北京市東城區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試卷【含答案解析】

北京市東城區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試卷2025.1本試卷共4頁，150分．考試時長120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合交集運算求解即可.【詳解】因集合，所以.故選：A.2.下列函數(shù)中，與函數(shù)有相同圖象的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象相同函數(shù)是同一函數(shù)分別判斷各個函數(shù)的定義域或值域解題即可.【詳解】函數(shù)定義域為,值域為,對于A：定義域為,值域為相同有相同圖象,A選項正確；對于B：定義域為0,+∞,定義域不同沒有相同圖象，B錯誤；對于C：值域為,值域不同沒有相同圖象，C錯誤；對于D：定義域為,定義域不同沒有相同圖象，D錯誤；故選：A.3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義逐項判斷.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以函數(shù)fx為偶函數(shù)，A對于B，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以函數(shù)fx為奇函數(shù)，B對于C，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以函數(shù)fx為偶函數(shù)，C對于D，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，故，，故，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，D錯誤.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】，且，.故選：B.5.如圖，函數(shù)的圖象為折線段，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)fx【詳解】函數(shù)的圖象為折線段，且,故可設(shè)，且，，，所以，，所以，當(dāng)時，不等式可化為，，即，故（舍去），當(dāng)時，不等式可化為，，即，故.所以不等式的解集是.故選：D.6.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合充分、必要條件分析判斷即可.【詳解】因為對任意恒成立，可知可以推出，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上的單調(diào)性比較，的大??；再根據(jù)冪函數(shù)在上的單調(diào)性比較，的大小即可求解.【詳解】∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，即.∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，即..故選：C.8.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)對稱與變換求出函數(shù)的解析式，代值計算可得出的值.【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)的解析式為，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得到函數(shù)，故.故選：B.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式可得，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，又因為在定義域0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，所以.故選：B.10.已知函數(shù)，其中．若在上的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知的最大值為，且，求得，結(jié)合圖像即可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，且；若在上的值域為0,4，則在上的最值點在內(nèi)，可知的最大值為，且，可得，令，解得或，結(jié)合的圖像可知實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵在于定義域和值域的開閉問題，可知在上的最值點在內(nèi)，進而結(jié)合二次函數(shù)分析最值.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)根式、分式的意義列式求解即可.【詳解】令，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.12.已知，命題：若，則．能說明為假命題的一組a，b，c的值為______，______，______．【答案】①.1（答案不唯一，滿足即可）②.0（答案不唯一，滿足即可）③.（答案不唯一，滿足即可）【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷即可.【詳解】因為，則，若，則；若，則，可得；綜上所述：.所以對于任意，命題均為假命題，例如.故答案：1；0；（答案不唯一，滿足即可）.13.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題意可知函數(shù)為上單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性運算求解即可.【詳解】因為函數(shù)為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，可知函數(shù)上單調(diào)遞增，且，，則，若，即，可得，解得，所以的取值范圍是.故答案為：.14.已知，若點在第一象限，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，可知角不為軸線角，分類討論角所在象限結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)分析求解即可.【詳解】因為點在第一象限，則，且，可知角不為軸線角，若，則，可得，且，則，可得；若，則，可得，不合題意；若，則，可得，且，則，可得；若，則可得，不合題意；綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.15.已知是定義在上的函數(shù)，若，且，使得，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)具有性質(zhì)；②函數(shù)具有性質(zhì)；③若函數(shù)具有性質(zhì)，且是偶函數(shù)，則是周期函數(shù)；④若函數(shù)具有性質(zhì)，且是奇函數(shù)，則是的一個對稱中心．其中所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】②③④【解析】【分析】利用反證法可判斷①；取可判斷②；利用題中定義結(jié)合函數(shù)的對稱性、周期性可判斷③④.【詳解】對于①，若函數(shù)具有性質(zhì)，則存在，使得，都有，即，則不是常數(shù)，所以函數(shù)不具有性質(zhì)，①錯；對于②，因為，即，所以函數(shù)具有性質(zhì)，②對；對于③，函數(shù)具有性質(zhì)，則存在，使得，都有，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，又因為，即，因，則，故函數(shù)為周期函數(shù)，③對；對于④，若函數(shù)具有性質(zhì)，且是奇函數(shù)，則存在，使得，都有，，所以，所以，是的一個對稱中心，④對.故答案為：②③④.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查函數(shù)的對稱性，可利用以下結(jié)論來轉(zhuǎn)化：①函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.（1）計算求值：（2）解關(guān)于的不等式：（ⅰ）；（ⅱ）．【答案】（1）2；（2）（ⅰ）或；（ⅱ）答案見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)指、對數(shù)運算求解即可；（2）（ⅰ）根據(jù)分式不等式運算求解即可；（ⅱ）根據(jù)二次不等式分析討論根的大小即可判斷.【詳解】（1）原式；（2）（?。┮驗?，可得，等價于，解得或，所以不等式的解集為或；（ⅱ）因為，即，令，解得或，若，不等式解集為；若，不等式解集為；若，不等式解集為.17.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，求的最大值和最小值．【答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間（2）的最大值為1；最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)最小正周期公式求的最小正周期，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性分析求解；（2）以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)有界性分析求解.【小問1詳解】因為，所以的最小正周期；令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間.【小問2詳解】因為，則，可得，當(dāng)，即時，取得最大值1；當(dāng)或，即或時，取得最小值.18.在某種藥物研究試驗中發(fā)現(xiàn)其在血液內(nèi)的濃度（單位：毫克／毫升）與時間（單位：小時）滿足函數(shù)關(guān)系，其中，為大于的常數(shù)．已知該藥物在血液內(nèi)的濃度是一個連續(xù)變化的過程，且在小時時達到最大值毫克／毫升．（1）直接寫出，的值；（2）當(dāng)該藥物濃度不小于最大值一半時，稱該藥物有效．求該藥物有效的時間長度（單位：小時）．【答案】（1）a=2，，（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)時，函數(shù)取最大值，且該藥物在血液內(nèi)的濃度是一個連續(xù)變化的過程，列關(guān)系式求；（2）由關(guān)系，結(jié)合函數(shù)解析式分段列不等式求其解，即可.【小問1詳解】因為該藥物在血液內(nèi)的濃度是一個連續(xù)變化的過程，函數(shù)在時取最大值，所以a>0，，，所以a=2，，【小問2詳解】由（1），令可得，若，則，解得，若，則，解得，所以該藥物有效的時間長度為（小時）.19.已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）當(dāng)時，若函數(shù)在上的最大值與最小值的差為，求的值；（3）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，的零點，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）代入結(jié)合對數(shù)的定義運算求解即可；（2）注意到，，結(jié)合題意可知，結(jié)合單調(diào)性列式求解即可；（3）分析可知hx在內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合零點存在性定理運算求解.【小問1詳解】因為，可得，且，所以.【小問2詳解】因為，當(dāng)x∈0,1時，；當(dāng)x∈1,+∞時，；可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，且，，若函數(shù)在上的最大值與最小值的差為，可得，即，可知在上單調(diào)遞減，則，解得，所以的值為.【小問3詳解】因為，且，又因在內(nèi)單調(diào)遞減，可知hx在內(nèi)單調(diào)遞減，且，可得，則的唯一零點，所以.20.已知函數(shù)的圖象過點，其中.（1）求及的值；（2）求證：，都有；（3）若函數(shù)在上存在最大值，直接寫出的取值范圍.【答案】（1），（2）證明見詳解（3）【解析】【分析】（1）函數(shù)的圖象過點，可求得；再將帶入分段函數(shù)對應(yīng)解析式即可求解；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合的取值范圍即可證明；（3）由題知，對的取值范圍進行分類討論，去絕對值后研究分段函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】∵函數(shù)的圖象過點，，解得..故.【小問2詳解】證明：由（1）知，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，.綜上，，都有.【小問3詳解】由（1）知.當(dāng)時，，；當(dāng)時，，.當(dāng)時，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上無最大值；當(dāng)時，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為；當(dāng)時，不妨設(shè)方程的兩根分別為和，易知函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在上存在最大值，需使，即，解得.綜上，若函數(shù)在上存在最大值，的取值范圍為.21.已知集合中都至少有個元素，且，滿足：①，且，總有；②，且，總有．（1）若集合，直接寫出所有滿足條件的集合；（2）已知，（ⅰ）若，且，求證：．（ⅱ）求證：．【答案】（1），，，；（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（1）由條件證明，設(shè)設(shè)，由條件列方程求，由此可得結(jié)論；（2）（?。┯蓷l件先證明，再證明，（ⅱ）先證明中至少有兩個正整數(shù)，設(shè)正整數(shù)，由此證明，同理證明出大于等于的正整數(shù)屬于，結(jié)合（?。┳C明小于的正整數(shù)屬于，由此完成證明.【小問1詳解】因為，又，且，總有，所以，即，設(shè)，由，且，總有，可得，所以或或，但，所以滿足條件的集合有，，，；【小問2詳解】（?。┯?，，，，由①知，，，由②知，，（ⅱ）因為中至少有個元素，，不妨設(shè)，其中，互不相等的整數(shù)，則，且