一中高考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練《算法初步復(fù)數(shù)推理與證明》

河南省盧氏一中20XX屆高考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練《算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明》一、選擇題1．(2011·濟(jì)南模擬)i為虛數(shù)單位，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝eq\f(－i,2＋i)的點在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：因為z＝eq\f(－i,2＋i)＝eq\f(－i(2－i),(2＋i)(2－i))＝eq\f(－1－2i,5)＝－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，所以其在復(fù)平面上對應(yīng)的點為(－eq\f(1,5)，－eq\f(2,5))，在第三象限．答案：C2．(2011·天津高考)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(1－3i,1－i)＝()A．2－i B．2＋iC．－1－2i D．－1＋2i解析：eq\f(1－3i,1－i)＝eq\f((1－3i)(1＋i),(1－i)(1＋i))＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，故選A.答案：A3．(2011·江西高考)觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72011的末兩位數(shù)字為()A．01 B．43C．07 D．49解析：∵75＝16807,76＝117649,77＝823543,78＝5764801，…∴7n(n∈Z，且n≥5)的末兩位數(shù)字呈周期性變化，且最小正周期為4，記7n(n∈Z，且n≥5)的末兩位數(shù)為f(n)，則f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)，∴72011與73的末兩位數(shù)相同，均為43.答案：B4．(2011·天津高考)閱讀下邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸入x的值為－4，則輸出y的值為()A．0.5 B．1C．2 D．4解析：由框圖可知：x＝－4，|x|＞3，x＝|－4－3|＝7；x＝7，|x|＞3，x＝|7－3|＝4；x＝4，|x|＞3，x＝|4－3|＝1＜3，y＝21＝2.答案：C5．(2011·廣州模擬)如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入n＝6，m＝4，那么輸出的p等于()A．720 B．360C．240 D．120解析：程序運行如下：n＝6，m＝4，k＝1，p＝1，p＝p(n－m＋k)＝6－4＋1＝3，k<m；k＝1＋1＝2，p＝p(n－m＋k)＝3×(6－4＋2)＝12，k<m；k＝2＋1＝3，p＝p(n－m＋k)＝12×(6－4＋3)＝60，k<m；k＝3＋1＝4，p＝p(n－m＋k)＝60×(6－4＋4)＝360，k＝m，所以輸出p，p＝360，故選B.答案：B6．(2011·濰坊質(zhì)檢)在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4).推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體A－BCD的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,16) D.eq\f(1,27)解析：平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比，而在空間幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，設(shè)正四面體A－BCD的棱長為a，可得其內(nèi)切球的半徑為eq\f(\r(6),12)a，外接球的半徑為eq\f(\r(6),4)a，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).答案：D二、填空題7．(2011·濰坊模擬)運行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是62，則判斷框中整數(shù)M的值是________．解析：因為0＋21＋22＋23＋24＋25＝eq\f(2－26,1－2)＝62，結(jié)合題中所給的框圖可知，M＝4.答案：48.現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為eq\f(a2,4).類比到空間，有兩個棱長均為a的正方體，其中一個的某頂點在另一個中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________．解析：應(yīng)該是一個常數(shù)，因此考慮極端情況，即兩正方體重疊部分恰好構(gòu)成一個棱長為eq\f(a,2)的正方體，這個小正方體的體積為eq\f(a3,8).答案：eq\f(a3,8)9．(2011·陜西高考)觀察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此規(guī)律，第5個等式為________．解析：每行最左側(cè)數(shù)分別為1、2、3、…，所以第n行最左側(cè)的數(shù)應(yīng)為n；每行數(shù)的個數(shù)分別為1、3、5、…，所以第n行的個數(shù)應(yīng)為2n－1.所以第5行數(shù)依次是5、6、7、…、13，其和為5＋6＋7＋…＋13＝81.答案：5＋6＋7＋…＋13＝81三、解答題10．(2011·上海高考)已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實數(shù)，求z2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.設(shè)z2＝a＋2i，a∈R，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.11．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn；(2)設(shè)bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．解：(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr.即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))．∴(q2－pr)＋(2q－p－r)eq\r(2)＝0.∵p，q，r∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0.))∴(eq\f(p＋r,2))2＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r.與p≠r矛盾．∴數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列．12．?dāng)?shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想．解：(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.當(dāng)n＝2時，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝eq\f(3,2).當(dāng)n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝eq\f(7,4).當(dāng)n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝eq\f(15,8).由此猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*)．(2)證明：①當(dāng)n＝1時，a1＝1，結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時，結(jié)論成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，那么n＝k＋1時，ak＋1＝S