滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型專練：圖形的位似變換、測(cè)量與誤差（解析版）

第09講圖形的位似變換、測(cè)量與誤差

O【知識(shí)梳理】

一、位似的概念及性質(zhì)

1）兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個(gè)圖形叫做位似

圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。這時(shí)的相似比又稱為位似比。

相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒(méi)有；②位似

圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒(méi)有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。

2）相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：

區(qū)別：①位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒(méi)有；

②位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒(méi)有。

聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。

3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。

L________________________________r4）、位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于相似比。

;位似中心的位置：可能位于兩I

i個(gè)圖形之間，也可能位于兩個(gè)圖形I

i一側(cè)，也可能位于兩圖形內(nèi)。；

i位似中心的確定：根據(jù)"對(duì)應(yīng)i

I點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)位似中心”的特點(diǎn)I

i確定位似中心的位置。i

二、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）

利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小，若位似比大于1,則通過(guò)位似變換把原圖形放大；若位似比小于

1,則通過(guò)位似變換把原圖形縮小。

畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長(zhǎng)（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延

長(zhǎng)）；③根據(jù)相似比確定各線段的長(zhǎng)度；④順次連接上述個(gè)點(diǎn)，得到圖形。

三、以原點(diǎn)為位似中心的位似變換

在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變化是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為“，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等

于"（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心同側(cè)）或者一H對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)）。即：若設(shè)原圖形的某一點(diǎn)的坐標(biāo)為（根,“），

則其位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（Am,如）或（-切z,-也）o

四.相似三角形的應(yīng)用

（1）利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度.①測(cè)量原理：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性

質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決.②測(cè)量方法：在同一

時(shí)刻測(cè)量出參照物和被測(cè)量物體的影長(zhǎng)來(lái)，再計(jì)算出被測(cè)量物的長(zhǎng)度.

（2）利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）.①測(cè)量原理：測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”

型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上.必須保證在一條直線上，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)便，盡量構(gòu)造直角三角

形.②測(cè)量方法：通過(guò)測(cè)量便于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度.

（3）借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度.利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長(zhǎng)）作為三

角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度.

W【考點(diǎn)剖析】

題型一：位似變換的應(yīng)用

【解題技巧】掌握畫位似圖形的一般步驟為（先確定位似中心；再分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的

關(guān)鍵點(diǎn)；然后根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；最后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小

的圖形）.

例1.平面直角坐標(biāo)系中，有一條魚，它有六個(gè)頂點(diǎn)，貝k）

A.將各點(diǎn)橫坐標(biāo)乘以2,縱坐標(biāo)不變，得到的魚與原來(lái)的魚位似

B.將各點(diǎn)縱坐標(biāo)乘以2,橫坐標(biāo)不變，得到的魚與原來(lái)的魚位似

C.將各點(diǎn)橫，縱坐標(biāo)都乘以2,得到的魚與原來(lái)的魚位似

D.將各點(diǎn)橫坐標(biāo)乘以2,縱坐標(biāo)乘以工，得到的魚與原來(lái)的魚位似

2

【答案】C

【解析】平面直角坐標(biāo)系中圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，如果橫縱坐標(biāo)同時(shí)乘以同一個(gè)非0的實(shí)數(shù)A,得到的圖形與原

圖形關(guān)于原點(diǎn)成位似圖形，位似比是|用.若乘的不是同一個(gè)數(shù)，得到的圖形一定不會(huì)與原圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱.故選C.

【變式1】如圖，ABC在方格紙中（1）請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使4（2,3）,C（6,2）,并寫

出3點(diǎn)坐標(biāo)；（2）以原點(diǎn)。為位似中心，位似比為2,在第一象限內(nèi)將..ABC放大，畫出放大后的圖形

NAB'C.

【答案】（1）見(jiàn)解析，5（2,1）；（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A（2,3）,。（6,2）可確認(rèn)出坐標(biāo)原點(diǎn)。的位置，從而可建立平面直角坐標(biāo)系，再根據(jù)

點(diǎn)B的位置即可得出其坐標(biāo)；（2）根據(jù)位似的定義畫圖即可.

【解析】（1）由點(diǎn)A（2,3）,C（6,2）確認(rèn)出坐標(biāo)原點(diǎn)。的位置，由此畫出x軸和y軸，建立平面直角坐標(biāo)

系，如圖所示：由點(diǎn)B在平面直角坐標(biāo)系中的位置得：點(diǎn)B坐標(biāo)為6（2,1）；（2）根據(jù)位似的定義，分別連

接OA,OB,OC,將它們分別延長(zhǎng)至點(diǎn)A',B',C，使得OA'=2OA,OB'=2OB,OC'=2OC,然后順次連

接點(diǎn)即可得到AA'5'C',如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題考查了建立平面直角坐標(biāo)系、畫位似圖形，依據(jù)點(diǎn)A、C坐標(biāo)正確建立平面直角坐標(biāo)系是解題

關(guān)鍵.

【變式2］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知AABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,2),B(-3,4)C(-

2,6).(1)畫出△一(；繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△ABQ；

(2)以原點(diǎn)0為位似中心，畫出將△ABC三條邊放大為原來(lái)的2倍后的△A2B2C2.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.

【分析】(1)由A(-1,2),B(-3,4)C(-2,6),可畫出△ABC,然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),即可畫出△AB3；

(2)由位似三角形的性質(zhì)，即可畫出AAzB2c2.

【解析】(1)如圖：△AB3即為所求；(2)如圖:△A2B2C2即為所求.

【變式3】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(T,3),6(—3,1),C(—1,3),

請(qǐng)按下列要求畫圖：(1)將AABC先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度、再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到AA4C，畫

出的四。］,并寫出點(diǎn)3的坐標(biāo)；(2)以點(diǎn)A為位似中心將A4BC放大2倍，得到A452c2,畫出八4耳。2

并寫出點(diǎn)B的坐標(biāo).

【答案】（1）詳見(jiàn)解析4（1,V）；（2）詳見(jiàn)解析為（—2,—1）

【分析】（1）根據(jù)題目中給出的平移方式，描點(diǎn)畫圖即可；（2）根據(jù)相似比找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)當(dāng)和G即可.

【解析】（1）根據(jù)題意可得：二4（1,-4）

A

A：A2)C

//

//

\?

5-4-/\oL

B2■)

A

―￡

（2）根據(jù)題意可得：為（一2,—1）

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的平移變換，位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型二：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

【解題技巧】解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利

用相似及方程思想有效解決.

例2.如圖，花叢中有一路燈AB.在燈光下，小明在點(diǎn)D處的影長(zhǎng)DE=3m,沿方向行走到達(dá)點(diǎn)G,

DG=5m,這時(shí)小明的影長(zhǎng)G"=5m.如果小明的身高為1.7m,求路燈AB的高度.（精確到0.1m）

【答案】路燈AB的高度約為6.0m

DE)FGHG

【分析】根據(jù)AB_LBH,CD_LBH,FG_LBH,可得：△ABEsZ\CDE,則有—=---------和r---=

ABBD+DEABHG+GD+DB

而CD=FG,即可得---------=---------------，從而求出BD的長(zhǎng)，再代入前面任意一個(gè)等式中，即可求出

BD+DEHG+GD+DB

AB.

【解析】由題意，得CDYBH,FGLBH,

CDDE

：.CD//AB.ACDE^AABE.：.——=------------.①

ABBD+DE

FGHG

同理，XFGHsMBH,：.—.②

ABHG+GD+DB

DEHG

又?.,CD=FG=1.7,.^.由①，②可得

JBD+DE-HG+GD+BD'

即---——，解得50=7.5.

BD+35+5+BD

將BD=7.5代入①，得AB=5.95工6.0.故路燈AB的高度約為6.0m.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解這道題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，本題只要把實(shí)際問(wèn)

題抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出.

【變式】為了測(cè)量校園水平地面上一棵不可攀的樹(shù)的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組做了如下探索：根據(jù)光的反射

定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計(jì)如下圖所示的測(cè)量方案：把一面很小的鏡子水平放置在離B（樹(shù)底）

8.4米的點(diǎn)E處，然后沿著直線BE后退到點(diǎn)D,這時(shí)恰好在鏡子里看到樹(shù)梢頂點(diǎn)A,再用皮尺量得DE=3.2

米，觀察者目高CD=1.6米，求樹(shù)AB的高度.

分析：先過(guò)E作EFLBD于點(diǎn)E,再根據(jù)入射角等于反射角可知，Z1=Z2,故可得出/DEC=NAEB,由CD,

BD,ABLBD可知NCDE=/ABE,進(jìn)而可得出△CDEs^ABE,再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出大樹(shù)AB

的高度.

【解析】過(guò)點(diǎn)E作EF_LBD于點(diǎn)E,則/1=N2,VZDEF=ZBEF=90°,AZDEC=ZAEB,

DECD

VCD±BD,AB±BD,ZCDE=ZABE=90°，AACDE^AABE,；.——=——，

BEAB

4216

：DE=3.2米，CD=1.6米，EB=8.4米，；.—=—,解得AB=4.2（米）.

8.4.IB

答：樹(shù)AB的高度為4.2米.

:尸

點(diǎn)睛：此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出△CEDs^AEB,再根據(jù)相似三角形的對(duì)

應(yīng)邊成比例得出結(jié)論.

題型三：相似三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題

例3.如圖，在矩形。4HC中，。。=8,。4=12,B為CH中點(diǎn)、,連接A3.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)。出發(fā)沿。4

邊向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,

超姜CM,CN,MN,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/(秒)(0<?<10).貝曠=時(shí)，A&VCV為直角三角形

【答案】■上浮

【分析】ZXCMN是直角三角形時(shí)，有三種情況，一是/CMN=90。，二是/MNC=90°,三是/MCN=90°,然后

進(jìn)行分類討論求出t的值.

【解析】解：過(guò)點(diǎn)N作0A的垂線，交0A于點(diǎn)F,交CH于點(diǎn)E,如圖1,

cBEH

OA

圖1

TB點(diǎn)是CH的中點(diǎn)，.-.BH=-CH=-0A=6,VAH=0C=8,二由勾股定理可求：AB=10,

22

.BNEN

AN=t,BN=10-t,NE〃AH,ABEN^ABHA,

*AB~AH

10-tEN4(10-r)4

???-------=——，AEN=-----------.\FN=8-EN=-r

10855

3

當(dāng)NCMN=90°,由勾股定理可求：AF=-r,

38

V0M=t,???AM=12—t,AMF=AM-AF=12-t-,

55

VZ0CM+ZCM0=90°,ZCM0+ZFMN=90°,AZ0CM=ZFMN,

OCOM———7

VZ0=ZNFM=90°o，/.AACOM^AAMFN,/.——=-------，.?i84..t=一，

MFFN12-7-t2

4483

當(dāng)lz/MNC=90°o，F(xiàn)N=-Z.\EN=8o-—tVMF=12--t.\CE=0F=0M+MF=12--t

5555

'：ZMNF+ZCNE=90°ZECN+ZCNE=90°,AZMNF=ZECN,

,CEEN

ZCEN=ZNFM=90°AACEN^ANFM,

FNMF

34

12--?8--Z

.士囪,V0<t<5,.?.一I-國(guó)

5=5

4-8

-t12--t44

55

當(dāng)/NCM=90°,由題意知：此情況不存在,

綜上所述，ACMN為直角三角形時(shí)，t=Z或電二叵I

24

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性.

【變式1】如圖所示，在等腰△/回中，A8=AC=U)c瓜,BC=\6cm.點(diǎn)〃由點(diǎn)/出發(fā)沿加方向向點(diǎn)6勻速

運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)￡由點(diǎn)8出發(fā)沿6c方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為IcWs.連接用設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

(s)(0<t<10),解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)力為何值時(shí)，△〃力的面積為7.5c渭；(2)在點(diǎn)〃￡的運(yùn)動(dòng)中，

是否存在時(shí)間t,使得△皿應(yīng)與△Z6C相似？若存在，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

D

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)求三角形瓦厲邊龍的高即可求解;

（2）根據(jù)等腰三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)分兩種情況說(shuō)明即可.

【解答】解：（1）分別過(guò)點(diǎn)心/作班L8GAGVBC,垂足為KG；

，百DFBD

如圖；J.DF//AG,一=一'：AB=AC=\Q,BC=\6：.BG=8,：.AG=6.

AGAB

DF10-t3

■:AMBE=t,:-t,：.—=----解得DF=q（10-t）

6105

i3

:必敏=十陟如=7.5，一（10-力?方=15解得方=5.答：［為5秒時(shí)，△應(yīng)后的面積為7.5。/9

N5

（2）存在.理由如下：

?,BEBDt10-t3…50

①當(dāng)BE=DE聃，MBDEsXBCA,—=—即—=----，斛得t="，

ABBC101613

②_當(dāng)劭=龐時(shí)，ABDEsABAC,一BE=—BD即一t=-1-0--t,解得t=罵on.

BCAB161013

答：存在時(shí)間t為史或四秒時(shí)，使得△及應(yīng)與△46。相似.

1313

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是動(dòng)點(diǎn)變化過(guò)程中形成

不同的等腰三角形.

【變式2】如圖，Rt△四GNC=90°,4c=10an,BC=8cm.點(diǎn)?從點(diǎn)。出發(fā)，以2c勿/s的速度沿。向點(diǎn)

/勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)0從點(diǎn)6出發(fā)，以lc〃/s的速度沿況向點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)

2

點(diǎn)隨之停止.（1）求經(jīng)過(guò)幾秒后，△尸，的面積等于面積的g?

（2）經(jīng)過(guò)幾秒，△尸，與△/女?相似？

【分析】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)X秒，△戶總的面積等于△力暖面積的|,根據(jù)三角形的面積和已知列出方程，求出方程

的解即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定得出兩種情況，再求出？即可.

2

【解答】解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，△尸&的面積等于面積的J

112

--2%?（8—%）=-X10X8X解得：%=/2=4,

225

2

答：經(jīng)過(guò)4秒后，△〃口的面積等于△/回面積的J

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)方秒，△尸攵與△/回相似，因?yàn)镹C=NG所以分為兩種情況：

…PCCQ2t8-tEg16

①葭=就‘后=GT觸得：仁

^PCCQ2t8-t5/口40

②一=—,—=—，解得：t=罌;

ACBC10813

答：經(jīng)過(guò)齊或工秒時(shí)，△,8與相似.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，直角三角形，相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，能得出關(guān)于x的方程是解

（1）的關(guān)鍵，能求出符合的所有情況是解（2）的關(guān)鍵.

題型四：相似三角形中的綜合問(wèn)題

例4.如圖，在aABC中，AB=AC=10,點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），ZADE=ZB=a,

4

DE交AC于點(diǎn)E,且cosa=不下列結(jié)論：①△ADESAACD；②當(dāng)BD=6時(shí)，Z\ABD與4DCE全等；

25

③4DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或上；④0CCEW6.4.其中正確的結(jié)論是.（填序

2

號(hào)）

【答案】①、②、③、④.

【解析】①：AB=AC,，/B=/C,又；NADE=NB；./ADE=NC,AAADE^AACD；故①正確,

44

②AB=AC=10,ZADE=ZB=a,cosa=-,/.BC=2ABcosB=2X10X-=16,VBD=6,.*.06=10,.\AB=DC,

55

在AABD與ADCE中，/BAD=/CDE/B=/CAB=DC/.△ABD^ADCE(ASA).故②正確，

③當(dāng)NAED=90°時(shí)，由①可知：△ADEsaACD,；./ADC=NAED,：NAED=90°,：.ZADC=90°,即AD_LBC,

VAB=AC,；.BD=CD,；.NADE=/B=a且cosa=4,AB=10,BD=8.

7

4

當(dāng)NCDE=90°時(shí)，易△CDEs/^BAD,VZCDE=90°,ZBAD=90°,：/B=aJ.cosa=-.AB=10,

5

AB425

cosB=---=—BD=——.故③錯(cuò)它.

BD52

④易證得△CDEs/^BAD,由②可知BC=16,設(shè)BD=y,CE=x,—=—/.10=—

DCCE16-yx

整理得：y2-16y+64=64-10x,即(y-8)?=64-10x,；.0<xW6.4.故④正確.

考點(diǎn)：(1)、三角形全等；(2)、三角形相似.

【變式1】己知，如圖1,在朝6(%中，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：

△ADE^ABFE；(2)如圖2,點(diǎn)G是邊BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)G不與點(diǎn)B、C重合)，連接AG交DF于點(diǎn)H,連接

HC,過(guò)點(diǎn)A作AK〃HC,交DF于點(diǎn)K.①求證：HC=2AK；②當(dāng)點(diǎn)G是邊BC中點(diǎn)時(shí)，恰有HD=n?HK(n為正整

【分析】此題涉及的知識(shí)點(diǎn)是兩三角形全等的判定，平行四邊形的性質(zhì)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)先根據(jù)已知條

件證明△ADE04BFE,再根據(jù)兩三角形相似的判定，等量代換得出邊的大小關(guān)系

【解析】(1)證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，，AD〃BC,ZADE=ZBFE,ZA=ZFBE,

，ZADE=ZBFE

在AADE和ABFE中，，NAED=/BEF，/.AADE^ABFE；

AE=BE

(2)如圖2,作BN〃HC交EF于N,

D

圖2

VAADE^ABFE,.*.BF=AD=BC,/.BN=—HC,

2

由(1)的方法可知，^AEK絲△BEN,；.AK=BN,.,.HC=2AK；

(3)如圖3,作GM〃DF交HC于M,

.MGCG1

.".△CMG^ACHF,

"HFCF7

.".△AHD^AGHF,.?鯉二典二^=2,旦

VAD/7FC,

HFHGFG3DH8

uvAH9UK1

VAK/7HC,GM〃DF,AAAHK^AHGM,即HD=4HK,.\n=4.

GMHG3HD4

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考察學(xué)生對(duì)于三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用能力，熟練

掌握判定條件和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖1,在RtZ^ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，AD=DE=-AB,連接

2

DE.將4ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為9.

BEBE

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)。=0°時(shí)，-----；②當(dāng)。=180°時(shí)，----=.

CD------CD------

BE

（2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°6<360°時(shí)，——的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；

CD

（3）問(wèn)題解決①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BE的最大值為；②當(dāng)4ADE旋轉(zhuǎn)至B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，線段CD的

長(zhǎng)為.

【答案】（1）①/②0;（2）無(wú)變化，證明見(jiàn)解析；（3）①2及+2,②6+1或相-1.

【分析】（1）①先判斷出DE//CB,進(jìn)而得出比例式，代值即可得出結(jié)論；②先得出DE//BC,即可得出,

AEAD

—=—，再用比例的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先/。氏/以￡,進(jìn)而判斷出旗即可得出結(jié)論;

ABAC

（3）分點(diǎn)，在班'的延長(zhǎng)線上和點(diǎn)，在座上，先利用勾股定理求出劭，再借助（2）結(jié)論即可得出切.

【解析】解：(1)①當(dāng)6=0°時(shí)，在RtZkABC中，AC=BC=2,/.ZA=ZB=45°,AB=20,

1廠.CDBE

VAD=DE=-AB=V2＞，/AED=NA=45°,AZADE=90°,；.DE〃CB,

'~AC~~AB

CDBE‘五BE=行r-’故答案為夜r-'

②當(dāng)9=180°Ht,如圖1,

,,里=型=巫坨故答案為應(yīng)；

CDAC2

BE

（2）當(dāng)0°W。＜360°時(shí)，——的大小沒(méi)有變化,

CD

理由：VZCAB=ZDAE,AZCAD=ZBAE,

..ADAEAB

.'.△ADC^AAEB,.BE

.ACAB,CDAC2

（3）①當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線時(shí)，BE最大，在RtzXADE中，AE=0AD=2,；.BE最大=AB+AE=20+2；

②如圖2,

E

圖2

當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，VZADE=90°，NADB=90

在RtAADB中，AB=20,AD=0,根據(jù)勾股定理得，BD=JAB2-AD2"A/6>

.-.BE=BD+DE=76+V2）由（2）知,

如圖3,

當(dāng)點(diǎn)D在BE的延長(zhǎng)線上時(shí),

在RtAADB中，AD=&,AB=20,根據(jù)勾股定理得，BD=SJAB--AD1=V6，

；.BE=BD-DE=#-0,

由（2）知，---=y/2,CD=-1?故答案為\/3+1或y/3-1.

CDV2V2

【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，相似三角形的判定和

性質(zhì)，比例的基本性質(zhì)及分類討論的數(shù)學(xué)思想，解（1）的關(guān)鍵是得出DE//BC,解（2）的關(guān)鍵是判斷出△加人

sXAEB,解（3）關(guān)鍵是作出圖形求出劭，是一道中等難度的題目.

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.（2023?安徽淮北??？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，A8C'與，ABC位似，位似中心為原點(diǎn)。,

已知點(diǎn)C（T,-1）,AC=6,則點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（）

C.(6,2)D.(8,2)

【答案】D

【分析】根據(jù)A（T，T）,C（-4-1）,求出AC的長(zhǎng)度，結(jié)合位似，得到相似比，即可得到答案;

【詳解】解：0A(-1,-1),CM,-1),

EI.A'3'C'與ABC位似，AC=6,

0.AB'C與.ABC的相似比為2:1,

0C(-4,-l),

團(tuán)C'(8⑵，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查位似，解題的關(guān)鍵是根據(jù)線段比得到位似比，再根據(jù)位似性質(zhì)求解.

2.（2022秋?安徽滁州?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知0ABe和團(tuán)EOC是以點(diǎn)C為位似中心的位似圖形,

且和aEZJC的位似比為1：2,aEZJC的周長(zhǎng)為8,則0ABe的周長(zhǎng)是（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的位似比等于相似比，和相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可;

【詳解】回0ABe和回即C的位似比為1：2,

EHABC和回即C的相似比為1：2,

又EBEDC的周長(zhǎng)為8,

C^ABC_C^ABC_]

EBABC的周長(zhǎng)為4.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似圖形和相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?安徽阜陽(yáng)?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高18”，他在地面上的

影長(zhǎng)為2.L”.若小芳身高只有1.2m,則她的影長(zhǎng)為（）

【答案】B

【分析】利用在同一時(shí)刻身高與影長(zhǎng)成比例得出比例式，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)小芳的影長(zhǎng)為xm.

1Q1O

根據(jù)在同一時(shí)刻身高與影長(zhǎng)成比例可得：三=三，

2.1x

解得：x=1.4.

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，

故選民

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用；根據(jù)同一時(shí)刻身高與影長(zhǎng)成比例得出比例式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.（2023春?安徽合肥?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.兩個(gè)多邊形相似，則它們一定是位似圖形B.兩個(gè)位似圖形的位似中心可能不止一個(gè)

C.位似圖形一定是相似圖形D.兩個(gè)多邊形相似，面積比一定是相似比

【答案】C

【分析】根據(jù)位似圖形的概念和相似多邊形的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】A.兩個(gè)多邊形相似，則它們不一定是位似圖形，，故該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

B.兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)，故該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

C.位似圖形一定是相似圖形，故該選項(xiàng)說(shuō)法正確；

D.兩個(gè)多邊形相似，面積比是相似比的平方，故該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的概念，相似多邊形的性質(zhì)，掌握如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)

應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形是解題的關(guān)鍵.

5.（2022秋?安徽亳州,九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是趙師傅利用一塊三角形的白鐵皮剪成一塊正方形鐵皮備

用.在0ABC中，8C=120,高AO=80,正方形EFGH的邊GH在邊上，E,尸分別在邊AB,AC上，

則正方形EBGH的邊長(zhǎng)為（）

A.36B.42C.48D.54

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形邊的平行關(guān)系，得出對(duì)應(yīng)的相似三角形，即ABEHsABAD,從而

得出邊長(zhǎng)之比M=AEEHBE,sEFEHAEBE

——，得至lj——+——=——+——進(jìn)而求出正方形的邊長(zhǎng).

BCBABCADABBA

【詳解】解：設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為x

在正方形EFGH中，EF//BC,EH//AD

：.ZAEF=^\ABC,BEAF=^\BAC；BBHE=^\BDAf

：.AAEF^AABC,XBEHSXBAD

.EFAEEHBE

??拓一耘'而一M

.EFEHAEBE.

"BCAD~ABBA~

解得：尤=48

即：正方形零件的邊長(zhǎng)為48；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查綜合考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用以及正方形的有關(guān)性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?安徽合肥,九年級(jí)合肥壽春中學(xué)校考期中）如圖，身高為1.6m的小明想測(cè)量一下操場(chǎng)邊大樹(shù)的

高度，他沿著樹(shù)影54由8到A走去，當(dāng)走到C點(diǎn)時(shí)，他的影子頂端正好與樹(shù)的影子頂端重合，測(cè)得

于是得出樹(shù)的高度為（）

4.8mC.6.4mD.8m

【答案】B

【分析】求出A2的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可.

0BC=1.4m,C4=0.7m,

0AB=AC+BC=0.7+1.4=2.1m,

國(guó)小明與大樹(shù)都與地面垂直,

0ACEsABD,

廣CEAC

團(tuán)---=----

BDAB

即生二22

BD2.1

解得3。=4.8,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，判斷出相似三角形，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式是

解題的關(guān)鍵.

7.（2020?安徽合肥?合肥市第四十二中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得

到五邊形AB'CDE,已知0A=10cm,OA'=20cm,則五邊形ABCOE的周長(zhǎng)與五邊形AbCDE的周長(zhǎng)比

【答案】A

【分析】由以點(diǎn)。為位似中心，將五邊形A8COE放大后得到五邊形OA=Wcm,OA'=

20cm,可得五邊形ABCDE的周長(zhǎng)與五邊形AbCDE的位似比為：10：20=1：2,然后由相似多邊形的

性質(zhì)進(jìn)一步求解即可.

【詳解】回以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形A8CDE放大后得到五邊形AbCOE,OA=Wcm,OA'=20cm,

國(guó)五邊形ABCDE的周長(zhǎng)與五邊形A'B'C'D'E的位似比為：10：20=1：2,

團(tuán)五邊形ABCDE的周長(zhǎng)與五邊形A'8'C'OE的周長(zhǎng)比是：1：2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

8.（2022秋?安徽宿州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，王華晚上由路燈A下的8處走到C處時(shí)，測(cè)得影子

C。的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子EF的長(zhǎng)為2米，已知王華的身高是1.5米，那么

路燈A的高度等于（）

【答案】B

【分析】根據(jù)同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過(guò)物體頂部的太陽(yáng)光線三

者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似解答.

【詳解】解：如圖所示，GCBiBC,ABS\BC,

A

王華的身高=路燈的高度

王華的影長(zhǎng)路燈的影長(zhǎng)

當(dāng)王華在CG處時(shí)，Rf3\DCG3\R^\DBA,BP—=—

DBAB

當(dāng)王華在即處時(shí)，R^FE^FBA,即齊先寫

CDEF

團(tuán)---=----

BDBF

團(tuán)CG=EH=1.5米，8=1米，CE=3米，E尸=2米,

設(shè)A3=x,BC=y,

12

團(tuán)kR'

解得y=3,

則丫:，

X4

解得，x=6米.

即路燈A的高度42=6米.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了中心投影的特點(diǎn)和規(guī)律以及相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用.解題的關(guān)鍵是利用中心投影

的特點(diǎn)可知在這兩組相似三角形中有一組公共邊，利用其作為相等關(guān)系求出所需要的線段，再求公共邊的

長(zhǎng)度.

9.（2022秋?安徽蚌埠?九年級(jí)校考期中）如圖所示，在井口A處立一垂直于井口的木桿A2,從木桿

的頂端2觀測(cè)井水水岸。，視線8。與井口的直徑C4交于點(diǎn)E,若測(cè)得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4

米，則水面以上深度8為（）

B

A.4米B.3米C.3.2米D.3.4米

【答案】B

【分析】由題意可得ABEjCDE,然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式即可求得C￡）.

【詳解】解：由題意可知：AB//CD,

團(tuán)ABEs-CDE,

ABAE

團(tuán)---=---,

CDCE

團(tuán)=1米，AC=L6米，AE=0.4米,

10.4

團(tuán)---=-------,解得CD=3,

CD1.6-0.4

國(guó)水面以上深度CD為3米.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出ABES_CDE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

10.（2021秋?安徽阜陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖四個(gè)圖中，一ABC均與一A8C'相似，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)交于一

點(diǎn)，則ABC與‘A'3'C'成位似圖形的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)分析判斷得出答案.

【詳解】解：圖1中，一ABC與一AEC成位似圖形；

圖2中，I3AB與A8不平行，AC與AC不平行，回」1BC與A'3'C'不成位似圖形；

圖3中，ABC與‘A'3'C'成位似圖形；

圖4中，ABC與，A'3'C'成位似圖形；

綜上，A5C與11Abe'成位似圖形的有圖1、圖3、圖4,共有3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似變換，位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相交

于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線段相互平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)是位似

中心.

二、填空題

11.（2021秋?安徽安慶?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，一條河流的兩岸互相平行，沿南岸有一排大樹(shù)，每隔

4米一棵，沿北岸有一排電線桿，每?jī)筛娋€桿之間的距離為80米，一同學(xué)站在距南岸9米的點(diǎn)尸處，正

好北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹(shù)遮擋住，那么這條河流的寬度是米.

f北岸>f

三二

三三三

至

三三

、?S6%

、

二

二

、

二二

三三

二

、

三

三

W三三

、

三

一二S

、

11登

；

三

、

三

月垂

三

、

二S

、

、S

」~

\/南岸

\\//

P

【答案】36

【分析】根據(jù)題意，利用相似三角形的判定定理可得再由其性質(zhì)：相似三角形高的比等

于相似比進(jìn)行求解即可得.

【詳解】解:如圖,

回北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹(shù)遮擋住，

/.AS=16m,DC=80m,

-AB//CD,

???^ABP?”CP,

ABPE

~DC~~PF"

vAB=16m,尸到A5的距離即P石=9m,

16_9

，，80-9+EF?

解得：EF=36m,

團(tuán)河寬為36米，

故答案為：36.

【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

12.（2022秋?安徽馬鞍山?九年級(jí)馬鞍山八中?？计谥校W(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞

。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB_LBD,BD足分別為5,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=\m,則欄桿C

端應(yīng)下降的垂直距離CD為.

2

【答案】0.4m/ym

AnAR

【分析】由Z4BO=NCDO=90。，NAQB=NCOD知AABOsACDO,據(jù)此得而=而，將已知數(shù)據(jù)代入

即可得.

【詳解】解：ABLBD,CDLBD,

:.ZABO=ZCDO=90°,

又二ZAOB=NCOD,

皿AOA3

貝U—二—，

COCD

AO=4m,AB=1.6m,CO=Im,

4_1.6

T-CD*

解得：CD=0.4,

???欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CO為0.4機(jī).

故答案為：0.4m.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì).

13.（2022秋?安徽宿州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A3表示一個(gè)窗戶的高，AM和表示射入室內(nèi)的光線,

窗戶的下端到地面的距離3C=lm.已知某一時(shí)刻5C在地面的影長(zhǎng)CN=1.5m,AC在地面的影長(zhǎng)CM

4.5m,則窗戶的高度為.m.

【答案】2

【分析】陽(yáng)光可認(rèn)為是一束平行光，由光的直線傳播特性可知透過(guò)窗戶后的光線5N與AM仍然平行，由

此可得出一對(duì)相似三角形，由相似三角形性質(zhì)可進(jìn)一步求出A5的長(zhǎng)，即窗戶的高度.

【詳解】解:BN//AM,

.NBNSNCAM,

BCCN

CN=1.5,CM=4.5,BC=1,

1_1.5

AC-45

AC=3,

:.AB=AC-BC=2(m),

答：窗戶的高度A3是2m.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，建

立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題.

14.（2022秋?安徽安慶?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小明在A時(shí)測(cè)得垂直于地面的樹(shù)的影長(zhǎng)為4米，8時(shí)又測(cè)

得該樹(shù)的影長(zhǎng)為12米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹(shù)的高度為米.

4時(shí)

5時(shí)

【答案】473

FDFC

【分析】根據(jù)題意,畫出示意圖,可得Rt.DECsRtCEF,進(jìn)而可得耘=而’代入數(shù)據(jù)可得答案.

【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得：“CF=90。,ED=4,FE=12,CE±DF,

d時(shí)

8時(shí)支

0NCED=ZZCEF=90°,ZDCE+NFCE=90°,

SZDCE+ZCDE=90°,

SZFCE=ZCDE

HRtDECRtCEF,

EDEC

El----=-----,

ECEF

4EC

即Hn——=——,

EC12

解得：EC=46,

答：樹(shù)的高度為4石米.

故答案為：4A萬(wàn).

【點(diǎn)睛】本題考查了通過(guò)投影的知識(shí)結(jié)合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性質(zhì)在實(shí)際生活中的

應(yīng)用，難度適中.掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.（2022秋?安徽宣城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是小孔成像原理的