高考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)函數(shù)研究切線單調(diào)性問題）（選填壓軸題）含答案及解析

專題03一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

(利用導(dǎo)函數(shù)研究切線，單調(diào)性問題)(選填壓軸題)

目錄

一、切線問題........................................................1

①已知切線幾條求參數(shù).............................................1

②公切線問題.....................................................2

③和切線有關(guān)的其它綜合問題......................................3

二、單調(diào)性問題......................................................3

①已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)............................................3

②由函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)......................................4

③已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)................................5

④利用函數(shù)的單調(diào)性比大小........................................5

一、切線問題

①已知切線幾條求參數(shù)

1.(2023?全國?高二專題練習(xí))過坐標(biāo)原點可以作曲線y=(x+a)e，兩條切線，則。的取值范圍是()

A.(-e,0)B.(-4,0)

C.(-<?,-e)u(0,+co)D.(-<?,-4)u(0,+OO)

2.(2023?陜西寶雞?統(tǒng)考二模)若過點(0,2)可作曲線y=V+3x2+辦+。一2的三條切線，貝壯的取值范圍

是()

A.(-3,-1)B.(-2,2)C.(4,5)D.(4,6)

3.（2023春?廣東深圳?高二統(tǒng)考期末）已知點A在直線x=2上運動，若過點A恰有三條不同的直線與曲線

y=相切，則點A的軌跡長度為（）

A.2B.4C.6D.8

X—n

4.（2023春?廣東佛山?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知/（%）=一1（。。0）只有一條過原點的切線，則〃=.

e

5.（2023春?四川?高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃句=一「+2^—工+1,若過點尸（1,?？勺髑€y=/（x）的三

條切線，則/的取值范圍是.

6.（2023?全國?高二專題練習(xí)）若曲線C：〃x）=（尤2-4彳+5”-2e有三條經(jīng)過點A（a,0）的切線，則。的范

圍為?

②公切線問題

1.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=ln（x+l）,g（x）;也已?》），若直線>=履+。

為/（丈）和g（x）的公切線，則6等于（）

A.；B.l-ln2C.2-ln2D.-In2

2.（2023春?河北保定?高二河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若曲線〃x）=勺笈<0）與g（x）=ex有三條

公切線，則上的取值范圍為（）

3.（2023春?湖北?高二武漢市第四十九中學(xué)校聯(lián)考期中）若直線無+>+口=。是曲線〃句=丁+反—14與曲

線g（x）=d-31nx的公切線，則”匕=（）.

A.26B.23C.15D.11

4.（2023春?遼寧鞍山?高二東北育才學(xué)校校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（x）=Y-〃a,g（尤）=ln尤+，nx,若曲線

y=八尤）與曲線y=g（x）存在公切線，則實數(shù)m的最大值為.

5.（2023春?安徽六安?高二六安二中校聯(lián)考期中）設(shè)直線/是函數(shù)〃x）=x+lnx,和函數(shù)

g（x）=g/+4x+l的公切線，則/的方程是.

6.（2023春?江蘇蘇州?高二校聯(lián)考期中）己知函數(shù)"x）=In尤,g（尤）=gY+機若曲線丁=/⑺與曲線

y=g（x）有公切線，則實數(shù)機的取值范圍為.

口和切線有關(guān)的其它綜合問題

1.（2023春?江西吉安?高二統(tǒng)考期末）若動點P在曲線y=e'+無上，則動點P到直線y=2x-4的距離的最

小值為（）

A.75B.e+1C.2指D.2e

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知實數(shù)b,Jd滿足|為（"1）_勿+匕_“+2|=0,則①一4+出一“）2的

最小值為（）

A.20B.8C.4D.16

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若x、a、6為任意實數(shù)，若（a+l）?+（b-2）?=1,貝I]（尤-4+Qnx-4最小

值為（）

A.272B.9C.9-472D.272-1

4.（2023?全國■高三專題練習(xí)）已知In%[-X]+2=0,x2+2y2-21n2-6=0,記M=（玉-馬）？+（必-yj,

則M的最小值為.

5.（2023春?江蘇南京?高二南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)?？计谥校┤糌奥?匹匚=!，則

（X[+（y的最小值為.

二、單調(diào)性問題

①已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

1.（2023春?廣西南寧?高二賓陽中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)〃司=祀，-111%在區(qū)間（2,3）上單調(diào)遞增，貝匹

的最小值為（）

A.2e_2B.eC.e-1D.-e2

2

2.（2023春?吉林松原?高二長春市九臺區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（x）=lnx+ax2一3元在（；,3）上單

調(diào)遞增，則。的取值范圍為（）

9、

C.[r-,+<?)D.

8

3.（2023春?河南周口?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=asinx+cosx在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則實數(shù)。的取值范圍是.

4.（2023春?高二課時練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=gx3-g加+g-i）HacR）是區(qū)間0,4）上的單調(diào)函數(shù)，則。

的取值范圍是.

5.（2023春?高二單元測試）設(shè)函數(shù)/。）=履3+3僅-1）1一人2+1在區(qū)間（0,4）上是減函數(shù)，則上的取值范圍

是.

②由函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

1.（2023春?四川眉山?高二統(tǒng)考期末）若/5）=-$3+92+2依在（2,+00）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則。的

取值范圍是（）

A.（-oo,l]B.（l,+oo）C.[0,+oo）D.（一8,0）

2.（2023春?河北邯鄲?高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)〃x）=lnA+g"2在區(qū)間（1,2）內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實

數(shù)。的取值范圍是（）

A.（―℃,—1]B.,+°°^C.^-1,-—D.（—1,+co）

3.（2023春?山東泰安?高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=（x-1戶-如在區(qū)間[2,4]上存在單調(diào)減區(qū)間，則實

數(shù)機的取值范圍為（）

A.[4e4,56+oo）B.（2e2,4e4）

4.（2023春?江西撫州?高二江西省臨川第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)/（x）=（且在R上存在單調(diào)遞增區(qū)

間，則。的取值范圍是.

5.（2023春?廣西?高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)/（刈=/一3加+彳在[1,3]存在單調(diào)遞減區(qū)間，則。的取值范

圍為?

6.（2023?全國?高二專題練習(xí)）若函數(shù)/（%）="2+%_加存在增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為.

③已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)

7

1.（2023春?湖南湘潭?高二湘潭縣一中校聯(lián)考期末）已知函數(shù)〃“="2+1在（1,+?））上不單調(diào)，則實數(shù)。

的取值范圍是（）

A.（-co,l）B.（0,1）C.（1,+co）D.

2.（2023春?湖南岳陽?高二湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)/（x）=--aln尤+1在（1,3）上不是單

調(diào)函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（2,18）B.[2,18]

C.（-8,2）318,+⑹D.[2,18）

3.（2023春?四川自貢?高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)〃x）=2d-Inx在其定義域的一個子區(qū)間（01,左+1）內(nèi)不是

單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)%的取值范圍是（）

A.[ifB.C.gD.

4.（2023春?上海松江?高二上海市松江一中?？计谀┖瘮?shù)曠=三+（左k+5）x-1在（0,3）上不單調(diào)，

則實數(shù)上的取值范圍是.

5.（2023春?陜西西安?高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)〃x）=2x2-alnx+l在（a-3,a）上不單調(diào)，則實數(shù)。的取值

范圍為.

6.（2023春?上海楊浦?高二復(fù)旦附中校考期中）己知函數(shù)y=/（X）=7x+HCOS（3X+7）在定義域R上不單調(diào)，

則正整數(shù)〃的最小值是.

口利用函數(shù)的單調(diào)性比大小

1.（2023?江蘇徐州??？寄M預(yù)測）已知。=31g2Jgl2,6=號吐，c=1+21n3,貝|（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

2.（2023?江西贛州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知。=ln],6=0=屋上則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

b2024

3.（2023春?江西上饒?高二統(tǒng)考期末）已知實數(shù)：a,b,ce（O.l）,且a=2023尸2。23,b=2O24e-,

。=20251。25,則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

專題03一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

(利用導(dǎo)函數(shù)研究切線，單調(diào)性問題)(選填壓軸題)

目錄

一、切線問題........................................................1

①已知切線幾條求參數(shù).............................................1

②公切線問題.....................................................2

③和切線有關(guān)的其它綜合問題......................................3

二、單調(diào)性問題......................................................3

①已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)............................................3

②由函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)......................................4

③已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)................................5

④利用函數(shù)的單調(diào)性比大小........................................5

一、切線問題

①已知切線幾條求參數(shù)

1.(2023?全國?高二專題練習(xí))過坐標(biāo)原點可以作曲線y=(x+a)ex兩條切線，貝U。的取值范圍是()

A.(-e,0)B.(-4,0)

C.(-<o,-e)u(0,+oo)D.(-oo,-4)u(0,+<?)

【答案】D

【詳解】；y-(x+a)ex,/=(x+l+a)e',

設(shè)切點為(毛,％),則%=(3+a)e為,切線斜率左=(%+l+a)e~,

切線方程為y—(5+a)e*=(/+l+a)e&(尤一尤0),

?.,切線過原點，，一（％+a）e&=（2+l+a）e拓（一四）,

整理得：Xg+ax0—a=0,

丫切線有兩條，,A=片+4a＞0,解得。＜-4或。＞0,

二。的取值范圍是（YO,T）（0,+OO）,

故選：D

2.（2023?陜西寶雞?統(tǒng)考二模）若過點（0,2）可作曲線丁=爐+3/+辦+a-2的三條切線，則。的取值范圍

是（）

A.（―3,—1）B.（—2,2）C.（4,5）D.（4,6）

【答案】C

【詳解】設(shè)切點為尸（無0，片+3/+穌+。一2）,

由函數(shù)y=x3+3x?+ox+a-2,可得y'=3x2+6x+a,則y'1=否=3x；+6x（）+a

所以在點尸處的切線方程為y-&+3尤;+儆+4-2）=（3X：+6x0+a）（x-x0）,

因為切線過點（0,2）,所以2-（片+3,+m：o+a-2）=（3君+6々+4）（0?！?

整理得+3XQ+4-a=0,

設(shè)g（%）=2尤3+3%之+4一々，所以/（%）=6x2+6x,

令g'（x）＞0,解得了＜一1或%＞0,令g'（%）＜0,解得一l＜x＜0,

所以＜?（1）在（-8,-1）上單調(diào)遞增，在（-L0）上單調(diào)遞減，在（。,+。）上單調(diào)遞增，

要使得過點（0,2）可作曲線y=V+3/+雙+〃—2的三條切線，

則滿足j；；0）：4_q＜0,解得4＜。＜5,即0的取值范圍是（4,5）.

故選：C.

3.（2023春?廣東深圳?高二統(tǒng)考期末）已知點A在直線x=2上運動，若過點A恰有三條不同的直線與曲線

y=V-x相切，則點A的軌跡長度為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【詳解】由題意，

設(shè)點A（2,a）,過點A的直線/與曲線y=/-無相切于點B（x0,%）,

y'=3x2-l,/的方程為丁一（君一%）=（3君一l）（x-Xo）,

（3x；—1）（2—/）=q—x；+/，化簡得a=—+6片一2,

設(shè)g（x）=-2x3+6x2-2,g，（x）=-6x2+12x,

g(x)在區(qū)間(y,0),(2,y)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，

???若過點A恰有三條不同的直線與曲線>=爐-天相切，

g(0)=-2,g(2)=-2x23+6x22-2=6,

???滿足條件的毛恰有三個，

g(0)<a<g(2),即

???點A的軌跡長度為8.

故選：D.

4.(2023春?廣東佛山?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知只有一條過原點的切線，貝。”.

e

【答案】-4

【詳解】依題意，設(shè)切點坐標(biāo)為［私丫J,

因為/")=一，則/⑴=二

eee

所以切線的斜率為:(加)="+盧1—W，

e

故切線的萬程為y----=——-—(x-m),

ee

irj—Z7/7+1—m

因為切線過原點，所以。-——=——(o-m),整理得蘇-〃機-l=0,

ee

X—Z7

因為/(尤)=一1(〃W0)只有一條過原點的切線，

e

所以方程蘇-〃機-〃=0有且只有一個實數(shù)根，

故△=(一。了一4(-〃)=0,即〃2+4Q=0,解得a=y或。=0(舍去)，

所以a=-4.

故答案為：—4.

5.(2023春?四川?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(X)=-%3+212—HI,若過點614可作曲線>=〃力的三

條切線，則/的取值范圍是.

【答案】(1,II)

【詳解】設(shè)過點P。,。作曲線y=/(x)的切線的切點坐標(biāo)為(無。,-片+2年-%+1),

由/(x)=—Y+2f—x+1求導(dǎo)得：/(%)=—3f+4x—1,則切線斜率％=-3需+4%o—1,

-x

切線方程為y~(o+2x；-x0+1)=(-3XQ+4X0-1)(X-X0),

于是"(—3%Q+4x0—1)(1—x0)+(—%；+2XQ—x0+1),整理得t=2%Q—+4x0,

令g(%)=2d-5x2+4x—t,求導(dǎo)得g'(X)=6x2-10x+4=2(3x-2)(x—1),

22

由得或1〉1,由，(x)vO,得

22

因此函數(shù)g(?在(-8,1),(l,+8)上單調(diào)遞增，在(§/)上單調(diào)遞減，

當(dāng)X=g時，函數(shù)g(x)取得極大值gg)=||T,當(dāng)X=1時，函數(shù)g(無)取得極小值g⑴=1T,

因為過點P(lj)作曲線y=/(X)的切線有三條，則方程”2片-5%+4%有3個不等實根，

[28八

即函數(shù)g(x)有3個零點，由三次函數(shù)的性質(zhì)知，27,解得1<",，

1-/<027

所以f的取值范圍是(L|1).

故答案為：(1,——)

27

6.(2023?全國?高二專題練習(xí))若曲線C"(尤)=(尤2-4x+5)e「2e有三條經(jīng)過點A(a,0)的切線，則。的范

圍為?

【答案]]9,1,(1,+功

【詳解】由題意1(x)=(d-2x+l)%

令g(x)=(Y-2x+l)e",則g,(x)=(x-l)(x+l)ex,

令g[x)=0可得x=-l或x=l.

故當(dāng)xc(3,-1)和xe(l,+?>)時g'(x)>0,廣⑴單調(diào)遞增，“X)圖象往下凸；

當(dāng)xe(T,l)時，(x)>0,尸(x)單調(diào)遞減，〃尤)圖象往上凸.

令產(chǎn)0可得無=更丁，又經(jīng)過(1,0)的切線方程為y=o,故當(dāng)。,+8)時有三條經(jīng)過點A(a,o)

的切線.

故答案為：(1,+8)

②公切線問題

1.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ln(x+l),g(x)=ln(e?尤)，若直線y=爪+〃

為/(尤)和g(x)的公切線，則b等于()

A.gB.1—1112C.2-ln2D.-In2

【答案】B

【詳解】設(shè)直線/：y=H+6與〃x)=ln(x+l)相切于點4(5,%),

與g(x)=ln(e2x)相切于點*%2,%)，

由/(x)=ln(無+1),所以尸(%)=工

由?/"(占)=-^7=kn%=1，

玉+1k

11

則y=In(玉+1)=ln(----卜1)=In—=—In左,

xkk

即點A1—,-In),代入直線/中有：

-]nk=k-卜+bnb=k-]nk—l,Q)

由g(x)=ln(e2x)=Ine2+Inx=2+Inx,

所以g'(x)=L,

X

，/、171

由g(%2)=一=左n%=不，

x2k

y=g(%2)=2+lnx=2+ln—=2—ln^,

22k

即點代入直線/中有：

2-\nk=k-^+b^>b=l-\nk,②

聯(lián)立①②解得：k=2,

所以b=l-ln2,

故選：B.

2.(2023春?河北保定?高二河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))若曲線〃司=勺4<0)與8(尤)=3有三條

公切線，則％的取值范圍為()

【答案】A

【詳解】設(shè)公切線為/,P(X2J是/與/(*)的切點，由/("=：,得尸(力=件,

設(shè)。(%,%)是/與g(x)的切點，由g(x)=e"得g，(x)=e",

所以/的方程為=W(x-xj,

F

k—k2k

因為x=一,整理得V=FX+—,

石Xjx1

同理y-%=e"(x-x2),

因為%=e"，整理得(1—%)，

依題意兩條直線重合，可得，

—=e'2(l-x2)

、入

消去得軟=一12(%-1)2，

由題意此方程有三個不等實根，設(shè)/2(x)=-e%x-l)2,

即直線廠電與曲線/z(x)有三個不同的交點，

因為/工)=1(1一巧，令"(x)=0,貝l]x=±l,

當(dāng)x<-L或x>l時，//(x)<0；當(dāng)-1<X<1時，/?,(x)>0,

所以人⑺有極小值為〃(-1)=TeT,h(x)有極大值為項)=0,

A2

因為//(尤)=-e*(x—l)2,e>0,(x-1)>0,所以〃(x)W0,

當(dāng)x趨近于9時，力⑺趨近于0;當(dāng)x趨近于+8時，刀⑺趨近于-%

故Mx)的圖象簡單表示為下圖：

所以當(dāng)70<4%<0,即-，<左<0時，直線>="與曲線"(龍)有三個交點.

故選：A.

3.(2023春?湖北?高二武漢市第四十九中學(xué)校聯(lián)考期中)若直線x+y+a=0是曲線/(x)=x3+6x-14與曲

線g(x)=d_31nx的公切線，貝|〃一6=().

A.26B.23C.15D.11

【答案】D

【詳解】解：因為g(x)=x2-31nx,

3Q3

所以g'(x)=2x--,由2%一一=-1,解得％=1或兀=一不(舍去)，

XL

所以切點為(1,1),

因為切點在切線％+丁+々=。上，解得。=-2,

所以切線方程為％+y-2=0,

/⑺=31+6設(shè)切點為卜,/+初一14),

2

3t+b=-l.“口6=-13

由題意得3，解得

f+產(chǎn)+初一14一2=0t=-2

所以。一6=11,

故選：D

4.(2023春?遼寧鞍山?高二東北育才學(xué)校校聯(lián)考期末)已知函數(shù)=/-mx,g(x)=lnx+mr,若曲線

y=/(尤)與曲線y=g(x)存在公切線，則實數(shù)m的最大值為.

【答案】1/0.5

【詳解】由題意可知：g'(x)=m+-,f'(x)=2x-,

Xm

設(shè)公切線和“X)相切于(%2,%)，和g(x)相切于(%，％)，

因為〃尤)就沒有垂直于工軸的切線，故公切線斜率存在，設(shè)公切線斜率為h

(%；-mx1)-(inx2+mx2)

于是左=2x,—m=—+m=

石一工2

由2%一機=--1■機可得，2m=2x1---.

x2x2

由2x「叫解一四H】n2嘩)化簡整理可得,2m=2%-血3.

玉一%%2

根據(jù)2〃?=2^--=2%-芯+ln.可得,2+in%=1=/靖，

x2x2

212

故21n=2x.-eA|-1<=>m=x,——e“一1，

2

設(shè)F(x)=x-^-',則F(x)=l—xe*2T，

1.當(dāng)尤<0時，顯然尸(x)>0；

x21?1+lnv

2.當(dāng)尤>0時，貝I]F'(x)=1-Xe-=l-e-,

令/?(x)=x?-i+inx,貝ij“(x)=2尤>0,

X

故;?(x)在(0,+8)上遞增，注意到“(1)=0,

①當(dāng)0<x<l時，h(x)<0,F(x)=l-e?-1+lnA>0;

②當(dāng)x>l時，以尤)>0,尸'(x)=l-1-1加工<0;

綜上所述：當(dāng)x<l時，F(xiàn)'(x)>0；當(dāng)x>l時，F(xiàn)\x)<0；

則尸(X)在(-8/)上遞增，在(1,收)上遞減，故[尸(尤)1曲=尸(1)=3，

所以機的最大值為3.

故答案為：

5.(2023春?安徽六安?高二六安二中校聯(lián)考期中)設(shè)直線/是函數(shù)/(x)=x+lnx,「之和函數(shù)

g(x)=；Y+4x+l的公切線，貝門的方程是.

【答案】2%-y-l=0

【詳解】設(shè)直線/與函數(shù)/(x)=x+lnx的切點為4(國,入+111%)，

直線/與函數(shù)g(x)=：x2+4x+l的切點為2(程：考+49+1),

/'(x)=i+L所以((%)=1+!，

X石

g'(x)=x+4,所以5(工2)=馬+4,

所以1#+4%+11a+lnxj“1r”,

x2-X]石

后面等式整理得％3,

-3>|+4f--sKl-Xj-lnx,

代入前面等式整理得乂_」—3一」-----------------=1+1,

1X

因為x12g,

所以0<1<2,

所以，2+3-』+lnt=0,

22

令hit')=—廠+3/卜In/,

22

所以〃'(力=—f+3+-,

t

容易知道，/7'?)=T+3+1為減函數(shù)，

t

3

〃⑺儂=/?⑵=]>。，

所以〃⑺=T+3+!>0恒成立，

t

所以的)=一!產(chǎn)+3-3+山/單調(diào)遞增，

22

所以/7?)=-：/+3/一。+11K最多一個零點,

容易知道Mi)=_1+3_g=o,

所以一彳/+3/一u+lnt=O只有一■個解t=\,

22

故，=r=l,

國

所以A點坐標(biāo)為(1,1),

切線斜率為尸（再）=1+,=1+1=2,

玉

所以切線方程為yT=2（x-l）,

即2%-y-l=0.

故答案為：2x7-1=0.

6.（2023春?江蘇蘇州?高二校聯(lián)考期中）己知函數(shù)=Inx,g（尤）=：Y+m.若曲線丫=/⑴與曲線

y=g（x）有公切線，則實數(shù)機的取值范圍為.

【答案】-；，+力

【詳解】???/（x）=lnx,則〃無）='

設(shè)切點坐標(biāo)4（%,山網(wǎng)）（％＞0）,則切線斜率左=（（再）=工，

X]

故切線方程為y-ln%=1（尤-尤1）,整理得y='x+lnX]-l,

%]

又???8（尤）=；/+"7,貝ljg'（x）=x,

設(shè)切點坐標(biāo)8,2，：第+〃?）,則切線斜率&=g'（9）=X2,

故切線方程為y-1(芯+M1]=x2(x-x2),整理得y=%?尤-gx；+m,

由題意可得須

構(gòu)建廠(同二2/一缶無一.無>0),貝I]F(x)=x_:=(x+1(x",

2xx

*/x>0,可得犬+1>0,

令9（x）＞0,解得X＞1；令尸（x）＜0,解得。＜尤＜1；

*尤）在。,+8）上單調(diào)遞增，在（0」）上單調(diào)遞減，則/（力2*1）=-；，

當(dāng)x趨近于0時，戶（x）趨近于正無窮大，當(dāng)x趨近于正無窮大時，尸（x）趨近于正無窮大,

可得尸（尤）的值域為1，+00]，即實數(shù)m的取值范圍為一；，+°°]

故答案為：-了+°0]

口和切線有關(guān)的其它綜合問題

1.（2023春?江西吉安?高二統(tǒng)考期末）若動點P在曲線y=e'+x上，則動點P到直線y=2x-4的距離的最

小值為（）

A.75B.e+1C.2A/5D.2e

【答案】A

【詳解】設(shè)尸（馬,e而+（）,由題意知y=e*+l,

則在點P（x0,e'。+5）處的切線斜率為k=y'\x=xo=砂+1,

當(dāng)在點尸（尤°,e&+%）處的切線與直線y=2尤-4平行時，點尸到直線y=2x-4的距離最小,

由e*+1=2,得x。=0,則P（0,l）,

所以動點P到直線>=2尤-4的距離的最小值為非.

故選：A

2.（2023?全國■高三專題練習(xí)）已知實數(shù)4，b,c,d滿足+1c-d+2]=0,則（a-c）°+（6-的

最小值為（）

A.20B.8C.4D.16

【答案】B

【詳解】由IliUa-D-bl+lc-d+2|=。得，ln（a—1）—/?=0,c—<7+2=0,即6=ln（a—1）,d-c+2,

（〃-）2+（8-4）2的幾何意義為曲線》=皿“-1）上的點（0力）到直線4=。+2上的點（?。┻B線的距離的平方，

不妨設(shè)曲線，=ln（x-l）,直線y=x+2,設(shè)與直線y=x+2平行且與曲線y=ln（尤-1）相切的直線方程為

y=x+m,

顯然直線y=x+2與直線y=x+機的距離的平方即為所求，

由y=ln（x-l）,得設(shè)切點為（后,%）,

q-12

y0=x0+m,解得，-2

%=ln(%-l)：0

:.(a—c)~+(b—d)~的最小值為8.

故選：B.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若x、a、6為任意實數(shù)，若（a+lf+（b-2>=1,則。+（ln尤-匕了最小

值為（）

A.2應(yīng)B.9C.9-4亞D.272-1

【答案】C

【詳解】由（a+l）2+（b-2）2=l可得（a/）在以（-1,2）為圓心，1為半徑的圓上，

（x-a）2+（lnx-6）2表示點（a,6）與點（x,lnx）的距離的平方，

即表示圓（x+l）2+（y-2）2=1上動點到函數(shù)y=lnx圖像上動點距離的平方.

設(shè)為y=lnx上一點，且在（祖,1印"）處的y=lnx的切線與（加,1印”）和（-1,2）連線垂直，可得

Inm-21

--------------=-1,

m+1m

即有Inm+m2+m=2,

由〃加）=111加+加+機在機〉0時遞增，且/⑴=2,可得m=1,即切點為（1,。），

圓心與切點的距離為d=7（1+1）2+（0-2）2=272,

由止匕可得（x-a）2+（1型一6）2的最小值為（20—I）?=9-4應(yīng).

故選：C.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知In%-%-弘+2=0,+2y2-21n2-6=0,記M=（%-9丫+（%-%丫，

則M的最小值為.

【答案】y/3.2

【詳解】設(shè)〃x）=lnx-x+2,A（七,必），3（毛,斗）.

由題意知,M=&-三y+（%-%丫的最小值可轉(zhuǎn)化為曲線“X）上的點AQ,X）到

直線x+2y-21n2-6=0上的點3（%，%）的距離的平方的最小值.

易知，曲線/（x）=lnx-x+2與直線尤+2y-21n2—6=。沒有交點，貝I]

當(dāng)曲線〃x）在點A處的切線平行于8所在的直線，

且連線與直線x+2y-21n2-6=0垂直時，兩點間距離最小.

11

由/（%）=lnx-x+2,得1（%）=—1,直線x+2y-21n2-6=0的斜率上=-5,

令：一1=一；，解得x=2,貝”A（2,ln2）,

所以點A到直線x+2y-21n2-6=0的距離d=12+。2一2比2-6|=迪，

々+225

故"的最小值為筋=￡.

故答案為：—.

5.（2023春?江蘇南京?高二南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)?？计谥校┤簟?=三匚=:，則

（士~xi）+（%-%）2的最小值為.

【答案】|/1.6/11

【詳解】^^=9=:=%=爐+2%，%=3%-3,

3My23

則（占-%）2+（%-%）2表示曲線了（司=1+2》上的點與直線3尤7-3=0上的點的距離的平方，

令/'（x）=e、2=3得％=0,所以曲線在（0,〃。））的切線方程為3xr+l=0,

所以曲線〃x）=e*+2x上的點與直線3尤-廣3=。上的點的距離的最小值即為直線3x-y+l=0與

3尤-y-3=0之間的距離，

即心注=血八上

55

Q

故答案為：—

二、單調(diào)性問題

①已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

1.（2023春?廣西南寧?高二賓陽中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)〃力=詔-111彳在區(qū)間（2,3）上單調(diào)遞增，貝心

的最小值為（）

A.2e~2B.eC.e-1D.-e-2

2

【答案】D

【詳解】依題可知，尸（力=叔-9。在（2,3）上恒成立，

顯然〃>0,所以泥”之工，

a

設(shè)g（x）=xe、xe（2,3）,所以g，（x）=（x+l）e*>0,所以g（x）在（2,3）上單調(diào)遞增,

g（x）>g（2）=2e2,故2e2^L即“N二=1小，即a的最小值為:屋.

a2e22

故選：D.

2.（2023春?吉林松原?高二長春市九臺區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/。）=13+依2-3%在（3,3）上單

調(diào)遞增，則a的取值范圍為（）

A.[g,+°°B.（0,1]

C.《,+0°）D.（0,^]

【答案】C

【詳解】因為/（尤）=lnx+"2_3X,所以尸（x）=,+2辦一3=2"一―3苫+1,

XX

由了（尤）在。,3）上單調(diào)遞增，得抓x）2。在（；,3）上恒成立，

即2加一3x+lZ0在（；,3）上恒成立，，

即a"二—二=一'（工-當(dāng)2+,在43）上恒成立，

2x2x2x282

31113c99

當(dāng)x=（不3）時，二次函數(shù)>=-彳（—-取到最大值2，

222x288

故0即a的取值范圍為小Q,+切），

OO

故選：C

27r57r

3.（2023春?河南周口?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=asinx+cosx在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】-"+8

_7

【詳解】/r（x）=6icosx-sinx,

2兀57t

因為函數(shù)〃x）=asinx+cosx在區(qū)間—上單調(diào)遞減，

2冗57r

所以/'(力=〃。)5%—5111工?0對7%￡—恒成立，即a3tan%恒成立,

,2兀5兀,5兀V3

當(dāng)尤eT'T時'=tan—=------，

iax63

所以。2一日，即實數(shù)。的取值范圍是一

3，/

故答案為:

J)

4.(2023春,IWJ二課時練習(xí))已知函數(shù)/(%)=]依2+(a-l)x(aeR)是區(qū)間(1,4)上的單調(diào)函數(shù)，貝匹

的取值范圍是.

【答案】(F,2]35,E)

【詳解】f(x)=x2-OX+(6!-l)=(X-I)[x-(6Z-1)],

令—(無)=0,貝ljx=l或a-1,

因為〃x)是區(qū)間(1,4)上的單調(diào)函數(shù),

所以4-1W1或(7—124,解得或。上5,

所以。的取值范圍是00,2]35，+00).

故答案為：(YO,2]U[5,~H?).

5.(2023春,高二單元測試)設(shè)函數(shù)/(x)=g+3(0l)V一獷+1在區(qū)間(0,4)上是減函數(shù)，則上的取值范圍

是

【答案】￡

【詳解】因/(X)=&+3(?-1)*2-左2+1,

ff(x)=3kx2+6(k-T)x,

若左=0,/(x)=~6x,當(dāng)xe(0,4)時，f\x)--6x<0,符合題意,

當(dāng)上wO時，/'(x)=3丘2+6(左-1)x40得

k(3x2+6x)<6x,因尤e(0,4),

6x2

故左《

3x2+6x%+2'

9

由題意上V”在(。,4)上恒成立,

設(shè)g(X)=/，Xe(0,4)則g(無)在(0,4)上單調(diào)遞減,

z221

故8(加A”<幣

故左Vg,k片0,

綜上k41,

故答案為：kM；

②由函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

1.(2023春?四川眉山?高二統(tǒng)考期末)若/。)=-；/+3必+2辦在Q,+⑹上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則。的

取值范圍是()

A.(-oo,l]B.(1,+8)C.[0,+co)D.(-oo,0)

【答案】B

【詳解】函數(shù)/(%)=-3％3+g%2+2ax,求導(dǎo)得1(%)=-%2+x+2〃，

因為函數(shù)在(2,住)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則不等式八%)〉0在(2,+8)上有解，

2

而/'(兀)>°=一％?+x+2a>0^2a>x-xf

當(dāng)了￡(2,+oo)時，x2—X=(x—)2—>2,因止匕2〃>2,解得a>1,

24

所以〃的取值范圍是(L+00).

故選：B

2.(2023春?河北邯鄲?高二校聯(lián)考期中)若函數(shù)〃司=11?+；辦2在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實

數(shù)。的取值范圍是()

1

A.(-oo,-l]B.——,+ooD.(-l,+oo)

2

【答案】D

【詳解】/(x)=Inx+^tzx2,/.f'^x)=—+ax,

若〃力在區(qū)間(L2)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則r(x)>0,xe(1,2)有解,

故。>-5,令8(可=-5，則g(x)=-5在(L2)單調(diào)遞增,

.".g(x)>g(l)=-l,故a>-l.

故選：D.

3.（2023春?山東泰安?高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃%）=（》-1卜一小在區(qū)間［2,4］上存在單調(diào)減區(qū)間，則實

數(shù)優(yōu)的取值范圍為（）

A.［4e4,-H?）B.（2e2,4e4）

C.［2e2,+<?）D.（2e2,-H?）

【答案】D

【詳解】由已知fr（x）=ex+（x-I）ex-m=xex-m<0在［2,4］上有解，

即相〉xex在［2,4］上有解，

設(shè)g（x）=xe）則g（力=（%+1）/>0在［2,