高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（含答案及解析）

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練26

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

［考情分析］直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是命題的熱點，尤其是有關(guān)弦長計算及存在性問題,

運算量大，能力要求高，突出方程思想、轉(zhuǎn)化化歸與分類討論思想方法的考查，難度為高檔.

【練前疑難講解】

一、弦長、面積問題

判斷方法：通過解直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到的方程組進行判斷.

弦長公式：\AB\=41+式|即—X2|，

或=yj1+和一對

二、中點弦問題

解決圓錐曲線“中點弦”問題的方法

1.根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，

由根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標(biāo)公式求解.

2.點差法：設(shè)直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標(biāo)為A（xi，yi）,B（X2,y2）,將這兩點坐標(biāo)

代入圓錐曲線的方程，并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和直線A2的斜率有關(guān)

的式子，可以大大減少計算量.

三、圓錐曲線中二級結(jié)論的應(yīng)用

1.橢圓焦點三角形面積為b-tan宗a為⑻網(wǎng)的對角）.

吩

2.雙曲線焦點三角形面積為一下a為尸i&|的對角）.

3.拋物線的有關(guān)性質(zhì)：已知拋物線尸=2/3>0）的焦點為F，直線/過點尸且與拋物線交于

兩點A（xi，Jl）,B（X2，丫2），貝I

(l)\AB\=xi+x2+p=-^-(a為直線I的傾斜角).

（2）以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.

⑶麗+麗=3

一、單選題

22

1.（22-23iWi二上,湖北武漢,期末）已知A是橢圓E：=+/=1（。>6>0）的上頂點，點

B,C是E上異于A的兩點，VABC是以A為直角頂點的等腰直角三角形.若滿足條件的

VABC有且僅有1個，則橢圓E離心率的取值范圍是（）

22

2.（21-22高二上?天津和平?期末）雙曲線土-匕=1的兩個焦點分別是耳￡,點P是雙曲

169

線上一點且滿足/片尸耳=60,則大尸乙的面積為（）

A.25A/3B.16A/3C.9gD.373

22

3.（21-22高二上?安徽淮北?期中）已知橢圓E:三+==1（。>6>0）的右焦點廠與拋物線

y2=12x的焦點重合，過點尸的直線交E于A、3兩點，若A3的中點坐標(biāo)為（L-1）,則E

的方程為（）

“爐V?。尤2y2?

A.----1----=1B.1=1

45363627

「Jy2x2y2

C.-----=1D.-----=1

2718189

二、多選題

4.（2022?全國?高考真題）已知。為坐標(biāo)原點，點411）在拋物線C:無2=2py（p>0）上，過

點3（0,-1）的直線交C于尸，Q兩點，則（）

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線AB與C相切

C.\OP\-\OQ\>\O^D.\BP\-\BQ\>\BA\i

5.（2023?云南昆明?模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線C：尸=28（。>0）的焦

7T

點為尸，過點尸的傾斜角為二的直線/與C相交于A,8兩點，且點A在第一象限，

4

△OAB的面積是2后，則（）

A.p=2B.\AB\=9

C-向+血=1D.網(wǎng)=2+a

6.（2023?廣東深圳?二模）設(shè)拋物線Cy=V的焦點為R過拋物線C上不同的兩點A,

8分別作C的切線，兩條切線的交點為P,的中點為。，則（）

A.PQ_Lx軸B.PF1.ABC./PFA=NPFBD.\AF\+\BF\=2\PF\

三、填空題

7.（2022高三?全國?專題練習(xí)）過橢圓片+>2=1的左焦點作傾斜角60。的直線，直線與橢

2

圓交于A,B兩點，則|AB|=.

22

8.（22-23高二上?黑龍江齊齊哈爾?期末）已知《，F(xiàn),為橢圓C：3_+工=1的兩個焦點，

249

P,。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且|PQ|=|百司，則四邊形尸耳的面積

為

22

9.（23-24高二上?河北石家莊?階段練習(xí)）已知橢圓1T+%=l（a>6>0）的一條弦所在的直

線方程是x-y+5=o,弦的中點坐標(biāo)是則橢圓的離心率是

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

22

1.（21-22高二下?海南?期中）已知橢圓C：土+匕=1的左、右焦點分別為K、F],過與

43

且斜率為1的直線/交橢圓C于A、B兩點,則|明等于（)

八2412「1272D.竽

A.——B.—X-.-------

777

2,2

2.（22-23高三下?海南海口?期中）已知與，尸2為橢圓3+（=1的兩個焦點，P為橢圓上

一點且|「團=2|學(xué)則.尸耳鳥的面積為（)

A.2GB.后C.4D.V17

22

3.（2023?浙江寧波?二模）設(shè)橢圓「*+%=1（。>10）的右焦點為尸（。,0）,點A（3c,0）在橢

圓外，P,。在橢圓上，且尸是線段A。的中點.若直線尸。，尸尸的斜率之積為-：，貝。橢

圓的離心率為（）

A.-B.克C.BD.-

2223

二、多選題

22

4.（2023?云南?二模）已知橢圓C：L+二=1,月，8為C的左、右焦點，尸為C上一點，

42

且尸片，月月，若PFZ交C點于點Q，貝U（）

A.△尸月。周長為8B.^FtPF2<^

C.納丹面積為走D.閨。卜?

45

22

5.（2022?全國?模擬預(yù)測）雙曲線C:土-乙=1的左，右焦點分別為K，居，點尸在C上.

124

若一尸耳乃是直角三角形，則，尸耳B的面積為（）

A.述B.記C.4D.2

33

22

6.（23-24高二上?江蘇?階段練習(xí)）設(shè)橢圓的方程為土+匕=1,斜率為左的直線不經(jīng)過原

24

點。，而且與橢圓相交于A,B兩點，M為線段AB的中點，下列結(jié)論不正確的是（）

A.直線A2與0M垂直

B.若點M坐標(biāo)為（LD,則直線方程為2x+y-3=0

C.若直線方程為y=x+i,則點M坐標(biāo)為

4I-

D.若直線方程為>=2尤+2,則|AB|=§夜

三、填空題

7.（23-24高三上?湖北?開學(xué)考試）已知圓C:（x-iy+（y-2）2=25,直線

1）丫-加+4=0,當(dāng)圓C被直線/截得的弦長最短時，直線/的方程

為.

22

8.（2023高三?全國?專題練習(xí)）已知尸是橢圓土+匕=1上的點，與耳分別是橢圓的左、

43

JT

右焦點，若/K則片尸區(qū)的面積為

9.（22-23高二下?陜西榆林?期末）已知A8為雙曲線--1=1上兩點，且線段A3的中點

坐標(biāo)為則直線AB的斜率為.

四、解答題

22

10.（23-24高二上?河南南陽?期末）已知橢圓C：=+當(dāng)=1（a>0,b>0）的長軸為

ab

4TL短軸長為4.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)直線/：y=%與橢圓C交于不同兩點A、B,且|/18|=3及，求直線AB的方程.

22

11.（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）已知橢圓C:1r+%=1（。>6>0）長軸長為4,且橢圓

C的離心率且，其左右焦點分別為耳，鳥.

2

⑴求橢圓C的方程；

⑵設(shè)斜率為-且且過尸2的直線/與橢圓C交于己。兩點，求的面積.

3

12.（23-24高二上?安徽滁州?階段練習(xí)）己知圓/+丁+2彳=0的圓心廠是拋物線C的焦

點.

（1）求拋物線C的方程；

⑵若直線/交拋物線C于A8兩點，且點P（-2,-1）是弦的中點，求直線/的方程.

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

22

1.（2023?山東臨沂?一模）已知雙曲線C:「-斗=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為

ab

鼻，6,過兄的直線與C的左、右兩支分別交于點MN,且忸閭:因N|:|MN|=1:3:4,則

C的離心率為（）

AV21R721rV14后

3232

2.（2023?山西?模擬預(yù)測）已知拋物線。：/=2必（0>0）的焦點為F，準(zhǔn)線為/,過P且斜

率為也的直線與C交于A,B兩點，。為AB的中點，且DM，/于點M,AB的垂直平分

3

線交無軸于點M四邊形。MFN的面積為32代則。=（）

A.2應(yīng)B.4C.2底D.472

22

3.（21-22高二上?江蘇鹽城?期末）橢圓/+5=1中以點”（2,1）為中點的弦所在直線斜率

為（）

A.-1B.1C.旦D.一也

9233

二、多選題

4.（2023?山東臨沂?一模）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，

沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射

后必過拋物線的焦點.已知拋物線C:/=2x,。為坐標(biāo)原點，一束平行于x軸的光線《從

點尸（機2）射入，經(jīng)過C上的點4（%,%）反射后，再經(jīng)過C上另一點3（9,%）反射后，沿直

線4射出，經(jīng)過點。，則（）

1

A.x1x2=—

B.延長AO交直線尤=于點。，則。，B,。三點共線

C.|AB|=-

114

9

D.若PB平分/A3。，貝心W=2

4

5.（2022?湖南永州?二模）畫法幾何的創(chuàng)始人一一法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的

兩條切線互相垂直，則兩切線的交點位于一個與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙

日圓.已知橢圓C:[+/=l（a>6>0）的離心率為孝，工、F?分別為橢圓的左、右焦

點，點A在橢圓上，直線/:樂+皎-/-〃=0,則（）

A.直線/與蒙日圓相切

B.C的蒙日圓的方程為爐+丁=2〃

C.記點A到直線/的距離為d,則4-|四|的最小值為處gf型

3

D.若矩形MNG"的四條邊均與C相切，則矩形MNGH的面積的最大值為8/

6.（23-24高三上?湖北武漢?階段練習(xí)）直線>=履-Z過拋物線石：/=2內(nèi)5>0）的焦點且

與該拋物線交于M,N兩點，設(shè)。為坐標(biāo)原點，則下列說法中正確的是（）

A.p=lB.拋物線E的準(zhǔn)線方程是x=-l

C.以MN為直徑的圓與定直線相切D.NMON的大小為定值

三、填空題

7.（2024?遼寧大連?一模）已知拋物線G：y2=2尤,Cz：y2=4x的焦點分別為點、P,Q

分別在（GC上，且線段尸。平行于X軸.若△鳥PQ是等腰三角形，則歸。=.

8.（2023?湖北?模擬預(yù)測）已知產(chǎn)為拋物線C:y2=4x的焦點，直線x=t與C交于A,B,

AF與C的另一個交點為D,BF與C的另一個交點為E.若AABF與J）EF的面積之比為

4:1,貝.

i22

9.（21-22高二上?上海楊浦?期末）過點M（LD作斜率為之的直線與雙曲線T:1-當(dāng)=1相

2a2b2

交于A,B兩點,若M是線段A3的中點，則雙曲線「的離心率為.

四、解答題

22

10.（23-24高二上?吉林長春?階段練習(xí)）已知橢圓C:=+==1（°>匕>0）的離心率為

ab

橢圓上的點到焦點的最小距離是道-1.

3

⑴求橢圓C的方程；

（2）傾斜角為45。的直線/交橢圓于AB兩點，已知|AB|=鋁，求直線/的一般式方程.

22

11.（22-23高二下?陜西安康?期中）己知橢圓C:=+與=l（a>b>0）的一個焦點為

ab

/（2,0）,且離心率為好.

3

（1）求橢圓C的方程；

⑵不過原點。的直線/：>=x+m與橢圓C交于A，2兩點，求一ABO面積的最大值及此時直

線/的方程.

12.（23-24高二上?河北?期中）己知產(chǎn)是圓C：/+/=12上一動點，過尸作了軸的垂

線，垂足為。，點M滿足尸。=2PM,記點M的軌跡為E.

（1）求E的方程；

（2）若A,8是E上兩點，且線段的中點坐標(biāo)為求的值.

13.（2023?廣東肇慶?二模）設(shè)拋物線方程為V=2x,過點尸的直線PAPB分別與拋物線相

切于兩點，且點A在X軸下方，點B在X軸上方.

⑴當(dāng)點P的坐標(biāo)為（T,-2）時，求|AB|；

（2）點C在拋物線上，且在x軸下方，直線BC交x軸于點N.直線交x軸于點且

s

4|四|<3忸叫.若VABC的重心在x軸上，求^的取值范圍.

、BMN

14.（2024?全國?高考真題）己知雙曲線C:/-y2=/九點《（5,4）在C上，k為常

數(shù)，0<k<l.按照如下方式依次構(gòu)造點夕伍=2,3,...）：過Ci作斜率為后的直線與C的左

支交于點Qi，令P”為Qi關(guān)于>軸的對稱點，記乙的坐標(biāo)為（乙,%）.

⑴若A=—,求％2,丁2；

(2)證明：數(shù)歹U｛七-笫｝是公比為岑的等比數(shù)列；

⑶設(shè)S”為q匕+￡+2的面積，證明：對任意正整數(shù)”,Sn=Sn+i.

22

15.(21-22高三上?河南?階段練習(xí))已知橢圓C：L+匕=1的右焦點為f直線/與橢圓C

43

交于A,8兩點.

(1)若且直線/的斜率為4,求直線(點。為坐標(biāo)原點)的斜率.

⑵若直線E4,總的斜率互為相反數(shù)，且直線/不與尤軸垂直，探究：直線/是否過定點？

若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練26

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

［考情分析］直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是命題的熱點，尤其是有關(guān)弦長計算及存在性問題,

運算量大，能力要求高，突出方程思想、轉(zhuǎn)化化歸與分類討論思想方法的考查，難度為高檔.

【練前疑難講解】

一、弦長、面積問題

判斷方法：通過解直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到的方程組進行判斷.

弦長公式：\AB\=41+式|即—X2|，

或=yj1+和一對

二、中點弦問題

解決圓錐曲線“中點弦”問題的方法

1.根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，

由根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標(biāo)公式求解.

2.點差法：設(shè)直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標(biāo)為A（xi，yi）,B（X2,y2）,將這兩點坐標(biāo)

代入圓錐曲線的方程，并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和直線A2的斜率有關(guān)

的式子，可以大大減少計算量.

三、圓錐曲線中二級結(jié)論的應(yīng)用

1.橢圓焦點三角形面積為b-tan宗a為⑻網(wǎng)的對角）.

吩

2.雙曲線焦點三角形面積為一下a為尸i&|的對角）.

3.拋物線的有關(guān)性質(zhì)：已知拋物線尸=2/3>0）的焦點為F，直線/過點尸且與拋物線交于

兩點A（xi，Jl）,B（X2，丫2），貝I

(l)\AB\=xi+x2+p=-^-(a為直線I的傾斜角).

（2）以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.

⑶麗+麗=3

一、單選題

22

1.（22-23iWi二上,湖北武漢,期末）已知A是橢圓E：=+/=1（。>6>0）的上頂點，點

B,C是E上異于A的兩點，VABC是以A為直角頂點的等腰直角三角形.若滿足條件的

VABC有且僅有1個，則橢圓E離心率的取值范圍是（）

22

2.（21-22高二上?天津和平?期末）雙曲線土-匕=1的兩個焦點分別是耳￡,點P是雙曲

169

線上一點且滿足/片P&=60,則大尸鳥的面積為（）

A.25A/3B.16A/3C.9gD.373

22

3.（21-22高二上?安徽淮北?期中）已知橢圓E:三+==1（。>6>0）的右焦點廠與拋物線

y2=12x的焦點重合，過點尸的直線交E于A、3兩點，若A3的中點坐標(biāo)為（L-1）,則E

的方程為（）

“爐V?。尤2y2?

A.----1----=1B.1=1

45363627

「Jy2x2y2

C.-----=1D.-----=1

2718189

二、多選題

4.（2022?全國?高考真題）已知。為坐標(biāo)原點，點411）在拋物線C:無2=2py（p>0）上，過

點3（0,-1）的直線交C于尸，Q兩點，則（）

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線AB與C相切

C.\OP\-\OQ\>\O^D.\BP\-\BQ\>\BA\i

5.（2023?云南昆明?模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線C：尸=28（。>0）的焦

7T

點為尸，過點尸的傾斜角為二的直線/與C相交于A,8兩點，且點A在第一象限，

4

△OAB的面積是2后，則（）

A.p=2B.\AB\=9

C-向+血=1D.網(wǎng)=2+a

6.（2023?廣東深圳?二模）設(shè)拋物線Cy=V的焦點為R過拋物線C上不同的兩點A,

8分別作C的切線，兩條切線的交點為P,的中點為。，則（）

A.PQ_Lx軸B.PF1.ABC./PFA=NPFBD.\AF\+\BF\=2\PF\

三、填空題

7.（2022高三?全國?專題練習(xí)）過橢圓片+>2=1的左焦點作傾斜角60。的直線，直線與橢

2

圓交于A,B兩點，則|AB|=.

22

8.（22-23高二上?黑龍江齊齊哈爾?期末）已知《，F(xiàn),為橢圓C：3_+工=1的兩個焦點，

249

P,。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且|PQ|=|百司，則四邊形尸耳的面積

為.

22

9.（23-24高二上?河北石家莊?階段練習(xí)）已知橢圓1T+%=l（a>6>0）的一條弦所在的直

線方程是x-y+5=o,弦的中點坐標(biāo)是"（T1）,則橢圓的離心率是.

參考答案:

題號123456

答案BCDBCDACAC

1.B

【分析】根據(jù)題意聯(lián)立方程求點氏C的橫坐標(biāo)，由|AB|=|AC|結(jié)合弦長公式整理可得關(guān)于

網(wǎng)的方程（岡-1）-，卜+1=0（陽>。）有且僅有一個解，分類討論運算求解.

【詳解】由題意可得：4（0,外,

回直線A3的斜率存在且不為0,設(shè)為后，則直線A2:y=笈+6,

y=kx+b

聯(lián)立方程d2,消去y得：（以'層*+2的小=。，解得戶_辛不或》=0（舍

b2

去），

即點B的橫坐標(biāo)為-半匚，

ak+b

同理可得：點c的橫坐標(biāo)為:嗎

a+bk

由題意可得：/…，即"I-*[-。[蕓

整理得：（kl-1）牌+0一/卜|+1=0,

由題意結(jié)合橢圓的對稱性可得：關(guān)于陽的方程（閔-1）時+11-%卜|+1=0（網(wǎng)>0）有且

僅有一個解，則有：

當(dāng)閥=1是方程時+11-5卜+1=0的根，即1+「-/11=0,則5=（

若±=L貝摩|2-2網(wǎng)+1=0有且僅有一個解可=1,即4=L符合題意；

a3a3

當(dāng)附=i不是方程W+?4+i=o的根，則力+i在（。,+“）內(nèi)無零點，

^a>b>0,貝1]/"）=/+11-/，+1的對稱軸/=-；「一捺|>0,

回A=-4<0,解得g</<l；

綜上所述：>「<1，故橢圓E離心率e=，q（o,巧.

故選：B.

【點睛】易錯點點睛：

在處理關(guān)于IM的方程（附-1）-5卜1+1=0（網(wǎng)>0）有且僅有一個解的問題時，注

意到該方程一定有一解14=1,則需要討論閔=1是否為時+11-5卜1+1=0的根.

2.C

【分析】設(shè)|尸耳|=根，|尸閭=心可得帆-4=2々=2,4尸心中再利用余弦定理可得

赦=36,由面積公式即可求得答案.

【詳角軍】———=1,所以a=4,b=3,c=5,

169

P在雙曲線上，設(shè)|尸胤=機，「閭=〃，

/.|m-n|=2?=8(1),

由N￡P(guān)K=60,在百尸乃中由余弦定理可得:

閨司2=閥「+歸成_2附歸用COS60,

故100=機2+〃2—mn=（m—n）2+mn@,

由①②可得mn=36,

二直角石尸月的面積5劭,=g|P制周sinNE/￥；=；zw7-sin6O=96

故選：C.

3.D

【分析】利用點差法可求得“2=2〃，再由c=3可得出a?、/的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程.

【詳解】解：設(shè)4(石,%)、3(%,%)，若軸，則A、3關(guān)于％軸對稱，不合乎題

忌、，

44=12222

將A、B的坐標(biāo)代入橢圓方程得:「,兩式相減得正卓+江字=o,

耳*/b

“2戶一

可得口+二?得3=。，

axx-x2b

因為線段AB的中點坐標(biāo)為(1,-1),所以，占+%=2,%+%=-2,

因為拋物線V=12x的焦點為(3,0),所以網(wǎng)3,0),

又直線A3過點網(wǎng)3,0),因止匕鼬=七以=77T=5,所以，—+-X—=0,

整理得片=2〃，又c=3=V^萬，解得〃=18，b2=9,

因此，橢圓E的方程為片+寸=1,

189

故選：D.

4.BCD

【分析】求出拋物線方程可判斷A,聯(lián)立A3與拋物線的方程求交點可判斷B,利用距離公

式及弦長公式可判斷C、D.

【詳解】將點A的代入拋物線方程得l=2p,所以拋物線方程為爐=y,故準(zhǔn)線方程為

y=_J,A錯誤；

4

勉=與察=2,所以直線的方程為＞=2x-l,

1-1)

fy=2x-1

聯(lián)立，可得f—2x+l=0,解得x=l,故B正確;

設(shè)過3的直線為/,若直線/與V軸重合，則直線/與拋物線C只有一個交點,

所以，直線/的斜率存在，設(shè)其方程為丁=履-1,尸（占,%）,。（與％）,

,fy=kx—1

聯(lián)乂if—,,得f一b+1=0，

A=fc2-4>0

所以“%+%2=%，所以左>2或左V—2,必%=（再次2）2=1,

xxx2=1

所以ICP|-ICQ|=1％%(1+必)(1+%)=J煙X也=|幻>2=1,故C正確;

2

因為13Pl=J1+左2|士|,|BQ|=y/1+k|x21,

所以|8尸|?|8。|=(1+42)|網(wǎng)%1=1+/>5,而|助|2=5,故D正確.

故選：BCD

5.AC

【分析】根據(jù)卜同=烏；和點。到直線AB的距離公式結(jié)合△OAB的面積是20可得

sm0

p=2,|AB|=8；

112,,p11L

由公式網(wǎng)+網(wǎng)=%，M同=匚嬴）可得國+網(wǎng)=1,MT=2+后.

【詳解】由題意得1陰=/2五P=",設(shè)直線/：y=x，即x-y-5。，

_￡

則點。到直線的距離是2

二J

JAW

所以;x4px￥2=20,得0=2,所以|AB|=8,

1,1_2_\AF\=--—=2(2+72).,,…

而+西=丁1'1一cos：，所er以AC正確,

故選：AC.

6.AC

【分析】設(shè)切線求交點根據(jù)兩根之和判斷A選項；特殊值法判斷B,C選項；根據(jù)定義數(shù)形

結(jié)合判斷D選項.

【詳解】對于A選項：設(shè)尸（%，%），。[七強，"^],

y=2無，

過點A切線為：y-%=2%（元-丹）①，

過點2切線為:%=2%（%-%2）②，

①一②得X-%=2占x-2X2X,

化簡可得西,一馬？=2x（%—電），

X+x

/=丁9

PQ_Lx軸,A選項正確.

設(shè)4（0,0）,2（1,1）,“0,￡|,

過4點的切線為y=0,過2點的切線為yT=2（x-1）,交點為dg,o],

AB的中點為。],￡|,所以人所=-^,kAB=l,kPFkAB^-l,P尸不垂直AB,B選項錯誤;

1M+1附f+5+卜+（]<2回=20[+[]哆所以

|AF|+忸青片2|尸盟,D選項錯誤；

作拋物線準(zhǔn)線的垂線A4',,連接A'P,B'P,PF,AF,BF,

FH)A，(xi,_2)^=yu

,7P7X

貝！J^FA'=島人=一,

P

顯然G，MPA=—L,所以E4UPA

又因為由拋物線定義，得故知卓是線段加的中垂線，得到|叢'|=忱司則

ZPAA=ZPFA

同理可證：|P5[=|P%NP?B=NPEB,

所以|PA|=|PB,|=|PF|,即ZPAB'=ZPB'A,

所以ZPA!A=ZPA!B'+90?=NPB'A'+QfPB'B,即ZPFA=ZPFB.

故選:AC.

7.孚/沁

【分析】設(shè)4(%,%)，雙心％)，利用"設(shè)而不求法"求弦長即可.

【詳解】回橢圓方程為1+丁=1,回焦點分別為耳(TO),乙(1,0),

回直線AB過左焦點尸?的傾斜角為60。，回直線的方程為y=6(x+l),將AB方程與橢圓

17

方程聯(lián)立消去y,得7f+i2%+4=0.設(shè)川9，%)，可得%+Z=-7，

4

中2=亍，

872

叫％-%2|=J(X]+&)2-4西入2-~~~，因此，IA同?|占一馬|

故答案為:-

8.18

【分析】判斷滿足條件的點RQ存在，再借助對稱的性質(zhì)確定四邊形形狀，利用橢圓定義

求解作答.

【詳解】橢圓C：土+匕=1的長短半軸長。=2#,6=3,半焦距°=后二？=而＞6,

249

于是橢圓C上存在點到原點距離等于橢圓半焦距c,

由P,。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，得四邊形尸1。鳥為平行四邊形，

又忸0=閨段,則尸耳。工為矩形,即有|尸耳『+|帆|2=|耳乙|2=（2°）2=60,

而|@|+|尸8|=2。=4#，所以四邊形尸片。心的面積

22

S=|PK||PF21=1［（IPFl\+\PF21）-（IPF^+\PF21）］=18.

故答案為：18

9.B

2

【分析】先利用點差法應(yīng)用弦中點，再求橢圓離心率.

【詳解】設(shè)直線與橢圓交于兩點，其中4（和%）1（孫力），

=1

a2bN2,兩式作差可得二

將AB兩點代入橢圓可得X；.貨一才

a2b2

（再+々）（為-a2）_（為-M）（為+%）

即，又AB中點坐標(biāo)是

a2b2

國+了2:4

2

所以

,所以《a￥（丁畫+巧索）（再一馬）-44

A±A=1

2

令廿二t,則“2=4%,所以=3/，

所以—半

故答案為：

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

22

1.（21-22高二下?海南?期中）已知橢圓C：L+上=1的左、右焦點分別為耳、F.,過F2

43

且斜率為1的直線/交橢圓C于A、B兩點,則等于（）

八2412「1272D.瘦

A.——B.—X-.----

7777

,2

2.（22-23高三下?海南?？?期中）已知耳，尸2為橢圓］+日=1的兩個焦點，P為橢圓上

一點且|「耳|=2歸內(nèi)，則.尸耳B的面積為（）

A.2.y/3B.V15C.4D.V17

22

3.（2023?浙江寧波?二模）設(shè)橢圓「言+方"。>6>0）的右焦點為網(wǎng)c,0）,點4（3c,0）在橢

圓外，P,。在橢圓上，且P是線段A。的中點.若直線尸。，PF的斜率之積為則橢

圓的離心率為（）

A.-B.—C.—D.-

2223

二、多選題

22

4.（2023?云南?二模）已知橢圓C:土+匕=1,0工為C的左、右焦點，尸為C上一點,

42

且尸片,片耳，若尸區(qū)交C點于點。，則（）

A.△尸耳。周長為8B,56＜三

c.斷片面積為亨D.|^e|=y

22

5.（2022?全國模擬預(yù)測）雙曲線C:土-匕=1的左，右焦點分別為耳，F(xiàn)2,點尸在C上.

124

若/尸耳工是直角三角形，則.尸與工的面積為（）

A.更B.遞C.4D.2

33

6.（23-24高二上?江蘇?階段練習(xí)）設(shè)橢圓的方程為直+亡=1,斜率為左的直線不經(jīng)過原

24

點。，而且與橢圓相交于A,B兩點，M為線段AB的中點，下列結(jié)論不正確的是（）

A.直線A8與0M垂直

B.若點M坐標(biāo)為（LD,則直線方程為2x+y-3=0

c.若直線方程為y=x+i,則點M坐標(biāo)為

D.若直線方程為y=2x+2,貝l]|A3|=g0

三、填空題

7.（23-24高三上?湖北?開學(xué)考試）已知圓C:（x-iy+（y-2）2=25,直線

/:（2m+l）%+（m-l）y-m+4=0,當(dāng)圓C被直線/截得的弦長最短時，直線/的方程

為.

8.（2023高三?全國?專題練習(xí)）已知P是橢圓江+《=1上的點，4耳分別是橢圓的左、

43

7T

右焦點，若/耳肥=則刀尸耳的面積為

9.（22-23高二下?陜西榆林?期末）已知A2為雙曲線V-5=1上兩點，且線段的中點

坐標(biāo)為（T,T）,則直線A3的斜率為.

四、解答題

22

10.（23-24高二上?河南南陽?期末）已知橢圓C：4+4=1（a>。，b>0）的長軸為

ab

4百，短軸長為4.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵設(shè)直線/：>=%與橢圓C交于不同兩點A、B,且求直線AB的方程.

22

1L（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）已知橢圓C:]+3=l（a>b>0）長軸長為4,且橢圓

C的離心率無，其左右焦點分別為不區(qū).

2

⑴求橢圓。的方程；

（2）設(shè)斜率為-且且過F,的直線/與橢圓C交于尸,。兩點，求耳PQ的面積.

3-

12.（23-24高二上?安徽滁州,階段練習(xí)）已知圓/+,2+2天=0的圓心/是拋物線C的焦

點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若直線/交拋物線C于A3兩點，且點P（-2,-l）是弦A3的中點，求直線/的方程.

參考答案:

題號123456

答案ABBADACACD

1.A

【分析】利用弦長公式求解即可.

22

【詳解】設(shè)直線方程為>聯(lián)立橢圓方程土+匕=1

43

整理可得：7f-8x-8=0,設(shè)3a2，%），

則占+三1,4芻='，根據(jù)弦長公式有：

AB=J1+后2,+%）~—4X]=亍.故B,C,D錯誤.

故選：A.

2.B

【分析】利用橢圓定義求得|P團,|P局的值，判斷巴譙為等腰三角形，即可求得答案.

22

【詳解】由橢圓、■+]■=：!可知a=3,b=J^,c=J^5=2,

故|尸耳|+|P閭=2a=6,結(jié)合忸團=2|%|,

可得忸耳|=4,|朋|=2,而閨詞=2c=4,

故，P月工為等腰三角形，其面積為gx2xJ42_F=底

故選：B

3.B

〃1

【分析】利用中點弦問題，結(jié)合點差法可得勺=',即可求離心率.

a22

則由題意可得，|/訓(xùn)=2|尸網(wǎng),|/回=2怛@,

所以△APE^AMO相似，所以尸尸〃M