吉林省吉林市普通中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級上冊第一次模擬測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

吉林市普通中學(xué)2024-2025學(xué)年度高中畢業(yè)年級第一次模擬測試

數(shù)學(xué)試題

說明：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，貼好條形碼.

2.答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，用0.5毫米的黑色簽字筆將答案

寫在答題卡上.字體工整，筆跡清楚.

3.請按題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效；在試卷上、草紙上答題無

效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一個是符合題目要求.

1.已知復(fù)數(shù)Z=l+1,則"()

A.0B.1C.72D.2

【答案】C

【解析】

【分析】先求z的共軌復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的計算公式求解即可.

【詳解】由2=1+1，則亍=1—i，

則|z|=yjl2+(-1)2=拒,

故選：C.

2.“cosa<0”是“角a為第二象限角”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件，結(jié)合三角函數(shù)在各象限的符號得解.

【詳解】因為cosa<0,所以a可能為第二、第三象限角，也可能終邊在x負半軸上，

推不出a為第二象限角，但是角a為第二象限角，能推出cosa<0,

所以“cosa<0”是“角a為第二象限角”的必要不充分條件.

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故選：B

3.已知/={—2,—1,0,1,2},5={xeN|x2e^},則2口3=()

A.{1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}

【答案】B

【解析】

【分析】解出集合8,根據(jù)集合交集運算可求解.

【詳解】根據(jù)題意可知集合3元素，xeN且則x=0或x=l,

所以集合5={0,1},則4c5={-2,-1,0,1,2}n{0,l}={0,l}.

故選：B

4.已知向量￡=(/+1,—1),右=(2,1),則()

A.若"〃3，貝!|Z=—'B.若"〃刃，則/=1

2

31

C.若則/=—aD.若°_1_3,貝！!/=一萬

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量共線與垂直的坐標公式計算即可.

【詳解】對于AB,若之/后，則Z+l=-2,解得/=—3,故AB錯誤；

對于CD,若a6，則a=2(/+1)—1=0,解得/=—萬，故C錯誤，D正確.

故選：D.

5.在△48C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A=2B,2a=36,貝i]cos8=()

3V52V7

A.-B.—C.-D.—

4334

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦定理即二倍角公式可求COSB的值.

【詳解】因為2a=36,由正弦定理2sin/=3sinB,又A=2B,所以

2sin25=3sinB=>4sinScos5=3sinS,

3

因為8為三角形內(nèi)角，所以sinBwO,所以4cos8=3=>cosB=—.

故選：A

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a—a

6.已知等差數(shù)列｛log3%｝的公差為1,則士工=（）

A.1B.3C.9D.27

【答案】D

【解析】

a

【分析】由題意得3=3,從而對所求式子進行變形即可求解.

an

【詳解】由題意log3%+iTog3%=log34包=ln4'=3，

anan

所以"*=33（%一曰）=27.

牝一。2。5—。2

故選：D.

7.設(shè)樣本數(shù)據(jù)不，/，…，、2024的平均數(shù)為口標準差為S,若樣本數(shù)據(jù)4再+1,4%+1,…，4X2024+1

的平均數(shù)比標準差少3,貝的最大值為（）

A.1B.V2C.4D.472

【答案】C

【解析】

【分析】由平均數(shù)、標準差的性質(zhì)結(jié)合已知條件得I=s—1，從而s2+^=s2+s—12—J,由此能求出

【詳解】樣本數(shù)據(jù)為，/，…，》2024的平均數(shù)為標準差為S,

樣本數(shù)據(jù)4占+1,4x2+1,4》2024+1的平均數(shù)為n+1，標準差為4s,

依題意有4x+l=4s-3，得x=s—l，

由5之0，5,2+X=52+5,—1>—1?

所以1=4，即s=0時，儀的最大值為4.

故選：C.

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8.已知函數(shù)/(x)=2sin(3x+°)(①>0,0<"<|")的部分圖象如圖所示，若函數(shù)的圖象關(guān)

于了軸對稱，則冏的最小值為()

【答案】B

【解析】

(SJTJT\ISJTSJTJTA

【分析】根據(jù)圖象得到/(x)=2sin［彳］+卜從而有/(x+8)=2sin［彳］+彳8+,再根據(jù)題設(shè)

44

得到。二一+—左，左￡Z,即可求解.

155

【詳解】由圖知，/(O)=2sin°=l,得到sin°=，，又0<e<］,所以°=巴,

226

22it571

又由“五點法”作圖知，第三個點為(一,0),得到一口+―=兀，解得@=——，

3364

所以/(%)—2sinf—x+—,則/(x+8)=2sinf—x+—0+—,

又/(x+e)的圖象關(guān)于y軸對稱，則乎+得到6=2+1■左，左eZ,

48?14

令k=0,得到6=一,令k=—l,得到。=一2,所以。的最小值為一，

15151115

故選：B.

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

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9.下列不等式成立的是（）

A.若ac2>be2，貝1Ja>6B.若。>6,貝ijac2>be2

C.若。（廣之會/，貝ij°之方D.a>b,貝1Jac226c?

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A,由特殊值°2=0時可判斷BC,分類討論結(jié)合不等式性質(zhì)判斷D.

【詳解】對于A,若ac?>b*，由不等式性質(zhì)，兩邊同乘以1〉0,可得。>6,故A正確；

c

對于B,若a>b,當02=0時，ac2=be2>故B錯誤；

對于C,當。=0]=1,。2=0時，422A2成立，但aNb不成立，故C錯誤；

對于D,若aNb,當。2>（）時，由不等式性質(zhì)知ac226c2,

當02=0時，ac2=bc2,不等式也成立,

綜上，若aNb,則ac226c2,故D正確.

故選：AD

10.如圖，在△/BC中，點。為的中點，點E為ZC上靠近點A的三等分點，AB=2,AC=3,

B.左是君在衣上的投影向量

—?2—?1—-

C.DE=-BA——BCD.BG=-BE

365

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運算及向量數(shù)量積的幾何意義與運算律可判斷各選項.

【詳解】A選項：由近;二衣—萬，則

回2+AB2-Z4B-AC=^32+22-2x2x3x1=6，A選項錯誤;

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B選項：由向量數(shù)量積的幾何意義可知荔在太上的投影的數(shù)量為|與卜osNR4c=2x1=l,

又點E為AC上靠近點A的三等分點，即|詬卜m正卜1,

即畫3/切0=網(wǎng)，

所以，斤是君在北上的投影向量，B選項正確;

—?->--1—-2—*1--2/---2--1--

C選項：DE=DC+CE=-BC+-CA=-BC+-(BA-BC]=-BA——BC,C選項正確;

~2323、>36

--?--?--*--?]---?

D選項：設(shè)瓦5=x而，又點G在4D上，可設(shè)3G=xR4+(l—x)3￡)=xA4+w^5C,

又標=反+諼=反+—同-前、=—瓦+—灰,

3、'33

——?—?2九一-1——■

則BG=XBE=—BA+-BC,

33

1

-2=x%二一

則：3?，解得<2

11-x

—A0=--

132

—?3—?

即BG=—D選項錯誤；

4

故選：BC.

11.已知函數(shù)/(》)=不一，貝u()

ex

A./(x)是周期函數(shù)

B.-1</(%)<1

C./(x)在(0,兀)上恰有1個極值點

D.關(guān)于x的方程/(x)=；有兩個實數(shù)解

【答案】BCD

【解析】

【分析】結(jié)合周期函數(shù)的特點可判斷A項；運用函數(shù)放縮，再結(jié)合函數(shù)y=e*-x的性質(zhì)可判斷B項；二

次求導(dǎo)，再運用零點存在定理可判斷C項；分段研究可判斷D項.

【詳解】對于A項：由于y=sinx具有周期性，而歹=/-》不具有周期性，

所以函數(shù)/(x)=F—不是周期函數(shù)，故A錯誤；

ex

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對于B項：因為函數(shù)〉=/-工定義域為R,且j/=e*—l，

所以當xe(O,+s)時，/>0,y=e，-x單調(diào)遞增；

當xe(-oo,0)時，y'<0,y=e"-x單調(diào)遞減.

所以y=e￡—x2e°—0=l,且x——00或x—+00時，j=ex-x+co,

一…|sinx|1

所以L_L<—

ex-xex-x

TT

又因為第一處等號成立的條件是x=Qi+Q,(keZ),

第二處等號成立的條件是x=0,所以兩處等號不能同時成立，

所以包1<1,所以_1(網(wǎng)王<1,即—1</(耳<1,故B正確；

e「xex-x

對于C項：因為/,(x)「°sxe-X)-

JC-X)

設(shè)g(x)=cosx(er-x)-sinx(eY-1),xe(0,兀)，

則g'(x)=-sinx(er-x)-exsinx<0,所以g(x)單調(diào)遞減，

又因為g(0)=1>0，g(兀)=-e-兀)<0,

所以g(x)=c0sxe—x)—sinx(e*-1)在(0,兀)上有且僅有一個變號零點,

即/'(久)有唯一的零點，

所以/(X)在(0,71)上恰有1個極值點，故C正確；

對于D項：因為4)=孝(1_：)>0,g^=-(e?-l)<0,

且g(x)在(0,兀)上單調(diào)遞減，

所以存在/，使g0o)=。，

所以當Xe(O,X0)時，g(x)>0；當xe(%,兀)時，g(x)<0.

所以當xe(0,x。)時，/'(久)>0，/(x)單調(diào)遞增；

當X€(%,兀)時，f,(x)<0,/(X)單調(diào)遞減.

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所以/"(0)=0</《)</(Xo)>f5)=0,

4-

—JI3

又因為e4——<e—1<3——,

4V2

71

所以也(亞-巴)<3，

4

所以y=fO)與了=；在(0,兀)上有兩個交點,

所以方程/(1)=；有兩個實數(shù)解.

當xe(3,+oo)時，=

又因為砂-x>e3-3>2.73-3>3,

所以|/(x)|=J-----L<———<-,

ex-xex-x3

所以方程/(》)=^在(3,+8)上無實數(shù)解.

當xe(—匹0)時，/(x)<0,方程/(x)=；在(—71,0)上無實數(shù)解.；

當xe(-co,-3)時，(x)|=\smx\<_J_,

-xe-x

又因為e%—x>e-3+3>3,

所以方程/(可=；在(-哂-3)上無實數(shù)解.

綜上可知關(guān)于x的方程/(x)=§有兩個實數(shù)解，故D正確.

故選：BCD

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中14題的第一空填對得2分，第

二個空填對得3分.

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12.中國成功搭建了國際首個通信與智能融合的6G外場試驗網(wǎng)，并形成貫通理論、技術(shù)、標準和應(yīng)用的全

產(chǎn)業(yè)鏈創(chuàng)新環(huán)境.某科研院在研發(fā)6G項目時遇到了一項技術(shù)難題，由甲、乙兩個團隊分別獨立攻關(guān).已知甲、

乙團隊攻克該項技術(shù)難題的概率分別為0.8和0.7,則該科研院攻克這項技術(shù)難題的概率為.

47

【答案】0.94##——

50

【解析】

【分析】設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)對立事件結(jié)合獨立事件求尸月），即可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)甲、乙團隊攻克該項技術(shù)難題分別為事件48，

則P（4）=0.81（B）=0.7,

可得P（次）=P（N）P（豆）=1——P⑻]=（1—08）（1—0.7）=0.06,

所以該科研院攻克這項技術(shù)難題的概率為1-0（彳萬）=0.94.

故答案為：0.94.

13.已知集合2=卜卜=2〃,〃€?4*｝,8=｛x|x=3",〃eN*｝,將中所有元素按從小到大的順序排

列構(gòu)成數(shù)列｛%｝，則數(shù)列｛%｝的前20項和為.

【答案】345

【解析】

【分析】明確/UB中的元素，了解數(shù)列｛4｝前20項的構(gòu)成，可求數(shù)列｛4｝的前20項的和.

【詳解】由題意，數(shù)列｛%｝的前20項為：2,3,4,6,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,

28,30,32,34.

所以數(shù)列｛%｝的前20項的和為：

_17（2+34）

J2。------------F3+V+2/—.

故答案為：345

14.已知函數(shù)/（x）='二—e3g（x）=2三—Inx的零點分別為X],%，且西〉2,%>2,則

x—2x—2

1

西------_________；若。<、2-西恒成立，則整數(shù)。的最大值為______.

“2—2

（參考數(shù)據(jù)：In2ao.7,In3kl.1,1117ML95,11117a2.8.）

【答案】①.2②.6

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【解析】

【分析】利用函數(shù)圖象的對稱性，得點(西,爐)與點(x2,lnx2)關(guān)于直線V=x對稱，則有

2-=e'=%,2H-=lnx2=X,所以西—=2；x2—x1=x2—2—,由已知參

X]—2x2-2x2-2x2-2

考數(shù)據(jù)利用零點存在性定理可得8.5<%<9,可求%一再的范圍得整數(shù)。的最大值.

【詳解】函數(shù)y=一1與兩函數(shù)_)；=6"y=ln%圖象的交點的橫坐標即為/(x)和g(x)的零點，

反比例函數(shù)y=L的圖象關(guān)于直線y=x對稱，

X

函數(shù)歹=—匚=2+——的圖象，可以由>=工的圖象向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到，

x—2x—2x

2y_71

則對稱直線為y=（x—2）+2=x,函數(shù)y=——=2+——的圖象關(guān)于直線y=x對稱,

x—2x—2

又函數(shù)y=e"與歹=lnx互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線丁=1對稱,

當國>2,%>2時，有點與點(%2，拈%)關(guān)于直線y=x對稱,

c1,1

則有2+—=-2+7噸"'

1c

所以國——2；

x2-2

_c1,/、2x—31

%2-陽二、2-2--------,由g（x）---------Inx,

%-2''x-2

§（8.5）=^^^-^8.5=--In—=--（Inl7-ln2）?—-（2.8-0.7）>0,

8.5—26.521313

2x93

g（9）=--ln9=--21n3^--2.2<0

-9-277

利用零點存在性定理可得8.5<x<9,故6.5------<x—x<7—,

26.5217

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11

又6.5—布＜6,7),7-ye(6,7),若。〈聲一再恒成立，則整數(shù)。的最大值為6.

故答案為：2；6.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：

2r-3

本題關(guān)鍵點是：函數(shù)y=--------的圖象關(guān)于直線V=%對稱，函數(shù)歹二e'與歹=Inx的圖象關(guān)于直線V=%對

x-2

稱，可知點(西,11)與點(9,111%)關(guān)于直線＞?=》對稱，得到2+」^=eM=%,2+」^=山2=西.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.在新時代改革開放的浪潮中，吉林省踐行習(xí)近平總書記“綠水青山就是金山銀山，冰天雪地也是金山銀

山”的發(fā)展理念，繪就了“一山一水一通道”的四季旅游璀璨畫卷，形成了“一山兩湖三江四季”的旅游IP

矩陣.吉林某校為促進學(xué)生對家鄉(xiāng)山水人文的了解，組織學(xué)生參加知識競賽，比賽分為初賽和決賽，根據(jù)

初賽成績，僅有30%的學(xué)生能進入決賽.現(xiàn)從參加初賽的學(xué)生中隨機抽取100名，記錄并將成績分成以下6

組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如下圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中。的值，并由此估計進入決賽學(xué)生的初賽成績最低分;

(2)從樣本成績在［60,90)內(nèi)的學(xué)生中，用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取6人，再從這6人中任意抽

取2人訪談，求至多有一人成績在［60,70)內(nèi)的概率.

【答案】(1)a=0.020,72.5；

(2)

5

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率直方圖頻率和為1即可求出。的值，根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合百分位數(shù)的方法即可求

進入決賽學(xué)生的初賽成績最低分；

(2)首先利用分層抽樣得到抽取成績在［60,70)的人數(shù)，再利用古典概型結(jié)合對立事件概率的求法進行求解

即可.

【小問1詳解】

第11頁/共18頁

由題（0.010+0.025+0.030+。+0.010+0.005）x10=1,解得a=0.020,

根據(jù)初賽成績，僅有30%的學(xué)生能進入決賽，

又成績在［80,100］的頻率為（0.01+0.005）x10=0.15<0.3,

成績在［70,100］的頻率為（0.02+0.01+0.005）x10=0.35>0.3,

因此可估計進入決賽學(xué)生的初賽成績最低分〃應(yīng)該在［70,80）之間，

則（80-n）x0.020+0.15=0.30,解得n=72.5.

【小問2詳解】

由成績在［60,70）的頻率為0.30,在［70,80）的頻率為0.20,在［80,90）的頻率為0.10,

則從樣本成績在［60,90）內(nèi)的學(xué)生中，用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取6人中,

0.30.2+0]

在［60,70）的人數(shù)為：6x=3（人），在［70,90）的人數(shù)為6x二3人,

0.3+0.2+0.10.3+0.2+0.1

C24

則從這6人中任意抽取2人訪談，至多有一人成績在［60,70）內(nèi)的概率為P==

3

16.已知察函數(shù)=（aeR）的圖象過點（9,3）.

（1）求關(guān)于x的不等式/（2x—l）</（x）的解集；

（2）若存在x使得/（x）,八忑x）,/（Inx）成等比數(shù)列，求正實數(shù)f的取值范圍.

⑵?

【解析】

1

【分析】（1）由幕函數(shù)過定點解出/（x）=x5,再由單調(diào)性解不等式即可；

（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)列出等式，再分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，從而得到結(jié)果;

【小問1詳解】

因為幕函數(shù)/（"=廿（aeR）的圖象過點（9,3）,

所以3=9。，解得夕=；，

第12頁/共18頁

1

所以/(力=門，定義域為x20,且為增函數(shù),

2x-l<x

因為/(2x-所以<x?0,

2x-l>0

解得L?x<l,

2

所以不等式的解集為1,lj.

【小問2詳解】

由題意可得f2(VFxj=f(x)-/(Inx),

即CxJinx=(，"x)，x〉l,/〉O

口rInx

即，二---，

x

所以，二--y—,令%'=Onx=e,

x

所以當x￡(l,e］時，f>0,方為增函數(shù)；x￡(e,+8)時，t'<0,/為減函數(shù),

所以,max=一，

e

所以正實數(shù)t的取值范圍為I0,1

17.已知等差數(shù)列｛冊｝的前〃項和為S”，滿足電+早4=1。，\=36?

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

(2)求數(shù)列的前2〃項和笈2.；

(3)求數(shù)列|:1的前〃項和北.

【答案】(1)an=2n-l

(2)H,“=—2n”—n

en~+2n

【解析】

第13頁/共18頁

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式及前〃項和公式可得解;

（2）利用并項求和的方法可得解；

a+22〃+111

（3）由@2,2一=~一八7,利用裂項相消法可得解.

Sn-Sn+1〃一（〃+1）〃（"+1）

【小問1詳解】

由已知數(shù)列｛冊｝為等差數(shù)列，

則1，解得1，

苗6=61+15d=36[d=2

所以%=%—=2/1-1；

【小問2詳解】

由⑴得%=2〃一1,則$“=（%+%）〃=〃2,

則H2n=E-S2+S3-S4+.??+S2n「S2rl

=12-22+32-42+---+(2?-1)2-(2?)2

二(1-2)(l+2)+(3-4)(3+4)+…+[(2〃-1)-2〃](2〃-1+2”)

(1+2〃卜2〃

2

=—2〃2-n；

【小問3詳解】

?！?22/2+111

由(1),(2)得77+1)2n2(〃+『

.111111

所球+/鏟+...+/一

〃+1『

1(〃+以

n2+2〃

FT

18.在△ZBC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,tan/=3tanC.

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jr

(1)若。=一，b=tanB,求△ZBC的面積S；

(2)求證：2a2-2c2=b2;

(3)當tanA-------取最小值時，求tanC.

tan5

3

【答案】(1)-

2

(2)證明見解析(3)-

3

【解析】

【分析】(1)先由C=:得到tan/的值，再結(jié)合tanB=—tan(4+C)得到tanB,根據(jù)正弦定理得到

最后由三角形面積公式S=sinC可得結(jié)果；

2

(2)由同角三角函數(shù)的關(guān)系和正余弦定理，化簡即可證明；

(3)利用tan5=-tan(/+C)和tan/=3tanC,將tan8表示為,代入tan/---------，化

''tan2TI-3tan5

簡可得均值不等式，計算求解即可.

【小問1詳解】

由題意，tan=3tanC=3tan—=3,則sinZ=3y,

tanA+tanC

tanB=—tan(4+C)=—=2,則sin3=

1-tanAtanC1-3x1

3V10

bsmA_*J。_3后

所以6=tanB=2,a=

3

所以AABC的面積S=—absinC=—x

222

【小問2詳解】

cosAcosC3sinCcosC3c

b2+c2-a

由余弦定理得:2bc

a1+b--c2a2+b2-c2)3c

2ab

化簡得：b2+2c2-2a2=0>BP2a2-2c2=b2.

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【小問3詳解】

由tan/=3tanC,可得

/1A

tanZ+—tanZ.x/

tanA+tanC44tan/「

tanB=—tan(4+C)=—------------：-------=—^―-——，又tan4>0,

1-tanAtanC1—4tanA4,—14tanAAtanA—3

3

匚匚[、i1tanA—333333

所以tanA--------=tanA---------------=—tanA+--------->2J——=一，

tan54tan/44tan/V442

當且僅當tanA=一--,即tan4=1時取等號，

tanA

止匕時tanC=-tanA——x1=—.

333

2

19.已知函數(shù)=——-+tzx3+/?(x+l)-l,a,Z)eR.

(1)當a=0時，若/(x)在點(O,/(O))處的切線方程為y=|x+加，求實數(shù)加的值;

(2)⑴證明：曲線y=f(久)是中心對稱圖形；

(ii)若/(x)>l當且僅當x〉0,求。的取值范圍.

【答案】(1)3(2)(i)