福建省2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024~2025學(xué)年高三12月測(cè)評(píng)（福建）數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集、補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】，可知，即，所以，所以.故選:B.2.若，則（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義、復(fù)數(shù)乘方及減法運(yùn)算求，即可求其模長(zhǎng).【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.3.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，結(jié)合兩角和的正切公式計(jì)算即可求解.【詳解】易知，則，故選：D.4.設(shè)甲：，乙：，則（）A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】【分析】易知充分性成立，舉例說明可證明必要性不成立，結(jié)合充分、必要條件的概念即可下結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，；令，滿足，但不成立.所以甲是乙的充分不必要條件.故選：A.5.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則數(shù)列前99項(xiàng)和為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】求得通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】依題意，，所以，因?yàn)?，由，易知，所以所以?shù)列的前99項(xiàng)和為，故選：C.6.若直線為函數(shù)且的圖象的一條切線，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于、的方程組，即可解出的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)榍遥瑒t，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，所以，即，故，所以，解得，故選：B.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別，.A是C上的一點(diǎn)（在第一象限），直線與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，若，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，設(shè)AF2=m，根據(jù)雙曲線的定義和勾股定理的應(yīng)用可得AF2=a，，【詳解】設(shè)AF由題意可得，，；又，由可得即，解得；所以AF2=a，，在中，在中，，又由，有，解得，故.故選：D.8.已知函數(shù)，且，則滿足在區(qū)間上最大值為的的取值的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算出，分、、三種情況討論，結(jié)合圖形和方程的解與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系求解即可.【詳解】由，得，所以，因?yàn)?，有，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，.若，，此時(shí)的最大值為，所以，畫出的圖象，如圖，由圖可知，函數(shù)圖象在上沒有交點(diǎn)，所以方程在上無(wú)解；若，，此時(shí)的最大值為1，所以，解得，不符合題意；若，，此時(shí)的最大值為，所以，畫出的圖象，如圖，由圖可知，函數(shù)圖象在上有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程在上僅有一個(gè)解；所以的個(gè)數(shù)為1.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在正方體中，則（）A.直線與所成的角為B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為D.直線與平面所成的角為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)可判斷A；根據(jù)為正三角形可判斷B；記，由線面垂直的判定定理得與平面所成的角為，可判斷C；記，利用線面垂直的判定定理得與平面所成的角即為，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，如下圖，因?yàn)椋?，所以直線與所成的角為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，可知為正三角形，所以直線與所成的角為，故B正確；對(duì)于C，記，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，所以平面，故與平面所成的角為，所以的正弦值為，即所成的角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，記，因?yàn)槠矫?，平面，所以，同理得，又，平面，所以平面，可知與平面所成的角即為，則，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知O為內(nèi)部的一點(diǎn)，滿足，，，則（）A B.C.的面積為 D.【答案】ABD【解析】【分析】由題意，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可判斷A；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和定義計(jì)算即可判斷B；根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合三角形面積公式求出，，的面積即可判斷C；根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可判斷D.【詳解】對(duì)于A.由，可得，兩邊平方，得，解得，故A正確；對(duì)于B，由，可得，兩邊平方有，有，得.故B正確；對(duì)于C，可知，所以.由三角形面積公式可得，，的面積分別為，1，，故的面積為2.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D.因?yàn)?，，所以，故D正確.故選：ABD.11.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線C上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過A作拋物線C的切線交y軸于點(diǎn)M，交l于點(diǎn)N，過A作直線，垂足為P，則下列說法正確的是（）A.若為等邊三角形，則B.C.P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線D.的面積的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)即可判斷A；根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系求出A處切線方程，結(jié)合兩點(diǎn)表示斜率公式即可判斷B；根據(jù)，即可判斷C；由BC可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可判斷D.【詳解】A：若為等邊三角形，則，所以，所以，故A錯(cuò)誤；B：設(shè)，設(shè)A處切線方程為，聯(lián)立可得，，所以，即，，所以A處切線方程為，有所以，，，，故B正確；C：因?yàn)?，，所以P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，故C正確；D：由B，C可知，與全等，所以面積與面積相等，面積為，設(shè)，則，或，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若偶函數(shù)滿足，則_______.【答案】1【解析】【分析】由賦值法結(jié)合奇偶性即可求解；【詳解】取，結(jié)合，可得，所以.故答案為：113.已知，，則的最小值為_______.【答案】4【解析】【分析】變形得到，由基本不等式求出最小值.【詳解】，故，因?yàn)?，所以，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立故答案為：4.14.已知三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為1的球O的球面上，，，則三棱錐的體積的最大值為_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)所在小圓圓心為，半徑為r，，則，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出的最大值，由棱錐的體積公式可得，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出體積的最大值即可.【詳解】設(shè)所在小圓圓心為，半徑為r，，則，所以的面積為，設(shè)，則，令g'所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為，設(shè)球心O到平面的距離為h，則，因?yàn)?，所以為球O的一條直徑，所以S到平面的距離為，此時(shí)三棱錐體積為，設(shè)，則，令，解得，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）設(shè)D為邊的中點(diǎn)，若，且的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等變換和正弦定理得到，結(jié)合，得到，求出答案；（2）根據(jù)中點(diǎn)得到，兩邊平方得到，由余弦定理得到，聯(lián)立求出，由三角形面積公式得到方程，求出，，進(jìn)而求出，得到周長(zhǎng).【小問1詳解】依題意，，即，由正弦定理可得，因?yàn)?，，所以，故，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?；【小?詳解】D為邊的中點(diǎn)，故，兩邊平方得，即，故①，由余弦定理可得，，又，所以②，聯(lián)立①②得，，因?yàn)榈拿娣e為，解得，所以，解得，因?yàn)?，所以，故，，所以的周長(zhǎng)為.16.如圖，在四棱錐中，底面，平面，與底面所成的角為45°，，，.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得，根據(jù)線面角的概念及勾股定理得，從而線面垂直的判定定理證明即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解二面角的余弦值，然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以，又平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，是與平面所成的角，所以，所以，因?yàn)?，，，所以，，所?因?yàn)?，，，，平面，所以平面；【小?詳解】因?yàn)?，，兩兩互相垂直，因此以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，A0,0,0，，，，.因此，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=x1有，令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，有，令，得，所以.所以，即二面角的正弦值為.17.已知橢圓C:x2a2+y2b（1）求橢圓的方程；（2）若與圓相切的直線（直線l的斜率存在）交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由離心率及點(diǎn)在橢圓上列出等式即可求解；（2）設(shè)直線方程，由其與圓的位置關(guān)系得到，再結(jié)合橢圓方程，通過韋達(dá)定理即可求證；【小問1詳解】，所以又由點(diǎn)在橢圓C上，有，解得，，所以橢圓C的方程為：【小問2詳解】設(shè)直線的方程為：.依題意，有，即，有，直線的方程與C的方程聯(lián)立，可得，設(shè)，，則，，綜上，故.18.設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）已知，若單調(diào)遞增，求的最大值；（3）已知，設(shè)為的極值點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值（2）（3）【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出其單調(diào)性可求出極值；（2）解法一：依題意可得f′x≥0解法二：依題意f′x≥0恒成立，可得，當(dāng)時(shí)對(duì)函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證即可；（3）當(dāng)時(shí)由零點(diǎn)存在定理即可得存在使得，可得為的極小值點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)即可求出的最大值為.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則令，解得當(dāng)時(shí)，f′x<0，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，f′x>0，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無(wú)極大值；【小問2詳解】解法一：由，若單調(diào)遞增，必有f′x≥0恒成立；令，有，當(dāng)時(shí)，由已知單調(diào)遞增，但，不合題意當(dāng)時(shí)，令φ′x>0，可得故函數(shù)φx的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有又由函數(shù)單調(diào)遞減，且.又由，故a的最大值為.解法二：，依題意恒成立，所以，故因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，設(shè)，則當(dāng)x∈0,1時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以所以滿足題意，即的最大值為；【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，易知單調(diào)遞增.易知，所以存在使得，即，為的極小值點(diǎn)，所以，其中，設(shè)，則整理得因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，h′x>0，hx在當(dāng)時(shí)，h′x<0，hx在所以，即的最大值為.19.設(shè)正整數(shù)（為常數(shù)），數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等，設(shè)集合，對(duì)有限集，記為中的元素個(gè)數(shù).（1）若，，，，，求；（2）證明：（3）若，且，證明：存在集合，使得，，，，中的元素按照某種次序排列后成等比數(shù)列，中的元素按照某種次序排列后也成等比數(shù)列，且這兩個(gè)數(shù)列的公比相同.【答案】（1）5（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由新定義即可求解；（2）由組合數(shù)可證，不妨假設(shè)，結(jié)合，可證；（3）由條件確定，推證，取可取為奇數(shù)，且