2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.230°45°60°角的三角函數(shù)值教案新版北師大版

PAGEPAGE930°，45°，60°角的三角函數(shù)值課題230°，45°，60°角的三角函數(shù)值授課人教學(xué)目標(biāo)學(xué)問技能經(jīng)驗(yàn)探究30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進(jìn)行有關(guān)的推理．進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義．?dāng)?shù)學(xué)思索能夠進(jìn)行30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算．問題解決能夠依據(jù)30°，45°，60°角的三角函數(shù)值說明相應(yīng)的銳角的大?。楦锌捶ㄖ鲃訁⒓訑?shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)有新奇心和求知欲；通過“試驗(yàn)—猜想—證明—應(yīng)用”的數(shù)學(xué)活動提升科學(xué)素養(yǎng)．教學(xué)重點(diǎn)能夠進(jìn)行含30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算．教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義．授課類型新授課課時教具多媒體課件教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動設(shè)計(jì)意圖回顧我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正切、正弦和余弦函數(shù)，同學(xué)們還記得它們的概念嗎？在直角三角形中對于同一個銳角來說，這三種三角函數(shù)分別對應(yīng)了哪兩條邊的比值？學(xué)生回憶并回答，為本課的學(xué)習(xí)供應(yīng)遷移或類比方法.活動一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課【課堂引入】1.為了測量一棵大樹的高度，打算了如下測量工具：①含30°和60°兩個銳角的三角尺；②皮尺．請你設(shè)計(jì)一個測量方案，測出這棵大樹的高度．圖1－2－10(用多媒體演示上面的問題，并讓學(xué)生溝通各自的想法)①給學(xué)生時間，讓學(xué)生去思索探討如何測量大樹的高度，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際應(yīng)用．②學(xué)生展示自己的想法．讓一位同學(xué)拿著三角尺站在一個適當(dāng)?shù)奈恢肂處，使這位同學(xué)拿起三角尺，她的視線恰好和斜邊重合且過樹梢點(diǎn)C，30°角的鄰邊和水平方向平行，用卷尺測量出AB的長度，BE的長度．因?yàn)镈E＝AB，所以只需在Rt△ACD中求出CD的長度即可．③在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，設(shè)BE＝a米，則AD＝a米，如何求CD呢？④含30°角的直角三角形有一個特別重要的性質(zhì)：30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即AC＝2CD.依據(jù)勾股定理，得(2CD)2＝CD2＋a2，解得CD＝eq\f(\r(3),3)a.則樹的高度即可求出．⑤我們前面學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，假如一個角的大小確定，那么它的正切、正弦、余弦值也隨之確定，假如能求出30°角的正切值，在圖1－2－10中，tan30°＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(CD,a)，則CD＝atan30°，豈不簡潔？2．在剛剛過去的雙十一(11月11日)活動中，中國人創(chuàng)建了網(wǎng)購的奇跡，書寫了世界的傳奇．今日是雙十二(12月12日)，網(wǎng)上稱之為“年末促銷全民瘋搶購物節(jié)”，必將續(xù)寫網(wǎng)購的傳奇．本課老師也打算了幾件物美價廉的珍寶，投放進(jìn)幾家商鋪進(jìn)行出售，你們有沒有信念搶到呢？很好，我們先看看商鋪里面有些什么珍寶吧，看誰能搶到它們！(利用多媒體投影)商鋪：圖1－2－11生：(主動“搶購訂單”)訂單1：sinA＝eq\f(∠A的對邊,斜邊)，cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)，tanA＝eq\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊).訂單2：sinA的值越大，梯子越陡；tanA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡.訂單3：一副三角尺含有30°，60°和45°三種銳角．以生活中的實(shí)例入手，活躍學(xué)生的思維，激發(fā)其學(xué)習(xí)的熱忱，并由此引出新課.以進(jìn)行網(wǎng)購，主動搶購訂單的形式引入新課，大大調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，既復(fù)習(xí)了上節(jié)課的重點(diǎn)學(xué)問，又為本課的學(xué)習(xí)鋪平了道路.活動二：實(shí)踐探究溝通新知【探究1】探究特殊角的三角函數(shù)值看樣子大家都是網(wǎng)購高手！但剛才大家購得的都是過時的產(chǎn)品，現(xiàn)在老師想研發(fā)一些新產(chǎn)品并投放到商鋪出售，大家?guī)椭蠋熝邪l(fā)如何？老師想研發(fā)以下幾種新產(chǎn)品(利用多媒體投影)：圖1－2－12“產(chǎn)品”1：sin30°表示在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊的比值，與直角三角形的大小無關(guān)．如圖1－2－13，我們不妨設(shè)30°角所對的邊為a，依據(jù)“直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”的性質(zhì)，得斜邊等于2a，所以sin30°＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2).圖1－2－13“產(chǎn)品”2：在圖1－2－13的直角三角形中，由勾股定理得30°角的鄰邊為eq\r(（2a）2－a2)＝eq\r(3)a，所以cos30°＝eq\f(\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2)，tan30°＝eq\f(a,\r(3)a)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).“產(chǎn)品”3：求60°角的三角函數(shù)值，可以利用求30°角的三角函數(shù)值的三角形．因?yàn)?0°角的對邊和鄰邊分別是60°角的鄰邊和對邊，所以sin60°＝eq\f(\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2)，cos60°＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，tan60°＝eq\f(\r(3)a,a)＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).“產(chǎn)品”4：求45°角的三角函數(shù)值，可以利用另外那個等腰直角三角尺，如圖1－2－14.不妨設(shè)直角邊為a，則斜邊長為eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a.所以cos45°＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，sin45°＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，tan45°＝eq\f(a,a)＝1.圖1－2－14【探究2】熟記特殊角的三角函數(shù)值仿照上面解決問題的過程，共同求一下30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，然后填寫下表.1.通過本環(huán)節(jié)學(xué)生知道了本節(jié)課的學(xué)問點(diǎn)以及自己的問題所在，對老師而言，對學(xué)生在本節(jié)課存在的問題有了一個也許的了解．讓學(xué)生能嫻熟地求出三個特殊角的三角函數(shù)值．對于此題的處理，老師不做說明，只出示答案.2.借助學(xué)生熟識的一副三角板入手，讓學(xué)生依據(jù)三角函數(shù)的定義分別求30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值．培育學(xué)生合作溝通的習(xí)慣，進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題中的廣泛應(yīng)用，并體會數(shù)學(xué)學(xué)問來源于實(shí)際生活，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.活動二：實(shí)踐探究溝通新知學(xué)生分組求值：三角函數(shù)值角αsinαcosαtanα30°eq\f(1,2)eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),3)45°eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)160°eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)eq\r(3)活動三：開放訓(xùn)練體現(xiàn)應(yīng)用【應(yīng)用舉例】例1計(jì)算：(1)sin30°＋cos45°；(2)sin260°＋cos260°－tan45°.解：(1)sin30°＋cos45°＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1＋\r(2),2).(2)sin260°＋cos260°－tan45°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)－1＝0.例2一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5m，當(dāng)秋千向兩邊搖擺時，擺角恰好為60°，且兩邊的搖擺角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差．(結(jié)果精確到0.01m)[解析]引導(dǎo)學(xué)生自己依據(jù)題意畫出示意圖，培育學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的實(shí)力.解：依據(jù)題意畫出如圖1－2－15所示的示意圖.圖1－2－15可知∠BOD＝60°，OB＝OA＝OD＝2.5m，∠AOD＝eq\f(1,2)×60°＝30°，∴OC＝OD·cos30°＝2.5×eq\f(\r(3),2)≈2.165(m).∴AC＝2.5－2.165≈0.34(m).所以，最高位置與最低位置的高度差約為0.34m．1.老師引導(dǎo)學(xué)生分析，本題旨在幫助學(xué)生鞏固記憶特殊角的三角函數(shù)值，今后若無特殊說明，用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算時，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示(cos60°)2.讓學(xué)生嘗試自己解決.2.展示例題，讓學(xué)生獨(dú)立思索完成，是為了給學(xué)生出錯的機(jī)會，讓學(xué)生在對與錯之間有足夠的思維時間和空間.活動三：開放訓(xùn)練體現(xiàn)應(yīng)用【拓展提升】例3計(jì)算：(1)sin60°－tan45°；(2)cos60°＋tan60°；(3)eq\f(\r(2),2)sin45°＋sin60°－2cos45°.[答案：(1)eq\f(\r(3),2)－1(2)eq\f(1,2)＋eq\r(3)(3)eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)－eq\r(2)]例4求適合下列條件的銳角α：(1)eq\r(2)sinα－1＝0；(2)eq\f(2cosα＋1,2)＝1；(3)3tanα＝eq\r(3).學(xué)生分析：這里α是未知數(shù)，可以仿照解方程的步驟：去分母、移項(xiàng).解：(1)由eq\r(2)sinα－1＝0，得sinα＝eq\f(\r(2),2).所以，銳角α＝45°.(2)由eq\f(2cosα＋1,2)＝1，得cosα＝eq\f(1,2).所以，銳角α＝60°.(3)由3tanα＝eq\r(3)，得tanα＝eq\f(\r(3),3).所以，銳角α＝30°.例5圖1－2－16為住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高AE＝CF＝30m，兩樓間的距離AC＝24m，現(xiàn)需了解甲樓對乙樓采光的影響狀況．當(dāng)太陽光線與水平線的夾角為30°時，求甲樓的影子在乙樓上有多高(精確到0.1m，eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73).圖1－2－16[解析]依據(jù)題意，可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．當(dāng)光線從樓頂E直射到乙樓的點(diǎn)D時，點(diǎn)D以下便接受不到光線，過點(diǎn)D作DB⊥AE(甲樓)．在Rt△BDE中，BD＝AC＝24m，∠EDB＝30°，由此可求出BE.由于甲、乙兩樓一樣高，所以DF＝BE.解：當(dāng)光線從樓頂E直射到乙樓上的點(diǎn)D時，點(diǎn)D以下便接受不到光線，過點(diǎn)D作DB⊥AE.在Rt△BDE中，BE＝DB·tan30°＝24×eq\f(\r(3),3)＝8eq\r(3)(m).∵DF＝BE，∴DF＝8eq\r(3)≈8×1.73＝13.84(m)，CD＝CF－DF≈30－13.84≈16.2(m).答：甲樓的影子在乙樓上的高約為16.2m．例3、例4把求特殊角的三角函數(shù)值和已知角的三角函數(shù)值求角這兩個相反方向的問題支配在一起，目的是體現(xiàn)銳角三角函數(shù)中角與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，也有助于學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù)的定義.例5是解決實(shí)際問題，應(yīng)依據(jù)題目的特點(diǎn)將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并構(gòu)造出符合題意的直角三角形.活動四：課堂總結(jié)反思當(dāng)堂檢測，剛好反饋學(xué)習(xí)效果.

(續(xù)表)活動四：課堂總結(jié)反思【板書設(shè)計(jì)】230°，45°，60°角的三角函數(shù)值學(xué)生探究特殊角的三角函數(shù)值表例1例2學(xué)生板書提綱挈領(lǐng)，重點(diǎn)突出.【教學(xué)反思】①[授課流程反思]在這節(jié)課的引入中，設(shè)置了豐富的情景，既調(diào)動了學(xué)生的求知欲和新奇心，又讓學(xué)生在解決問題的過程中尋求方法，感悟新知.②[講授效果反思]本節(jié)課通過小組合作溝通形式，讓學(xué)生主動參加數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生新奇心，培育學(xué)生獨(dú)立思索