函數(shù)圖象及性質(zhì)應(yīng)用（練習(xí)）-2025年北京高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題03函數(shù)圖象及性質(zhì)應(yīng)用

目錄

01模擬基礎(chǔ)練.......................................................2

題型一：函數(shù)定義域、值域、解析式...................

題型二：函數(shù)單調(diào)性、周期性、奇偶性、對(duì)稱性..........................6

題型三：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間及分段函數(shù)值域求參問題.....................12

題型四：對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.............................................18

題型五：指對(duì)幕比較大小.............................................23

題型六：指對(duì)幕運(yùn)算及解不等式......................................26

02重難創(chuàng)新練......................................................32

梢陽(yáng)建礎(chǔ)饗

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題型一：函數(shù)定義域、值域、解析式

1.函數(shù)/(?=里的定義域?yàn)?)

x-1

A.(0,+oo)B.(0,1)51,y)

C.[0,+00)D.[0,l)u(l,+w)

【答案】B

【解析】令x>0且xTwO即可求解.

,,fx>0

【詳解】由題思得z：\得％>0且xwl,

所以函數(shù)的定義域?yàn)?O,l)u(l,y),

故選：B

2.函數(shù)〃x)=J的定義域?yàn)?)

-2x

A.(0,2)B.[0,2]

C.(—,0)(2,+oo)D.(-oo,0][2,+oo)

【答案】c

【解析】由分母中根式內(nèi)部的代數(shù)式大于0,解一元二次不等式得答案.

【詳解】由/一2彳>0,得尤<0或無>2,所以函數(shù)〃x)=J的定義域?yàn)?F,0)(2,例).

7x-2x

故選：c

3.函數(shù)=\庫(kù)]的定義域?yàn)?)

V%+1

A.(-1,2]B.[2,+動(dòng)

C.(-00,-1)t[1,+OO)D.(-8,-1)、[2,+OO)

【答案】B

【解析】根據(jù)二次根式需被開方數(shù)大于等于零，可得選項(xiàng).

【詳解】函數(shù)小卡,令三彳川’得A2N。，解得

所以/(X)的定義域?yàn)閇2,+8).

故選：B.

4.函數(shù)/(X)=Jx?-5x+6的定義域?yàn)?)

A.{x|%,2或x..3}B.{x|%,-3或x…一2}

C.{x|2M3}D.{x|-3M-2}

【答案】A

【解析】根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，求解一元二次不等式，則問題得解.

【詳解】由/-5x+6..O,解得2或x..3,

，函數(shù)/(x)=7X2-5X+6的定義域?yàn)?I蒼,2或x..3}.

故選：A

5.已知函數(shù)=則對(duì)任意實(shí)數(shù)無，函數(shù)/'(X)的值域是()

A.(0,2)B,(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)求出函數(shù)值域得解.

【詳解】依題意，尤卜氫21"_2=2_

'72%2+12X2+1

22

顯然2/+121,則0＜丁二《2,于是0W2-二「＜2,

2X2+12X2+1

所以函數(shù)〃尤)的值域是[0,2).

故選：C

6.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且值域?yàn)閇0,+s)的是().

A.f(x)=x2-1B./(x)=/

C.f(x)=log2xD.f(x)=\x\

【答案】D

【分析】分別判斷每個(gè)選項(xiàng)函數(shù)的奇偶性和值域即可.

【詳解】對(duì)A,/(^)=%2-1＞-1,即值域?yàn)椴?,4?),故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,/(x)=/的定義域?yàn)閇0,+功，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤;

對(duì)C,/（力=1082工的定義域?yàn)椋?,y），定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,/（x）=|x|的定義域?yàn)榛穑?（-x）=|x|=/（x）,故〃x）是偶函數(shù)，且〃力=N20,即值域?yàn)椋?,y），

故D正確.

故選：D.

7.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又滿足值域?yàn)镽的是（）

A.y=-B.y=x+—C.y=x~—D.y=sinx

xxx

【答案】C

【分析】由函數(shù)的奇偶性和值域直接判斷可排除A、B、D,對(duì)C,采用導(dǎo)數(shù)法，函數(shù)函數(shù)圖象可判斷正確

【詳解】對(duì)A,>=工為奇函數(shù)，值域?yàn)楣蔄錯(cuò)；

對(duì)B、y=x+-,函數(shù)為“對(duì)勾函數(shù)”因?yàn)閤wO,所以yw。，故B錯(cuò)誤；

X

對(duì)C,y=x-L為奇函數(shù)，當(dāng)尤>0時(shí)，因?yàn)閥'=l+'r>0,故〉=苫」在x>0為增函數(shù)，X=1時(shí)，函數(shù)值

XXX

為o,當(dāng)xfo+時(shí)，y—,尤―”,丁一+00,畫出圖形如圖：

所以yeR,故c正確；

對(duì)D,y=sinx,函數(shù)為奇函數(shù)，值域?yàn)椋?1』，故D錯(cuò)誤；

故選：C

8.下列函數(shù)中，值域?yàn)镽且區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=-x3B.y=x|x|C.y=x-1D.y=Vx

【答案】B

【分析】求出各選項(xiàng)中函數(shù)的值域，并判斷出各函數(shù)在區(qū)間（0,+8）上的單調(diào)性，由此可得出結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)y=-/的值域?yàn)镽且區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減；

_%<0

對(duì)于B選項(xiàng)，了=》國(guó)=4,當(dāng)尤>0時(shí)，y=%2>0；當(dāng)xVO時(shí)，y=-x2<0.

［無~,x>0

所以，函數(shù)y=x|x|的值域?yàn)镽,且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)y=/的值域?yàn)閧小W0},且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減；

對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)y=?的值域?yàn)椋?,+"),且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.

故選：B.

9.下列函數(shù)中，與函數(shù)/(引=\］的定義域和值域都相同的是()

A.y=x2+2x,x>0B.y=

C.y=10-xD.y=x+-

X

【答案】c

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得到f(x)定義域和值域，依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知：=的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+8).

對(duì)于A,定義域?yàn)?0,+8),與/(x)不同，A錯(cuò)誤；

對(duì)于2,值域?yàn)椋邸?+8),與/(尤)不同，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+8),與相同，C正確；

對(duì)于O,定義域?yàn)閧小*0},與不同，O錯(cuò)誤.

故選：C.

10.已知函數(shù)/(》)=2j,/(6)=1,貝1|/(-四)=

A.1B.—C.—D.—

828

【答案】D

【分析】利用求得。的值，即求得函數(shù)/(》)的解析式，由此來求了卜亞)的值.

【詳解】依題意/(6)=23-。=1=2-2,故3-。=一2,解得“=5.故〃x)=2/",所以/卜亞)=22-5=2-3=5

故選D.

題型二：函數(shù)單調(diào)性、周期性、奇偶性、對(duì)稱性

H.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在+8)上單調(diào)遞減的是()

A./(x)=x2-|x|B./(%)=eH

C./(x)=|lnx|D.=2

【答案】D

【分析】先檢驗(yàn)函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再考查是否為偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)解析式,分析函數(shù)在(0,+OO)

上的單調(diào)性即得.

【詳解】對(duì)于A,因〃_>=子一次|=/(勸,則函數(shù)/(X)為偶函數(shù),

211

X-X—(X—)2—,x>0

24

且/。)=顯然f(尤)在(0,+8)上先減后增,故A錯(cuò)誤;

11

X9+X=(XH—)7—,XW0

24

ex,x>0

對(duì)于B,S/(-x)=ew=/(%),則函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，且"x)=

e-x,x<0,

顯然函數(shù)/(%)在(0,+8)上為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,函數(shù)〃x)=|l時(shí)的定義域?yàn)?0,+8),故/(無)是非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因/'(x)=J的定義域?yàn)?-0,0)(0,+8),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且〃r)=!=/(x)，即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，即D正確.

故選：D.

12.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

A.y=-B.y=YC.y=cosxD.y=-ln|x|

X

【答案】D

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義和基本函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,定義域?yàn)閧小*0},令〃x)=L因?yàn)椤?)=-1=」=一/(元)，所以此函數(shù)為奇函數(shù),

X—XX

所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,定義域?yàn)镽,令網(wǎng)工)=X2,因?yàn)?z(-x)=(-x)2=產(chǎn)=g)，所以此函數(shù)為偶函數(shù),

因?yàn)閥=Y在(0,+s)上單調(diào)遞增，所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,定義域?yàn)镽,令g(x)=cosx,因?yàn)間(-x)=cos(-x)=cos_x=g(x),所以此函數(shù)為偶函數(shù)，

因?yàn)閥=cosx在(0,+勾上有增區(qū)間也有減區(qū)間，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,定義域?yàn)閧小力0},令機(jī)⑺=-1中|,因?yàn)閙(―x)=-lnT=-1中|=機(jī)(幻，所以此函數(shù)為偶函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，y=-\nx,因?yàn)閥=lnx在(0,+s)上單調(diào)遞增，所以y=-lnx在(0,+⑹上單調(diào)遞減，所以D正確，

故選：D

13.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=e*B.y=x--C.y=|尤1D.>=cosx

X11

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，結(jié)合初等函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)丁=6,為非奇非偶函數(shù)，所以A不符合題意；

對(duì)于B中，函數(shù)〃同=尤-工的定義域?yàn)?-8,0)一(0,+8)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

X

且〃-x)=-(尤-J)=-〃x)，所以/(X)為奇函數(shù)，所以B不符合題意；

對(duì)于C中，函數(shù)〃x)=|刈的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足〃_0=卜刈=卜3卜”X),所以/(X)為偶

函數(shù)，

當(dāng)x6(0,+8)時(shí)，/(x)=x3,在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，所以C符合題意；

對(duì)于D中，函數(shù)y=cosx在期間(0,+oo)上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以D不符合題意.

故選：C.

14.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.=；B.f(x)=sin|x|

C.〃x)=2"+2TD./(x)=tanx

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的定義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

一,x>0

x

【詳解】，則/'(X)為偶函數(shù)，但在區(qū)間(。,+e)上單調(diào)遞減,

1

—,XC0

X

故A錯(cuò)誤;

〃什巾5R廣為偶函數(shù)，但在區(qū)間(0,+8)上不具有單調(diào)性,

故B錯(cuò)誤；

/(x)=2,+2T的定義域?yàn)镽,且〃—x)=2T+2*=/(x),

則〃x)為偶函數(shù)，令f=2",當(dāng)xe(0,+oo)時(shí),則fe(l,+oo),

則>=1+>>1,由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，丫小+1■在(1,+s)單調(diào)遞增,

所以7(x)=2"+2一工在區(qū)間(0,+“)上單調(diào)遞增，故C正確；

〃x)=tanx為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故選：C

15.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)的是()

A.f(x)=sinxB.fCx)=cosx

C./(%)=?D.f(x)=x3

【答案】D

【分析】根據(jù)已知的各個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，可以直接作出判斷.

jrTT

【詳解】八x)=sinx是奇函數(shù)，它在區(qū)間-5+2左肛5+2左萬(wàn)，左eZ上單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)不是增函數(shù),

所以選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的；

/(%)=cosx是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的；

/(*=6既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的；

/("=丁滿足既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)，所以選項(xiàng)D是正確的；

故選：D.

16.下列函數(shù)中，在區(qū)間(l,y)上單調(diào)遞減的是()

A.f^x)=4xB.f(x)=e-^

C.f^x)=x+—D./(x)=lnx

【答案】B

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷A、B、D,利用導(dǎo)數(shù)判斷C選項(xiàng)的單調(diào)性.

【詳解】對(duì)于A：/(*)=石在定義域[0,小)上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：=在定義域R上單調(diào)遞減，故B正確；

對(duì)于C：f(x)=x+-,則((x)=]==(x+l),T),

XXX

當(dāng)xe(l收)時(shí)/'(x)>0,所以=在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增,故C錯(cuò)誤；

X

對(duì)于D：/(x)=lnx在定義域(0,+“)上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選：B

17.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在(-8,0)上是減函數(shù)的是()

2

A.〃x)=tanxB./(x)=ex+e-xC./(x)=cosxD./(*)=”

【答案】B

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性、函數(shù)奇偶性的定義、函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和特殊值判斷函數(shù)單

調(diào)性，針對(duì)各個(gè)選項(xiàng)判斷即可；

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)/(x)=tanx是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,函數(shù)/(一可=/+/=/(幻，所以函數(shù)為偶函數(shù)，/(x)=e，一尸=(?：T=?T；'+1),

令/'(無)=0,得尤=0,當(dāng)xe(-8,0)時(shí)，0</<lJ'(x)<0,/(x)在xe(-oo,0)上單調(diào)遞減，B正確;

對(duì)于C,函數(shù)/(x)=cosx為偶函數(shù)，在尤e(-8,0)上單調(diào)性有增也有減，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,函數(shù)r=”=/(*),所以函數(shù)為偶函數(shù)，8)=(-8)3=：

/(_1)=(_1)-3=1，/(-8)</(-1),函數(shù)在xe(-8,0)上一定不是減函數(shù)，D錯(cuò)誤；

故選：B.

18.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間(。,+e)上單調(diào)遞減的是()

A./(x)=^-j-B,f(x)=-x3C./(x)=tanxD.”x)=l°gJN

【答案】B

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷A、D錯(cuò)誤；由奇函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)可得B正確；由正切函數(shù)的定義域可

得C錯(cuò)誤.

【詳解】A：因?yàn)椤╛尤)=二匕=占2-〃尤)，所以〃x)不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

B：因?yàn)?(x)的定義域?yàn)镽,

又“T)=-(-W=X3=-“X),所以“X)是奇函數(shù)，

又f(x)=-3x2<0在(o,+8)恒成立，

所以在區(qū)間(。,+")上單調(diào)遞減，故B正確；

C：由正切函數(shù)的定義域可得函數(shù)〃x)=tanx在(0,+巧上不連續(xù)，

所以/■(%)在區(qū)間(。,+“)上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；

D：因?yàn)?(一力二題]一仁題/尤花一“尤)，所以〃尤)不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；

22

故選：B.

19.已知函數(shù)“力對(duì)任意xeR都有〃x+2)=-〃x),且J(r)=-〃x),當(dāng)xe(—1』時(shí),〃力=如.則下

列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)伏,0)仕eZ)對(duì)稱

B.函數(shù)y=〃x)的圖象關(guān)于直線彳=2左仕€2)對(duì)稱

C.當(dāng)xe[2,3]時(shí)，〃無)=(尤—2)3

D.函數(shù)y=|/(x)|的最小正周期為2

【答案】D

【分析】根據(jù)〃x+2)=-〃力得至！J“x+2)"(x-2),所以/(X)的周期為4,根據(jù)/(r)=—〃x)得到

關(guān)于x=-l對(duì)稱，畫出了⑺的圖象，從而數(shù)形結(jié)合得到AB錯(cuò)誤;再根據(jù)〃x)=-/(x-2)求出xe[2,3]

時(shí)函數(shù)解析式；D選項(xiàng)，根據(jù)>=〃無)的最小正周期，得到y(tǒng)=|/(x)|的最小正周期.

【詳解】因?yàn)椤▁+2)=—〃x),所以〃x)=—2),故/(x+2)"(x-2),

所以“X)的周期為4,

又=所以/(—x)=/(x-2),故“X)關(guān)于x=-l對(duì)稱,

又1』時(shí),/(x)=x3,故畫出“X)的圖象如下：

A選項(xiàng)，函數(shù)'=/(尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)。,0)不中心對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，函數(shù)y=f(x)的圖象不關(guān)于直線x=2對(duì)稱，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，當(dāng)xe[2,3]時(shí)，x-2e[0,l],則/(可=一〃無一2)=-@一2)3,C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，由圖象可知y=/(x)的最小正周期為4,

又|〃X+2)H-〃X)|=『(X)|,故y=的最小正周期為2,D正確.

故選：D

20.設(shè)為定義在R上的偶函數(shù)，且〃x)在[0,+。)上為增函數(shù)，則〃-2)、〃-兀)、/⑶的大小順序?yàn)?/p>

()

A./(-7i)</(-2)</(3)B./(-2)</(3)</(-7T)

C./(-7T)</(3)</(-2)D.f(3)</(-2)</(-7r)

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【詳解】因?yàn)?'(X)為定義在R上的偶函數(shù)，

所以/(—2)"(2),/(-兀)=/(江

又因?yàn)椤?在[。,+8)上為增函數(shù)，2<3<兀，

所以"2)<"3)<〃兀)，即/(-2)</(3)</(-K).

故選：B.

題型三：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間及分段函數(shù)值域求參問題

21.函數(shù)/(》)=-工+bg,尤的零點(diǎn)所在區(qū)間是()

X

A.(ofB.gjC.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【分析】計(jì)算端點(diǎn)函數(shù)值，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理和單調(diào)性直接判斷可得.

【詳解】易知增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)/(x)在定義域(0,+勾上單調(diào)遞增，且〃I)=log21-；=T<0,

f(2)=log22——=1——=—>0,所以/(x)存在唯一"零點(diǎn)X。，且%e(l,2).

故選：C.

22.已知函數(shù)/(x)=e'-尸，下列命題正確的是()

①是奇函數(shù)；

②方程/(%)=%2+2彳有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根；

③在R上是增函數(shù)；

④如果對(duì)任意x?0,+oo),都有〃x)>"，那么左的最大值為2.

A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④

【答案】B

【分析】對(duì)于①，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷，對(duì)于②，令g(x)=〃x)-可得g(0)=0,再結(jié)合零點(diǎn)

存在性定理分析判斷，對(duì)于③，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后利用導(dǎo)數(shù)判斷，對(duì)于④，問題轉(zhuǎn)化為-質(zhì)>0恒成立，構(gòu)

造函數(shù)6(x)=e*-er-近，求導(dǎo)后分析判斷.

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?(x)=e￡-的定義域?yàn)镽,

且〃-司=1—e，=—佇―b)=-〃尤)，所以〃元)是奇函數(shù)，所以①正確，

對(duì)于②，令g(x)=/(^)-x2-2x=ex-e-x-x2-2^,

因?yàn)間(0)=0,所以方程所以〃x)=V+2x有一個(gè)根為0,

33

因?yàn)間(2)=e2—e-2_8<0,g(3)=e-e--15>0,

所以方程/(X)=X2+2X在(2,3)至少有一個(gè)根，所以②錯(cuò)誤,

對(duì)于③,由/(力=—得于(6=打+b>0,

所以在R上是增函數(shù)，所以③正確，

對(duì)于④，若對(duì)任意都有/(x)>Ax,即/-b-辰>0恒成立,

令h(x)=ex-e~x-kx,貝！Jhr(x)=ex+e~x-k,

er+e-x>2Vev-e-x=2>當(dāng)且僅當(dāng)爐=片"即無=0時(shí)取等號(hào),

因?yàn)闊o>。，所以取不到等號(hào)，所以

若％V2,則"(尤)>0恒成立，所以飄尤)在X€(0,y)上遞增,

所以h(x)>伙0)=0,即e工一e-，—爪>0恒成立，

若人>2,則存在為仁(0,+<?)使/75)=0,

所以當(dāng)0cx<無0時(shí)，h'(x)<0,當(dāng)X>X0時(shí)，I(無)>0,

所以〃(X)在(0,%)上遞減，在(為,+8)上遞增，

所以h(x)在(0,%)上，有/z(x)<九(0)=0不合題意,

綜上，k<2,所以上的最大值為2,所以④正確，

故選：B

23.已知函數(shù)/(元)=(卞，-聲，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點(diǎn)的為()

A.(0,1)B.(|,1)C.(1,1)D.(1,2)

【答案】B

11

【詳解】試題分析：由題意知：/1=仕￥_仁￥>0,

⑴⑶⑴

1r1\2111

=/(2)=—-23<0,由零點(diǎn)判定定理知在區(qū)間(二,彳)內(nèi)原函數(shù)有零點(diǎn).

2\2J?■

故選B

24.設(shè)函數(shù)/(元)=g尤-Inx(尤>0),則函數(shù)/(x)

A.在區(qū)間(0,1),(1,y)內(nèi)均有零點(diǎn)

B.在區(qū)間(0,1)，。,內(nèi))內(nèi)均無零點(diǎn)

C.在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(L+8)內(nèi)無零點(diǎn)

D.在區(qū)間(0,1)內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1,+⑹內(nèi)有零點(diǎn)

【答案】D

【分析】先求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，再計(jì)算了(X)min=/(3)<。，f(l)>0,即可判斷.

【詳解】”x)=：x7nx,尸(x)=!-士當(dāng)0<x<3時(shí)，八尤)<0,/⑺單調(diào)遞減；當(dāng)x>3時(shí)，/?>0,

〃元)單調(diào)遞增，

所以/(X)疝n=/(3)=lTn3<0,ffi]/(l)=1-lnl=|>o,所以函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間(0,1)內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間

(1,+co)內(nèi)有零點(diǎn).

故選：D.

x+1,x<1,

25.若函數(shù)〃x)=°存在最大值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

—,X>1

A.(0,2]B.(-oo,2]C.(2,+co)D.[2,+功

【答案】D

【分析】當(dāng)X<1時(shí)，/(x)=x+l<2,無最大值，所以函數(shù)在*21時(shí)取到最大值，然后根據(jù)反比例函數(shù)的圖像

和性質(zhì)分析即可.

【詳解】當(dāng)X<1時(shí)，fM=x+l<2,

X+1,X<1,

又函數(shù)/(尤)=1a1存在最大值，

—,x>1

、了

所以函數(shù)在XN1時(shí)取到最大值，又X21時(shí)，/?=-,

X

當(dāng)。=0時(shí)，顯然不合題意，當(dāng)awO時(shí)，/(X)=@為反比例函數(shù)，

故選：D.

x?—+in+x<2

26.已知函數(shù)/(元)=<2加工>2'—，當(dāng)彳=2時(shí)，取得最小值，則根的取值范圍為()

A.B.[2,4]C.[-1,2]D.[-1,1]

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，及分段函數(shù)的最值即可得求解.

【詳解】當(dāng)x>2時(shí)，，(x)=2㈤單調(diào)遞增，則/(x)>8；

當(dāng)x<2時(shí)，=-2〃眈+/找+療開口向上，且對(duì)稱軸為x="z,

又當(dāng)尤=2時(shí)，“X)取得最小值/'(2)=4-4〃?+〃2+1,

m>2

所以解得2<m<4,

4—4m+m+m2<8

所以加的取值范圍為[2,4].

故選：B.

上x<l

27.已知函數(shù)〃x)=x-l'的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

2"—Q,%21

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.(-00,1]D.口,+8)

【答案】D

X

【分析】由于當(dāng)x<l時(shí)，」7<1，所以當(dāng)時(shí)，求出丁-々的最小值，使其最小值小于等于1即可.

x-1

【詳解】當(dāng)X<1時(shí)，/。)=1+工<1,

X-L

當(dāng)兀N1時(shí)，f(x)=2x-a>2l-a=2-a,

x

X<1

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=卜-1'的值域?yàn)镽,

Y—a,x>\

所以2—a<l,得〃21,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是[1,欣)，

故選：D.

—x<0

28.已知函數(shù)/(%)=/的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

2'—a,x20

A.(-oo,0)B.(0,+8)C.(-oo,l]D.[l,+oo)

【答案】D

【分析】由于當(dāng)尤<0時(shí)，-<o,所以當(dāng)X20時(shí)，求出的最小值，使其最小值小于等于零即可.

X

【詳解】當(dāng)xvO時(shí)，/(x)=-<0,

X

當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=2X-a>2Q-a=1-a,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=1X,的值域?yàn)镽,

2"—x20

所以1-a<0,得

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是[1,+<Q)，

故選：D.

29.若函數(shù)〃尤)=，有最小值，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

[lx2-4mx+3m,x>l

A.(-°o,0)B,[2,+oo)

C.(-oo,0)u[l,+co)D.(0,1)[2,+oo)

【答案】B

【分析】分類討論x<l與尤21兩種情況，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得機(jī)的取值范

圍.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ龋凶钚≈担?/p>

[2x2-4mx+3m,x>l

當(dāng)尤<1時(shí)，〃x)=2;相，顯然在(-*1)上單調(diào)遞增，且〃x)>-機(jī)，即〃”在(-8,1)上沒有最小值；

當(dāng)xNl時(shí)，f(x)=2x2-4inx+3m,易知〃x)在[1,+℃)上必有最小值，

因?yàn)椤癤)開口向上，對(duì)稱軸為x=〃J

當(dāng)〃zWl時(shí)，/(力晶=/(1)=2-機(jī)，易知/(0)=2°_〃7=1_〃2<2_〃7=/(1),

故/⑴不是/(尤)在R上的最小值，則/'(*)在R上沒有最小值，不滿足題意；

2

當(dāng)相>1時(shí)，〃x)1n=/(^)=-2m+3m,

要使得/(m)是〃x)在R上的最小值，貝！]/(旬4-〃z,即-2病+3山4-〃7,

解得機(jī)40或加-2,所以帆-2；

綜上：機(jī)，2,即機(jī)e[2,+oo).

故選：B.

30.已知〃=2m若〃x)存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

[2a,x>2

A.[o,；B.10怖C.(0,g(1,2)D.(oj51,2)

【答案】A

【分析】通過對(duì)參數(shù)。分類討論，研究/(x)在(-8,2]和(2,+⑹的單調(diào)性，再結(jié)合已知條件，即可求解.

【詳解】解：由題意，不妨令g(x)=(a—2)x+4a+l,XG(-OO,2]；/z(x)=2ax~l,XG(2,-FW),

①當(dāng)Ovavl時(shí)，g(%)=(a-2)X+4a+l在(一8,2]上單調(diào)遞減，

/?(%)=2優(yōu)t在⑵+8)上單調(diào)遞減，易知/?(%)=2優(yōu)t在(2,+8)上的值域?yàn)?0,2a),

又因?yàn)?(X)存在最小值，只需g(2)=(a—2)x2+4a+lwo,解得awg,

又由Ovavl,從而0<Q4?；

2

②當(dāng)1vav2時(shí)，g(%)=(a—2)X+4a+1在(-*2]上單調(diào)遞減,h(x)=2優(yōu)一】在(2,+s)上單調(diào)遞增,

又因?yàn)?(%)存在最小值，故g(2)4/i(2),

3

即(a—2)x2+4a+lW2a,角星得，a<—,這與lva<2矛盾；

4

—f9,x<2

③當(dāng)。=2時(shí)，/(%)=、易知了。)的值域?yàn)?4+8),顯然/(%)無最小值；

[2x,x>2

④當(dāng)。>2時(shí)，g(%)=(a-2)%+4a+1在(-oo,2]上單調(diào)遞增，h(x)=2ax~l在(2,+oo)上單調(diào)遞增,從而/(%)無

最小值.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

故選：A.

題型四：對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

31.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記

錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足乙=a+〃gV(其中。，6為常數(shù))，已知某同

學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為3。時(shí)小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為0.01,五分記錄法的數(shù)據(jù)為4。時(shí)小數(shù)記錄法的數(shù)

據(jù)為0.1,則()

A.a—5,b=IgeB.a-5,b=lC.a-5,Z?=lnlOD.a=\,b=5

【答案】B

【分析】根據(jù)題中函數(shù)模型，列方程，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即可.

【詳解】由五分記錄法的數(shù)據(jù)為3.0時(shí)小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為0.01,

五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.0時(shí)小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為0.1,

3=tz+Z?lg0.01b=l

解得

4=?+MgO.la=5

故選：B.

32.今年8月24日，日本不顧國(guó)際社會(huì)的強(qiáng)烈反對(duì)，將福島第一核電站核污染廢水排入大海，對(duì)海洋生態(tài)

造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究，福島核污水中的放射性元素有21種半衰期在10年以上；有8種半衰期在

1萬(wàn)年以上.已知某種放射性元素在有機(jī)體體液內(nèi)濃度c（Bq/L）與時(shí)間f（年）近似滿足關(guān)系式c=bd（k,a為

大于。的常數(shù)且"D?若時(shí),若時(shí)，T。.則據(jù)此估計(jì)，這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元

素濃度c為——時(shí),大約需要（）（參考數(shù)據(jù)：logz3引.58,log25^2.32）

120

A.43年B.53年C.73年D.120年

【答案】B

6解方程組求出。次的值，當(dāng)。二卷時(shí)，在等式兩邊取對(duì)數(shù)即可求解.

【分析】根據(jù)已知條件得

—=k-a20

112

—=k-屋

6

【詳解】由題意得:

—=k-a20

112

兩邊取對(duì)數(shù)得￡=l°g13=lo§240=3+log25P3+2.32=5.32,

1U24U

所以7=5.32x10=53.2,

即這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度。為工時(shí)，大約需要53年.

120

故選：B.

33.近年來純電動(dòng)汽車越來越受消費(fèi)者的青睞，新型動(dòng)力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert于1898年提

出蓄電池的容量c（單位：Ah）,放電時(shí)間r（單位：h）與放電電流/（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：

C=Ft,其中〃為Peukert常數(shù).為測(cè)算某蓄電池的Peukert常數(shù)”，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流

/=20A時(shí)，放電時(shí)間t=20h；當(dāng)放電電流/=50A時(shí)，放電時(shí)間f=5h.若計(jì)算時(shí)取坨2=0.3,則該蓄電池

的Peukert常數(shù)”大約為（）

A.1.25B.1.5C.1.67D.2

【答案】B

【分析】由已知可得出"可得出=4,利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化、換底公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算

5ux5=C

法則計(jì)算可得〃的近似值.

【詳解】由題意可得④;二，所以2。隈2。=5。"5,所以||；=4,

,41g421g221g22x0.3,<

n=log54=——=——=----------x-------------=1.5

所以|lg5lg10l-21g21-2x03

故選：B.

34.荀子《勸學(xué)》中說：“不積度步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程,

每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn).我們可以把。+1%）戚看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%,一年后是

1.01睡*37.7834；而把（1-1%戶5看作是每天“退步”率都是1%,一年后是。吩港名00255;這樣，一年后的“進(jìn)

1（）1365

步值”是“退步值”的3^^1481倍.那么當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的3倍，大約經(jīng)過（）天.（參考

0.99365

數(shù)據(jù)：1g10b2.0043,lg99~1.9956,lg3?0.4771）

A.19B.35C.45D.55

【答案】D

【分析】設(shè)大約經(jīng)過〃天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的3倍，由題設(shè)有（/）"=3,應(yīng)用指對(duì)數(shù)關(guān)系求值.

【詳解】設(shè)大約經(jīng)過〃天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的3倍,

則焉）"=（歲1g3

3n〃章5天.

lgl01-lg99

故選:D

35.記地球與太陽(yáng)的平均距離為R,地球公轉(zhuǎn)周期為7,萬(wàn)有引力常量為G,根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)

4/R3R3

定律知：太陽(yáng)的質(zhì)量M=(kg).已知1g2Q0.3,1g兀as0.5,1g。28.7,由上面的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出太陽(yáng)

GT2GT7

的質(zhì)量約為（）

A.2xl030kgB.2xl029kgC.3xlO3OkgD.3xl029kg

【答案】A

【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

R3

【詳解】因?yàn)閘g2ao.3,坨兀。0.5,1g“28.7

GT1

所以由哈察得：

3

...2,R

IgM=lg1GrJ=lg4+lgji-+lg—

R3

=21g2+21g7t+lg^-?2x0.3+2x0.5+28.7=30.3，

即1gMa30.3nM*IO303=1030+03=IO03xlO30,

又lg2它0.3=>10°3?2,

所以M，2xlO3<>kg.

故選：A.

36.某教學(xué)軟件在剛發(fā)布時(shí)有100名教師用戶，發(fā)布5天后有1000名教師用戶.如果教師用戶人數(shù)R⑺與天

數(shù)f之間滿足關(guān)系式：畋）=用爐,其中％為常數(shù)，%是剛發(fā)布時(shí)的教師用戶人數(shù)，則教師用戶超過20000

名至少經(jīng)過的天數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：笆2土0.3010）

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

InlO

【分析】根據(jù)已知條件求得R⑺=100e甘'，結(jié)合尺⑺>20000及指對(duì)數(shù)關(guān)系、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解集，即可得

結(jié)果.

&=100

R(0)=&e°=100

【詳解】由題設(shè)7In10,

尺⑸=&e5%=1000’寸k=-------

5

InlOInlO^^=51g200=5x(lg2+2)?11.505>11,

所以R(r)=100e5>貝口004>20000，故'=

所以教師用戶超過20000名至少經(jīng)過12天.

故選:D

37.等額分付資本回收是指起初投資P,在利率i,回收周期數(shù)〃為定值的情況下，每期期末取出的資金A

為多少時(shí)，才能在第九期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其計(jì)算公式為：A=尸'某農(nóng)業(yè)

種植公司投資33萬(wàn)元購(gòu)買一大型農(nóng)機(jī)設(shè)備，期望投資收益年利率為10%,若每年年底回籠資金&25萬(wàn)元,

則該公司將至少在（）年內(nèi)能全部收回本利和.（lgll604,1g5ao.70,坨3。0.48）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，將對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)代入計(jì)算公式，化簡(jiǎn)整理后兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，計(jì)算即可求解.

【詳解】由題意，知A=8.25萬(wàn)元，P=33萬(wàn)元，z=10%,

由公式可得8.25=33片：；；；1；,整理得（,）"=1

（1+'U.1J—11Uj

等式兩邊取對(duì)數(shù)，得-3573=1^/7。一。.48一5.5

寸聯(lián)」乂付Igll-lglOlgll-11.04-1

故選：C.

38.荀子《勸學(xué)》中說：“不積蹉步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”我們可以把（1+1%產(chǎn)5看作是每

天的“進(jìn)步”率都是1%,一年后是（1+1%）膠^37.7834；而把（1-1%產(chǎn)5看作是每天“退步”率都是1%,一年

后是（1-1%產(chǎn)5。0.0255.若經(jīng)過200天，貝U“進(jìn)步”的值大約是“退步”的值的（）（參考數(shù)據(jù)：

IglOl?2.0043,lg99?1.9956,IO087a7.41）

A.45倍B.50倍C.55倍D.60倍

【答案】C

【分析】先求出經(jīng)過20。天后的進(jìn)步值和退步值，再根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)關(guān)系，對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值.

【詳解】由已知經(jīng)過200天，“進(jìn)步”的值為（1+1%產(chǎn),“退步”的值為（1-1%產(chǎn)，

（1+0.01戶°

所以“進(jìn)步”的值與是“退步”的值的比值t=；-----U,兩邊取對(duì)數(shù)可得

（1-0.01）

lgt=200（lgl.01-lg0.99）=200（lgl01-lg99）,又IglOl?2.0043,lg99?1.9956,

lgf=l-74,所以/=10S，因?yàn)閕o?！?？。74i,所以"10。4=。00.87）2=（7.41）2=54.9081“55,所以經(jīng)過2（）o

天，則“進(jìn)步”的值大約是“退步”的值的55倍,

故選：C.

39.2020年，由新型冠狀病毒（&4RS-CoV-2）感染引起的新型冠狀病毒肺炎（COWLM9）在國(guó)內(nèi)和其他國(guó)

家暴發(fā)流行，而實(shí)時(shí)熒光定量尸CR（RT-PCR）法以其高靈敏度與強(qiáng)特異性，被認(rèn)為是COV0-19的確診方

法，實(shí)時(shí)熒光定量PCR法，通過