g〃2+,-；!）〃，當(dāng)〃=5時(shí)S,取到最小值,

所以d>0,所以％<a6，

9

因?yàn)樗?%<,即—(4+4d)>4+5df以q<—/d.

((n-1)、(n-\\9

Sn=nai+^—^d>0,則q+i^>0,因?yàn)?V——6?,

I2J2

所以—？d〉-a二Dd,解之得:

〃>10,因?yàn)椤癳N*,所以〃的最小值為11.

22

故答案為：11.

6.（2023,上海青浦,統(tǒng)考二模）已知數(shù)列｛。“｝滿足4=。"一+",若滿足4<%<4<%<。5<6且對(duì)任意

ne[9,-K?）,都有4>見+”則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【詳解】由題意數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為=即、〃，mN*,滿足

%<的<%<%<%<R，且4,>。“+1對(duì)任意的〃士9恒成立，

a<0

當(dāng)a=0時(shí)，顯然不合題意，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得11119,解得

一<----<一

、22a2

-所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1-

故答案為：-

7.（2023?福建福州?福州四中校考模擬預(yù)測(cè)）已知無窮等差數(shù)列｛〃〃｝中的各項(xiàng)均大于3且％+/2+a5=8,

則二一的最小值為.

【答案】-1

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由于無窮等差數(shù)列｛%｝中的各項(xiàng)均大于0,則〃>0,

由于4+%~+%=8，貝!|必+2%-8=0,解得%=2或%=-4（舍去），

22+8/

所以2告=--------l—4d,

2-2d1-d'

因?yàn)閝=%-2d=2-2d>0,所以O(shè)vdvl,

令/(%)=」——4x-l(0<x<l),則［⑴:1、2-4,

1-x(1-x)

111Q

由廣。)=0,得4=0,得(1—元)2=:,解得1或x(舍去)。

當(dāng)0cx■時(shí)，f\x)<0,當(dāng);vxvl時(shí)，f\x)>0,

所以/⑺在(o,￡j上遞減，在、“上遞增，

所以當(dāng)T時(shí)，小)取得最小值d=1T-4《T=