滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí) 第24章 圓易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練（4類易錯(cuò)+4類壓軸）

第二十四章圓易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練

01思維導(dǎo)圖

目錄

易錯(cuò)題型一對(duì)圓的相關(guān)概念理解不透徹..........................................................1

易錯(cuò)題型二對(duì)垂徑定理的推論理解不透徹........................................................2

易錯(cuò)題型三忽視“弧、弦、圓心角之間的關(guān)系”.................................................3

易錯(cuò)題型四當(dāng)圖形未給出時(shí)，沒有分類討論.....................................................3

壓軸題型一用圓周角求角度....................................................................5

壓軸題型二求圖形面積........................................................................6

壓軸題型三用與圓的位置關(guān)系解決問(wèn)題..........................................................8

壓軸題型四用切線解決問(wèn)題....................................................................8

02易錯(cuò)題型

易錯(cuò)題型一對(duì)圓的相關(guān)概念理解不透徹

例1.（24-25九年級(jí)上?福建福州?階段練習(xí)）下列說(shuō)法，正確的是（）

A.優(yōu)弧大于劣弧B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對(duì)的弧相等D.直徑所對(duì)圓周角是直角

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）下列語(yǔ)句中正確的說(shuō)法是（）

A.垂直于弦的直徑平分弦

B.圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸

C.長(zhǎng)度相等的弧是等弧

D.圓內(nèi)接矩形是正方形

2.（24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）下列說(shuō)法，錯(cuò)誤的是（）

A.過(guò)三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓B.等弧所對(duì)的圓心角相等

1

C.弦的垂直平分線一定經(jīng)過(guò)圓心D.直徑是弦

3.（24-25九年級(jí)上?江蘇徐州?階段練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）

①面積相等的圓是等圓；②過(guò)圓心的線段是直徑；③長(zhǎng)度相等的弧是等??；④半徑是弦；⑤直徑是最長(zhǎng)的

弦；⑥等弧所在的圓一定是等圓或同圓

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

易錯(cuò)題型二對(duì)垂徑定理的推論理解不透徹

例2.（24-25九年級(jí)上?浙江寧波?階段練習(xí)）如圖，AB為。。的直徑，弦CD14B于點(diǎn)F,0石，40于點(diǎn)后,

若O。的半徑為3,BF=2,貝|0E的長(zhǎng)為（）

B.V2C.舊D.小

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?廣東湛江?期中）已知：如圖，4B是。。的弦，。。的半徑為5,。。_143于點(diǎn)。，交。。

于點(diǎn)C,且CD=2,那么4B的長(zhǎng)為（）

D.10

2.（2024?河南商丘?三模）如圖，在。。中，直徑4B=20,弦DE14B,交2B于點(diǎn)C,連接DO.若DE=16,

則4c的長(zhǎng)為（）

2

C.8D.6

3.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在。。中，點(diǎn)4C在圓上，且。C148,垂足為D.若4BOC=45。,

A.2A/2B.4C.V2D.2

易錯(cuò)題型三忽視“弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

例3.（2024?陜西西安?三模）如圖，是O。的直徑，點(diǎn)C、D、片在。。上，AE=DE,若乙BDE=110°,則

C.40°D.50°

3

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?河南南陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為。。的直徑，C、。為。。上的點(diǎn)，BC=DC.若NABD=20。,

則NCBD的度數(shù)為（）

C.25°D.20°

2.（2024?湖北黃石?三模）如圖所示，弦AB,CD所對(duì)的圓心角分另tJ是乙4。8,乙COD,若N&OB與NC。?；パa(bǔ),

D.5V3

3.（2024?山東德州?一模）如圖，A,B,C,D是。。上的點(diǎn),AB=AD,4C與BQ交于點(diǎn)E,AE=3,EC=5,

BD=4A/5,O。的半徑為（）

A

C.5D.2A/6

易錯(cuò)題型四當(dāng)圖形未給出時(shí)，沒有分類討論

4

例4.（23-24九年級(jí)上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）已知在。。中兩條平行弦||CD,AB=12,CD=16,Q0

的半徑是10,則AB與CD間的距離是（）

A.6或12B.2或14C.6或14D.2或12

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?天津和平?期末）。。半徑為5,弦4BIICD,AB=6,CD=8,則4B與CD間的距離為

（）

A.1B.7C.1或7D.3或4

2.（23-24八年級(jí)上.山東濱州.開學(xué)考試）一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為與m，最大距離為%m，則該圓的半徑是

（）

A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm

3.（23-24九年級(jí)上訥蒙古通遼?期中）0（9的半徑是10,弦AB||CD,AB=16,CD=12,貝1|弦4B與CD的

距離是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

03壓軸題型

壓軸題型一用圓周角求角度

例1.（23-24九年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，四邊形48C0為。。的內(nèi)接四邊形，ZBCD=126°,則480。

的大小是（）

B

A.108°B.106°C.100°D.110°

5

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)上.重慶榮昌.期末）如圖，。。是四邊形/BCD的外接圓，若乙480=110。，則乙ADC的度

C.80°D.90°

2.（24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A,B,C都在。。上，若4。48=54°,則乙4cB=（）

54°C.36°D.72°

3.（2024.湖南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在。。中，AB=BC^若乙。=25。，則21=（）

A.25°B.30°C.50°D.60°

壓軸題型二求圖形面積

例2.（23-24九年級(jí)上.重慶.階段練習(xí)）如圖，正方形ABCO的邊長(zhǎng)為2,以A為圓心，為半徑畫弧.連

接AC,以A為圓心，AC為半徑畫弧交4）的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積是.

6

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?江蘇南京?階段練習(xí)）如圖，將半徑0B=4的半圓繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30。，此時(shí)點(diǎn)

A到了點(diǎn)4,則圖中涂色部分的面積為

2.（2024.廣東清遠(yuǎn).模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC中，以48為直徑構(gòu)造半圓，則圖中陰影

部分的面積為.

3.（24-25七年級(jí)上?重慶?開學(xué)考試）如圖所示，在直角三角形4BC中，AB=6cm,BC=15cm,從中剪掉

兩個(gè)半徑相等的扇形，求陰影部分的面積為_____CH??（結(jié)果保留兀）

7

壓軸題型三用與圓的位置關(guān)系解決問(wèn)題

例3.（24-25九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）如圖，RfAABC中，^ACB=90°,AC=4,4B=5,。是4c上

一點(diǎn)，E是BC上一點(diǎn)，DE=3,若以DE為直徑的圓交2B于M、N點(diǎn)，則MN的最大值為cm.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?安徽合肥?二模）已知AABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為4（-2,6）、B（6,-2）,C（—2,-2）,點(diǎn)「為4

ABC邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接尸。，我們把線段尸。的最小值稱為“點(diǎn)。到AZBC的距離”，記

為d=\Q,^ABC\.

（1）若Q在原點(diǎn)。時(shí)，d=；

（2）若點(diǎn)。是以點(diǎn)M（30）為圓心，以1為半徑的OM上一動(dòng)點(diǎn)，且〃=1,則/的取值范圍是.

2.（2024?安徽蕪湖?一模）如圖，在Rt△力BC中，^ACB=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)D為AB上一點(diǎn),點(diǎn)尸

在AC上，且CP=1,將CP繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,連接AQ,DQ.

（1）當(dāng)點(diǎn)。是4B的中點(diǎn)時(shí)，DQ的最小值為；

（2）當(dāng)COLAB,且點(diǎn)。在直線CO上時(shí)，2Q的長(zhǎng)為.

8

3.（2024?廣東廣州二模）如圖，。。是AABC的外接圓，AB=AC,CD14B于點(diǎn)D,B。的延長(zhǎng)線交CD于

點(diǎn)、E.

(1)乙DCB乙DBE(填">,(或=”)：

(2)若BC=4應(yīng)，BE=4,貝1]OE=

壓軸題型四用切線解決問(wèn)題

例3.（22-23九年級(jí)上?廣東湛江?期中）已知：如圖，4B是。。的直徑，BC是。。的切線，OC與。。相交

于點(diǎn)。，連接2。并延長(zhǎng)與BC相交于點(diǎn)E,且點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，CD=lcm,BC=V3cm.

（1）求。。的半徑；

（2）求證：FD與。。相切.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?湖北恩施.模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四邊形4BCC中，=^ABC=90°,點(diǎn)。是4B的中點(diǎn)，=

90°,以48為直徑作半圓O0.

B

9

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若0C與。。的交點(diǎn)M是。C的中點(diǎn)，。。的半徑為2,求CD的長(zhǎng).

2.(2024九年級(jí)下?云南昆明.專題練習(xí))如圖，在AABC中，AB=AC,以2B為直徑的。。交4c于點(diǎn)。(點(diǎn)

。與點(diǎn)A不重合)，交BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作尸GJ.AC于點(diǎn)月交4B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)求證：FG是。。的切線；

(2)如圖1,若CF=1,BE=3；求。。的半徑；

(3)如圖2,連接2E,OD,交點(diǎn)為當(dāng)==m時(shí)，求線段EG的長(zhǎng).

3.(2024?貴州銅仁?一模)如圖，已知點(diǎn)C是以為直徑的。。上一點(diǎn)，CH1AB于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)B作。。的

切線交直線4c于點(diǎn)D,點(diǎn)E為CH的中點(diǎn)，連接4E并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F,射線CF交4B的延長(zhǎng)線于G.

(1)則。尸與FB的數(shù)量關(guān)系為

⑵求證：CG是。。的切線；

(3)若月8=莊=1,求tcm/ZMB的值.

10

第二十四章圓易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練

01思維導(dǎo)圖

目錄

易錯(cuò)題型一對(duì)圓的相關(guān)概念理解不透徹..........................................................1

易錯(cuò)題型二對(duì)垂徑定理的推論理解不透徹........................................................2

易錯(cuò)題型三忽視“弧、弦、圓心角之間的關(guān)系”.................................................3

易錯(cuò)題型四當(dāng)圖形未給出時(shí)，沒有分類討論......................................................3

壓軸題型一用圓周角求角度....................................................................5

壓軸題型二求圖形面積........................................................................6

壓軸題型三用與圓的位置關(guān)系解決問(wèn)題..........................................................8

壓軸題型四用切線解決問(wèn)題....................................................................8

02易錯(cuò)題型

易錯(cuò)題型一對(duì)圓的相關(guān)概念理解不透徹

例1.（24-25九年級(jí)上?福建福州?階段練習(xí)）下列說(shuō)法，正確的是（）

A.優(yōu)弧大于劣弧B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對(duì)的弧相等D.直徑所對(duì)圓周角是直角

【答案】D

【分析】此題主要考查了圓的有關(guān)概念，熟練掌握相關(guān)概念是解決此題的關(guān)鍵.根據(jù)圓的有關(guān)概念進(jìn)行逐項(xiàng)

辨析即可得解.

【詳解】A、同圓或等圓中，優(yōu)弧一定大于劣弧，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、平分弦的直徑，當(dāng)被平分的弦是直徑時(shí)，直徑不垂直于弦，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、直徑所對(duì)圓周角是直角，故該選項(xiàng)正確；

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）下列語(yǔ)句中正確的說(shuō)法是（）

11

A.垂直于弦的直徑平分弦

B.圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸

C.長(zhǎng)度相等的弧是等弧

D.圓內(nèi)接矩形是正方形

【答案】A

【分析】本題考查垂徑定理，等弧的定義，圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本知識(shí).根據(jù)垂

徑定理，等弧的定義，圓的有關(guān)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷，即可解題.

【詳解】解：A、垂直于弦的直徑平分弦，說(shuō)法正確，符合題意；

B、圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧是等弧，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、圓內(nèi)接矩形是不一定是正方形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：A.

2.（24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）下列說(shuō)法，錯(cuò)誤的是（）

A.過(guò)三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓B.等弧所對(duì)的圓心角相等

C.弦的垂直平分線一定經(jīng)過(guò)圓心D.直徑是弦

【答案】A

【分析】本題主要考查了圓的基本知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的基本定義，垂徑定理，是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)直徑定義，圓心角、弧間的關(guān)系，垂徑定理，確定圓的條件進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，原說(shuō)法錯(cuò)誤；

B.等弧所對(duì)的圓心角相等，正確；

C.弦的垂直平分線一定經(jīng)過(guò)圓心，正確；

D.直徑是弦，正確.

故選：A.

3.（24-25九年級(jí)上?江蘇徐州?階段練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）

①面積相等的圓是等圓；②過(guò)圓心的線段是直徑；③長(zhǎng)度相等的弧是等??；④半徑是弦；⑤直徑是最長(zhǎng)的

弦；⑥等弧所在的圓一定是等圓或同圓

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查了等圓、等弧、弦的相關(guān)定義，利用等圓及弧、弦的概念對(duì)說(shuō)法進(jìn)行判斷即可得到答案.

【詳解】解：①面積相等的圓是等圓，故原說(shuō)法正確；

12

②連接圓周上兩點(diǎn)并通過(guò)圓心的線段是圓的直徑，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；

③等弧，是在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；

④連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫作弦，半徑不是弦，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；

⑤連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，直徑是最長(zhǎng)的弦，故原說(shuō)法正確；

⑥等弧，是在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧，即等弧所在的圓一定是等圓或同圓，故原說(shuō)法正確

.?.正確的說(shuō)法有①⑤⑥，共3個(gè).

故選：C.

易錯(cuò)題型二對(duì)垂徑定理的推論理解不透徹

例2.（24-25九年級(jí)上?浙江寧波?階段練習(xí)）如圖，AB為。。的直徑，弦CD14B于點(diǎn)F,0石，40于點(diǎn)5,

若O。的半徑為3,BF=2,貝|0E的長(zhǎng)為（）

B.V2C.舊D.小

【答案】C

【分析】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理.利用勾股定理求出。尸，AD,再利用垂徑定理求得4E,

再求解即可.

【詳解】解：如圖，連接。以

;。。的半徑為3,BF=2,

；.0F=OB—BF=1,AF=AB-BF=4,

在Rt^OFO中，DF=yJOD2-OF2=V32-l2=242

在Rt△ADF中'AD=y/AF2+DF2=J42+(2V2)=2A/6J

13

OE1AD,

:.AE=DE=5

在Rt△中,OE=y/OA2-AE2=J32一(佝2=

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?廣東湛江?期中）已知：如圖，是。。的弦，。。的半徑為5,0O1B于點(diǎn)D,交。。

于點(diǎn)C,且CD=2,那么4B的長(zhǎng)為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】此題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí).連接。4根據(jù)垂徑定理得到乙4。。=90°,AB=2AD,利

用勾股定理求出4。=4,即可得到答案.

【詳解】解：連接。4

?.?。。_148于點(diǎn)。，

：.^ADO=90。,AB=2AD,

在RtZiOIM中，。42=4。2+。。2,

即52=(5—2Y+AD2,

解得：AD=4.

：.AB=2AD=8.

故選：C.

14

2.（2024?河南商丘三模）如圖，在。。中，直徑4B=20,弦DE交4B于點(diǎn)C,連接DO.若DE=16,

則AC的長(zhǎng)為（）

A.5B.4C.8D.6

【答案】B

【分析】本題考查的是垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)垂徑定理得到DC=CE=8,利用勾股定理求得CO,

即可得到AC的值，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???弦DELAB,DE=16,直徑AB=20,

???DC=CE=-DE=8,OD=-AB=10,

22

???OC=y/OD2-CD2=6,

AC=AO-CO=4,

故選：B.

3.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在。。中，點(diǎn)4,B,C在圓上，且。C14B,垂足為D.若NBOC=45。,

QA=夜，貝U2B的長(zhǎng)為（）

C

A.2V2B.4C.V2D.2

【答案】D

【分析】本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵.

先根據(jù)勾股定理得BD=1,再根據(jù)垂徑定理即可得出答案.

【詳解】解：???0C14E,

：.AB=2BD,

15

VzBOC=45°,OA=OB=a,

：.BD=OD,

：.BD2+OD2=0B2,

：.2BD2=2,

:.BD=1,

，AB=2.

故選：D.

易錯(cuò)題型三忽視“弧、弦、圓心角之間的關(guān)系”

例3.（2024?陜西西安?三模）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C、D、E在。。上，AE=DE,若乙BDE=110°,則

乙4BD的度數(shù)為)

C

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，連接BE,利用圓內(nèi)接四邊

形性質(zhì)得到NB4E=70°,結(jié)合圓周角定理得到々1EB=90°,進(jìn)而推出NASE=20。，最后根據(jù)4E=DE,

結(jié)合弧、弦、圓心角的關(guān)系即可解題.

【詳解】解:連接8E,

???4BDE=110°,

.-.ZBAE=10°,

,AB是圓的直徑,

???4AEB=90°,

16

???乙43￡=90。-70。=20。,

AE=DE,

???AE—DE，

???^ABE=Z.DBE=20°,

???乙480=20。+20。=40。.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024.河南南陽(yáng).模擬預(yù)測(cè)）如圖，為。。的直徑，C、。為。。上的點(diǎn)，BC=DC.若乙=20。,

則4CBD的度數(shù)為（）

C

【答案】A

【分析】本題主要考查圓周角定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系，利用其求得NCO。的度數(shù)為解題的關(guān)鍵.根據(jù)

圓周角定理可得乙4。。=2乙ABD=2X20°=40°,及圓心角、弧、弦的關(guān)系易得=乙COD=：乙BOD=

70°,從而求得的度數(shù).

???^AOD=2乙ABD=2x20°=40°,

???乙BOD=180°-Z,AOD=140°,

'：BC=DC,

1

???Z-BOC=Z-COD=-/.BOD=70°,

2

17

1

.-?乙CBD=-Z.COD=35°,

2

故選：A

2.（2024湖北黃石?三模）如圖所示，弦AB,CD所對(duì)的圓心角分另ij是乙4。8,乙COD,若乙4。8與NC。?；パa(bǔ),

AB=8,CD=6,那么O。的半徑為（）

【答案】A

【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)、圓周角定理，延長(zhǎng)4。交。。于點(diǎn)E,連接BE,由N40B+NB0E=

AAOB+ACOD^ABOE=/.COD,據(jù)此可得BE=CD,在Rt△4BE中利用勾股定理求解可得.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)2。交O。于點(diǎn)E,連接班，

又；Z710B+乙COD=180°,

:.乙BOE=乙COD,

BE-CD=6,

?.,45為。。的直徑，

LABE=90°,

：.AE=7AB2+BE2=V82+62=10,

???0。的半徑=14￡'=5,

故選A.

3.（2024?山東德州?一模）如圖，A,B,C,D是。。上的點(diǎn)，AB^AD,AC與8。交于點(diǎn)E,AE=3,EC=5,

BD=4V5,O。的半徑為（）

18

A

D

A.6B.C.5D.2A/6

2

【答案】A

【分析】連接DC,易得AZDEsAac。，即可求出4D,連接04,由垂徑定理可得4。_LBD,再根據(jù)勾股定

理即可求解.

【詳解】解：連接。C,如圖：

-?AB=前，

J.Z.ADE=/.ACD,

,/^.DAE=Z.CAD,

△ADEACD,

.AEAD口門3AD

..—=—,即一=—,

ADACAD8

解得：AD=2V6,

'-'AB=AD，即A是的的中點(diǎn)，

：.A01BD,BH=DH=：BD=2倔

在RtA￡）H中，AH2=AD2-DH2,

-"-AH=J（2V6）2-（2V5）2=2，

：.0H=0D-2,

在Rt^ODH中，0D2=OH?+DU,

7

-OD2=（OD-2）2+（2V5），

19

解得。n=6.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作

出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

易錯(cuò)題型四當(dāng)圖形未給出時(shí)，沒有分類討論

例4.（23-24九年級(jí)上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）已知在O。中兩條平行弦28IICD,AB=12,CD=16,O0

的半徑是10,則AB與CD間的距離是（）

A.6或12B.2或14C.6或14D.2或12

【答案】B

【分析】由勾股定理，垂徑定理，分兩種情況討論：①當(dāng)和位于圓心同側(cè)時(shí)和②當(dāng)4B和CD位于圓心

異側(cè)時(shí)，即可求解.

【詳解】解：分類討論：①當(dāng)4B和CC位于圓心同側(cè)時(shí)，如圖，連接。4,0C,過(guò)點(diǎn)。作。E，于點(diǎn)及

交CD于點(diǎn)F.

'：AB||CD,

：.OE1CD,

：.AE=-AB=6,CF=-CD=8.

22

VOA=0C=10,

：?0E=y/OA2-AE2=8,OF=VOC2-CF2=6,

：.EF=OE-OF=2,即此時(shí)A3與CD間的距離是2；

②當(dāng)43和CD位于圓心異側(cè)時(shí)，如圖，連接。4,0C,過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)P。交CD于點(diǎn)Q.

\9AB||CD,

：.0Q1CD,

20

11

AP=—AB=6,CQ=-CD=8.

2“2

VOA=0C=10,

/?OP=>IOA2-AP2=8,OQ=y/OC2-CQ2=6,

：.PQ=OP+OQ=14,即此時(shí)AB與CQ間的距離是14.

綜上可知AB與CD間的距離是2或14.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，解題關(guān)鍵是分兩種情況討論，作輔助線構(gòu)造直角三角形.

鞏固訓(xùn)練

1.(22-23九年級(jí)上?天津和平?期末)。。半徑為5,弦2BIICD,AB=6,CD=8,貝！MB與CD間的距離為

()

A.1B.7C.1或7D.3或4

【答案】C

【分析】過(guò)。點(diǎn)作。E14B,E為垂足，交CD與F,連。4OC,由4B||CD,得到。FLCD,根據(jù)垂徑定理

得4E=3,CF=4,再在RtAOAE中和在Rt^OCF中分別利用勾股定理求出。E,OF,然后討論：當(dāng)圓。點(diǎn)

在AB、CD之間，與CD之間的距離=OE+OF；當(dāng)圓。點(diǎn)不在4B、CD之間，與CD之間的距離=OE-OF.

【詳解】解：過(guò)。點(diǎn)作0E12B,E為垂足，交CD與F,連04,0C,如圖，

AB//CD,

???OF1CD,

:.AE=BE,CF=DF,

而=6,CD=8,

.??/E=3,CF=4,

在RtA(ME中，OA=5,OE=y/OA2-AE2=V52-32=4;

在Rt^OCF中，0C=5,OF=y/OC2-CF2=V52-42=3;

當(dāng)圓。點(diǎn)在48、CD之間，4B與CD之間的距離=OE+OF=7；

當(dāng)圓。點(diǎn)不在4B、CD之間，與CD之間的距離=OE—OF=1；

21

所以4B與CD之間的距離為7或1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧.也考查了勾股定理以及

分類討論的思想的運(yùn)用.

2.(23-24八年級(jí)上?山東濱州?開學(xué)考試)一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為4cm，最大距離為9cm，則該圓的半徑是

()

A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm

【答案】A

【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，注意到分兩種情況進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵.設(shè)此點(diǎn)為P點(diǎn)，圓為

O0,最大距離為PB,最小距離為P4有兩種情況：①當(dāng)此點(diǎn)在圓內(nèi)；②當(dāng)此點(diǎn)在圓外；分別求出半徑值

即可.

【詳解】解：設(shè)此點(diǎn)為P點(diǎn)，圓為。0,最大距離為PB,最小距離為P4貝。：

???此點(diǎn)與圓心的連線所在的直線與圓的交點(diǎn)即為此點(diǎn)到圓心的最大、最小距離

;有兩種情況：

當(dāng)此點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，如圖所示，

半徑OB=(PA+PB)+2=6.5團(tuán)；

當(dāng)此點(diǎn)在圓外時(shí)，如圖所示，

故選：A.

3.(23-24九年級(jí)上?內(nèi)蒙古通遼?期中)。。的半徑是10,弦AB||CD,AB=16,CD=12,貝。弦4B與CD的

22

距離是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用.作。El4B于E,OFLCD于尸，由垂徑定理得ZE==8,CF=

\CD=6,由于AB||CD,易得E、O、尸三點(diǎn)共線，在Rt△AOE和Rt^OC尸中，利用勾股定理分別計(jì)算出。E

與OF,然后討論：當(dāng)圓心。在弦4B與CD之間時(shí)，與CD的距離=Ob+OE；當(dāng)圓心。在弦4B與CD的外

部時(shí)，4B與CD的距離=OP—OE.

【詳解】解：如圖，作。E_LAB于E,OF_LCD于憶連。A,0C,0A=OC=10,

則4E=|XB=8,CF=^CD=6,

'：AB||CD,

；.E、。、尸三點(diǎn)共線,

在RtAZOE中，OEAOA-AE。=\102_8?=6,

在RtAOCF中，。/=VOC2-CF2=V102-62=8,

當(dāng)圓心。在弦4B與CD之間時(shí)，4B與CD的距離。尸+OE=8+6=14；

當(dāng)圓心。在弦4B與CD的外部時(shí)，4B與CD的距離OF—OE=8—6=2.

所以4B與CD的距離是14或2.

故選：C.

03壓軸題型

壓軸題型一用圓周角求角度

例1.（23-24九年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，四邊形4BCD為。。的內(nèi)接四邊形，/.BCD=126°,則NB0D

的大小是（）

23

A

A.108°B.106°C.100°D.110°

【答案】A

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，由根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得N4+NBCD=180。,

求出NA=54。，然后由圓周角定理即可求解，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

【詳解】???四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，

；.乙4+乙BCD=180°,

：.AA=54°,

:.乙BOD=2乙4=108°,

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)上?重慶榮昌?期末）如圖，。。是四邊形4BCD的外接圓，若"BC=110。，則乙4DC的度

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】B

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：；四邊形4BCC內(nèi)接于。0,LABC=110°,

AADC=180°-^ABC=180°-110°=70°,

故選：B

2.（24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A,B,C都在。。上，若40AB=54°,則乙4cB=（）

24

o

A.18°B.54°C.36°D.72°

【答案】C

【分析】本題考查了圓周角定理，等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理，

首先根據(jù)。4=0B得到N084=/.OAB=54°,然后利用三角形內(nèi)角和定理求出4。=180°-Z.OAB-

AOBA=72°,然后利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解：；。4=。3

C./-OBA=AOAB=54°

乙。=180°-/.OAB-Z.OBA=72°

'''AB=AB

J.^ACB=-AO=36°.

2

故選：C.

3.(2024?湖南?模擬預(yù)測(cè))如圖，在。。中，AB=BC＞若ND=25。，則N1=()

A.25°B.30°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】本題考查圓周角定理等，連接。4根據(jù)圓周角定理求出N40B,根據(jù)晶=冼可求得41的度數(shù).掌

握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接。兒

25

n

Z￡>=25°,

:.ZAOB=2ZD=50°,

???AB=BC^

:.Z1=ZAOB=50°.

故選：c.

壓軸題型二求圖形面積

例2.（23-24九年級(jí)上?重慶?階段練習(xí)）如圖，正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,以A為圓心，48為半徑畫弧.連

接2C,以A為圓心，4C為半徑畫弧交4D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積是.

【答案】2

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，圖中陰影部分的面積=扇形4EC的面積-VADC的

面積+正方形2BCD的面積-扇形4DB的面積，據(jù)此計(jì)算即可.

根據(jù)正方形的性質(zhì)和扇形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,

???AB=BC-AD=CD=2,乙BAD=90°,Z.DAC=45°,

AC=y/2AB=2V2,

???圖中陰影部分的面積=[竺也包一3x2x2]+（2x2—膽殳）=2,

3602\360）

故答案為：2.

鞏固訓(xùn)練

26

1.（24-25九年級(jí)上?江蘇南京?階段練習(xí)）如圖，將半徑。8=4的半圓繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30。，此時(shí)點(diǎn)

A到了點(diǎn)4,則圖中涂色部分的面積為.

【分析】本題考查求陰影部分面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.利用5碇=5平9,B+S康物B4,一

S半圓AB=S扇形ABK，進(jìn)行求解即可?

【詳解】解：??,半徑OB=4的半圓繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30。，

:半圓A'B=S半圓AB，/-ABA'—30°,

:-S陰影=S半圓A，B+S扇形ABA'-S半圓AB

=S扇形ABA'

307rx（2x4）2

=360

16

=~n'

故答案為：

2.（2024.廣東清遠(yuǎn).模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形4BC中，以48為直徑構(gòu)造半圓，則圖中陰影

部分的面積為.

【分析】連接。。，OE,DE,根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)求出△4。。、4BOE、ACDE是邊長(zhǎng)相等的等邊

三角形，再根據(jù)陰影部分的面積=SACDE+S羸的4D-SAOAD=S嬉影04D求解即可.此題考查了扇形的面積、

等邊三角形的性質(zhì)，熟記扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

27

【詳解】解：如圖，連接。。，OE,DE,

???ABAC=/-CBA=Z.ACB=60°,AB=AC=BC=3,

???以48為直徑構(gòu)造半圓，

3

,-.OA=OD=OB=OE=-,

2

AOD、△BOE是等邊三角形,

:.AD=OA,BE=OB,

3

:.CD=CE=-,

2

COE是等邊三角形，

3

：.DE=-=AD=BE,

2

S〉CDE=S^OAD'

A$弓形DE=S扇形ODE-S^ODE=S弓形AD=S弓^BE，

???陰影部分的面積=S.8E+S扇形.-SiS扇^M=＞，

故答案為：|TT.

o

3.（24-25七年級(jí)上.重慶?開學(xué)考試）如圖所示，在直角三角形4BC中，AB=6cm,BC=15cm,從中剪掉

兩個(gè)半徑相等的扇形，求陰影部分的面積為_____cm??（結(jié)果保留兀）

【分析】本題主要考查了直角三角形的面積和扇形的面積的計(jì)算，用直角三角形的面積減去兩個(gè)半徑相等

的扇形的面積，就是剩余部分的面積.

1

【詳解】解：6x154-2-67rx4-

28

=45—9TT,

故答案為：45-9/r.

壓軸題型三用與圓的位置關(guān)系解決問(wèn)題

例3.（24-25九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）如圖，RMABC中，乙4cB=90°,AC=4,AB=5,。是AC上

一點(diǎn)，E是BC上一點(diǎn)，DE=3,若以。E為直徑的圓交4B于M、N點(diǎn),則MN的最大值為cm.

A

:

【答案】Y

【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、勾股定理以及軌跡等知識(shí)，況1圖，作。于CK_L48于

,____________3

K,由題意〃％=2〃"=25/0河2_0*,OM=-,推出欲求MN的最大值,只要求出的最小值即可.

【詳解】如圖，連接?！埃?H14B于H,CK1XBTK,

A

?.?MH=HN,

MN=2MH=2^OM2-OH2,

???乙DCE=90%OD=OE,

3

OC=OD=OE=OM=-,

2

??欲?求MN的最大值，只要求出?！钡淖钚≈导纯桑?/p>

3

0C=?

.??點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，|為半徑的圓，

29

在RS/CB中，AC=4fAB=5,

BC=3,

ii

???-AB?CK=-AC?BC,

22

:.CK=—,

5

當(dāng)C、O、H共線，且與CK重合時(shí)，OH的值最小，

103Q

??.?！钡淖钚≈禐椤?5=而，

的最小值為2J?]—舄J=甘，

故答案為：蓑.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?安徽合肥二模）已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為4（—2,6）、B（6,-2）、C（-2,-2）,點(diǎn)尸為△

ABC邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PQ,我們把線段P2的最小值稱為“點(diǎn)。到△ABC的距離”，記

為d=\Q,AABC\.

（1）若。在原點(diǎn)。時(shí)，d=；

（2）若點(diǎn)。是以點(diǎn)M（30）為圓心，以1為半徑的OM上一動(dòng)點(diǎn)，且d=l,則t的取值范圍是.

【答案】2t=-4或0wtW4-2近或t=4+2或

【分析】本題考查的是點(diǎn)和圓的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離，解題關(guān)鍵是分情況畫出相應(yīng)圖形，

（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)推出平行，用待定系數(shù)法求出直線4B表達(dá)式，進(jìn)而求出原點(diǎn)到4B距離；

（2）根據(jù)題意分三種情況討論，結(jié)合圖形找出臨界點(diǎn)，利用三角函數(shù)求出關(guān)鍵線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)

圓心坐標(biāo).

【詳解】解：（1）作。于點(diǎn)〃，如下圖，

30

-2）、C（—2，—2）,

???原點(diǎn)Q至必的距離都是2,

設(shè)直線AB表達(dá)式為y=%%+"把4（-2,6）、B（6,-2）代入,

—2k+h=6

6fc+b=-2

解得：｛k'=-l

h=4

?,?直線AB表達(dá)式為y=—x+4,

當(dāng)％=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)％=4,

???E(4,0),F(0,4),

??.OE=OF=4,

EF=J42+42=4V2

11廠

???S&OEF=-X4X4=-X4V2xOH

???OH=2V2>2

當(dāng)。在原點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)。到△ABC的距離最小值為d=2,

故答案為2；

(2)O用與4ABC位置關(guān)系有三種情況：

31

①OMl在A48C左側(cè)，此時(shí)Qi到AB的距離d=l,

???OMi半徑為1,

Mi。=1+1+|-2|=4,

則1=-4；

②O“2，OM3在△ABC內(nèi)部，

當(dāng)圓心用2正好在原點(diǎn)時(shí)，&到4B的距離d=1,

則f=0,

作M3GI/IC于點(diǎn)G,(23到4B的距離d=l,

M3G=1+1=2,

???4(-2,6)、B(6,-2)、C(-2,-2),

??.acily軸，BCIIX軸，