高中數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)（解析版）

《數(shù)學(xué)(文)選考與統(tǒng)計(jì)部分二輪專項(xiàng)提升》

專題02回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)

一、高考題型特點(diǎn)：

這部分屬于高考必考內(nèi)容，既考客觀題，也考大題，難度中等。

二、重難點(diǎn)：

1.回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有

就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式；(2)根據(jù)一組觀察值，預(yù)測(cè)變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢(shì)；(3)

求出線性回歸方程.

2.獨(dú)立性檢驗(yàn)是根據(jù)片的值判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度.

三、易錯(cuò)注意點(diǎn)：

1.求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)a"少，由于，，b-的計(jì)算量大，計(jì)算時(shí)應(yīng)仔細(xì)謹(jǐn)慎，分步進(jìn)

行，避免因計(jì)算而產(chǎn)生錯(cuò)誤.

2.回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的線性

回歸方程才有實(shí)際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義.根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，

而不是真實(shí)發(fā)生的值.

3.獨(dú)立性檢驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)量片的觀測(cè)值左的計(jì)算公式很復(fù)雜，在解題中易混淆一些數(shù)據(jù)的意義，代入公式時(shí)出

錯(cuò)，而導(dǎo)致整個(gè)計(jì)算結(jié)果出錯(cuò).

四、典型例題：

例1.(2019全國(guó)1文17)某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)

該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

,,n(ad-bc)2

IT：A.=-------------------------.

(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

P（片NA）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解析】（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為E=0.8,因此男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿

50

意的概率的估計(jì)值為0.8.

女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為3二0=0.6,因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.6.

50

⑵q=100x（40x20-30x10）2-4'Z.

50x50x70x30

由于4.762>3.841,故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

例2.（2015湖北）已知變量尤和y滿足關(guān)系y=-O.lx+l,變量y與z正相關(guān)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)

C.x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D.%與y負(fù)相關(guān)，％與z正相關(guān)

【答案】C

【解析】因?yàn)樽兞縳和y滿足關(guān)系y=-0.1尤+1,其中-0.1<0,所以x與y成負(fù)相關(guān)；又因?yàn)樽兞縴與z正

相關(guān)，不妨設(shè)z=.+6（Jt>0）,貝ij將y=-0.1x+l代入即可得至（j：z=k（.-0.1x+V）+b=~0.1kx+（k+b）,

所以-0.1左<0,所以x與z負(fù)相關(guān)，綜上可知，應(yīng)選C.

例3.（2012新課標(biāo)）在一組樣本數(shù)據(jù)（xi,71）,（^2,姓），…，（Xn,為）（〃N2,xi,熱，…，不全相等）

的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（為，K）（片1,2,…，〃）都在直線y=gx+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相

關(guān)系數(shù)為（）

1

A.-1B.0C.-D.1

【答案】D

【解析】因?yàn)樗械狞c(diǎn)都在直線上，這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為1,故選D.

例4.（2015北京）高三年級(jí)267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績(jī)，數(shù)學(xué)成績(jī)與總成績(jī)?cè)?/p>

全年級(jí)中的排名情況如下，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生.

67一

267顛

語

學(xué)

文

成

成

?丙

績(jī)

績(jī)

年

年

級(jí)

級(jí)

名

名

?

；

次

次a

。O

總成績(jī)年級(jí)名次總成績(jī)年級(jí)名次267

從這次考試成績(jī)看，

①在甲、乙兩人中，其語文成績(jī)名次比其總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是;

②在語文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是.

【答案】乙數(shù)學(xué)

【解析】①由圖可知，甲的語文成績(jī)排名比總成績(jī)排名靠后；而乙的語文成績(jī)排名比總成績(jī)排名靠前，故

填乙.②由圖可知，比丙的數(shù)學(xué)成績(jī)排名還靠后的人比較多；而總成績(jī)的排名中比丙排名靠后的人數(shù)

比較少，所以丙的數(shù)學(xué)成績(jī)的排名更靠前，故填數(shù)學(xué).

例5.（2018全國(guó)卷II）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖.

為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時(shí)間變量/的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000

年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1,2,…，17）建立模型①：￡=—30.4+13.5/；根據(jù)2010

年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量?的值依次為1,2,…，7）建立模型②：，=99+17.5九

（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；

（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由.

【解析】（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為

￡=—30.4+13.5x19=226.1（億元）.

利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為

$=99+17.5x9=256.5（億元）.

（2）利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.

理由如下：

（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=-30.4+13.5,上

下.這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變

化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位

于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010

年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型9=99+17.5/可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額

的變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.

（ii）從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1

億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理.說明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更

可靠.

以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.

6.（2017新課標(biāo)I）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽

取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）.下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸:

抽取次序12345678

零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

1161~1~161~116

經(jīng)計(jì)算得【而白=9.97,s=而%.原之)

1616

—8.5)2土18.439,^(x,-x)(z-8.5)=-2.78,其中芯為抽取的第，個(gè)零件的尺

J；=11=1

寸，1=1,2,16.

（1）求（X,/）。=1,2,…,16）的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過

程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ鬒川＜0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變

大或變小）.

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（元-3s,元+3s）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一

天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

（i）從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？

（ii）在（元-3s芝+3s）之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸

的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.（精確到0.01）

元）（％一9）

附：樣本(七,%)(，=1,2,…,ri)的相關(guān)系數(shù)ri=l

程一電(-2

VO.008工0.09.

【解析】(1)由樣本數(shù)據(jù)得(%,i)(i=l,2,…,16)的相關(guān)系數(shù)為

16

2（%-元）（，-8.5）

-2.78

i=l士一0.18.

[~[61~160.212x716x18.439

方（%-元）2￡（＞8.5）2

i=iVi=i

由于|川＜0.25,因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.

(2)(i)由于元=9.97,6^0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個(gè)零件的尺寸在(元—3s,元+3s)

以外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

(ii)剔除離群值，即第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

^(16x9.97-9.22)=10.02,

這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為10.02.

16

=16x0.2122+16x9.972^1591.134,

i=l

剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為

[(1591.134—9.22?一15x10.022)°0008,

這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為血麗土0.09.

五、強(qiáng)化提升訓(xùn)練：

L根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù):

X34567

y4.0a—5.4-0.50.56—0.6

得到的回歸方程為y=6x+a.若樣本點(diǎn)的中心為(5,0.9),則當(dāng)x每增加1個(gè)單位時(shí)，了就()

A.增加1.4個(gè)單位B,減少1.4個(gè)單位

C.增加7.9個(gè)單位D.減少7.9個(gè)單位

【答案】B

【解析】依題意得，—i-=。-9,故a+Q6.5①;

又樣本點(diǎn)的中心為（5,0.9）,故0.9=56+a@,

聯(lián)立①②，解得6=—1.4,3=7.9,貝！Jp=-L4x+7.9,可知當(dāng)x每增加1個(gè)單位時(shí)，p就減少1.4

個(gè)單位.

2.已知某種商品的廣告費(fèi)支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

X24568

y304050m70

根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出p與x的線性回歸方程為y=6.5x+17.5,則表中力的值

為（）

A.45B.50

C.55D.60

【答案】D

2+4+5+6+8

【解析】???x=-------------------=5

一30+40+50+/+70190+%

???當(dāng)x=5時(shí)，y=6.5X5+17.5=50,

190+/左力/日

工一--=50,解得勿=60.

3.（2019?焦作模擬）已知變量x和p的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

A.6.4B.6.25C.6.55D.6.45

【答案】C

■左刀工廠.人口不以"—3+4+5+6+7

［解析］由越思矢口x==5,

5

2.5+3+4+4.5+6

y=---------------------------=4,

將點(diǎn)（5,4）代入尸法一0.25,解得8=0.85,

則尸0.85x—0.25,

所以當(dāng)x=8時(shí)，y=0.85X8-0.25=6.55,故選C.

4.（2019?丹東教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)）某校為了研究學(xué)生的性別和對(duì)待某一活動(dòng)的態(tài)度（支持與不支持）的關(guān)系，運(yùn)

用2X2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算*=6.705,則所得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論是：有的把握認(rèn)為“學(xué)

生性別與支持該活動(dòng)沒有關(guān)系”（）

尸（?》1）0.1000.0500.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

A.99.9%B.99%C.1%D.0.1%

【答案】C

【解析】因?yàn)?.635<6.705<10,828,因此有1%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)沒有關(guān)系”，故選C.

5.（2019?衡水中學(xué)調(diào)研）已知變量x,y之間的線性回歸方程為y=—0.7x+10.3,且變量x,y之間的一組

相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法母送的是（）

X681012

y6m32

A.變量x,y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系

B.可以預(yù)測(cè)，當(dāng)x=20時(shí)，y=-3.7

C.必=4

D.該回歸直線必過點(diǎn)（9,4）

【答案】C

【解析】由一0.7<0,得變量x,y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故A正確；當(dāng)x=20時(shí)，y=-0.7X20+10.3=

—3.7,故B正確；由表格數(shù)據(jù)可知x=，X（6+8+10+12）=9,曠=：（6+卬+3+2）則=-

0.7X9+10.3,解得0=5,故C錯(cuò)；由卬=5,得尸.7二=4,所以該回歸直線必過點(diǎn)（9,4）,故D

正確.故選C.

6.（2019?黃山一模）在吸煙與患肺癌這兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算中，下列說法正確的是（）

A.若片的觀測(cè)值為4=6.635,在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，那么在100

個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺癌

B.由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系時(shí)，我們說某人吸煙，

那么他有99%的可能患有肺癌

C.若從統(tǒng)計(jì)量中求出在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，是指有1%的可能性使

得判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤

D.以上三種說法都不正確

【答案】C

【解析】獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一

個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時(shí)一定要注意這點(diǎn)，不可對(duì)某個(gè)問題下確定性結(jié)論，否則就

可能對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯(cuò)誤的解釋.若從統(tǒng)計(jì)量中求出在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙

與患肺癌有關(guān)系，是指有1%的可能性使得判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤.故選C.

7.（2019?承德期末）某城市收集并整理了該市2018年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫（單位：。C）

的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

已知該城市各月的最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)

B.10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫

C.月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月

D.最低氣溫低于0℃的月份有4個(gè)

【答案】D

【解析】在A中，最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)，故A正確；

在B中，10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫，故B正確；

在C中，月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月，故C正確；

在D中，最低氣溫低于0℃的月份有3個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選D.

8.一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)，第7

1010

次試驗(yàn)零件個(gè)數(shù)區(qū)（單位：個(gè)）與加工零件所花費(fèi)時(shí)間K（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)資料，算得Ex=80,E%=20,

2=12=1

1010

Zx，n=184,E舅=720,那么加工零件所花費(fèi)時(shí)間y對(duì)零件個(gè)數(shù)X的線性回歸方程為

【答案】y=0.3x—0.4

【解析】由題意知

刀=10,x=-YXi=—=8,yyi——=2,

nl10n10

J=12=1

n

又￡無一刀x2=720—10X82=80,

ZXiy—nxy=184—10X8X2=24,

2=1

"24"一"一

由此得上=三；=0.3,a=y~bx=2—0.3X8=—0.4,

故所求回歸方程為y=0.3x—0.4.

9.某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn).根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)

(如下表)：

零件數(shù)4個(gè)1020304050

加工時(shí)間

力分鐘6268758189

由最小二乘法求得回歸方程y=0.67x+a,貝~的值為

【答案】54.9

10+20+30+40+50

【解析】因?yàn)閤-------------5-------------=3。,

—62+68+75+81+89

y==75,

所以回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心(30,75),

則由尸0.67x+a可得75=30X0.67+a,

求得a=54.9.

10.在西非“埃博拉病毒”的傳播速度很快，這己經(jīng)成為全球性的威脅，為了考察某種埃博拉病毒疫苗的

效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取100只小鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：

感染未感染總計(jì)

服用104050

未服用203050

總計(jì)3070100

附表:

戶(百人)0.100.050.025

Ao2.7063.8415.024

參照附表，在犯錯(cuò)誤的概率7〈超過________的前提一F,認(rèn)為“小動(dòng)物是否被感染與服用疫苗有關(guān)”

【答案】0.05

【解析】由題意算得，

，產(chǎn)100義10X30—20X402

J50X50X30X70「4?762>3.841,

參照附表，可得：

在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“小動(dòng)物是否被感染與服用疫苗有關(guān)”.

11.某小賣部銷售某品牌飲料的零售價(jià)與銷量間的關(guān)系統(tǒng)計(jì)如下：

單價(jià)x/元3.03.23.43.63.84.0

銷量y/瓶504443403528

已知x,y的關(guān)系符合回歸方程y=6x+a,其中6=—20.若該品牌飲料的進(jìn)價(jià)為2元，為使利潤(rùn)最大,

零售價(jià)應(yīng)定為元.

【答案】3.75

【解析】依題意得：x=3.5,y=40,

所以a=40一(—20)X3.5=110,

所以回歸直線方程為：y=-20x+110,

利潤(rùn)L=(x—2)(—20x+110)=—20x+150x—220,

所以x=7萬=3.75元時(shí)，利潤(rùn)最大.

12.某公司為了準(zhǔn)確地把握市場(chǎng)，做好產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃，對(duì)過去四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了第x年與年銷售

量y(單位：萬件)之間的關(guān)系如表：

X1234

y12284256

(1)在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖

(2)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的回歸模型擬合y與x的關(guān)系(不必說明理由);

(3)根據(jù)y關(guān)于x的回歸方程，預(yù)測(cè)第5年的銷售量.

參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為

nn

EXi-xy-yZ：Xiy-nxy

,Qi，=i-,一

b=---------n----------------------------------n-----------------，a=y—bx.

2v-'22

EXi-xLXi-nx

i=iy=i

【解析】（1）作出的散點(diǎn)圖如圖：

(2)根據(jù)散點(diǎn)圖觀察，可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.觀察散點(diǎn)圖可知各點(diǎn)大致分布在一條直

線附近，列出表格：

2

XyX燈

1112112

2228456

33429126

445616224

￡1013830418

4

-ExJi：7418.4X|X^

7=13

所以----------=--------LiLi1

LA--4T230-4X

——69735

a=y—bx=Y__§-X2=-2-

"73

故回歸直線方程為y=^x—2.

u

…73

(3)當(dāng)x=5時(shí)，X5—2=71.

o

故預(yù)測(cè)第5年的銷售量為71萬件.

13.“黃梅時(shí)節(jié)家家雨”“梅雨如煙暝村樹”“梅雨暫收斜照明”……江南梅雨的點(diǎn)點(diǎn)滴滴都流潤(rùn)著濃烈

的詩(shī)情.每年六、七月份，我國(guó)長(zhǎng)江中下游地區(qū)進(jìn)入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié)，如圖是江南。鎮(zhèn)2009?2018

年梅雨季節(jié)的降雨量(單位：mm)的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計(jì)總體概率，解答下列問題：

頻率

組距

0.004-----------1——

0.003------------------------

0.002---|——

0.001-——.

0^100200300400500ftMfi/mm

（1）“梅實(shí)初黃暮雨深”，請(qǐng)用樣本平均數(shù)估計(jì)。鎮(zhèn)明年梅雨季節(jié)的降雨量；

（2）“江南梅雨無限愁”，0鎮(zhèn)的楊梅種植戶老李也在犯愁，他過去種植的甲品種楊梅，畝產(chǎn)量受降雨

量的影響較大（把握超過八成），而乙品種楊梅2009?2018年的畝產(chǎn)量（單位：kg）與降雨量的發(fā)生頻數(shù)（年）

如2X2列聯(lián)表所示（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失），請(qǐng)你幫助老李排解憂愁，他來年應(yīng)該種植哪個(gè)品種的楊梅受降雨量影

響更?。浚ㄍ晟屏新?lián)表，并說明理由）

降雨量

[200,400)[100,200)U[400,500]合計(jì)

畝產(chǎn)

<6002

16001

合計(jì)10

門八？nad-be2,

附：片—a+力c+da+c什",其中〃—a+6+c+a

尸（片》左）0.500.400.250.150.10

ko0.4550.7081.3232.0722.706

【解析】（1）頻率分布直方圖中第四組的頻率為1—100X（0.002+0.004+0.003）=0.1.

所以用樣本平均數(shù)估計(jì)。鎮(zhèn)明年梅雨季節(jié)的降雨量為

150X0.2+250X0.4+350X0.3+450X0.1=30+100+105+45=280（mm）.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知，降雨量在［200,400）內(nèi)的頻數(shù)為10X100X（0.003+0.004）=7.

進(jìn)而完善列聯(lián)表如下.

降雨量

[200,400)[100,200)U[400,500]合計(jì)

畝產(chǎn)

<600224

2600516

合計(jì)7310

210X2X1-5X2280

片―7X3X4X627°<L323.

故認(rèn)為乙品種楊梅的畝產(chǎn)量與降雨量有關(guān)的把握不足75%.

而甲品種楊梅受降雨量影響的把握超過八成，故老李來年應(yīng)該種植乙品種楊梅受降雨量影響更小.

14.在2019年女子世界杯期間，法國(guó)部分餐廳銷售了來自中國(guó)的小龍蝦，這些小龍蝦均標(biāo)有等級(jí)代碼.為

得到小龍蝦等級(jí)代碼數(shù)值x與銷售單價(jià)y（單位：元）之間的關(guān)系，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：

等級(jí)代碼數(shù)值X384858687888

銷售單價(jià)y/元16.818.820.822.82425.8

（1）已知銷售單價(jià)y與等級(jí)代碼數(shù)值x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確

到0.1）；

（2）若莫斯科某餐廳銷售的中國(guó)小龍蝦的等級(jí)代碼數(shù)值為98,請(qǐng)估計(jì)該等級(jí)的中國(guó)小龍蝦銷售單價(jià)為多

少元？

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（國(guó)，為），（如㈤，…，（局，y）,其回歸直線尸bx+a的斜率和截距的最小

-ZXiy-nxy_■_

二乘法估計(jì)分別為仁2^^----------,a=y—bx.

Lv-'X2i~nx2

i=i

66

參考數(shù)據(jù)：￡%n=8440,￡劈=25564.

i=\7=1

?左38+48+58+68+78+88

【解析】⑴由題忌,得-----------e-----------------=63,

—16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.8

y-z=21.5,

I產(chǎn)%-6xy8440-6X63X21.5_

二―三——=25564-6X632^0-2

6x

i=\

a=y~bx=21.5—0.2X63=8.9.

故所求線性回歸方程為p=0.2x+8.9.

（2）由⑴,知當(dāng)x=98時(shí),尸0.2X98+8.9=28.5.

估計(jì)該等級(jí)的中國(guó)小龍蝦銷售單價(jià)為28.5元.

15.某職稱晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制的頻率分布直方圖如

圖所示.規(guī)定80分以上者晉級(jí)成功，否則晉級(jí)失?。M分為100分）.

（1）求圖中a的值;

（2）估計(jì)該次考試的平均分x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值代表）;

(3)根據(jù)已知條件完成下面2X2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān).

晉級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)

男16

女50

合計(jì)

參考公式：窗=—^—:%一西廠‘其中〃=a+O+°+d

0.400.250.150.100.050.025

k0.7081.3232.0722.7063.8415.024

【解析】⑴由頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形面積總和為1,得(2a+0.020+0.030+0.040)X10=1,

解得a=0.005.

(2)由頻率分布直方圖知各小組的中點(diǎn)值依次是

55,65,75,85,95,

對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.05,0.30,0.40,0.20,0.05,

則估計(jì)該次考試的平均分為二=55X0.05+65X0.3+75X0.4+85X0.2+95X0.05=74(分).

(3)由頻率分布直方圖知，晉級(jí)成功的頻率為0.2+0.05=0.25,

故晉級(jí)成功的人數(shù)為100X0.25=25,

填寫2X2列聯(lián)表如下：

晉級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)

男163450

女94150

合計(jì)2575100

nad-be2

a-\-bc+da+cb+d

100X16X41-34X92

-^2.613>2,072,

25X75X50X50

所以有85%的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān).

16.(2019?湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)、河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)聯(lián)考)環(huán)境問題是當(dāng)今世界共同關(guān)注的問題，我國(guó)環(huán)保總

局根據(jù)空氣污染指數(shù)PM2.5濃度，制定了空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn):

空氣污染

(0,50](50,100](100,150](150,200](200,300](300,+8)

指數(shù)

空氣質(zhì)量

優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染

等級(jí)

某市政府為了打造美麗城市，節(jié)能減排，從2010年開始考察了連續(xù)六年11月份的空氣污染指數(shù)，繪制了

頻率分布直方圖，經(jīng)過分析研究，決定從