幾何與圓中檔題-2023年溫州中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試題分類匯編（解析版）

專題20幾何與圓中檔題

1.（2022?溫州）如圖，在AA8C中，ADA.BC于點(diǎn)D,E,尸分別是/C,N5的中點(diǎn)，。是"'的中點(diǎn),

的延長(zhǎng)線交線段8。于點(diǎn)G,連結(jié)。E,EF,FG.

C1）求證：四邊形OEFG是平行四邊形.

（2）當(dāng)4D=5,tan/EDC=2時(shí)，求尸G的長(zhǎng).

2

【答案】（1）見解析；（2）*

2

【詳解】（1）證明：,尸分別是/C,的中點(diǎn),

:.EF是AABC的中位線，

:.EF//BC,

ZEFO=ZGDO,

是的中點(diǎn)，

OF=OD,

在NOEF和NOGD中,

AEFO=ZGDO

<OF=OD,

ZEOF=ZGOD

AOEF=AOGD（ASA）,

EF=GD,

：.四邊形OE尸G是平行四邊形.

（2）解：???ADIBC,

ZADC=90°,

???E是/C的中點(diǎn),

:.DE=-AC=CE,

2

ZC=/EDC,

AF）S

/.tanC=——=tmZEDC=-,

CD2

即二=3,

CD2

CD=2,

AC=ylAD2+CD2=A/52+22=V29,

,?_1__V29

..DnE=-AC=-----,

22

由（1）可知，四邊形DE尸G是平行四邊形，

...F"廠G_=DnzE?_=------.

2

2.（2021?溫州）如圖，在口45cQ中，E,尸是對(duì)角線5。上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)尸左側(cè)），且

/AEB=ZCFD=90°.

（1）求證：四邊形4EC尸是平行四邊形；

3

（2）當(dāng)/5=5,tanZABE=-,NCHE=NE4尸時(shí)，求5。的長(zhǎng).

4

【答案】（1）見解析；（2）6+y/13

【詳解】（1）證明：?.?N4M=NCFD=90。，

AELBD,CF1BD,

AE//CF,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB=CD,AB//CD,

/.AABE=ZCDF,

在兒45￡和\CDF中,

/AEB=ZCFD

<AABE=/CDF,

AB=CD

\ABE=^CDF（AAS）,

AE=CF,

：.四邊形AECF是平行四邊形；

3Ap

（2）解：在RtAABE中，tanZABE=-=—,

4BE

設(shè)/￡=3。，則BE=4a,

由勾股定理得：（3a）2+（4a）2=52,

解得：0=1或a=-l（舍去），

AE=3,BE=4,

由（1）得：四邊形/￡C尸是平行四邊形，

ZEAF=ZECF,CF=AE=3,

???ZCBE=ZEAF,

ZECF=ZCBE,

/.tanZCBE=tanZECF,

CF_EF

CF1=EFxBF,

設(shè)EF=x,貝UBF=x+4,

32=x（x+4）,

解得：x=VB-2^x=-V13-2,（舍去），

即￡尸=屈-2,

由（1）得：AABE=\CDF,

BE=DF=4,

:.BD=BE+EF+DF=4+y/U-2+4=6+y/]3.

3.（2020?溫州）如圖，C,。為。。上兩點(diǎn)，且在直徑兩側(cè)，連接CD交N8于點(diǎn)E,G是我;上一

點(diǎn)，NADC=NG.

（1）求證：Zl=Z2.

7

(2)點(diǎn)。關(guān)于DG的對(duì)稱點(diǎn)為尸，連接C尸.當(dāng)點(diǎn)尸落在直徑45上時(shí)，C尸=10,tanZl=-,求OO的

5

半徑.

【答案】(1)見解析；(2)—

4

【詳解】(1)--ZADC=ZG,

AC=AD,

AB為OO的直徑，

:.BC=BD,

N1=N2；

(2)如圖，連接。/，

VAC=AD,45是OO的直徑,

/.ABLCD,CE=DE,

：.FD=FC=\0,

??,點(diǎn)C,尸關(guān)于。G對(duì)稱，

DC=DF=10.

DE=5,

八2

tan=一,

5

...EB=DE?tanN1=2,

???Z1=Z2,

八2

「.tanZ2=—

5

“q=竺

tanZ22

29

AB=AE+EB=—

2

二。。的半徑為?

4.Q019?溫州）如圖，在A48C中，NA4C=90。，點(diǎn)E在5C邊上，且C4=C￡,過/,C,E三點(diǎn)的OO

交AB于另一點(diǎn)、F,作直徑4。，連接。回并延長(zhǎng)交45于點(diǎn)G,連接CD,CF.

（1）求證：四邊形。。尸G是平行四邊形.

3

（2）當(dāng)BE=4,=時(shí)，求OO的直徑長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）3任

【詳解】（1）證明：連接NE,

ABAC=90°,

.?.c尸是。O的直徑,

???AC=EC,

AC=CEf

CFLAE,

是OO的直徑,

ZAED=90°,

即GDLAE,

:.CF//DG,

???4D是OO的直徑,

:.ZACD=90°,

:.ZACD+ABAC=1SO°,

/.AB//CD,

/.四邊形DCFG是平行四邊形;

3

(2)角由：由CQ=—43,

8

設(shè)CQ=3x,AB=8x,

：.CD=FG=3x,

???ZAOF=ZCOD,

/.AF=CD=3x,

BG=Sx-3x-3x=2x,

???GE//CF,

BE_BG_2

.?衣一瓦W

?;BE=4,

/.AC=CE=6,

.?.50=6+4=10,

/.AB="。2-62=8=8x,

..x—1t

在RtAACF中，AF=3,AC=6,

CF=V32+62=375,

即。。的直徑長(zhǎng)為3石.

5.(2018?溫州)如圖，。是AA8C的8c邊上一點(diǎn)，連接4D,作AA8D的外接圓，將AADC沿直線

折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在。。上.

(1)求證：AE=AB.

(2)若NG18=90。，cosZADB=-,BE=2,求8c的長(zhǎng).

3

c

D

E

【答案】（1）見解析；（2）BC=3五

【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)可知，/^ADEAADC,

:./AED=/4CD,AE=AC,

???AABD=ZAED,

NABD=/ACD,

/.AB=AC,

AE=AB；

（2）如圖，過Z作于點(diǎn)”,

?;AB=AE,BE=2,

BH=EH=\,

,//ABE=/AEB=NADB,cos/ADB=-,

3

cos/ABE=cosZADB=4，

BH

.布一晨

AC=AB=3,

???ABAC=90°,AC=4B,

BC=3g.

6.(2022?鹿城區(qū)校級(jí)一模)如圖，是。。的直徑，弦CDL4B于點(diǎn)E,G是劣弧/C上一點(diǎn)，AG,

OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸.

(1)求證：2FGC=2AGD.

一.7

(2)若G是4。的中點(diǎn)，CE=—CF=2,求GP的長(zhǎng).

3

10

???45是OO的直徑，弦CD_L45,

AD=AC,

AD=AC,

/.ZADC=ZACD,

???點(diǎn)/、D>C>G在0。上，

ZFGC=ZADC,

???ZAGD=ZACD,

ZFGC=ZAGD；

(2)解：如圖，過點(diǎn)G作G//，。尸于點(diǎn)

A

B

???/DAG+Z.DCG=180°,ZDCG+NFCG=180°,

ZDAC=ZFCG,

AG=GC,

:.AG=CG,

???ZAGD=ZFGC,

/.\DAG=AFCG(ASA),

CF=AD=3,DG=FG,

???GH1DF,

DH=FH,

???AB上CD,

DE=EC=2,

DF=2+2+3=7,

.\DH=HF=3.5,

AE=4AD1-DE1=A/32-22=75,

AF=^AE2+EF2=J(V5)2+52=730,

-GH//AE,

.GF_FH

GF3.5

.W.7回

..\ir=-------.

10

7.(2022?溫州一模)如圖，四邊形Z5CD內(nèi)接于。。，/￡_LC2的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)/C,BD,AB

平分ZEBD,

(1)求證：AC=AD.

(2)當(dāng)夕為4。的中點(diǎn)，BC=3BE,40=6時(shí)，求CQ的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析；(2)4

【詳解】(1)證明：???四邊形43CQ內(nèi)接于OO,

ZADC+ZABC=180°f

vZABE+ZABC=180°,

/ABE=/ADC,

VAB平分ZDBE,

ZABE=/DBA,

/ADC=/DBA,

ZACD=/DBA,

ZADC=NACD,

:.AC=AD；

(2)解：過4作/尸_LCD于尸，

??范為就的中點(diǎn),

AB=BC,

???BC=3BE,

...AB=3BE,

v四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，

ZADF=/ABE,

???ZAFD=NAEB=90°,

\ABE^M,DF,

.DFBE_1

"AD~AB~3'

AD=6,

DF=2,

AC=AD,

CD=2DF=4.

8.（2022?平陽縣一模）數(shù)學(xué)家龐斯萊發(fā)明過一種玩具（如圖1）,這種玩具用七根小棍做成，各結(jié)點(diǎn)均可活

動(dòng)，AD=AF,CD=DE=EF=FC,S.OC<AF-CF.使用時(shí)，將/,。釘牢在平板上，使/,。間

的距離等于木棍OC的長(zhǎng)，繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)C,則點(diǎn)C在。。上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在直線8G上運(yùn)動(dòng)，BG工AB.圖

2是該玩具轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的一幅示意圖.

（1）判斷點(diǎn)/,C,￡在同一條直線上嗎？請(qǐng)說明理由，

（2）當(dāng)點(diǎn)。，C,尸在同一條直線上時(shí).

①求證：CDHAB.

②若OC=2,CD=3,tanZOAC=~,求BE的長(zhǎng).

2

【答案】（1）見解析；（2）4

【詳解】（1）解：點(diǎn)4,C,E在同一條直線上，理由如下:

CD=DE=EF=CF,

，四邊形CDE尸是菱形，

:.CE工FD,OrF=OfD,

AFO'E=90°,

?/AF=AD,

AO」FD,

AAO'F=90°,

:.ZAO,F+ZFO,E=1SO°,

.?.點(diǎn)Z,C,￡在同一條直線上；

(2)設(shè)OO與45交于點(diǎn)M,連接CM,

①證明：?.?四邊形CD￡尸是菱形，

CF=CD,AELFD,

ZCFD=/CDF,

vAM是直徑，

AECM,

FD//CM,

ZOCM=ZCFD,ZFDC=ZDCM,

ZDCM=ZOCM,

OC=OM,

ZOCM=ZOMC,

ZDCM=AOMC,

CD!/AB；

???四邊形CZ>￡尸是菱形，

:.FO//EN,ED=CD,

/ECD=ZCED,

-CD//AB,

.?.四邊形COND是平行四邊形，

/ECD=/CAB,

CD=ON=3,/CAB=ZCED,

AN=EN,

OC=OA=2f

：.EN=AN=AO+ON=2+3=5,

AB=5+x,

BF1

在RtAAEB中，tan/CMC=—=—,

AB2

.了

..------—_—i，

5+x2

在RtAEBN中，EN2=BE2+BN2,

52=/+(2y-5)2,

解得，乂=0（舍去），%=4,

BE=4.

9.（2022?樂清市一模）如圖，將矩形ACVPQ按照?qǐng)D1方式剪成4個(gè)直角三角形，再將這4個(gè)直角三角形

按照?qǐng)D2方式無縫拼接成口48CD,連結(jié)。G,BE.

（1）求證：四邊形。EBG為平行四邊形；

（2）當(dāng)NE=3,AD=5,ZFAB=ZGDE,求BE的長(zhǎng).

圖1圖2

【答案】（1）見解析；（2）V5

【詳角軍】（1）證明：?.?由題意可得N/￡Q=NCHD=NBGC=NAra=RTN

:.DE//BG,

ED=BG

/.四邊形G為平行四邊形；

(2)解：?;AE=3,AD=5,/AED=90。

:.ED=ylAD2-AE2=,52—32=4

/.AF=4,EF=\,

四邊形G是平行四邊形，

ZGDE=ZEBG,

???/FAB=ZGDE,

/FAB=ZEBG,

\FEBs\FBA,

:.EFxAF=BF2,

BF=2,

BE=4EF-+BF2=A/12+22=6.

D

10.（2022?甌海區(qū)一模）如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于OO,/C是。。的直徑，作DE//3C,交8。的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,且8E平分乙480.

（1）求證：四邊形2CAE是平行四邊形；

3

（2）若4D=8,tan/BDE=—,求/C的長(zhǎng)與口8cDE的周長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）475+12

【詳解】證明：（1）延長(zhǎng)3E,交AD于點(diǎn)、F,交。。于點(diǎn)G,

???BE平分NABD,

.-./ABG=NDBG,

:.AG=DG,

;BE是OO的直徑,

BG1AD,

ZBFD=90°,

???/C是。O的直徑,

ZADC=90°,

...NBFD+NADC=180。,

/.BE//CD,

-DEIIBC,

二.四邊形3CDE是平行四邊形；

解：（2）DEI/BC,

ZBDE=ZCBD,

???ZCBD=ZCAD,

ZBDE=ZCAD,

???/c為oo的直徑，

ZADC=90°,

3CD

在RtAACD中，tanZCAD=tanABDE=-=——，

48

CD=6,

JC=A/62+82=10,

/.OA=OC=OB=5,

???O9是A4Q?的中位線，

OF=3,

:.BF=OB+OF=3+5=8,

在RtABDF中，BD=+42=475,

vBF是AD的垂直平分線，

AB=BD=475,

在RtAABC中，BC=A/102-（475）2=275,

?-?Csco￡=（275+6）x2=475+12.

11.（2022?瑞安市一模）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CD平分NACB交AB于點(diǎn)、D,交。。于點(diǎn)

E,以。2為直徑作。。交于點(diǎn)尸，連結(jié)3E,EF.

（1）證明：ZL4=ABEF.

（2）若4c=4,tanZBEF=4,求￡尸的長(zhǎng).

E

【答案】（1）見解析；（2）-V34

【詳解】（1）證明：連接。尸，

?;BD是OO的直徑，

ZDFB=90°,

ZACB=90°,

ZACB=ZDFB=90°,

:.AC//DF,

N4=/FDB,

???ZFDB=ZBEF,

/A=ZBEF；

(2)解：過點(diǎn)E作垂足為“,

E

/EHF=90°,

???CD平分N4C8,

ZACD=NDCB=-ZACB=45°,

/.ZCDF=90°-ZDCB=45°,

CF=DF,

^CF=DF=xf

???ZA=/BEF,

/.tanA=tan/BEF=4,

BC=ACtanA=4x4=16f

:.BF=BC-CF=\6-x,

???NACF=/DFB=90°,

/.\ACB^\DFB,

.ACBC

,?而一定’

416

—=-------,

x16-x

16

x=—,

5

經(jīng)檢驗(yàn)，》=竺是原方程的根，

5

:.CF=—,

5

???8。是OO的直徑，

/BED=90°,

ZEBC=90°-ZDCB=45°,

EC=EB,

???EH1BC,

:.CH=BH=-BC=S,

2

:.EH=-BC=S

2f

24

:.FH=CH-CF=—,

5

:.EF=NFH2+EH?=/（h+82=|取,

.?.石尸的長(zhǎng)為號(hào)后.

5

12.（2022?龍港市一模）如圖，是半圓。的直徑，半徑。是OC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，DE

切半圓。于點(diǎn)連結(jié)4E,交。。于點(diǎn)方.

(1)求證：DE=DF.

(2)若CD=2,tan//尸0=3,求跖的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析；(2)—

【詳解】(1)證明：連接OE,

???OE=OA,

N4=ZOEA,

???DE切半圓。于點(diǎn)E,

ZDEO=90°,

ZDEF+ZAEO=90°,

???OC1AB,

:.ZAOC=90°,

/A+ZAFO=90°,

ZAFO=/DEF,

???ZAFO=/DFE,

/DFE=/DEF,

/.DF=DE；

r)A

(2)解：vtmZAFO=——=3,

OF

設(shè)。4=3%,OF=x,

OC=OA=3x,

二.DF=2+2x,

?/ZDEO=90°,

OE2+DE2=OD2,

9/+(2+2x)2=(2+3x)2,

x=\,x=0（不合題意舍去）,

z.DE=4,OE=3,OD=5,

過E作于”,

St.xnLFjinnj=-2DE-OE=-2EHOD，

D￡,-O￡,_3x4_12

OH=ylOE2-EH2=-,

5

EF=NEH?HF?=.

13.（2022?蒼南縣一模）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C在。O上，/E是。。的切線，BE平分N4BC交

/C于點(diǎn)。，交。。于點(diǎn)尸.

（1）求證：AD=AE.

（2）若/5=8,AD=6,求CQ的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）—

25

【詳解】（1）證明：??,/5是。。的直徑,

二.N4CB=90。，

/.ZCBD+ZCDB=90°,

???BE平分/ABC,

ZCBD=ZEBA,

???4E是。O的切線，

/./BAE=90°,

/EBA+ZE=90°,

ZCDB=ZE,

又,:ZCDB=ZEDA,

ZE=/EDA,

AE=AD；

（2）解：由（1）知：AE=AD,

?.?43=8,AD=6,4片是。。的切線，

AE=6,ABAE=90°,

/./BAE=/BCD,

???BE平分/ABC,

ZCBD=/ABE,

KEAB^KDCB,

.AE_AB

"~CD~~CB'

即2=亍^^=,

CDAB1-AC1

?;AC=AD+CD,

?6_8

CD褥_（6+。。）2’

47

解得CQ=-6（不合題意，舍去）或

25

4?

即CQ的長(zhǎng)是絲.

25

14.(2022?溫州模擬)如圖，A4BC內(nèi)接于O。，直徑所交N8于點(diǎn)延長(zhǎng)所與過點(diǎn)C的切線交于點(diǎn)

D.已知N/J3C與4D互余.

(1)求證：ACLEF.

行

(2)連結(jié)班，當(dāng)tanZBME=—,?！?12時(shí)，求。。的半徑和BE的長(zhǎng).

2

【詳解】(1)證明：連接。/、OC,如圖:

?.?CD與。。相切于點(diǎn)C,

OC1CD,

ZOCD=90°,

ND+NDOC=90°,

???ZD+/ABC=90°,

/ABC=ZDOC,

:.ZABC=-ZAOC,

2

:.ZDOC=-ZAOC,

2

:.OF平分NAOC,

:.AF=CF,

OFLAC,即/C_LE尸；

(2)解：連接OC、AF、設(shè)NC、EF交于點(diǎn)、G,如圖:

???/ABE=60°,

ZAOE=2/ABE=2x60°=120°,

/.ZAOF=180°-Z^OE=180°-120°=60°,

由（1）知O戶平分N/OC,

/.ZCOF=ZAOF=60°,

???ZOCD=90°,

ZD=90°-/DOC=90°-60°=30°,

/.OD=2OC,

?/OE=OC,DE=12f

:.EO+DO=12,即OC+2OC=12,

/.OC=4,

.?.O。的半徑為4,

OA=OF=OE=4fEF=OE+O廠=4+4=8,

???ZAOF=60°,

\AOF是等邊三角形，

/.AF=4,

由（1）知4C_L跖于G,

ZAGF=ZAGM=90°9

./.L人AGFG

*.*sin/4FG=-----,cos/4FG------,

AFAF

:.AG=AF-sinZAFG=4xcos60°=2,

在RtAAMG中，

tanZ.AMG=tan/BME=—,tanZAMG=.

2MG

.AG

;.MG=2AG=2X26=4,

V3V3

AM=^AG2+MG2=J(2V3)2+42=277,

ME=EF-GF-MG=4=2.,

根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得：NBEM=AEAM,ZEBM=ZAFM,

NBEM^^FAM,

BEEMnnBE2

—=——，即——=—產(chǎn)

FAAM42近

_477

15.（2022?溫州模擬）如圖，點(diǎn)C,。在以42為直徑的半圓。上，AD=BC,切線。E交/C的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E,連接。C.

（1）求證：ZACO=ZECD.

⑵若NCDE=45°,DE=4,求直徑48的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）48=4及

【詳解】證明：（1）如圖，連接8,

AD=BC,

:.AC=BD,

ZAOC=ZBOD,

???OA=OC=OD,

AOAC=AOCA,NOCD=NODC,

ZAOC+ZBOD+ZCOD=180°=ZOCD+NODC+ACOD,

NOCD=ZAOC,

:.AO//CD,

/ECD=ZCAO,

/ACO=/ECD；

(2)月是OO切線,

/EDO=90°,

???/CDE=45°，

ZCDO=45°,

:.ZAOC=45°=ZOCD,

"COD=90。,

CD=4ioc,

???AAOC=ZCDE=45°,/ACO=ZECD,

/.\AOC^\EDC,

DE型3,

AOCO

.?./O=W=20,

4i

AB=472.

16.（2022?溫州模擬）如圖，在A42C中，AB=AC,以N8為直徑作0。分別交/C,2C于點(diǎn)D,E,

連結(jié)EO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)尸，連結(jié)/尸.

C1）求證：四邊形4CEF是平行四邊形；

出

（2）連結(jié)。￡,若AC0E的面積為20,cosZF=—,求。。的直徑.

【答案】（1）見解析；（2）5比6

【詳解】（1）和￡尸為。。直徑,

AB=EF.

???AB=AC,

:.AC=EF,/C=/ABC.

?「OE=OB,

/ABC=ZOEB,

z.ZC=ZOEB,

:.AC//EF,

.??四邊形ZCW為平行四邊形.

(2)由平行四邊形4C￡尸得NC=ZF.連結(jié)BQ,AE,

??,AB為OO直徑，

/.AADB=90°.

..

?cos—，

5

.?.設(shè)CQ=x,則CB=&,

BD=2x.

???AB為直徑，

/.AEYBC,

???AB=AC,

.?.￡為中點(diǎn)，

??S砧CD=2sApcE=40'

二.一x,2x—40，

2

?「x>0,

x=2V10.

CD=2Vio,BC=y[5x=10y/2fBD=2x=4710,

AB=———=-^=572x75=5710,

cosZ_ABEcosC

。。的直徑為5&U.

17.（2022?溫州模擬）如圖，在菱形4BCL（中，點(diǎn)E,尸分別在/D,CZ＞邊上，S.DE=DF,連結(jié)

并延長(zhǎng)交2c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

（1）求證：ZG=-ZA.

2

1DF

（2）連結(jié)5E,BF,當(dāng)NEBF=NA,tan/G=一時(shí)，求——的值.

2CG

7

【答案】（1）見解析；（2）-

3

【詳解】（1）證明：???四邊形是菱形,

4=ZDCA,AD/IBC,

ZDEF=NG,

?：DE=DF,

/DEF=ZDFE,

???ZDFE=乙CFG,

/.ZCFG=ZG,

?:NDCA=NG+NCFG,

ZDCA=2NG,

/.N4=2ZG,

.\ZG=-ZA；

2

???四邊形WCD是菱形，

:./EDB=/FDB,AC1BD,DH=-BD,

2

,;DE=DF,BD=BD,

,\DEB=ADFB(SAS),

ZDBE=ZDBF=-ZEBF,EB=EF,

2

???ZEBF=ZA,

ZDBE=/DBF=-AA,

2

???AG=-AA,

2

NG=ZDBE,

?;DE=DF,EB=BF,

.?.8。是環(huán)的垂直平分線，

/.BDLEF,

ZEGD=ZEGB=90°,

'：tanZG=—,

2

tanZDEF=——=—,tan/EBD=—=一,

EG2BG2

.?.設(shè)DG=Q,EG=2a,BG=2EG=4a,

BD=DG+BG=5a,

:.DH=-BD=2.5a,

2

:.GH=DH-DG=\.5a,

???AC上BD,EF工BD,

:.EFIIAC,

DE_DG_(2_2

,耘一市一市一

vAD//BC,

/.四邊形ACGE是平行四邊形，

AE=CG,

DE_2

-----=-9

CG3

DE占不2

——的值為一.

CG3

18.（2022?永嘉縣模擬）如圖，在AA8C中，AC=6,AB=8,8c=10,點(diǎn)尸在邊/C上運(yùn)動(dòng)，

PE//BC,交4B于點(diǎn)E,以4為半徑的0c交邊/C于點(diǎn)。，延長(zhǎng)￡尸交0c于點(diǎn)歹，GF±EF,交4c

延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

（1）求證：NG=NB.

(2)若尸C=尸。，求G尸的長(zhǎng).

m右/c、24+16y/2]

【答案】(1)見解析；（2）-------------

【詳解】(1)證明：VAC=6,4B=8,BC=IO,

AC2+AB2=BC2,

ZA=90°,

???GF_LEF,

ZGFP=ZA=90°,

PE/IBC,

NGPF=AACB,

NG=ZB；

(2)解：作CH_L尸尸于點(diǎn)〃，連接C尸，如圖:

?.?CQ=4,PC=PQ,

/.PC=PQ=2,

'：PE/IBC,

ZCPH=ZBCA,

/.tanZCPH=tanZBCA,即——二——，

PHAC

?CH_8_4

4

:.CH=-PH,

3

在RtACPH中，CH2+PH2=CP2,

:.(^PH)2+PH2=22,

解得尸〃(負(fù)值已舍去)，

:.CH=-

在RtACHF中，F(xiàn)H=yJCF2~CH2=

GF4

在RtAGPF中，tanZGPF=——=—,

PF3

…6+4721424+16721

GF=-----------x—=---------------,

答：G廳的長(zhǎng)為生譬L

19.（2022?鹿城區(qū)校級(jí)二模）如圖，在。。中，弦C。垂直平分半徑。4于8,點(diǎn)E是圓上一點(diǎn)，連結(jié)NE

交線段3c于尸，過點(diǎn)E作。。的切線交0c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，已知。，O,E三點(diǎn)共線.

（1）求證：AC=CE.

（2）若CP=2,求APE戶的面積.

D-------

【答案】（1）見解析；（2）473

【詳解】（1）證明：連接。E,AC,OC,CE,如圖所示:

p

v弦垂直平分半徑04,

...CA=CO,

???OC=OA,

/.A40c是等邊三角形，

..ZAOC=60°,ZOCB=30°,

vD,O,￡三點(diǎn)共線，

:.DE為直徑,

ZDCE=90°,

/.ZOCE=60°,

?/OC=OE,

/.ACOE為等邊三角形，

ZCOE=60°,

ZAOC=ZCOE,

/.AC=CE.

(2)解：???點(diǎn)E作。。的切線交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，

/.ZOEP=90°,

ZCEP=30°,

???C尸=2,

/.tanZC^P=—=—,

CE3

CE=25

ZAOE=120°,OA=OE,

/OEA=30。,

ZAEC=30°,

：.CF=PC=2,

:ZEF的面積=—X4X26=4G

2

20.2022?溫州模擬）如圖，4D是RtAABC斜邊2c上的中線，￡■是/D的中點(diǎn)，過點(diǎn)/作/廠//BC交2E

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連結(jié)3.

（1）求證：四邊形NOC廠為菱形；

（2）若/￡=布，tanZABC=-,求菱形4DC尸的面積.

3

【答案】(1)見解析；(2)48

【詳解】(1)證明：是的中點(diǎn)，

AE=DE,

丁AF//BC,

/.ZAFE=ADBE,

在AAEF和AZ)防中，

ZAFE=/DBE

<ZAEF=/DEB,

AE=DE

AAEF?ADEB(AAS),

AF=DB,

：.四邊形ADCF是平行四邊形，

vABAC=90°,。是5C的中點(diǎn)，

AD=-BC=CD,

2

二.四邊形4QC尸是菱形；

(2)解：?.?萬是40的中點(diǎn)，AE=yfl3,tanZABC=-f

3

;.AD=2而,BC=4岳,

設(shè)力3=3x,AC=2xr

由勾股定理得：（2x）2+（3x）2=（4屈）2,

解得：x=4,

「.45=12,AC=8,

???。是5C的中點(diǎn),

**?S菱形zoc尸=2SMDC=SMBC=54B-AC=—xl2x8=48.

21.(2022?文成縣一模)如圖，在四邊形/BCD中，DA=DC,/ADC=/B=J過點(diǎn)。作。于

E.

(1)求證：DE=BE.

(2)連結(jié)/。交。E于點(diǎn)尸，若tan/4QE=L,AD=15,求。尸的長(zhǎng).

2

【詳解】(1)證明：過點(diǎn)。作。GL5C,交5C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖所示:

?/DELAB,AB=90°,DGLBC,

/DEA=/DEB=NB=/BGD=90°,

.?.四邊形。￡3G是矩形，

ZEDG=90°,DG=BE,

ZEDC+ZCDG=90°,

NADC=90°,

/EDC+/ADE=90°,

NADE=ZCDG,

在和\CDG中，

ZADE=ZCDG

</DEA=ZDGC=90°,

DA=DC

\ADE=\CDG{AAS),

DE=DG,

DE=BE；

(2)解：vt^nZADE=~,ZDEA=90°,

2

AE

----=一,

DE2

DE=2AE,

在RtAAED中，由勾股定理得：AE1+DE1=AD2,

即AE2+(2AE)2=152,

解得：AE=3小,

DE=2AE=675,

由(1)得：\ADE=ACDG,四邊形。E8G是矩形，DE=BE,

四邊形DEBG是正方形，AE=CG=36

BE=BG=DE=6y[5,

BC=BG-CG=645-345=2,45,AB=AE+BE=3非+6辨=9并，

■：FEVAB,BCVAB,

:.FE//CB,

\AEF^\ABC,

,AEEF

,?南一菽'

解得：EF=y/5,

DF=DE-EF=645-45=5y/5,

即。尸的長(zhǎng)是5JL

22.（2022?瑞安市二模）如圖，AA8C內(nèi)接于。。，N8為直徑，乙4c8的平分線分別交N8于點(diǎn)。，交

。。于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作。。的切線，交CE的平行線/廠于點(diǎn)尸.

（1）求證：四邊形4DE尸為平行四邊形.

7

(2)若tan/C45=—,AF=5,求四邊形尸的面積.

3

【答案】（1）見解析；（2）—

13

【詳解】（1）證明：連接OE,如圖1,

ZACB=90°,

???/ACB的平分線交0(9于點(diǎn)E,

:./ACE=/BCE=45。,

/AOE=2ZACE=90°

EF為OO的切線，

OELEF,

EF//AB,

???AF//CE,

/.EF//AD,AFIIDE,

/.四邊形ADEF為平行四邊形；

(2)解：如圖2,過點(diǎn)。作。河_L4C于點(diǎn)DN1BC千點(diǎn)、N,連接OE,

FE

圖2

?.?C￡平分"C5,DMLAC,DNLBC,

...DM=DN,

S砧DC-BC-DNBCAC3

2

ca

.QAAPC_J

SBDC2

..S^DC_4。,

SgDCBD

AD3

---------———,

BD2

設(shè)40=3f,則BD=2t,AB=5t,

:.OE=OB=-AB=-t,OD=OB-BD=-t-2t=-t,

2222

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

DE=AF=5,

在RtAODE中，

OE2+OD2=DE2,即(|f)2+(go?=52,

解得：/=竺，

13

四邊形NOEF的面積=40??！?3八』/="/29.

2221313

23.（2022?甌海區(qū)模擬）如圖，在RtAABC中，ABAC=90°,以N8為一邊構(gòu)造口,DA/IBC,連

結(jié)EC交。/的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，DFLEC,延長(zhǎng)及4交2C于點(diǎn)G.

（1）求證：點(diǎn)4是EG的中點(diǎn).

（2）若tanN/3C=L,DA=6,求8c的長(zhǎng).

2

【詳解】（1）證明：?.?四邊形是平行四邊形,

BD//AE,BD=AE,

:.BDI/AG,

,:DA//BG,

二.四邊形4D5G是平行四邊形，

:.BD=AG,

AE=AG,

.?.點(diǎn)4是EG的中點(diǎn)；

(2)解：???四邊形5G是平行四邊形，

BG=DA=6,

?/DA/IBC,DFLEC,

/.BC1EC,

NECG=90。,

由(1)可知，點(diǎn)4是EG的中點(diǎn)，

:.AC=-EG=AG,

2

/ACG=NAGC,

???ABAC=90°,

ABAC=/ECG,

/.KBACs.CG,

.ACCG

'~AB~~CE'

vtanZ^5C=—

AB2

CG1

-----=—,

CE2

設(shè)/C=a,貝!J48=2a,EG=2AC=2a,

設(shè)CG=6,則CE=26,

???CE2+CG2=EG1,

即(26>+62=(2a)2,

???AB2+AC2=BC2,

即(2a)2+a2=(6+?個(gè)療,

解得：a=2A/5,

2代

BC=6+^-x2V5=10.

24.(2022?鹿城區(qū)二模)如圖，AA8C內(nèi)接于0O(/C>3C),是。。的直徑，E,C,。是。。上的

點(diǎn)，EC=CB=BD,連結(jié)分別交4C,幺8于點(diǎn)F,G.

(1)求證：\EFA^NBCA.

(2)若3C=5,2G=4,求的長(zhǎng).

17

【答案】（1）見解析；（2）—

2

【詳解】（1）證明：?.?比=a=叁，

NEAC=ABAC,/E=ZCBA,

..\EFAS^BCA.

(2)解：???48為OO直徑，

:.ZACB=90°.

AEFASMCA.

FFRC

AEFA=AC=90°,——二——.

AEAB

又,；/CAE=/CAB,AF=AF,

\AEF=AAFG(ASA),

:.AE=AG,EF=FG.

?;ZAEG=/ABD,/AGE=/BGD,

\AEGs^DBG,

.BD_AE_5

.瓦一蕩—a’

^EF=FG=2x.AE=AG=5x,

.e.A,B—5x+4,

BCEF5_2

~AB~^E~~5x+4~~5

17

x——

10

A.E—5x——.

2

25.（2022?鹿城區(qū)校級(jí)二模）如圖，43是。。的直徑，弦于點(diǎn)E,尸是筋上一點(diǎn)，連結(jié)/尸

并延長(zhǎng)，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.連結(jié)FD,FC,AC.

(1)求證：NDFG=NAFC.

——1

(2)若方是4。的中點(diǎn)，CE=-DG=2,求G/的長(zhǎng).

3

【詳解】（1）證明：???/5是。。的直徑，弦CD_L45,

AC=AD,

ZAFC=ZACD,

???四邊形ACDF內(nèi)接于019,

:.ZACD+ZAFD=\SO0,

ZDFG+ZAFD=1SO0,

ZDFG=ZACD=ZAFC；

（2）解：???尸是弱的中點(diǎn),

...AF=FD,

AF=FD,

???四邊形/CD廠內(nèi)接于OO,

/.ZCAF+ZCDF=1SO0,

ZFDG+ZCDF=1SO0,

ZFDG=ZCAF,

由(1),WZDFG=ZAFC,

ACAF=AGDF(ASA),

/.CF=FG,

?/CE=-DG=2,

3

AC=DG=6,

?.?48是。。的直徑，弦C￡>_L/8,

DE=CE=2,

AE74c2-CE?=4逝,CG=CE+DE+DG=IO,EG=ED+DG=S,

AG=[AE?+EG?=476,

GH=-CG=5,FH/IAE,

2

,FG_GH5

一而一方一W'

_576

26.(2022?蒼南縣二模)如圖，在。O的內(nèi)接AA8C中，AB=AC,直徑/。交8c于點(diǎn)￡,連結(jié)co.

(1)求證：\ACEsACDE.

⑵若AE=BC,AD=\Q,求/C的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）4#）

【詳解】（1）證明：連接05,OC,

?/AB=AC,OB=OC,

AD是BC的垂直平分線，

/AEC=/DEC=90°，BE=EC,

AB=AC,

:.AB=AC,

AACE=ZADC,

\ACE^\CDE.；

(2)解：BE=EC=-BC,AE=BC,

2

:.CE=-AE,

2

CE1

tanZCAE=——=一，

AE2

???4D是OO的直徑，

:.ZACD=90°,

CD1

在RtAACD,tan/CAD=——=—,

AC2

設(shè)CD=Q,AC=2a,

:.AC2+CD2=AD\

(2?)2+tz2=100,

a=2A/5或a=-2-\/5（舍去）,

，/C=2Q=4行,

.?./C的長(zhǎng)為4行.

27.(2022?龍灣區(qū)模擬)如圖，在RtAABC中，AABC=90°,AB=BC.點(diǎn)/,。落