計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)-高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)典例分析及重難突破

專(zhuān)題九計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)典例分析及重難突破

?典例分析

考查方式

計(jì)數(shù)原理是高考的?？键c(diǎn)，試題以選擇、填空題為主，注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本

思想方法的考查，難度較低.主要考查方向?yàn)閮蓚€(gè)計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用、有限制條件的排列問(wèn)

題或簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題以及利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù).值得注意的是，對(duì)

此塊內(nèi)容的考查還有一個(gè)趨勢(shì)，就是將計(jì)數(shù)原理與其他知識(shí)綜合，例如排列組合與古典概型相

結(jié)合.在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要立足于掌握基本的排列組合方法并熟練應(yīng)用二項(xiàng)式定理.

概率與統(tǒng)計(jì)是每年高考的熱點(diǎn)之一，難度控制在中等程度，試題多以實(shí)際問(wèn)題為背景考查

基本概型的概率（古典概型、獨(dú)立事件的概率、條件概率等），正態(tài)分布，二項(xiàng)分布，離散型

隨機(jī)變量的分布列、期望與方差，樣本的數(shù)字特征（眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等），

對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的分析（頻率分布直方圖、條形圖、折線(xiàn)圖等），回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)，概率與

其他知識(shí)綜合等.復(fù)習(xí)的重點(diǎn)在于提高閱讀理解和信息整理能力（包括準(zhǔn)確理解原文、較快的

閱讀速度、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力），數(shù)據(jù)分析能力、數(shù)學(xué)建模能力

以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

高考真題

1.[2023年新課標(biāo)n卷]某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣

方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別

有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A-Co.C短種B.CX-C^0種C.CX.C北種D.C1.C舞種

2.[2024年新課標(biāo)H卷]某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到

各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并部分整理如下表所示.

畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg到300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg到1000kg之間

3.[2024年新課標(biāo)I卷]（多選）隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉

推動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到

推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值元=2.1,樣本方差?=0.01.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從

正態(tài)分布N（L8,012）,假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N（亍,$2）,則（若隨機(jī)變量Z

服從正態(tài)分布則尸（Z<〃+cr）a0.8413）（）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0,5C.P（Y>2）>0.5D.P（Y>2）<0.8

4.[2023年新課標(biāo)I卷]（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)再，々，…，4，其中再是最小值，4是最

大值，貝女）

％，，

A.X2,x3,x4,%的平均數(shù)等于1%2…，的平均數(shù)

B.X2,X3,X4,%的中位數(shù)等于毛，4的中位數(shù)

X

C.X2,X,，4%的標(biāo)準(zhǔn)差不小于花，々，…，4的標(biāo)準(zhǔn)差

D.X,,X3,X4,毛的極差不大于%1，%2，…，4的極差

5.[2023年新課標(biāo)I卷]某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課，學(xué)生需從這8

門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有

種（用數(shù)字作答）.

6.[2024年新課標(biāo)I卷]甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分

別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8.兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比

賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人

得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能

使用).則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.

7.［2024年新課標(biāo)n卷］在如圖的4x4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方

格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之

和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

8.［2024年新課標(biāo)H卷］某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成.比賽具體規(guī)

則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)

為0分；若至少投中1次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每

次投籃投中得5分，未投中得0分，該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和.

某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投

中與否相互獨(dú)立.

(1)若p=0.4,4=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概

率.

(2)假設(shè)0<p<q.

(i)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？

(ii)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？

參考答案

1.答案：D

解析：根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x%=40人，高中部共抽取60x迎=20人,

600600

根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理，則不同的抽樣結(jié)果共有c黑。?c北種.故選D.

2.答案:C

解析：對(duì)于A,因?yàn)榍?組的頻率之和0.06+0.12+0.18=0.36<0.5,前4組的頻率之和

0.36+0.30=0.66>0.5,所以100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)所在的區(qū)間為［1050,1100),故A不正

確；

對(duì)于B,100塊稻田中畝產(chǎn)量低于11001^的稻田所占比例為6+12,；8+30義]00%=66%,故B

不正確；

對(duì)于C,因?yàn)?200-900=300,1150-950=200,所以100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至

300kg之間，故C正確；

對(duì)于D,100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值為

擊x(925x6+975xl2+1025xl8+1075x30+1125><24+1175x10)=1067(kg),故D不正確.故選

C.

3.答案：BC

解析：由題意可知，X~N(1.8,0」2),所以尸(X>2)〈尸(X>1.8)=0.5,P(X<1,9)?0.8413,

所以P(X>2)<P(X21.9)=1—P(X<[9)”1—08413

=0.1587<0.2,所以A錯(cuò)誤，B正確.因?yàn)閥?N(2.1,0.『)，所以尸(F<2.2)a0.8413,

P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所以尸(2<F<2,1)=P(2.1<y<2,2)

=P(Y<2.2)-P(YV2.1)a0.8413-0.5=0.3413,所以

P(Y>2)=尸(2<F<2.1)+P(Y>2.1)?0.3413+0.5=0.8413>0.8,(另解：

P(Y>2)=P(Y<2.2)?0.8413>0.8)所以C正確，D錯(cuò)誤.故選BC.

4.答案：BD

解析：對(duì)于選項(xiàng)A：%i，4不確定，；.%1，%,…，4的平均數(shù)不確定，如L2,2,2,2,

4的平均數(shù)不等于2,2,2,2的平均數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)％<退<與<匕，則%,9，/，4的中位數(shù)為“3；',%],々，X,,5,

/，4的中位數(shù)為玉產(chǎn)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：XpX2,X3,X4,X5,冗6的波動(dòng)性不小于%2，，冗5的波動(dòng)性，，々，工3，

X9X9X9X9

為，&的標(biāo)準(zhǔn)差不大于工1，2345%的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D:不妨設(shè)x2<x3<x4<x5,則%1<x2<x3<x4<x5<x6,x5-%2<x6-Xj,即x2,x3,

x4,%的極差不大于％1，x2,x3,x4,x5,4的極差，故D正確.故選BD.

5.答案：64

解析：法一：由題意，可分三類(lèi)：第一類(lèi)，體育類(lèi)選修課和藝術(shù)類(lèi)選修課各選修1門(mén)，有C：C；

種方案；第二類(lèi)，在體育類(lèi)選修課中選修1門(mén)，在藝術(shù)類(lèi)選修課中選修2門(mén)，有C：Cj種方案；

第三類(lèi)，在體育類(lèi)選修課中選修2門(mén)，在藝術(shù)類(lèi)選修課中選修1門(mén)，有CjC：種方案.綜上，不

同的選課方案共有C；C；+C；C；+C；C；=64（種）.

法二：若學(xué)生從這8門(mén)課中選修2門(mén)課，則有C；-C；-C；=16（種）選課方案；若學(xué)生從這8

門(mén)課中選修3門(mén)課，則有C；-C；-C；=48（種）選課方案.綜上，不同的選課方案共有16+48=64

（種）.

6.答案：-

2

解析：因?yàn)榧壮隹ㄆ?一定輸，出其他卡片有可能贏，所以四輪比賽后，甲的總得分最多為

3.

若甲的總得分為3,則甲出卡片3,5,7時(shí)都贏，所以只有1種組合：3-2,5-4,7-6,1-8.

若甲的總得分為2,有以下三類(lèi)情況：

第一類(lèi)，當(dāng)甲出卡片3和5時(shí)贏，只有1種組合，為3-2,5-4,1-6,7-8；

第二類(lèi)，當(dāng)甲出卡片3和7時(shí)贏，有3—2,7—4,1—6,5—8或3—2,7-4,1-8,5—6或3—2,

7—6,1—4,5—8,共3種組合；

第三類(lèi)，當(dāng)甲出卡片5和7時(shí)贏，有5—2,7—4,1-6,3—8或5—2,7-4,1—8,3—6或

5-4,7-2,1-6,3-8或5-4,7-2,1-8,3-6或5-2,7-6,1-4,3-8或5-2,7-6,

1-8,3-4或5-4,7-6,1-2,3—8,共7種組合.

綜上，甲的總得分不小于2共有12種組合，而所有不同的組合共有4x3x2x1=24（種），所

以甲的總得分不小于2的概率尸=上io=工1.

242

7.答案：24；112

解析：第一步，從第一行任選一個(gè)數(shù)，共有4種不同的選法；第二步，從第二行選一個(gè)與第一

個(gè)數(shù)不同列的數(shù)，共有3種不同的選法；第三步，從第三行選一個(gè)與第一、二個(gè)數(shù)均不同列的

數(shù)，共有2種不同的選法；第四步，從第四行選一個(gè)與第一、二、三個(gè)數(shù)均不同列的數(shù)，只有

1種選法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為4x3x2x1=24.

先按列分析，每列必選出一個(gè)數(shù)，故所選4個(gè)數(shù)的十位上的數(shù)字分別為1,2,3,4.再按行分

析，第一、二、三、四行個(gè)位上的數(shù)字的最大值分別為1,3,3,5,故從第一行選21,從第

二行選33,從第三行選43,從第4行選15,此時(shí)個(gè)位上的數(shù)字之和最大.故選中方格中的4

個(gè)數(shù)之和的最大值為21+33+43+15=112.

8.答案：(1)0.686

⑵(i)甲

(ii)甲

解析：(1)設(shè)4="甲、乙所在隊(duì)進(jìn)入第二階段”,則尸(4)=1—(1—0.4)3=0.784.

設(shè)人="乙在第二階段至少得5分”，則P(4)=l—(1—0.5)3=0.875.

設(shè)&="甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分”，

則尸(A)=P(A)-尸(4)=0.686.

(2)(i)設(shè)甲參加第一階段比賽時(shí)甲、乙所在隊(duì)得15分的概率為4,

則格=[]_(l_p)31q3=p/.(3_3p+p2).

設(shè)乙參加第一階段比賽時(shí)甲、乙所在隊(duì)得15分的概率為當(dāng)，

則與=[1_(1_4]/=卯3.(3_34+/).

則冷一2=的國(guó)2-3pq2+p1q1-3p2+3p2q-p2q2)=3pq(q-p)-(p+q-pq),

由0<?<q<l,得“一/?>0,p+q-pq=p+q(\-p)>Q,

所以編-2>0,即組〉？.

故應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

(ii)若甲參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)X的所有可能取值為0,5,10,

15.

P(X=0)=(1-p)3+[l—(l_p)31(l_q)3,

P(X=5)=[1-(1-p)31c；.q.(l-4,

P(X=1O)=[1——

P(X=15)=[1—(1—p)31cQ3,

所以E(X)=[1—(1—p)3].[15q(l—q)2+30/(1—q)+15/]=[1—(1_夕T].15q

=]5pq(p2-3p+3).

若乙參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)y的所有可能取值為0,5,10,15.

同理，可得E(y)=15pq(q2—3q+3).

E(X)-E(Y)=15pq^p2-3p-q2+3q)=15pq-(q-p)-(3—p-q),

由0<p<q<l,得q-P>0，3-p-q-3-(p+q)>0,

所以E(X)-E(y)>0,即E(X)>E(F).

故應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

?重難突破

L某林場(chǎng)有樹(shù)苗2000棵，其中松樹(shù)苗400棵.為調(diào)查樹(shù)苗的生長(zhǎng)情況，采用分層抽樣的方法抽

取一個(gè)容量50的樣本，則樣本中松樹(shù)苗的數(shù)量是（）

A.40B.30C.20D.10

2.某零售行業(yè)為了解宣傳對(duì)銷(xiāo)售額的影響，在本市內(nèi)隨機(jī)抽取了5個(gè)大型零售賣(mài)場(chǎng)，得到其宣

y的估計(jì)值為()

A.89.5B.90.5C.92.5D.94.5

3.甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有A,B,C,D,E五個(gè)研

學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，則4個(gè)學(xué)校中至少有3個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地不相同

的選擇種數(shù)共有（）

A.420B.460C.480D.520

4.某地區(qū)有10000名考生參加了高三模擬調(diào)研考試.經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)

分布N（92,42）,則數(shù)學(xué)成績(jī)位于［96,100］的人數(shù)約為（）

參考數(shù)據(jù)：P（//-cr<X<//+cr）?0.6827,P（//-2cr<X<//+2cr）?0.9545,

P（〃-3bWXW〃+3cr卜0.9973

A.455B.1359C.3346D.1045

5.一家水果店為了解本店蘋(píng)果的日銷(xiāo)售情況，記錄了過(guò)去200天的日銷(xiāo)售量（單位：kg）,將全

部數(shù)據(jù)按區(qū)間［50,60），［60,70），…，［90,100］分成5組,得到如圖所示的頻率分布直方圖：

八頻率/組距

0.04....................~

0.03..................................

0.02..................—

。卜1I____________>

°5060708090100日銷(xiāo)售量0

根據(jù)圖中信息判斷，下列說(shuō)法中不恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)是（）

A.圖中a的值為0.005

B.這200天中有140天的日銷(xiāo)售量不低于80kg

C.這200天銷(xiāo)售量的中位數(shù)的估計(jì)值為85kg

D.店長(zhǎng)希望每天的蘋(píng)果盡量新鮮，又能85%地滿(mǎn)足顧客的需要（在100天中，大約有85天可

以滿(mǎn)足顧客的需求），則每天的蘋(píng)果進(jìn)貨量應(yīng)為91kg

6.若L］（〃eN*）的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為16,則其展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.54B.-54C.108D.-108

7.生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只,

則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為（）

8.已知事件A,3滿(mǎn)足P(A)=0.6,PGB)=0.1,則()

A.若A與3相互獨(dú)立，則P(AB)=0.06

B.若A與3互斥，P(AB)=0.06

C若P(B)+P(C)=1,則C與5相互對(duì)立

D.若則P(A3)=06

9.某班統(tǒng)計(jì)一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均分與方差，計(jì)算完畢才發(fā)現(xiàn)有個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)還未錄入，只

好重算一次.已知原平均分和原方差分別為"$2,新平均分和新方差分別為第，s：,若此同

學(xué)的得分恰好為"則()

A.x=Xi,s2=5j2B.x=xi,s2<C.x=x\,s2>sfD.x<Xi,s2=s；

10.正值元宵佳節(jié)，赤峰市“盛世中華?龍舞紅山”紀(jì)念紅山文化命名七十周年大型新春祈?；?/p>

動(dòng)中，有4名大學(xué)生將前往3處場(chǎng)地A,B,C開(kāi)展志愿服務(wù)工作.若要求每處場(chǎng)地都要有志愿

者，每名志愿者都必須參加且只能去一處場(chǎng)地，則當(dāng)甲去場(chǎng)地A時(shí)，場(chǎng)地3有且只有1名志

愿者的概率為()

A.-B.—C.—D.-

450115

11.一次知識(shí)競(jìng)賽中，共有A,B,C,D,E五道題，參賽人從中抽出三道題回答，每題的分值

如下：

ABCDE

分值1020202030

答對(duì)該試題可得相應(yīng)的分值，答錯(cuò)不得分，得分不低于60分可以獲獎(jiǎng).已知參賽人甲答對(duì)A題

的概率為2,答對(duì)3,C。題的概率均為工，答對(duì)E題的概率為工，則甲能獲獎(jiǎng)的概率為()

424

A.11B.2Lc.2D.”

3203203232

12.隨著互聯(lián)網(wǎng)普及和技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)游戲已成為當(dāng)今社會(huì)的一種流行文化，也是青少

年學(xué)習(xí)、娛樂(lè)和社交的重要方式.但隨著網(wǎng)絡(luò)游戲的推廣發(fā)展，一些青少年對(duì)其過(guò)度依賴(lài)，甚

至對(duì)心理健康產(chǎn)生了不可忽視的影響.“預(yù)防網(wǎng)絡(luò)游戲沉迷，關(guān)愛(ài)青少年心理健康，已成為亟

需破解的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題某款網(wǎng)絡(luò)游戲的規(guī)則如下：參與者每一局需投一枚游戲幣，每局通關(guān)的

概率為50%,若該局通關(guān)，參與者可以贏得兩個(gè)游戲幣.遇到兩種情況會(huì)自動(dòng)結(jié)束游戲：一種

是手中沒(méi)有游戲幣；一種是手中游戲幣到預(yù)期的N個(gè).設(shè)當(dāng)參與者手中有九個(gè)（0W/WN）游

戲幣時(shí)，最終手中沒(méi)有游戲幣的概率為P（〃），下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.P（0）=l,P（N）=0

8.記乂=參與者通關(guān)的局?jǐn)?shù)，在前13局中，￡（X）=6.5,D（X）=3.25

C.p（n+l）=ip（n）+^P（n-l）

D.若參與者最初手中有20個(gè)游戲幣，他希望贏到100個(gè)，則他輸光的概率為士

5

13.（多選）在我們發(fā)布的各類(lèi)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，同比和環(huán)比都是反映增長(zhǎng)速度的核心數(shù)據(jù)指標(biāo).如

圖是某專(zhuān)業(yè)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)的2023年1-12月中國(guó)校車(chē)銷(xiāo)量走勢(shì)圖，則下列結(jié)論正確的是（）

增長(zhǎng)率

241.6%

250%——同比增長(zhǎng)率

--環(huán)比增長(zhǎng)率

150%

86.9%

70.4%

50%A

14.8%/、/\°/

-28.9%,入y33.9%,12.7%'的號(hào)瓢，V-19.9%

-43.0/0一X2、—，-9.5%-52渺----王珍一----------

-50%

~150%1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月月份

A.8月校車(chē)銷(xiāo)量的同比增長(zhǎng)率與環(huán)比增長(zhǎng)率都是全年最高

B.1-12月校車(chē)銷(xiāo)量的同比增長(zhǎng)率的平均數(shù)小于環(huán)比增長(zhǎng)率的平均數(shù)

C.1-12月校車(chē)銷(xiāo)量的環(huán)比增長(zhǎng)率的極差大于同比增長(zhǎng)率的極差

D.1-12月校車(chē)銷(xiāo)量的環(huán)比增長(zhǎng)率的方差大于同比增長(zhǎng)率的方差

14.（多選）關(guān)于下列命題中，說(shuō)法正確的是（）

A.已知XB（n,p），若￡回）=30,。（*）=20，則°

B.數(shù)據(jù)91,72,75,85,64,92,76,78,86,79的45%分位數(shù)為77

C.已知JN（0,l），若尸片＞1）=°,則P（—JVO）=；—p

D.某校三個(gè)年級(jí)，高一有400人，高二有360人.現(xiàn)按年級(jí)分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全

校抽取57人，已知從高一抽取了20人,則應(yīng)從高三抽取19人

10

15.（多選）對(duì)于二項(xiàng)式卜+二J（機(jī)為常數(shù)且加wo）,以下正確的是（）

A.展開(kāi)式有常數(shù)項(xiàng)

B.展開(kāi)式第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

C.若m=2,則展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為3"

D.（x+生在上恒成立，貝U心0

16.某同學(xué)喜愛(ài)籃球和跑步運(yùn)動(dòng).在暑假期間，該同學(xué)下午去打籃球的概率為上.若該同學(xué)下午去

4

打籃球，則晚上一定去跑步；若下午不去打籃球，則晚上去跑步的概率為2.已知該同學(xué)在某

3

天晚上去跑步，則下午打過(guò)籃球的概率為..

17.若［2V++］展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為128,則展開(kāi)式中l(wèi)的系數(shù)為.

18.某校高二學(xué)生一次數(shù)學(xué)診斷考試成績(jī)（單位：分）X服從正態(tài)分布N（110,102）,從中抽取一個(gè)

同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)3記該同學(xué)的成績(jī)9O<JWHO為事件A,記該同學(xué)的成績(jī)80<jW100為事件

3,則在A事件發(fā)生的條件下3事件發(fā)生的概率P（5|A）=.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）附參考數(shù)據(jù):

P（"一b<X<〃+b）p0.68；P（以一2（r<X<〃+2cr）?0.95；P（"-3cr<X<〃+3cr）?0.99.

19.已知隨機(jī)變量4的取值為i（i=0,l,2）.若PC=0）=（，E"）=l,則。（24—3）=.

20.編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球，有放回地取三次，每次取一個(gè)，記機(jī)表示前兩個(gè)球號(hào)碼的

平均數(shù)，記〃表示三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則機(jī)與〃之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.2的概率是

21.如圖是某投資公司2012年至2021年每年的投資金額X（單位：萬(wàn)元）與年利潤(rùn)增量Y（單

位：萬(wàn)元）的散點(diǎn)圖.該投資公司為了預(yù)測(cè)2022年投資金額為20萬(wàn)元時(shí)的年利潤(rùn)增量，建立

了y關(guān)于X的兩個(gè)回歸模型.模型①：由最小二乘公式可求得y與X的線(xiàn)性回歸方程：

F=2.50X-2.50；模型②：由圖中樣本點(diǎn)的分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線(xiàn)F=blnX+a的

101010

附近，對(duì)投資金額X做換元，令f=InX,則y="f+a,且有ZG=22,￡%=230,=569,

Z=11=1Z=1

10

Zf=50.92.

i=l

45年利潤(rùn)增量w萬(wàn)元

40

35

30

25

20

15

10

5

°1234567891011121314151617181920

投資金額W萬(wàn)元

（1）根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中y關(guān)于x的回歸方程；

（2）分別利用這兩個(gè)回歸模型，預(yù)測(cè)投資金額為20萬(wàn)元時(shí)的年利潤(rùn)增量（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.

.th卜「同_

附：樣本點(diǎn)=的最小二乘估計(jì)公式為8=上―------；—,4=y-百.參考數(shù)

1=1

據(jù)：In2ao.6931,ln5?1.6094.

22.進(jìn)入12月就到了貴陽(yáng)市附近草莓采摘的時(shí)間，某草莓園為了制定今年的草莓銷(xiāo)售策略，隨

機(jī)抽取了去年100名來(lái)園采摘顧客的消費(fèi)情況，得到如圖的頻率分布

直方圖.

（1）求。的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)顧客消費(fèi)的中位數(shù)；

（2）若把這100名顧客中消費(fèi)超過(guò)120元的稱(chēng)為“超級(jí)消費(fèi)者”,完成下表，并判斷是否有95%

的把握認(rèn)為“超級(jí)消費(fèi)者”與性別有關(guān).

男女總計(jì)

超級(jí)消費(fèi)者828

非超級(jí)消費(fèi)者32

總計(jì)100

附：/=n^ad-bcf

n=a+b+c+d.

“(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（方2刊0.500.400.250.150.1000.0500.025

k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024

23.為促進(jìn)全民閱讀，建設(shè)書(shū)香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書(shū)好、讀好書(shū)、好讀

書(shū)”的號(hào)召，并開(kāi)展閱讀活動(dòng).開(kāi)學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了高一年級(jí)共1000名學(xué)生的假期日均閱讀時(shí)

間（單位：min）,得到了如圖的頻率分布直方圖，若前兩個(gè)小矩形的高度分別為0.0075,0.0125,

后三個(gè)小矩形的高度之比為3:2:1.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)高一年級(jí)1000名學(xué)生假期日均閱讀時(shí)間的平均數(shù)（同一組中

的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.

（2）開(kāi)學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時(shí)間不低于60min的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取

6名學(xué)生作為代表分兩周進(jìn)行國(guó)旗下演講.假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生中假期日均閱讀時(shí)間處

于［80,100）的人數(shù)為&,求隨機(jī)變量&的分布列與數(shù)學(xué)期望.

24.食品有三個(gè)等級(jí)：有機(jī)食品、綠色食品、無(wú)公害食品.某調(diào)查機(jī)構(gòu)在某大型超市隨機(jī)調(diào)查了

50種不同的食品，利用食品分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下表：

等級(jí)有機(jī)食品綠色食品無(wú)公害食品

種類(lèi)101525

（1）將頻率視為概率，從這50種食品中有放回地隨機(jī)抽取4種，求恰好有2種食品是有機(jī)食

品的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；

（2）用分層隨機(jī)抽樣的方法從這50種食品中抽取10種，再?gòu)某槿〉?0種食品中隨機(jī)抽取3

種，X表示抽取的是綠色食品種類(lèi)的數(shù)量，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.

25.2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨百年華誕.中國(guó)站在“兩個(gè)一百年”的歷史交匯點(diǎn)，全面建設(shè)社會(huì)主義

現(xiàn)代化國(guó)家新征程即將開(kāi)啟.2021年3月23日，中宣部介紹中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒?dòng)

八項(xiàng)主要內(nèi)容，其中第一項(xiàng)是結(jié)合鞏固深化“不忘初心、牢記使命”主題教育成果，在全體黨

員中開(kāi)展黨史學(xué)習(xí)教育.這次學(xué)習(xí)教育貫穿2021年全年，總的要求是學(xué)史明理、學(xué)史增信、學(xué)史

崇德、學(xué)史力行，教育引導(dǎo)黨員干部學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事，開(kāi)新局.為了配合這次學(xué)黨史活動(dòng),

某地組織全體黨員干部參加黨史知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從參加人員中隨機(jī)抽取100人，并對(duì)他們的分?jǐn)?shù)

（1）現(xiàn)從這100人中隨機(jī)抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為J,試求隨機(jī)變量J

的分布列及期望；

（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該地參加黨史知識(shí)競(jìng)賽人員的分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布N（〃Q2）,

其中“近似為樣本平均數(shù)，/近似為樣本方差$2,經(jīng)計(jì)算s2=192.44.現(xiàn)從所有參加黨史知識(shí)

競(jìng)賽的人員中隨機(jī)抽取500人，且參加黨史知識(shí)競(jìng)賽的人員的分?jǐn)?shù)相互獨(dú)立，試問(wèn)這500名參

賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少？

參考數(shù)據(jù)：&92.44。13.9,P(〃-cr<XW〃+cr)=0.6827,P(〃-2cr<XW〃+2b)=0.9545,

P(〃—3b<XW〃+3。)=0.9974.

答案以及解析

1.答案：D

解析：設(shè)樣本中松樹(shù)苗的數(shù)量為〃棵，根據(jù)題意，可得巴&=解得〃=10,

200050

即樣本中松樹(shù)苗的數(shù)量為10顆.

故選：D.

2.答案：B

-3+4+5+6+7-45+50+60+65+70〃

解析：由表中數(shù)據(jù)可知,x=----------------y=--------------------------=58，

一5

所以58=6.5*5+6，解得6=25.5,

所以當(dāng)宣傳費(fèi)用x=10時(shí)，銷(xiāo)售額y的估計(jì)值為6.5x10+25.5=905

故選：B.

3.答案：C

解析：求不相同的選擇種數(shù)有兩類(lèi)辦法：恰有3個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地不同有C；A；種方法，

4個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地都不相同有A；種方法，

所以不相同的選擇種數(shù)有C；A；+A：=6x60+120=480(種).

故選：C.

4.答案：B

解析：P(96<X<100)="84"［"100);“88C)。?！?9,則數(shù)學(xué)成績(jī)位于［96,100］的

人數(shù)約為0.1359x10000=1359,

故選：B.

5.答案：D

解析：對(duì)于選項(xiàng)A,由圖知(a+a+0.02+0.04+0.03)xl0=l,解得a=0.005，所以選項(xiàng)A正確，

對(duì)于選項(xiàng)B,由圖知日銷(xiāo)售量不低于80kg的頻率為0.7，由0.7x200=140,所以選項(xiàng)B正確，

對(duì)于選項(xiàng)C,設(shè)中位數(shù)為x,由(尤-80)x04=0.5-0.2-0.05-0.05,解得％=85，所選項(xiàng)C正

確，

對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)第85%分位數(shù)為。，貝U有(100-4)x0.03=0.15,得到^=95,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤,

故選：D.

6.答案：A

解析：令兀=1，可得(3-1)"=16，所以“=4,

展開(kāi)式的通項(xiàng)為=C：(3x)J(-1廣3飛產(chǎn)

令4—2x=0，得x=2.

所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(—1)2x32^=54.

故選：A.

7.答案：B

解析：設(shè)其中做過(guò)測(cè)試的3只兔子為a,b,c,剩余的2只為A,B,則從這5只中任取3只

的所有取法有{a,A,c},{a,b,A}>[a,b,B}>[a,c,A}>[a,c,B},{a,A,B},{Z?,c,A},{b,c,B}>

{b,A,B},{c,A,8}共10種.其中恰有2只做過(guò)測(cè)試的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B),

{瓦c,A},{瓦c,B}共6種，所以恰有2只做過(guò)測(cè)試的概率為4=|，選B.

8.答案：D

解析：選項(xiàng)A,若A與3相互獨(dú)立，則A與方相互獨(dú)立，

所以豆)=P(A)P(B)=0.6x(l-0.1)=0.54w0.06,故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,若A與3互斥，則A,3不可能同時(shí)發(fā)生，

即P(AB)=0,故B錯(cuò)誤;

選項(xiàng)C,若尸(3)+P(C)=l,則由于不確定C與3是否互斥，

所以無(wú)法確定兩事件是否對(duì)立，如拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察試驗(yàn)的結(jié)果,

設(shè)事件。="出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”；事件3="出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不大于3”，

則P(B)=P(C)=1,P(B)+P(C)=1,

但事件5,C并不互斥，也不對(duì)立，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,若BRA,則AB=A,

則P(A[5)=尸⑷=0.6,故D正確

故選：D.

9.答案：C

解析：設(shè)這個(gè)班有〃個(gè)同學(xué)，分?jǐn)?shù)分別是q,％,生，…，4

第，個(gè)同學(xué)的成績(jī)。,=元沒(méi)錄入，

第一次計(jì)算時(shí)，總分是5—1方,

方差S?++~X)++

第二次計(jì)算時(shí)，到=（"一1"+元=了,

n

72-1

方差S；=▲[（4]-'亍）2+（%—?。?++12

+(a.-x)+(?-%)++(%---------S,

;/+1n

故52〉S；.

故選：C.

10.答案：A

解析：設(shè)事件A為甲去場(chǎng)地A,事件3為場(chǎng)地3有且只有1名志愿者，

事件A：甲去場(chǎng)地A,當(dāng)剩下的3名大學(xué)生只去場(chǎng)地A,B,C,有A；=6種方案，當(dāng)剩下的3

名大學(xué)生只去場(chǎng)地3,C時(shí)，有C；A；=6種方案，共12種不同方案,

事件：甲去場(chǎng)地A,且場(chǎng)地3有且只有1名志愿者，場(chǎng)地3,C各有1名志愿者時(shí)，有C；A；=6

種方案，共9種方案，

丁當(dāng)甲去場(chǎng)地A時(shí)，場(chǎng)地3有且只有1名志愿者的概率為：°（例4）=瑞=常=3=?

故選：A.

1L答案：A

C；3119

解析：若從B,C,。中只選擇了一題，則甲能獲獎(jiǎng)的概率片=X—X—

C；424320

3

若從B,C,。中選擇了兩題，則甲能獲獎(jiǎng)的概率6=

160

若從3,C,。中選擇了三題，則甲能獲獎(jiǎng)的概率6=

故甲能獲獎(jiǎng)的概率尸=耳+公+巴=也

123320

故選：A.

12.答案：C

解析：對(duì)于A,當(dāng)〃=0時(shí)，游戲幣已經(jīng)輸光了，因此P(O)=1,

當(dāng)“=N時(shí)，參與者已經(jīng)到了終止游戲的條件，因此輸光的概率P(N)=0,故A正確;

對(duì)于B,由題意可得，X3(13,0.5),

所以E(X)=13x0.5=6.5,D(X)=13x0,5x(1-0.5)=3.25,故B正確;

對(duì)于C,參與者有〃個(gè)游戲幣的狀態(tài)，可能來(lái)源于有”—1個(gè)游戲幣再贏一局，

也可能來(lái)源于有〃+1個(gè)游戲幣再輸一局，

由全概率公式，P(n)=-P(n-1)+-P(n+1),故C錯(cuò)誤；

22

對(duì)于D,由c得尸5+1)—p(“)=p(〃)—尸(”—1),

所以P(〃)為等差數(shù)列，其中首項(xiàng)P(0)=l,

設(shè)公差為d，則P(N)=P(0)+Nd,即0=l+M/，d=--，

N

所以「(")=1—2,當(dāng)”=20,N=100時(shí)，P(20)=l--=-，故D正確.

N1005

故選：C.

13.答案：BCD

解析：對(duì)于A,2023年8月校車(chē)銷(xiāo)量的同比增長(zhǎng)率比9月的低，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由校車(chē)銷(xiāo)量走勢(shì)圖知1—12月校車(chē)銷(xiāo)量的同比增長(zhǎng)率的平均數(shù)為負(fù)數(shù)，環(huán)比增長(zhǎng)率的

平均數(shù)是正數(shù)，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,1—12月校車(chē)銷(xiāo)量的環(huán)比增長(zhǎng)率的極差為241.6%-(-57.9%)=299.5%,同比增長(zhǎng)率的

極差為(-28.9%)-(-68.5%)=39.6%,所以環(huán)比增長(zhǎng)率的極差大于同比增長(zhǎng)率的極差，故選項(xiàng)C

正確；

對(duì)于D,由校車(chē)銷(xiāo)量走勢(shì)圖知1—12月校車(chē)銷(xiāo)量的環(huán)比增長(zhǎng)率的波動(dòng)大于同比增長(zhǎng)率的，所以

環(huán)比增長(zhǎng)率的方差大于同比增長(zhǎng)率的方差，故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

14.答案：CD

解析：對(duì)于A,X?B（n,p）,

'E（X）=np=30,

￡）（X）=（1-p）=20,

:A-p=-,解得p=故A錯(cuò)誤；

33

對(duì)于B將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?4,72,75,76,78,79,85,86,91,92,

10x45%=4.5，

「.45%分位數(shù)為第5個(gè)數(shù),即78,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,V~N(0,l)，

P(-I<4:<O)=1[I-P(^>I)-PC<-i)]=1[i-2PC>1)]-故c正確；

對(duì)于D,抽樣比為29_=J_,

40020

二高二應(yīng)抽取360x」-=18人，則高三應(yīng)抽取57—20—18=19人，故D正確.

20

故選：CD.

15.答案：AB

解析：對(duì)于A中，由二項(xiàng)式卜+生的展開(kāi)式的通項(xiàng)為4+1=/產(chǎn)-(生丫="(工產(chǎn)-2"

令10-2廠(chǎng)=0,可得r=5,此時(shí)展開(kāi)式的第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以A正確;

對(duì)于B中，由二項(xiàng)式1+二］的展開(kāi)式，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，

可得展開(kāi)式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以B正確；

對(duì)于C中，當(dāng)機(jī)=2時(shí)，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和是21。，所以C錯(cuò)誤;

對(duì)于D中，由(x+2)21在XG［1,3］上恒成立，

可得x+或x+'W-1在xe［l,3］上恒成立，

XX

即小之尤一九2或加0—%—%2在X￡［1,3］上怛成立，

又由g(%)=X-%2在［1,3］上單調(diào)遞減,所以g(x)max=g(l)=O，

函數(shù)在［1,3］上單調(diào)遞減，所以gGL=g⑶二一12，

所以加NO或znV-12,所以D錯(cuò)誤.

故選：AB.

16.答案：2

11

解析：設(shè)下午打籃球?yàn)槭录?晚上跑步為事件3,易知P(A)=P(AB)=；,P(B|A)=

???P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)+P(A).P(B\A)=^A^=^,

…篇4

故答案為

17.答案：280

解析：由題意可知：二項(xiàng)式系數(shù)和為2"=128，解得〃=7,

則展開(kāi)式的通項(xiàng)為J；*］=0(2/廣［1］=27f.C；H廠(chǎng)=0』,…,7,

令21-乙=7,解得廠(chǎng)=4，

2

所以展開(kāi)式中一的系數(shù)為23=280.

故答案為：280.

18.答案：—

解析：由題意可知〃=11°,”10,事件為9。＜旌1。0,90=〃-2°,100=〃-b,

所以，尸(AB)=P(90<5V100)=P(〃_2b<JV〃一cr)

_P(jU-2a<X<jU+2a)-P(jU-a<X<〃+cr)_0.95-0.68_27

一~1―2—200,

尸(4)二尸(90<、W11O)二尸(〃一2b<、W〃)=P(〃-2a<jW〃+2<);爵

由條件概率公式得P國(guó)力=以黑=工二迎=衛(wèi)，故答案為名.

,1)P(A)200959595

19.答案:號(hào)

5

解析：隨機(jī)變量4的取值為M=0,l,2),P(^=0)=|，￡(4)=1，

P(^=1)+2P(^=2)=1解得…4

4

P(^=l)+P(^=2)=-3)J

所以℃)=(0_1)2/(+(1_1)2><|+(2_1)2><(=],

故。(2J—3)=22。(&)=1.

故答案為：

5

20.答案：-

8

解析：因?yàn)榉呕氐某槿⌒∏?，所以基本事件總?shù)為C：?C：?C：=64,

設(shè)抽取的前兩個(gè)球的號(hào)碼為a,b,第三個(gè)球的號(hào)碼為c,

根據(jù)題意有…式片T

inn.,a+ba+b+c

貝I」|相一〃|=------------<0,2,

23

整理得|5(a+b)—10c|W6,

即5(a+b)-6<10c<5(?+Z?)+6,

當(dāng)c=l時(shí)，4<5(a+Z?)<16,此時(shí)(a,力為(1,1),(1,2),(2,1),3種情況；

當(dāng)c=2時(shí)，14<5(々+與<26，此時(shí)3切為(1,2)，(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2),9

種情況；

當(dāng)c=3時(shí)，24<5(a+b)W36,此時(shí)(。力)為(1,4)，(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,3),(4,3),(3,4),9

種情況；

當(dāng)c=4時(shí)，34<5(a+b)<46,

此時(shí)(a,6)為(4,3)，(3,4),(4,4),3種情況；

綜上得，滿(mǎn)足條件的①力)共有3+9+3+9=24,

所以滿(mǎn)足條件的概率為馬=3.

648

故答案為：-

8

21.答案：(1)F=251nX—32

(2)模型①的年利潤(rùn)增量的預(yù)測(cè)值為47.50萬(wàn)元

模型②的年利潤(rùn)增量的預(yù)測(cè)值為42.89

1010_

解析：(1)由題意知，￡力=22,2%=230,可得7=2.20,y=23.

i=li=l

569.00-10x2.20x23?

二25,

W")2格-"50.92-10x2.20x2.20

i=li=\

所以d=7—R=23-25x2.20=-32,

所以模型②中￥關(guān)于X的回歸方程為F=251nX-32.

(2)當(dāng)X=20時(shí)，模型①的年利潤(rùn)增量的預(yù)測(cè)值為X=2.50x20-2.50=47.50(萬(wàn)元),

當(dāng)X=20時(shí)，模型②的年利潤(rùn)增量的預(yù)測(cè)值為

^25xln20-32=25x(21n2+ln5)-32?25x(2x0.6931+1.6094)-32=42.89(萬(wàn)元).

22.答案：(1)a=0.0025；中位數(shù)zn=95.56

(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析；有95%的把握認(rèn)為“超級(jí)消費(fèi)者”與性別有關(guān)

解析：(1)由題意，得(0.009+0.006+0.0045+0.003+a)x40=l,解得a=0.0025.

易知中位數(shù)在［80,120)之間.

設(shè)中位數(shù)為m,

則(0.003+0,006)x40+0.009x(m-80)=0.009;77—0.36=0.5,

解得根Q95.56.

(2)補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：

男女總計(jì)

超級(jí)消費(fèi)者82028

非超級(jí)消費(fèi)者403272

總計(jì)4852100

100x(8x32-20x40)2

由題意，得/=?5.88>3.841

28x72x48x52

所以有95%的把握認(rèn)為“超級(jí)消費(fèi)者”與性別有關(guān).

23.答案:(1)67(min)

(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為1

解析：(1)由題意知，第一、二組的頻率分別為0.0075x20=0.15,0.0125x20=0.25,剩余三

組的頻率之和為1-0.15-0.25=0.6.

又后三個(gè)小矩形的高度之比為3:2:1,

所以后三組的頻率分別為°.6x1=0.3,21

0.6x=