離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征（學(xué)生版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第91講離散型隨機(jī)變量的分布列與

數(shù)字特征

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一.離散型隨機(jī)變量的分布列

1、隨機(jī)變量

在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字

表示.在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化.像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而

變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用字母X,Y,a77,…表示.

注意：

(1)一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)滿(mǎn)足下列條件：①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②

試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)

果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前不能確定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果.這種試驗(yàn)就是隨機(jī)試

驗(yàn).

(2)有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來(lái)表示.如擲一枚硬幣，

X=。表示反面向上，X=1表示正面向上.

(3)隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若X是隨機(jī)變量，Y=aX+b,a,b是常數(shù)，則￥也是

隨機(jī)變量.

2、離散型隨機(jī)變量

對(duì)于所有取值可以一一列出來(lái)的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量.

注意：

(1)本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值.

(2)離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機(jī)變量的可能取值是

某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨

機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一

列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出.

3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示

一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為無(wú)/馬，，％,?,4,X取每一個(gè)值

%；(z=l,2,,ri)的概率P(X=xi)=Pj,以表格的形式表示如下：

X%%XiXn

PPiPiPiPn

我們將上表稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列.有時(shí)為了簡(jiǎn)單

起見(jiàn)，也用等式尸(X=%)=Pj,i=1,2,，〃表不X的分布列.

4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：

(1)Pj20,i=1,2,,n;(2)0+己++=1.

注意：

①性質(zhì)(2)可以用來(lái)檢查所寫(xiě)出的分布列是否有誤，也可以用來(lái)求分布列中的某些參

數(shù).

②隨機(jī)變量J所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的

概率.

知識(shí)點(diǎn)二.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1、均值

若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X%%xiXn

pPiPiPiPn

稱(chēng)E(X)=%/]+尤2P2++xiPi++無(wú)=1為隨機(jī)變量x的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映

了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

注意：(1)均值&X)刻畫(huà)的是X取值的“中心位置”，這是隨機(jī)變量X的一個(gè)重要

特征；

(2)根據(jù)均值的定義，可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值.但反過(guò)來(lái)，兩個(gè)不

同的分布可以有相同的均值.這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機(jī)變量

的均值.而均值只是刻畫(huà)了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定

隨機(jī)變量的性質(zhì).

2、均值的性質(zhì)

(1)E(C)=C(C為常數(shù)).

(2)若y=其中a,人為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且

E(aX+b)=aE(X)+b.

(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).

(4)如果X1,X2相互獨(dú)立，則E(X/X2)=E(X)E(X2).

3、方差

若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X%%XiXn

PP1P1PiPn

則稱(chēng)。(X)=￡(x,-E(X))2R為隨機(jī)變量X的方差，并稱(chēng)其算術(shù)平方根河西為隨機(jī)

Z=1

變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

注意：(I)(%_f(X))2描述了%(i=l,2,,”)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度，而。(X)

是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫(huà)了隨機(jī)變量x與其均值E(X)的平均偏離程度.隨機(jī)變量

的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)

變量偏離于均值的平均程度越小；

(2)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方.

4、方差的性質(zhì)

(1)若￥=西+6,其中。力為常數(shù)，則y也是隨機(jī)變量，且。(aX+b)=a2r?(X).

(2)方差公式的變形：O(X)=E(X2)-[E(X)]2.

必考題型全歸納

題型一：離散型隨機(jī)變量

例1.(2024?高二課時(shí)練習(xí))下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為()

A.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和

B.某人早晨在車(chē)站等出租車(chē)的時(shí)間

C.連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)

D.袋中有2個(gè)黑球6個(gè)紅球，任取2個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性

例2.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)白球、3個(gè)黑球，從

中任取2個(gè)，則可以作為隨機(jī)變量的是()

A.至少取到1個(gè)白球B.取到白球的個(gè)數(shù)

C.至多取到1個(gè)白球D.取到的球的個(gè)數(shù)

例3.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）下面是離散型隨機(jī)變量的是（）

A.電燈泡的使用壽命X

B.小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)X

C.測(cè)量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值X

D.一個(gè)在y軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在y軸上的位置x

變式1.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸

了得。分，共下三局.用4表示甲的得分，則歸=3｝表示（）

A.甲贏三局

B.甲贏一局輸兩局

C.甲、乙平局三次

D.甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次

變式2.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)一批產(chǎn)品逐個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，第一次檢測(cè)到次品前已檢

測(cè)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為福貝I4人表示的試驗(yàn)結(jié)果為（）

A.第k-1次檢測(cè)到正品，而第上次檢測(cè)到次品

B.第4次檢測(cè)到正品，而第k+1次檢測(cè)到次品

C.前k-1次檢測(cè)到正品，而第上次檢測(cè)到次品

D.前上次檢測(cè)到正品，而第k+1次檢測(cè)到次品

變式3.（2024?浙江?高三專(zhuān)題練習(xí)）袋中有大小相同的紅球6個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每

次任意取出一個(gè)球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量X,則X的

可能取值為（）

A.1,2,6B.1,2,7C.1,2,11D.1,2,3…

題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列

例4.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）數(shù)字1,2,3,4任意排成一列，如果數(shù)字太恰好出

現(xiàn)在第左個(gè)位置上，則稱(chēng)有一個(gè)“巧合”，求“巧合”個(gè)數(shù)J的分布列.

例5.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）假如一段樓梯有11個(gè)臺(tái)階，現(xiàn)規(guī)定每步只能跨1個(gè)

或2個(gè)臺(tái)階，則某人走完這段樓梯的單階步數(shù)J的分布列是.

例6.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0,

兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1,一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2,將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積J的分

布歹！1是?

變式4.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第

一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局

的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿(mǎn)6局時(shí)停止.設(shè)在每

局中參賽者勝負(fù)的概率均為言，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)4的分布列

是.

變式5.（2024?全國(guó)?高考真題）從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)

其中有4個(gè)紅球，則隨機(jī)變量4的概率分布為：

變式6.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量4的分布為

尸（。=|Lak（k=1,2,3,4,5）,貝I］尸.

變式7.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）將3個(gè)小球任意地放入4個(gè)大玻璃杯中，一個(gè)杯子

中球的最多個(gè)數(shù)記為X,則X的分布列是.

變式8.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)。為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱

中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，忑=0;當(dāng)兩條棱平行時(shí)，忑的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)

兩條棱異面時(shí)，。=1,則隨機(jī)變量C的分布列為.

【解題方法總結(jié)】

求解離散型隨機(jī)變量分布列的步驟：

(1)審題

(2)計(jì)算

計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率

(3)列表

列出分布列，并檢驗(yàn)概率之和是否為1.

(4)求解

根據(jù)均值、方差公式求解其值.

題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

例7.(2024?江西吉安?高三江西省泰和中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分

布，且P(X=0)=2a,尸(X=l)=a,那么.

例8.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)隨機(jī)變量J的分布列如下:

12345678910

P%a2a3%a5〃6%〃8%%0

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)｛%｝為等差數(shù)列時(shí)，%+4=g；

②當(dāng)｛%｝為等差數(shù)列時(shí)，公差。<d<g；

③當(dāng)數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足%=/但二：!,？,…⑼時(shí)，即）=J；

④當(dāng)數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足時(shí),P（"左）=42以小=1,2,…10）時(shí)，。，=10〃：：+1）

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

例9.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）某一隨機(jī)變量4的概率分布如下表，且E信）=1.5,

則機(jī)的值為.

自0123

P0.2mn0.3

變式9.（2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,其

分布列為

X123

P尸24

若E（X）=g,則鳥(niǎo)_《=.

變式10.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量J的概率分布列為

401

P9"—a3—8Q

則常數(shù)。=

設(shè)隨機(jī)變量X的分布列尸（X=，）=5（，=1,2,3）,

變式11.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）

貝UP（X?2）=.

變式12.（2024?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量X的分布列如下列表格所示，其中

?X]為X的數(shù)學(xué)期望，則E[X-E[X]]=.

X12345

P0.1a0.20.30.1

變式13.（2024?廣東汕頭?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛。“｝的公差為d,隨機(jī)變

量X滿(mǎn)足P（x=i）=4（0<q<1）,i=1,2,3,4,則d的取值范圍為.

變式14.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X02a

P0.20.4b

若磯X）<1.6,則正整數(shù)“=

【解題方法總結(jié)】

離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用

（1）利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；

（2）利用“隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和“求特

定事件的概率；

（3）可以根據(jù)性質(zhì)R+°2++p“=l及口NO,z=l,2,，"判斷所求的分布列是否

正確.

題型四：離散型隨機(jī)變量的均值

例10.（2024?貴州黔東南?高三校考階段練習(xí)）2022年10月16日至22日中共二十大在

北京召開(kāi)，二十大報(bào)告指出，必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力，人才是第一資源，創(chuàng)新是第一

動(dòng)力，這其實(shí)是我黨的一貫政策.某材料學(xué)博士畢業(yè)時(shí)恰逢國(guó)家大力倡導(dǎo)“開(kāi)辟發(fā)展新領(lǐng)域

新賽道，不斷塑造發(fā)展新動(dòng)能新優(yōu)勢(shì)”，于是同一幫志同道合的博士同學(xué)，在老家創(chuàng)辦新材

料公司，專(zhuān)注于二氧化硅、碳纖維增強(qiáng)陶瓷基、樹(shù)脂基三大類(lèi)復(fù)合材料的研發(fā)與生產(chǎn)，預(yù)

計(jì)到今年年底這三大類(lèi)復(fù)合材料盈利100萬(wàn)元的概率分別為0.8,0.5,0.4,若三大類(lèi)復(fù)合

材料到今年年底是否盈利100萬(wàn)元相互獨(dú)立，記三大類(lèi)復(fù)合材料有X類(lèi)到今年年底盈利

100萬(wàn)元，則X的數(shù)學(xué)期望E（X）=.

例11.（2024?上海寶山?高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）一個(gè)袋中裝有5個(gè)球，編號(hào)

為1,2,3,4,5,從中任取3個(gè)，用X表示取出的3個(gè)球中最大編號(hào)，則

3)=

例12.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎(jiǎng)金額為2元的彩

票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票

5張.1張彩票中獎(jiǎng)金額的均值是元.

變式15.（2024?上海普陀?曹楊二中?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)盒子里有1個(gè)紅球和2個(gè)綠

球，每次拿一個(gè)，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出綠球的個(gè)數(shù)為X,則E（X）=.

變式16.（2024?寧夏石嘴山?高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某同學(xué)在上學(xué)的路上要經(jīng)過(guò)3

個(gè)十字路口，在每個(gè)路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立，設(shè)該同學(xué)在三個(gè)路口遇到紅燈的概率分

別為：

（1）求該同學(xué)在上學(xué)路上恰好遇到一個(gè)紅燈的概率；

（2）若該同學(xué)在上學(xué)路上每遇到1個(gè)紅燈，到校打卡時(shí)間就會(huì)比規(guī)定打卡時(shí)間晚48秒，記

該同學(xué)某天到校打卡時(shí)間比規(guī)定時(shí)間晚X秒，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

變式17.（2024?陜西商洛?高三陜西省山陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）小李參加某項(xiàng)專(zhuān)業(yè)資

格考試，一共要考3個(gè)科目，若3個(gè)科目都合格，則考試直接過(guò)關(guān)；若都不合格，則考試

不過(guò)關(guān)；若有1個(gè)或2相科目合格，則所有不合格的科目需要進(jìn)行一次補(bǔ)考，補(bǔ)考都合格

的考試過(guò)關(guān)，否則不過(guò)關(guān).已知小李每個(gè)科目每次考試合格的概率均為0且

每個(gè)科目每次考試的結(jié)果互不影響.

⑴記“小李恰有1個(gè)科目需要補(bǔ)考”的概率為〃"），求"0的最大值點(diǎn)P0.

⑵以（1）中確定的A作為p的值.

（i）求小李這項(xiàng)資格考試過(guò)關(guān)的概率；

（ii）若每個(gè)科目每次考試要繳納20元的費(fèi)用，將小李需要繳納的費(fèi)用記為X元，求

E（X）.

變式18.（2024?河南開(kāi)封?高三通許縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）有一種雙人游戲，

游戲規(guī)則如下：一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)小球，其中有3個(gè)白色小球，2個(gè)紅

色小球，每次游戲雙方從袋中輪流摸出1個(gè)小球，摸后不放回，摸到第2個(gè)紅球的人獲

勝，同時(shí)結(jié)束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準(zhǔn)備下一次游戲，且本次游戲中輸

掉的人在下一次游戲中先摸球.小胡和小張準(zhǔn)備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由

小胡先摸球.

（1）在第一次游戲中，求在小胡第一輪摸到白球的情況下，小胡獲勝的概率；

（2）記3次游戲中小胡獲勝的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

變式19.（2024?河北保定?統(tǒng)考二模）某學(xué)校為了提高學(xué)生的運(yùn)動(dòng)興趣，增強(qiáng)學(xué)生身體

素質(zhì)，該校每年都要進(jìn)行各年級(jí)之間的球類(lèi)大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉

行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個(gè)年級(jí)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，每個(gè)年級(jí)各派5名

同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場(chǎng)的對(duì)陣同學(xué)），比賽時(shí)一個(gè)年級(jí)領(lǐng)先另一個(gè)年級(jí)兩場(chǎng)就

算勝利（即每?jī)蓚€(gè)年級(jí)的比賽不一定打滿(mǎn)5場(chǎng)），若兩個(gè)年級(jí)之間打成2:2則第5場(chǎng)比賽定

勝負(fù).已知高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對(duì)手的可能性均為高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)

對(duì)手的可能性均為高二每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對(duì)手的可能性均為且隊(duì)員、年級(jí)之

間的勝負(fù)相互獨(dú)立.

（1）求高二年級(jí)與高一年級(jí)比賽時(shí)，高二年級(jí)與高一年級(jí)在前兩場(chǎng)打平的條件下，最終戰(zhàn)勝

高一年級(jí)的概率.

（2）若獲勝年級(jí)積3分，被打敗年級(jí)積0分，求高三年級(jí)獲得積分的分布列和期望.

變式20.（2024?福建龍巖?統(tǒng)考二模）為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)

起體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比賽，經(jīng)過(guò)角逐，甲、乙兩人進(jìn)入最后的決賽.決賽先進(jìn)行兩天，

每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的人獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束.若甲、乙兩人

中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天甲、乙兩人各贏一天，則第三天只

進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為:，每局比賽

的結(jié)果沒(méi)有平局且結(jié)果互相獨(dú)立.

⑴記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列及E（X）；

⑵記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為Y,求P（Y<5）.

題型五：離散型隨機(jī)變量的方差

例13.（2024?吉林長(zhǎng)春?高三長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如

下：其中“久。成等差數(shù)列，若E（X）=g,則方差O（X）=.

①E（X）=2；②E（Y）=4；@D（X）=2.8；^D（Y）=14.

例15.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）甲、乙兩種零件某次性能測(cè)評(píng)的分值鼻〃的分布如

下，則性能更穩(wěn)定的零件是.

8910

P0.30.20.5

8910

P0.20.40.4

變式21.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量J的分布如下表:

若隨機(jī)變量4的期望值EC）=g,則。（2J+1）=

變式22.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）隨機(jī)變量J的分布列如下表:

自nn+1n+2

Pabc

其中0,6,c成等差數(shù)列，則的最大值為.

變式23.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若E（X）=g,則

變式24.（2024?北京西城?高三北京市第三十五中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）為了解某中學(xué)高一

年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的（1）班-（8）班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班

隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)

秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（x軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，y軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

（1）若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)1人，求該生

身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率；

⑵若從以上統(tǒng)計(jì)的高一（2）班和高一（4）班的學(xué)生中各抽出1人，設(shè)X表示2人中身體

素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；

（3）假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相

等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“芻=「'表示第七班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)

優(yōu)秀，“費(fèi)=。”表示第上班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（左=1,2,…,8）.寫(xiě)出方差

雙勁，。信2）,。信3）,。俗）的大小關(guān)系（不必寫(xiě)出證明過(guò)程）.

變式25.（2024?遼寧沈陽(yáng)?高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)乒乓球

比賽.已知每局甲勝的概率為0.6,乙勝的概率為0.4,甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.

⑴求這場(chǎng)比賽甲獲勝的概率；

⑵這場(chǎng)比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望（保留兩位有效數(shù)字）；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，計(jì)算這場(chǎng)比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的方差.

變式26.（2024?浙江?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為

2

若E（X）=§,

⑴求。（X）的值；

（2）若y=3X—2,求的值.

變式27.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）巴蜀中學(xué)進(jìn)行90周年校慶知

識(shí)競(jìng)賽，參賽的同學(xué)需要從10道題中隨機(jī)地抽取4道來(lái)回答，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正

確得10分，回答不正確得-10分.

（1）已知甲同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8,且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響，記

甲的總得分為X,求X的期望和方差；

（2）已知乙同學(xué)能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為y,求y的分布列.

變式28.（2024?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）小王去自動(dòng)取款機(jī)取款，發(fā)現(xiàn)自己忘記了6

位密碼的最后一位數(shù)字，他決定從0~9中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試，直到輸對(duì)密

碼，或者輸錯(cuò)三次銀行卡被鎖定為止.

（1）求小王的該銀行卡被鎖定的概率；

（2）設(shè)小王嘗試輸入該銀行卡密碼的次數(shù)為X,求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差.

變式29.(2024?福建寧德?高三福建省寧德第一中學(xué)校考階段練習(xí))甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)

行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)

目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為

0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

⑶設(shè)用y表示甲學(xué)校的總得分，比較DX和的大小(直接寫(xiě)出結(jié)果).

變式30.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩

個(gè)當(dāng)屬由兩位俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫(Markov)不等式和切

比雪夫(Chebyshev)不等式.馬爾科夫不等式的形式如下：

設(shè)X為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為E(X),則對(duì)任意￡>0,均有

馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值

概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系.當(dāng)X為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如

下：

設(shè)X的分布列為P(X=%)=p.,i=1,2,其中

piG(0,+oo),e[0,+co)(z=1,2,則對(duì)任意￡>0,P(X2e)=

Z=1

己卻"=—,其中符號(hào)Za表示對(duì)所有滿(mǎn)足王冷的指

X￡

Xj>￡Xi>￡￡￡xt>￡￡1=1￡'~

標(biāo)i所對(duì)應(yīng)的4求和.

切比雪夫不等式的形式如下：

設(shè)隨機(jī)變量X的期望為E(x),方差為O(x),則對(duì)任意￡>0,均有

川X-E(X)|泊卜竽

(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對(duì)離散型隨機(jī)變量X成立.

(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱(chēng)對(duì)治療某種疾病的有效率為80%.現(xiàn)隨機(jī)選擇了100名患

者，經(jīng)過(guò)使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式通過(guò)計(jì)算說(shuō)明藥廠

的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信.

【解題方法總結(jié)】

均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用若X是隨機(jī)變量，則"=/(X)一般仍是隨機(jī)變量，在求/7的

期望和方差時(shí)，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求V的分布列帶來(lái)的繁瑣運(yùn)算.

題型六：決策問(wèn)題

例16.(2024?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))為切實(shí)做好新冠疫情防控工作，有效、及時(shí)地控制

和消除新冠肺炎的危害，增加學(xué)生對(duì)新冠肺炎預(yù)防知識(shí)的了解，某校舉辦了一次“新冠疫

情”知識(shí)競(jìng)賽.競(jìng)賽分個(gè)人賽和團(tuán)體賽兩種.個(gè)人賽參賽方式為：組委會(huì)采取電腦出題的方

式，從題庫(kù)中隨機(jī)出10道題，編號(hào)為A，4，4，A4,L,Ao，電腦依次出題，參賽

選手按規(guī)則作答，每答對(duì)一道題得1。分，答錯(cuò)得。分.團(tuán)體賽以班級(jí)為單位，各班參賽人

數(shù)必須為3的倍數(shù)，且不少于18人，團(tuán)體賽分預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，其中預(yù)賽階段各班可

從以下兩種參賽方案中任選一種參賽：

方案一：將班級(jí)選派的3〃名參賽選手每3人一組，分成”組，電腦隨機(jī)分配給同一組的3

名選手一道相同的試題，3人均獨(dú)立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順

利出線；若這幾個(gè)小組都順利出線，則該班級(jí)晉級(jí)決賽.

方案二：將班級(jí)選派的3〃名參賽選手每〃人一組，分成3組，電腦隨機(jī)分配給同一組的〃

名選手一道相同的試題，每人均獨(dú)立答題，若這〃個(gè)人都回答正確，則該小組順利出線；

若這3個(gè)小組中至少有2個(gè)小組順利出線，則該班級(jí)晉級(jí)決賽.

4

（1）郭靖同學(xué)參加了個(gè)人賽，已知郭靖同學(xué)答對(duì)題庫(kù)中每道題的概率均為1,每次作答結(jié)果

相互獨(dú)立，且他不會(huì)主動(dòng)放棄任何一次作答機(jī)會(huì)，求郭靖同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望與方差；

（2）在團(tuán)體賽預(yù)賽中，假設(shè)A班每位參賽選手答對(duì)試題的概率均為常數(shù)p（O<p<l）,A班為

使晉級(jí)團(tuán)體賽決賽的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？請(qǐng)說(shuō)明理由.

例17.（2024?云南曲靖?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）從2024年起，云南省高考數(shù)學(xué)試卷中增

加了多項(xiàng)選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個(gè)選項(xiàng)，全部選對(duì)的得5分，部分選

對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分）.在某次模擬考試中，每道多項(xiàng)選題的正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)

的概率為P,正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的概率為（其中.現(xiàn)甲乙兩名學(xué)生獨(dú)立解

題.

（2）對(duì)于第12題，甲同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的，乙同學(xué)只能正

確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是不符合題意的，作答時(shí)，應(yīng)選擇幾個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理

想的成績(jī)，請(qǐng)你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.

例18.（2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某水果店的草莓每盒進(jìn)價(jià)20元，售價(jià)30元，草

莓保鮮度為兩天，若兩天之內(nèi)未售出，以每盒10元的價(jià)格全部處理完.店長(zhǎng)為了決策每?jī)?/p>

天的進(jìn)貨量，統(tǒng)計(jì)了本店過(guò)去40天草莓的日銷(xiāo)售量（單位：十盒），獲得如下數(shù)據(jù)：

日銷(xiāo)售量/十盒78910

天數(shù)812164

假設(shè)草莓每日銷(xiāo)量相互獨(dú)立，且銷(xiāo)售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率.

（1）記每?jī)商熘袖N(xiāo)售草莓的總盒數(shù)為X（單位：十盒），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）以?xún)商靸?nèi)銷(xiāo)售草莓獲得利潤(rùn)較大為決策依據(jù)，在每?jī)商爝M(jìn)16十盒，17十盒兩種方案中

應(yīng)選擇哪種？

變式31.（2024?江西上饒?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）甲乙兩家公司要進(jìn)行公開(kāi)招聘，招聘分為

筆試和面試，通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩家公司的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)

考試科目且每門(mén)科目是否通過(guò)相互獨(dú)立，若小明報(bào)考甲公司，每門(mén)科目通過(guò)的概率均為

報(bào)考乙公司，每門(mén)科目通過(guò)的概率依次為優(yōu)，其中0〈根＜1.

/35

2

（1）若根=（,分別求出小明報(bào)考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門(mén)科目的概率；

（2）招聘規(guī)則要求每人只能報(bào)考一家公司，若以筆試過(guò)程中通過(guò)科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作

決策，當(dāng)小明更希望通過(guò)乙公司的筆試時(shí)，求加的取值范圍.

變式32.（2024?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年

后即被淘汰，機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)

200元，在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元，現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)

應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損

零件數(shù)，得到其頻數(shù)分布圖（如圖所示）.若將這100臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)的

頻率視為1臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需

更換的易損零件數(shù)，〃表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).

上頻數(shù)

40....................

30—1.........-1~

8910更換的易損零件數(shù)

⑴求X的分布；

（2）以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在〃=17與〃=18之中選其一，應(yīng)選用

哪個(gè)？并說(shuō)明理由.

變式33.（2024?廣東佛山?華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）人工智能是研究

用于模擬和延伸人類(lèi)智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，其理論和

技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.人工智能背后的一個(gè)基本原理：首先確定先驗(yàn)

概率，然后通過(guò)計(jì)算得到后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正和校對(duì)，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推

理和決策.基于這一基本原理，我們可以設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)?zāi)Ｐ?；有完全相同的甲、乙兩個(gè)袋

子，袋子有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個(gè)紅球和1個(gè)白球乙袋中有2個(gè)

紅球和8個(gè)白球.從這兩個(gè)袋子中選擇一個(gè)袋子，再?gòu)脑摯又械瓤赡苊鲆粋€(gè)球，稱(chēng)為一

次試驗(yàn).若多次試驗(yàn)直到摸出紅球，則試驗(yàn)結(jié)束.假設(shè)首次試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率均為g

(先驗(yàn)概率).

(1)求首次試驗(yàn)結(jié)束的概率；

(2)在首次試驗(yàn)摸出白球的條件下，我們對(duì)選到甲袋或乙袋的概率(先驗(yàn)概率)進(jìn)行調(diào)整.

①求選到的袋子為甲袋的概率，

②將首次試驗(yàn)摸出的白球放回原來(lái)袋子，繼續(xù)進(jìn)行第二次試驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案；方案

一，從原來(lái)袋子中摸球；方案二，從另外一個(gè)袋子中摸球.請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，說(shuō)明選擇哪個(gè)方案

第二次試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.

變式34.(2024?陜西西安?陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè))強(qiáng)基計(jì)劃校考由試點(diǎn)高校自主

命題，校考過(guò)程中通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有

三門(mén)考試科目且每門(mén)科目是否通過(guò)相互獨(dú)立，若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門(mén)科目通過(guò)的概率

均為該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門(mén)科目通過(guò)的概率依次為:，f