幾何法求空間角與空間距離-2025年高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第06講幾何法求空間角與空間距離

（5類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究?

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5-15分

【備考策略】1.掌握等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)面距

2.掌握等幾何法求異面直線所成角

3.掌握等幾何法求線面角

4.掌握幾何法求二面角

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般在解答題中考查空間距離和空間角的求解，需強(qiáng)化鞏

固復(fù)習(xí).

GN.考點(diǎn)梳理。

考點(diǎn)5范圍與最值問(wèn)題

知識(shí)講解

一、異面直線所成角

1.定義：已知兩條異面直線a,h經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)。作直線以/a,b'〃b,我們把a(bǔ)'與b'所成的銳角（或直角）叫

做異面直線a與6所成的角（或夾角）

2.范圍：（0,,.

3.平移兩異面直線使它們相交，轉(zhuǎn)化為相交直線所成角；

二、直線與平面所成角

1.定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫這條直線和這個(gè)平面所成的角。

1

2.范圍：［0，T

3.求法：

（1）由定義作出線面角的平面角，再求解：

（2）在斜線上異于斜足取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)到斜足的距離（設(shè)為I）和到平面的距離（設(shè)為d）,則sin。=

式p為線面角y,

二、二'^角

1.定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足,

分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，則兩射線所成的角為二面角的平面角。

2.范圍：［0,7r］.

3.求法：

（1）定義法：

利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，兩

射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法。要注意用二面角的平面角定義的三個(gè)“主要

特征”來(lái)找出平面角。

（2）三垂線法：

已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角。

（3）垂面法：

已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可

知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直。

（4）射影面積法：

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公

式（cose=獸=沁匕如圖）求出二面角的大小

5斜SAABC

2

A

四、空間距離

點(diǎn)面距可轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積求解

考點(diǎn)一、幾何法求點(diǎn)面距

中典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱/8C-48c中，所有棱長(zhǎng)均為1,則點(diǎn)與到平面/3G

【答案】上

7

【分析】

解法一：根據(jù)等體積法，即七列出方程解出距離即可；解法二：通過(guò)面面垂直的性質(zhì)定理

得CD,平面/8G，最后計(jì)算CD長(zhǎng)即可；解法三：建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面

距離.

【詳解】

解法一：設(shè)點(diǎn)用到平面43G的距離為d.在△々G中，4?]=亞，邊上的高為也，點(diǎn)4到平面BCG4

2

51

的距離為三，△BBC1的面積為].

~—5-<7=-X—X^-,因止匕1,

3,3227

故點(diǎn)Bx到平面ABC,的距離為立1.

7

解法二：如圖所示，取N3的中點(diǎn)連接CMCXM,過(guò)點(diǎn)。作COJ_CM，垂足為D

；C/=C|B,M為N2的中點(diǎn)，，6加上/瓦?.?C4=C5,M為的中點(diǎn)，.J,四.

3

?：CXMoCM=M,C|M,CNu平面CjCM,,平面C|CM,

又/8u平面/8G，故平面平面C]CM.

???平面ABCXI平面CXCM=C\M,CD1CXM,CDu平面QCM,/.CD±平面ABC,.

因此CD的長(zhǎng)度即為點(diǎn)C到平面Z8G的距離，也即點(diǎn)用到平面43G的距離.

在RIAGCM中，QC=1,C1M=[，因此CO=卓.

故點(diǎn)A到平面/Bq的距離為叵.

7

----------渦

A

解法三：如圖所示，取8c的中點(diǎn)O,連接NO.；48=/C,NOL8C.

以。為原點(diǎn)，OC,04所在直線分別為x軸和y軸，過(guò)點(diǎn)。且與CCj平行的直線為z軸建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，

8-”。，

從而西=(0,0,1),AB=-,0,西=(1,0,1).

/、n-AB=0,—X----=

設(shè)后=(x/,z)為平面N3G的一個(gè)法向量，貝"——即22

"g=0,[x+z=o

令x=6,得y=-l,z=-6,貝!]力=(百,一1,-6).

|函.萬(wàn)|、反、研

故點(diǎn)發(fā)到平面ABC,的距離為=卑=旦.

1二"=力

故答案為:

A\

y

4

2.（23-24高三上?河北?期末）已知正方體/BCD-44G〃的棱長(zhǎng)為2,G為線段與，上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)B到平

面G/D距離的最小值為（）

A.1B.s/^2,C.5/3D.2

【答案】B

4

【分析】根據(jù)棱錐的體積公式求得％一9=§,再根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化法/TGD=兀TBD，確定靈MG的最大值，

即可求得點(diǎn)B到平面GZD距離的最小值.

1114

【詳解】由題意得七_(dá)"m=§'邑'加"4=§義5、2*2義2=^，

14

設(shè)點(diǎn)B到平面GAD的距離為h,則由等體積轉(zhuǎn)化法為VB_AOD=]XS.-h=VG_ABD=-,

當(dāng)G與四重合時(shí)，最大，最大為gx2x20=2后,

4

此時(shí)萬(wàn)最小，為公方=A/2.

故選：B.

3.（2024?遼寧丹東?一模）已知球。的直徑為48,C,。為球面上的兩點(diǎn)，點(diǎn)M在AB上，且

48,平面MCD,若是邊長(zhǎng)為名的等邊三角形，則球心。到平面8。的距離為.

【答案】警

【分析】根據(jù)球的截面性質(zhì)，可得球的半徑為2,將球心O到平面8CO的距離轉(zhuǎn)化為為M到平面BCD的距

離的2倍，進(jìn)而根據(jù)等體積變換可得.

【詳解】因?yàn)?5為球。的直徑，所以

故球心0到平面BCD的距離即為M到平面5CZ）的距離的2倍,

如圖

設(shè)球的半徑為R,由題意可知OD=2OM=R,

由。刀2=O”+〃o2,MD=4i,可得8=2(W=2,故現(xiàn)f=l

5

如圖,

B

BELCD,S.BE=yjBD2-DE2=

設(shè)M到平面BCD的距離為〃，則由VB_MCD=VM_BCD可得,

-x-xMCxMDxsin-xBM=-x-xCDxBExd,

32332

得LLgxGx立xl，、6x巫xd,得公嚕

322322

則球心。到平面BCD的距離為Ml,

13

故答案為：小叵

13

4.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在長(zhǎng)方體48。"同。2中，AB=4Ai=2BC=2,則異面直線以。/與CD

的距離為;異面直線BDi與CD的距離為.

【答案】2辛

【詳解】解析：（定義法）由正方體得DDL平面所以DDdBQi.又DDdCD,所以。D是異

面直線瓦。/與CD的公垂線段.又DDi=2,所以異面直線氏D與CO的距離為2；

（轉(zhuǎn)化法）因?yàn)镃D〃/瓦ABDi,ABc^ABDi,所以CD〃平面48。/,所以CD到平面

的距離就是異面直線3a與CD的距離，即點(diǎn)。到平面/2D的距離就是異面直線3n與CD的距離.設(shè)

距離為〃，由題得4D/=\/2；'+P=Jj.因?yàn)閂DiABD=PTM&D/,所以;x|x2xlx2=；x!x2x5x/?,所以〃=今￡,

所以異面直線2。與CD的距離為班.

【考查意圖】定義法、等積法求點(diǎn)到平面的距離，定義法、轉(zhuǎn)化法求異面直線間的距離.

即網(wǎng)投文

1.（23-24高三上?全國(guó)?階段練習(xí)）在直三棱柱N3C-4月G中，所有棱長(zhǎng)均為1,則點(diǎn)4到平面AS,的距

離為（）

6

7

C叵

*~6~

【答案】A

【分析】取的中點(diǎn)“，連接CM,可證CM,平面48四4,利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.

連接CM,

因?yàn)閂48c為等邊三角形，則

又因?yàn)榻?，平?BC,且CMu平面/BC,則CW_L44],

且48c/4=Z,u平面,可得CM_L平面/SB/1,

由題意可知：AB,=CB,=叵CM=—

2

設(shè)點(diǎn)4到平面AB,C的距離為d,

因?yàn)椤?第C=%-AAiBi,即Lxdx'xlx△xAxlxl,

32322

解得4=亙

7

所以點(diǎn)4到平面43c的距離為理.

故選：A.

2.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體/8CD-4B￡A，M,N分別是和8C的中點(diǎn)，則

到平面4G。的距離為（

nV6

A百rV3

A.------D.-----

332

【答案】c

【分析】延長(zhǎng)龍w交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接40，G。，由幾何關(guān)系證明九w到平面45。的距離即點(diǎn)。到

平面4CQ的距離，再由等體積法%TQG=七一8G求出結(jié)果即可;

【詳解】

7

DiG

4

D\-Q

延長(zhǎng)MN交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接40，CQ,AC,

因?yàn)镸,N分別是和3c的中點(diǎn)，則MN〃/C,

由正方體的性質(zhì)可得/C//4C，所以〃N〃4G，

又4Gu平面4。。，血wa平面所以MN//平面4G。，

所以九w到平面的距離即點(diǎn)。到平面4G。的距離，設(shè)為人，

則=叱「eg‘

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1,

所以。。=5，4D=Dq=AG=亞，,

所以'=§S”G,即gx'x（0）x〃=gx；x[xlxln〃=g,

故選：C.

3.（2024?河南?一模）如圖是棱長(zhǎng)均為2的柏拉圖多面體尸/BCD。，已知該多面體為正八面體，四邊形/BCD

為正方形，分別為P。、。。的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面OEB的距離為（）

Q

,二11

A.A/2B.1C.—D.—

?24

【答案】B

【分析】由三棱錐等體積法，可得囁一。仍=/一.8,運(yùn)算得解.

【詳解】連接/OME.由已知得OE為△尸C0的中位線，所以O(shè)E=1,

￡8為正三角形CB。的中線，所以EB=K，又OB=y/i，

所以￡笈=0爐+。爐，所以△。2￡為直角三角形，

16

所以sOEB=—OE,OB=J.

△UE822

8

因?yàn)镼￡=C￡,所以￡到平面/O8的距離為=g廳［百=*

設(shè)A到平面OE8的距離為d,

因?yàn)樨?OEB=^E-OAB,所以！S“OBE'd=-S'，

3AC/OC3AL0/ZAIOB2

4.（2024?陜西西安?三模）在四棱錐尸-/BCD中，平面尸_L平面ZBCD,〃CD,48_L8C,DC=3C=2,

AB=4.

⑴證明：BDLAP.

⑵若△尸/。為等邊三角形，求點(diǎn)C到平面P5Z）的距離.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

⑵更

2

【分析】（1）先證明再由面面垂直的性質(zhì)定理求解；

（2）過(guò)點(diǎn)尸作所以P。，平面/BCD,由體積法求解.

AR■rr

【詳解】（1）因?yàn)?BLBC,DC=BC=w=2,所以助=2百，ZDBA=^,

2

由余弦定理可得40=，,肝+陽(yáng)）『一2米司即［cos］=$6+8-2x4x2宓/2也，所以AD?+BD=

AB2,則4D_LAD.

因?yàn)槠矫媸?D_L平面/BCD，且平面上4Z>C平面4BCD=4D,/。u平面尸/。，

9

所以1平面PAD.

因?yàn)?Pu平面E4D,所以AD_L4P.

（2）過(guò)點(diǎn)尸作尸。_L4D,因?yàn)槠矫媸?D_L平面/BCD,且平面上40c平面/BCD=/。，所以尸O_L平面

ABCD.

因?yàn)殁頗=|/必=\PD\=2V2,\P0|=J（2逝『-（乃了=6,

在RtZ^BO中’名""亞X2后=4,而％6=92義2=2'

POSXX2

yPBCD=--\\-BCD=-^=--

r—DL,U3IIAZ>C￡/3'3

設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為h,VP_BCD=VC_PBD,

則，x4〃=，解得〃

323"2

所以點(diǎn)C到平面PAD的距離為好.

2

考點(diǎn)二、幾何法求異面直線所成角

?典例引領(lǐng)

1.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱柱/BCD-44GA中，"4=3/3,則異面直線為8與所

成角的余弦值為（）

【答案】B

10

【分析】平行移動(dòng)/。與48相交構(gòu)成三角形，指明乙4Hq或其補(bǔ)角就是異面直線4B與/。所成的角，在

三角形中由余弦定理解出即可.

【詳解】

如圖連接2G，4G,因?yàn)镹8CD-44G。為正四棱柱，

所以AB//GA且=G。，所以四邊形ABCXDX為平行四邊形，

所以,則443G或其補(bǔ)角就是異面直線4B與ADt所成的角,

設(shè)AB=1.則A1B=V10,BQ=Vw,AtCt=V2,

10+10-29

由余弦定理得：|cos/48G|=

2x1010

故選：B.

2.（2024?四川綿陽(yáng)三模）在梯形48co中，AB//CD,ABLBD,且|/同=忸。|=4,忸4=26,沿對(duì)角線2D

將三角形48。折起，所得四面體4-3CD外接球的表面積為32兀，則異面直線48與CD所成角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】根據(jù)折疊前后的幾何性質(zhì)，將三棱錐/-BCD補(bǔ)成三棱柱，利用三棱柱的外接球即可求得答案.

【詳解】如下圖，將梯形/BCD補(bǔ)成長(zhǎng)方形NECF,折后得到直三棱柱

因?yàn)橐酝?\BD\=4,\BC\=245,所以忸E|=|DC|=2,

異面直線AB與CD所成角即為與BE所成角，即/ABE或其補(bǔ)角,

又該三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，設(shè)外接球半徑為A,則4兀及2=32兀，

所以及2=8，設(shè)外接圓半徑為心圓心為a，△EDC外接圓圓心為外，

則三棱柱的外接球的球心為。。2的中點(diǎn)O,連接/。，則以。|=民以。||=『，

所以r=|/Oj=幅二函F=2,又2r=s：%E=4,即|/閔=4sin乙48E,

又AABE中，|N￡「=向「+［時(shí)-2\AB\-\BE\cosZABE,

BPi6sm2ZABE=16+4-2x4x2cos//8E，

,i

化簡(jiǎn)得（2cosN48￡-l）-=0,即cosNA8E=5，所以乙4BE=60°,

故選：C.

11

3.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱4G中，BB、=e,D,E濟(jì)別

為棱8c的中點(diǎn)，尸為棱N3上的動(dòng)點(diǎn)，且線段G尸的長(zhǎng)度最小值為石，則異面直線/C與。E所成角

V30

rD.叵

665

【答案】A

【分析】根據(jù)C/MJCC'+CF，=，2+LC2即可求解最小值時(shí)CF=JL即可求解”=2,利用平移可得

ZEDF為其補(bǔ)角即為異面直線AC與DE所成角，由余弦定理即可求解.

【詳解】由于三棱柱/8C-4月。為直三棱柱，所以C/_L底面/BC,。尸（=底面28。,所以。尸，。?"

故CF=7GC2+CF2=>J2+FC2,

故當(dāng)CF,48時(shí)，此時(shí)CF最小，線段C7的長(zhǎng)度最小值，

由于線段￡戶(hù)的最小值為石，故此時(shí)。尸=6，尸為45中點(diǎn)，故48=2,

連接。尸，則DF//AC,故NEDF為其補(bǔ)角即為異面直線/C與DE所成角，

DE=yjBD2+BE2=—J）F=1尸E=yjBF2+BE2=—,

22

DE?+DF?-EF?

cosZEDF=

2DEDF

故異面直線AC與DE所成角的余弦值為逅

6

故選：A

12

即時(shí)檢測(cè)

（________________________________

1.（2024?廣西桂林?三模）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉膈，在鱉席P-/8C

中，平面NBC,BC1CA,S.PB=BC=CA=2,W為尸4的中點(diǎn)，則異面直線AM'與ZC所成角的

余弦值為（）

A.變B."C.BD.旦

3434

【答案】C

【分析】如圖取尸C的中點(diǎn)N,可得MN//CA,即異面直線3M與/C所成的角為N&W,然后利用尸8_L

平面/8C,可得兩直角三角形的斜邊中線長(zhǎng)，從而得到求解.

【詳解】取PC的中點(diǎn)N,連接跖V、BN,如圖所示：

VM.N分別為刃、PC的中點(diǎn)，則〃。/且〃N=；C/=1,

.?.異面直線與/C所成的角為或其補(bǔ)角.

平面NBC,8Cu平面/8C,PB1BC,PC=^PB2+BC2=272-

：.BN=-PC=42,同理可得而=!尸/=石，BN2+MN2=BM2,

22

/.BNLMN,則cosZBMN=—=—,

BM3

故選:C.

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形是圓柱QU的軸截面，點(diǎn)E在圓。2上，若

AD=2A/2,AB=273,ZBAE=60°,則異面直線BO與NE所成角的余弦值為（）

13

V5Dy/5rV15nV15

105105

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)8作2尸||/￡,得到/D2尸為異面直線3。與4E所成的角或其補(bǔ)角，根據(jù)題意，證得砂，平

面40尸，得到再求得BD=2布,結(jié)合cos/DBF=獨(dú),即可求解.

BD

【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)8作8尸||/E,與圓Q交于點(diǎn)尸，

連接N尸,。尸，則NA8廠為異面直線8。與/￡所成的角或其補(bǔ)角.

而兩直線所成角在0,|內(nèi)，故異面直線8。與NE所成角的余弦值為|cos/DB刊.

由矩形48CZ)是圓柱。。2的軸截面，結(jié)合圓柱的幾何結(jié)構(gòu)特征，可得/O_L平面N5尸，且BFu平面尸，

所以5尸_1_40,

又由48經(jīng)過(guò)底面圓心。2，知48是底面直徑，從而

而/?？?尸=/,4D,/尸u平面/。尸，所以8尸_L平面尸，

因?yàn)镈Fu平面4D尸，所以

由/。=2皿，AB=26，NBAE=60°,可得N4Bb=60°,所以8b=；48=6.

又由BDVAD'AB?=2右，所以cosNDBF=三=虛==黑.

BD27510

從而異面直線BD與AE所成角的余弦值為|cos/Z)2F|=—，C正確.

1110

考點(diǎn)三、幾何法求線面角

典例引領(lǐng)

14

L（2024?全國(guó)?高考真題）已知正三棱臺(tái)/BC-44cl的體積為7，AB=6,AXBX=2,則4/與平面45C

所成角的正切值為（）

1

A.-B.1C.2D.3

2

【答案】B

【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高力=迪，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得

3

AM=型,進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)N3C-44cl補(bǔ)成正三棱錐尸-

3

4/與平面/2C所成角即為尸N與平面/2C所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得/TBC=18,進(jìn)而可求正三棱錐

尸-48c的高，即可得結(jié)果.

【詳解】解法一：分別取8C,與G的中點(diǎn)。,2,則AD=3和AR=6,

可知S"BC=gx6x6x￥=9G，色=；X2XG=。，

設(shè)正三棱臺(tái)A8C-44G的為〃，

則入/=；卜省+6+19d）A=y,解得人竽，

如圖，分別過(guò)4,2作底面垂線，垂足為M,N,設(shè)//=x,

2

則+4M2='X+y,DN=AD-AM-MN=2s/3-x，

22

可得DD[=^DN+D1N=?2艮J+y,

結(jié)合等腰梯形8CC4可得BB；=（與2；+DD；,

即/+1=（2如一》）2+?+4,解得》=￥，

所以AXA與平面ABC所成角的正切值為tanD//。=H"=1：

AM

解法二：將正三棱臺(tái)NBC-48c補(bǔ)成正三棱錐

15

則A{A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角,

因?yàn)閐=0A=J_,則生型L=J_,

PAAB3VP_MCT1

2652

可知％C-=枳Vp-ABC=9則^P-ABC=18,

設(shè)正三棱錐尸-4BC的高為d,則%"Re=9x；x6x6x/=18,解得d=2百，

取底面/BC的中心為。，則P。，底面N8C,且/0=26，

P0

所以尸/與平面ABC所成角的正切值tan/PAO=—=l.

AO

故選：B.

2.（23-24高三下?遼寧?階段練習(xí)）已知正四棱臺(tái)ABCD-4月。田的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2,4,體積為羽?,

3

則此四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）

Mn

VioD「岳

5544

【答案】B

【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的體積求出高，再求出側(cè)棱長(zhǎng)，最后由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.

【詳解】在正四棱臺(tái)ABCD-44CQ中，4呂=2,=4,令上下底面中心分別為Q、O,連接4Q,AO,

如圖,

則棱臺(tái)的高為由%34Bm=122+42+2x4）OQ=q，解得0。|=百，

在直角梯形/。。/1中，/。=2收，4。1=0,。。=6,

取“。中點(diǎn)E,連接4E,有4E//OQ,則4E_L平面48C。，/。匚平面/3。。，所以4E_L/。，

所以4E=OOi=右，AA}=JZE，+AE=J（亞『N百J=6，

16

又A.E1平面ABCD,則AAXAE是AA,與平面ABCD所成的角,

所以sin/4/￡=e^=P=①，即四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為姮.

MV555

故選：B

3.（2024高一下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，底面48。是邊長(zhǎng)為2的正方形，半圓面/尸。，底面4BCZ）,點(diǎn)P

為圓弧月。上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)三棱錐尸-BCD的體積最大時(shí)，PC與半圓面APD所成角的余弦值為.

BC

【答案】立心舊

33

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作OPL4D于點(diǎn)O,易得點(diǎn)尸位于圓弧4D的中點(diǎn)時(shí)，JD最大,證明CD，面尸4D，則

ZCPD即為尸C與半圓面APD所成角的平面角，再解RtAPCD即可.

【詳解】過(guò)點(diǎn)尸作OF，/。于點(diǎn)O,

因?yàn)槊?PO_L底面48CD,面/POP）底面=OPu面「4D,

所以O(shè)尸_L平面4BCD,

11?2

貝U限口=§><5乂2乂2-|。以=/。產(chǎn)區(qū)鼠

當(dāng)且僅當(dāng)|。尸|=1,即點(diǎn)P位于圓弧/。的中點(diǎn)時(shí)，匕力CD最大,此時(shí)。為NO的中點(diǎn),

因?yàn)槊鍭PD_L底面ABCD,面APDCl底面ABCD=AD,CD_L4D,CDu面ABCD,

所以CD_L面尸又PDu面尸NO,所以pr?_L。，

所以/CPD即為尸C與半圓面/PD所成角的平面角，

在RSPCD中，\CD\=2,\PD\=y/1+l=|=^+2=￡,

PDV3

所以cos/CPD=——=—,

4.（2024?遼寧大連?二模）已知一圓形紙片的圓心為O,直徑NB=2,圓周上有兩點(diǎn).如圖：OC工AB,

TT

乙4。。=:，點(diǎn)尸是防上的動(dòng)點(diǎn).沿A8將紙片折為直二面角，并連接尸O,PD,PC,CD.

6

17

pp

A

⑴當(dāng)45〃平面PC。時(shí)，求尸。的長(zhǎng);

（2）若OP，。。，求。尸與平面尸CD所成角的正弦值.

【答案】⑴5

(2)T

【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)定理得力8〃尸D,利用平行線的性質(zhì)及三角形性質(zhì)求解即可；

（2）方法一：利用面面垂直性質(zhì)定理得OC_L平面。OP,從而利用線面垂直的性質(zhì)定理得OC_L0D,

OCLOP,可求得CD=CP=PO=血，利用等體積法求得。到平面PCD的距離，利用線面角的正弦值求

解即可；

方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面尸8的一個(gè)法向量，然后利用向量法求解線面角即可.

【詳解】（1）:48〃平面PCD,48u平面POD,平面尸CAP!平面尸。。=尸。，

JT

則有AB//PD.所以NPDO=ZAOD=-,

6

又OD=OP=1,則尸D=20。cos/尸￡>。=2cos工=G.

6

(2)方法一：因?yàn)槠矫?OC_L平面OOP,平面NOCI平面。O尸=/3,

OCu平面/OC,OC1AB,所以O(shè)C_L平面D0P.

又OD,OPu平面。OP,則OC_LO。，OCLOP,

又OPLOD,由OC=。尸=OZ>=1,可得CD=CP=PD=G^

設(shè)。到平面PCD的距離為力因?yàn)槠咭?⑦=兀―。心，所以S/coXd=Sso加xC。,

所以拒d=Lxlxlxl,所以

2223

設(shè)。尸與平面s所成的角為。，則si“，二二回

OP13

故OP與平面PCD所成角的正弦值為力.

3

JTTT

方法二：VOPVOD,ZAOD=-,:.NPOB=—.

63

如圖，過(guò)點(diǎn)。作平面4BC的垂線OG,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC,OB,OG所在的直線分別為x,y,z軸,

18

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

(萬(wàn)］、

則。(1,0,0),D0,-^-,-

易知云二(1,0,0)是平面POD的一個(gè)法向量，

PCn=0

設(shè)平面尸CD的一個(gè)法向量為〃=(xj,z),則＜—,

C。?方=0

x——y-----z=0

日口22人o

即〈L>令了=-2得X=2+25Z=4+25

V31

-x------y+—z=0n

I22

則萬(wàn)=(2+2退,一2,4+26)，

設(shè)OP與平面PCD所成角的為。，

同sin3=|cos(O?,博卜一2+邸-2+2^

'lx“2+26'+(-2.+(4+2a16+2行3-

故OP與平面PCD所成角的正弦值為旦.

3

5.(2024?山西?三模)如圖三棱錐/-5CO,48=CZ)=3,/B，Cr>,E,F分別在線段CD上,且滿足

AE=2EB,CF=2FD,EF=亞AB1EF,CD1EF.

(1)求證:平面ABCI平面ADB;

(2)求AD與平面BCD所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

19

（吟

【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系，結(jié)合勾股定理可得區(qū)>=百,EC=〃，即可求證四，EC,根據(jù)線線垂直可得

平面CED,進(jìn)而可得48、CE,進(jìn)而可得C￡_L平面403,即可求證面面垂直，

（2）根據(jù)勾股定理以及線線垂直可證明平面BCD,即可得N/D廠為直線AD與平面8C。所成的角，即

可求解.

【詳解】（1）連接EREC,

由于AB=CD=3,AE=2EB,CF=2FD,所以4E=2,EB=1,CF=2,DF=1,

由于EF=C,4B工EF,CD工EF,所以

ED=>JEF、DF2="拒不+」=也巨C=^F2+CF2=j+藝=6

故EZ）2+EC2=CZ）2,即ED_LEC,

又ABLEF,ABLCD,E/flC。=尸,u平面CED,

故48_L平面CEO,CEu平面CED,故48'CE,

EDc4B=E,4B,EDu平面4DB,

所以CEL平面/￡>8,CEu平面4BC,

故平面ABC1平面ADB

(2)由于/3=CD=3,AE=2EB,CF=2FD,所以AE=2,EB=1,CF=2,DF=1,

由于EF=C,4B工EF,CD工EF,所以

AF=lEF2+/￡2=J(亞『+2?=&FB=也F'BE。=f=加

故//2+B尸=452,即/尸

又CDLEF,ABLCD,EFPlCD=己EF,CZ)u平面CEO,

故CD_L平面月，工廠匚平面/^/^故⑺工/尸，

CDcBF=F,CD,BFu平面BCD,

故E4_L平面BC。,故ZADF即為直線AD與平面BCD所成的角,

I一；------rr-./…AFy/6V42

AD=\AD2+DF2=V7,smZADF=~^—,

20

A

6.（22-23高一下?遼寧大連?期末）在正三棱臺(tái)N8C-Z￡G中，AB=6,44=自=3,。為4G中點(diǎn)，E

（1）請(qǐng)作出44與平面的交點(diǎn)”，并寫(xiě)出4M與河石的比值（在圖中保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出畫(huà)法和理

由）；

⑵求直線BM與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】⑴答案見(jiàn)解析，2

【分析】（1）根據(jù)直線與平面的公理，延長(zhǎng)線段，延展平面，結(jié)合相似三角形，可得答案；

（2）根據(jù)線面角的定義，作圖，求其所在三角形的邊長(zhǎng)，利用三棱臺(tái)的幾何性質(zhì)，在其側(cè)面，結(jié)合等腰梯

形以及余弦定理，可得答案.

【詳解】（1）①作圖步驟：延長(zhǎng)CE,C4,使其相交于N,連接DN,則可得

作圖如下：

作圖理由：在平面中，顯然CE與。鳥(niǎo)不平行，延長(zhǎng)相交于N,

由NeCE,則Ne平面CED,由。e平面CED,則ONu平面CED,

由Ne8C，DeAXCX,則。Nu平面4月G，可得NDI&禺=^

21

故481n平面CDE=M.

②連接￡>4,4N,如下圖所示:

在正三棱臺(tái)ABC-48c中，BCHB.C,,即BtN//BC,易知VBCE:VB、NE,

RNRE口包UUU

則要=%,由3E=2E⑸，且8c=6,則耳N=3,顯然8c=^N=3,

BCBE

由綜。分別為GN,的中點(diǎn)，則。鳥(niǎo)=；/小，豆B、D//NA，

AMA.N.

易知NB、DMA、NM,故黃=金=2.

(2)由題意，過(guò)M作平面N8C的垂線，垂足為陰\,并連接引明,如下圖所示:

由(1)可知：3=2且4及=4。1=3,則用/=1,由ZB=6,AAX-AXBX=3,

在側(cè)面用片5中，過(guò)片,&分別作的垂線，垂足分別為坊,4,如下圖所示：

易知3層=:（48_4與）=:（48_4與）=R,cosNB\B4=^=g,所以cos/5月4,

222力力i/2

在ABB、M中，BM2=BB；+3“_2xBB\XB、MxcosZBB^=13,貝U=布，

棱臺(tái)的高=,32-46x^--3x—=?,

1區(qū)22JJ

由圖可知直線BM與平面NBC所成角為/回2峪，

22

因?yàn)轷牛?，平?8C,且平面/8C,所以跖％,

MM、_V6_V78

所以sin/AffiM]=

BM-V13-13

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)解決的關(guān)鍵在于利用余弦定理求得9=而，利用勾股定理求得

MMX=^6,從而得解.

.即_時(shí)__檢__測(cè)___

1.（2024?陜西榆林?三模）己知正三棱錐P-N8C的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)的比值為百，則三棱錐尸-/BC的側(cè)棱

與底面所成角的正弦值為（）

A.1B.迪C.內(nèi)D.克

3384

【答案】B

【分析】利用正棱錐的性質(zhì)，先過(guò)頂點(diǎn)尸作底面的垂線，由線面角的定義和題干數(shù)據(jù)進(jìn)行求解.

【詳解】如圖，V4BC為等邊三角形，。為2C中點(diǎn)，作9,面48c垂足為

設(shè)/5=。（°>0）,則尸/=百0,根據(jù)正棱錐性質(zhì)，恥AH=3,PH=3LI,

33

根據(jù)線面角的定義,三棱錐尸-48c的側(cè)棱與底面所成角為NP/H,

2A/6

------a

則sin/P/H="32A/2.

PAGQ~~T

故選：B

2.（2024?北京?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正四面體的頂點(diǎn)。在平面。內(nèi)，且直線與平面。所成的角為30。，

頂點(diǎn)B在平面a內(nèi)的射影為O,當(dāng)頂點(diǎn)A與點(diǎn)。的距離最大時(shí)，直線CD與平面。所成角的正弦值等于（）

23

AV6+3^RV2rV6+V201

12242

【答案】D

【分析】分析可得當(dāng)四邊形/80C為平面四邊形時(shí)，點(diǎn)A到點(diǎn)。的距離最大，。作。N工平面N30C,垂足

為N,點(diǎn)。作DM_L平面a,垂足為則可求DW,進(jìn)而可求解.

【詳解】取中點(diǎn)P,連接CP,

當(dāng)四邊形ABOC為平面四邊形時(shí)，點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離最大，

此時(shí)，因?yàn)?0,平面8Ou平面/BOC,

所以平面ABOC±平面a,

過(guò)。作