2024-2025學年九年級數學下冊第一章直角三角形的邊角關系1.230°45°60°角的三角函數值教案新版北師大版

PAGEPAGE930°，45°，60°角的三角函數值課題230°，45°，60°角的三角函數值授課人教學目標學問技能經驗探究30°，45°，60°角的三角函數值的過程，能夠進行有關的推理．進一步體會三角函數的意義．數學思索能夠進行30°，45°，60°角的三角函數值的計算．問題解決能夠依據30°，45°，60°角的三角函數值說明相應的銳角的大?。楦锌捶ㄖ鲃訁⒓訑祵W學習活動，對數學有新奇心和求知欲；通過“試驗—猜想—證明—應用”的數學活動提升科學素養(yǎng)．教學重點能夠進行含30°，45°，60°角的三角函數值的計算．教學難點進一步體會三角函數的意義．授課類型新授課課時教具多媒體課件教學活動教學步驟師生活動設計意圖回顧我們已經學習了正切、正弦和余弦函數，同學們還記得它們的概念嗎？在直角三角形中對于同一個銳角來說，這三種三角函數分別對應了哪兩條邊的比值？學生回憶并回答，為本課的學習供應遷移或類比方法.活動一：創(chuàng)設情境導入新課【課堂引入】1.為了測量一棵大樹的高度，打算了如下測量工具：①含30°和60°兩個銳角的三角尺；②皮尺．請你設計一個測量方案，測出這棵大樹的高度．圖1－2－10(用多媒體演示上面的問題，并讓學生溝通各自的想法)①給學生時間，讓學生去思索探討如何測量大樹的高度，讓學生感受到數學在生活中的實際應用．②學生展示自己的想法．讓一位同學拿著三角尺站在一個適當的位置B處，使這位同學拿起三角尺，她的視線恰好和斜邊重合且過樹梢點C，30°角的鄰邊和水平方向平行，用卷尺測量出AB的長度，BE的長度．因為DE＝AB，所以只需在Rt△ACD中求出CD的長度即可．③在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，設BE＝a米，則AD＝a米，如何求CD呢？④含30°角的直角三角形有一個特別重要的性質：30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即AC＝2CD.依據勾股定理，得(2CD)2＝CD2＋a2，解得CD＝eq\f(\r(3),3)a.則樹的高度即可求出．⑤我們前面學習了三角函數的定義，假如一個角的大小確定，那么它的正切、正弦、余弦值也隨之確定，假如能求出30°角的正切值，在圖1－2－10中，tan30°＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(CD,a)，則CD＝atan30°，豈不簡潔？2．在剛剛過去的雙十一(11月11日)活動中，中國人創(chuàng)建了網購的奇跡，書寫了世界的傳奇．今日是雙十二(12月12日)，網上稱之為“年末促銷全民瘋搶購物節(jié)”，必將續(xù)寫網購的傳奇．本課老師也打算了幾件物美價廉的珍寶，投放進幾家商鋪進行出售，你們有沒有信念搶到呢？很好，我們先看看商鋪里面有些什么珍寶吧，看誰能搶到它們！(利用多媒體投影)商鋪：圖1－2－11生：(主動“搶購訂單”)訂單1：sinA＝eq\f(∠A的對邊,斜邊)，cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)，tanA＝eq\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊).訂單2：sinA的值越大，梯子越陡；tanA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡.訂單3：一副三角尺含有30°，60°和45°三種銳角．以生活中的實例入手，活躍學生的思維，激發(fā)其學習的熱忱，并由此引出新課.以進行網購，主動搶購訂單的形式引入新課，大大調動了學生學習的主動性，既復習了上節(jié)課的重點學問，又為本課的學習鋪平了道路.活動二：實踐探究溝通新知【探究1】探究特殊角的三角函數值看樣子大家都是網購高手！但剛才大家購得的都是過時的產品，現在老師想研發(fā)一些新產品并投放到商鋪出售，大家?guī)椭蠋熝邪l(fā)如何？老師想研發(fā)以下幾種新產品(利用多媒體投影)：圖1－2－12“產品”1：sin30°表示在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊的比值，與直角三角形的大小無關．如圖1－2－13，我們不妨設30°角所對的邊為a，依據“直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”的性質，得斜邊等于2a，所以sin30°＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2).圖1－2－13“產品”2：在圖1－2－13的直角三角形中，由勾股定理得30°角的鄰邊為eq\r(（2a）2－a2)＝eq\r(3)a，所以cos30°＝eq\f(\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2)，tan30°＝eq\f(a,\r(3)a)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).“產品”3：求60°角的三角函數值，可以利用求30°角的三角函數值的三角形．因為30°角的對邊和鄰邊分別是60°角的鄰邊和對邊，所以sin60°＝eq\f(\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2)，cos60°＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，tan60°＝eq\f(\r(3)a,a)＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).“產品”4：求45°角的三角函數值，可以利用另外那個等腰直角三角尺，如圖1－2－14.不妨設直角邊為a，則斜邊長為eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a.所以cos45°＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，sin45°＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，tan45°＝eq\f(a,a)＝1.圖1－2－14【探究2】熟記特殊角的三角函數值仿照上面解決問題的過程，共同求一下30°，45°，60°角的三角函數值，然后填寫下表.1.通過本環(huán)節(jié)學生知道了本節(jié)課的學問點以及自己的問題所在，對老師而言，對學生在本節(jié)課存在的問題有了一個也許的了解．讓學生能嫻熟地求出三個特殊角的三角函數值．對于此題的處理，老師不做說明，只出示答案.2.借助學生熟識的一副三角板入手，讓學生依據三角函數的定義分別求30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值．培育學生合作溝通的習慣，進一步體驗數形結合思想在解決數學問題中的廣泛應用，并體會數學學問來源于實際生活，感受學習數學的樂趣.活動二：實踐探究溝通新知學生分組求值：三角函數值角αsinαcosαtanα30°eq\f(1,2)eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),3)45°eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)160°eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)eq\r(3)活動三：開放訓練體現應用【應用舉例】例1計算：(1)sin30°＋cos45°；(2)sin260°＋cos260°－tan45°.解：(1)sin30°＋cos45°＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1＋\r(2),2).(2)sin260°＋cos260°－tan45°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)－1＝0.例2一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5m，當秋千向兩邊搖擺時，擺角恰好為60°，且兩邊的搖擺角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差．(結果精確到0.01m)[解析]引導學生自己依據題意畫出示意圖，培育學生把實際問題轉化為數學問題的實力.解：依據題意畫出如圖1－2－15所示的示意圖.圖1－2－15可知∠BOD＝60°，OB＝OA＝OD＝2.5m，∠AOD＝eq\f(1,2)×60°＝30°，∴OC＝OD·cos30°＝2.5×eq\f(\r(3),2)≈2.165(m).∴AC＝2.5－2.165≈0.34(m).所以，最高位置與最低位置的高度差約為0.34m．1.老師引導學生分析，本題旨在幫助學生鞏固記憶特殊角的三角函數值，今后若無特殊說明，用特殊角的三角函數值進行計算時，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示(cos60°)2.讓學生嘗試自己解決.2.展示例題，讓學生獨立思索完成，是為了給學生出錯的機會，讓學生在對與錯之間有足夠的思維時間和空間.活動三：開放訓練體現應用【拓展提升】例3計算：(1)sin60°－tan45°；(2)cos60°＋tan60°；(3)eq\f(\r(2),2)sin45°＋sin60°－2cos45°.[答案：(1)eq\f(\r(3),2)－1(2)eq\f(1,2)＋eq\r(3)(3)eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)－eq\r(2)]例4求適合下列條件的銳角α：(1)eq\r(2)sinα－1＝0；(2)eq\f(2cosα＋1,2)＝1；(3)3tanα＝eq\r(3).學生分析：這里α是未知數，可以仿照解方程的步驟：去分母、移項.解：(1)由eq\r(2)sinα－1＝0，得sinα＝eq\f(\r(2),2).所以，銳角α＝45°.(2)由eq\f(2cosα＋1,2)＝1，得cosα＝eq\f(1,2).所以，銳角α＝60°.(3)由3tanα＝eq\r(3)，得tanα＝eq\f(\r(3),3).所以，銳角α＝30°.例5圖1－2－16為住宅區(qū)內的兩幢樓，它們的高AE＝CF＝30m，兩樓間的距離AC＝24m，現需了解甲樓對乙樓采光的影響狀況．當太陽光線與水平線的夾角為30°時，求甲樓的影子在乙樓上有多高(精確到0.1m，eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73).圖1－2－16[解析]依據題意，可將實際問題轉化為數學問題．當光線從樓頂E直射到乙樓的點D時，點D以下便接受不到光線，過點D作DB⊥AE(甲樓)．在Rt△BDE中，BD＝AC＝24m，∠EDB＝30°，由此可求出BE.由于甲、乙兩樓一樣高，所以DF＝BE.解：當光線從樓頂E直射到乙樓上的點D時，點D以下便接受不到光線，過點D作DB⊥AE.在Rt△BDE中，BE＝DB·tan30°＝24×eq\f(\r(3),3)＝8eq\r(3)(m).∵DF＝BE，∴DF＝8eq\r(3)≈8×1.73＝13.84(m)，CD＝CF－DF≈30－13.84≈16.2(m).答：甲樓的影子在乙樓上的高約為16.2m．例3、例4把求特殊角的三角函數值和已知角的三角函數值求角這兩個相反方向的問題支配在一起，目的是體現銳角三角函數中角與函數值之間的對應關系，也有助于學生進一步理解三角函數的定義.例5是解決實際問題，應依據題目的特點將其轉化為數學問題，并構造出符合題意的直角三角形.活動四：課堂總結反思當堂檢測，剛好反饋學習效果.

(續(xù)表)活動四：課堂總結反思【板書設計】230°，45°，60°角的三角函數值學生探究特殊角的三角函數值表例1例2學生板書提綱挈領，重點突出.【教學反思】①[授課流程反思]在這節(jié)課的引入中，設置了豐富的情景，既調動了學生的求知欲和新奇心，又讓學生在解決問題的過程中尋求方法，感悟新知.②[講授效果反思]本節(jié)課通過小組合作溝通形式，讓學生主動參加數學活動，對數學產生新奇心，培育學生獨立思索