解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用（30題）（原卷版）

專題第01講解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用

1.(2023?紹興)圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱。/垂直地面支架CD與04交于點(diǎn)4,

支架CG_LC￡?交。4于點(diǎn)G,支架?！昶叫械孛?8,籃筐EF與支架在同一直線上，。4=2.5米，

/。=0.8米.ZAGC=32°.

(1)求NG/C的度數(shù)；

(2)某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3米處，那么他能

掛上籃網(wǎng)嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù)：sin32°心0.53,cos32°^0.85,tan32°仁0.62)

2.(2023?長(zhǎng)沙)2023年5月30日9點(diǎn)31分，“神舟十六號(hào)”載人飛船在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射,

成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國(guó)空間站.如圖，在發(fā)射的過(guò)程中，飛船從地面。

處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)/點(diǎn)時(shí)，從位于地面C處的雷達(dá)站測(cè)得NC的距離是86;，仰角為30°；10s后飛

船到達(dá)3處，此時(shí)測(cè)得仰角為45°.

(1)求點(diǎn)/離地面的高度/。；

(2)求飛船從/處到2處的平均速度.(結(jié)果精確到0.1癡/s,參考數(shù)據(jù)：V3^1.73)

3.（2023?湘潭）問(wèn)題情境：筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保.明朝科學(xué)家徐光啟

在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每

一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.

問(wèn)題設(shè)置把筒車抽象為一個(gè)半徑為r的O。如圖②，0M始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米.當(dāng)

f=0時(shí)，某盛水筒恰好位于水面N處，此時(shí)N/（W=30°,經(jīng)過(guò)95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)5處.

問(wèn)題解決：

（1）求該盛水筒從N處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到8處時(shí)，的度數(shù)；

（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至3處時(shí)，它到水面的距離.（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)我P1.414,如弋

1.732）

4.（2023?陜西）小華想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量自家對(duì)面的兩棟樓與CD的高度差.如圖所示，她站在自家

陽(yáng)臺(tái)上發(fā)現(xiàn)，在陽(yáng)臺(tái)的點(diǎn)E處恰好可經(jīng)過(guò)樓CD的頂端C看到樓的底端瓦即點(diǎn)E,C,2在同一直

線上.此時(shí)，測(cè)得點(diǎn)3的俯角a=22°,點(diǎn)/的仰角0=16.7°,并測(cè)得斯=48加，F(xiàn)D=50m.已知，

EF1FB,CD±FB,ABLFB,點(diǎn)、F,D,8在同一水平直線上.求樓與8的高度差.（參考數(shù)據(jù)：

sinl6.7°g0.29,cosl6.7°仁0.96,tanl6.7°^0.30,sin22°^0.37,cos22°g0.93,tan22°^0.40）

5.（2023?衡陽(yáng)）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和高度，圓

圓要測(cè)量教學(xué)樓42的高度，借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部24?米的C

處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點(diǎn)C的正上方的點(diǎn)。處，測(cè)得教學(xué)樓N3的頂部3處的俯角為30°,CD長(zhǎng)為

49.6米.已知目高CE為1.6米.

（1）求教學(xué)樓N8的高度.

（2）若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于C4的方向，以4?米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行.求經(jīng)過(guò)多少

秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開圓圓的視線班.W飛行方向

0FW~~~-----"

B

-二

二

二

二

二

三

一

一

6.（2023?遼寧）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山.需要登頂600加高的山峰，由山底/處

先步行300加到達(dá)8處，再由8處乘坐登山纜車到達(dá)山頂。處.已知點(diǎn)/,B,D,E,尸在同一平面內(nèi),

山坡的坡角為30°,纜車行駛路線2。與水平面的夾角為53°（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）.

（1）求登山纜車上升的高度。E；

（2）若步行速度為30初加”，登山纜車的速度為60加/加切，求從山底/處到達(dá)山頂。處大約需要多少分

鐘（結(jié)果精確到0.1.

（參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.80,cos53°-0.60,tan53°七1.33）

7.（2023?蘇州）四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問(wèn)題.如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖,

BE,CD,G尸為長(zhǎng)度固定的支架，支架在4,D,G處與立柱/〃連接（/8垂直于垂足為〃），在

B,C處與籃板連接（2C所在直線垂直于MV）,即是可以調(diào)節(jié)長(zhǎng)度的伸縮臂（旋轉(zhuǎn)點(diǎn)尸處的螺栓改變

斯的長(zhǎng)度，使得支架2E繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，從而改變四邊形N3CD的形狀，以此調(diào)節(jié)籃板的高度）.已知

=BC,DH=208cm,測(cè)得/G4E=60°時(shí)，點(diǎn)C離地面的高度為288cm.調(diào)節(jié)伸縮臂EF,將NG/E由

60°調(diào)節(jié)為54°,判斷點(diǎn)。離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數(shù)據(jù)：

sin54°七0.8，cos54°七0.6）

伸縮臂

地面7

8.（2023?河南）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)

BJ

M'

G

量樹高，測(cè)高儀/BCD為正方形，AB=30cm,頂點(diǎn)/處掛了一個(gè)鉛錘如圖是測(cè)量樹高的示意圖，測(cè)

高儀上的點(diǎn)。，/與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交2C于點(diǎn)經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)/距地面1.8加，到樹

EG的距離/尸=11加，BH=20cm.求樹EG的高度（結(jié)果精確到0.1加）.

9.（2023?丹東）一艘輪船由西向東航行，行駛到/島時(shí)，測(cè)得燈塔8在它北偏東31°方向上，繼續(xù)向東

航行10nm〃e到達(dá)C港，此時(shí)測(cè)得燈塔B在它北偏西61°方向上，求輪船在航行過(guò)程中與燈塔B的最短

距離.（結(jié)果精確到0.1〃加/e）（參考數(shù)據(jù)：sin31°-0.52,cos31°-0.86,tan31°心0.60,sin610"

0.87,cos61°心0.48,tan61°=1.80).

10.（2020秋?蒼梧縣期末）如圖，從水平面看一山坡上的通訊鐵塔PC,在點(diǎn)/處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂端點(diǎn)P

的仰角是45。，向前走9米到達(dá)3點(diǎn)，用測(cè)角儀測(cè)得塔頂端點(diǎn)尸和塔底端點(diǎn)C的仰角分別是60°和

30°.

（1）求NAPC的度數(shù)；

（2）求該鐵塔PC的高度.（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：V3^1.73,A/2^1.41）

11.（2022秋?源匯區(qū)校級(jí)期末）近幾年中學(xué)生近視的現(xiàn)象越來(lái)越嚴(yán)重，為響應(yīng)國(guó)家的號(hào)召，某公司推出了

如圖1所示的護(hù)眼燈，其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座高度忽略不計(jì)）如圖2所示，其中燈柱8C=18c〃z,燈

臂CD=31CTW,燈罩。￡=24C%,BC±AB,CD、分別可以繞點(diǎn)C、。上下調(diào)節(jié)一定的角度.經(jīng)使用

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)/DC8=140°,且時(shí)，臺(tái)燈光線最佳.求此時(shí)點(diǎn)。到桌面N8的距離.（精確到

0.1cm,參考數(shù)值：sin50°^0.77,cos50°^0.64,tan50°仁1.19）

.

AB

圖1圖2

12.（2023春?巴南區(qū)期末）在海平面上有4,B,C三個(gè)標(biāo)記點(diǎn)，其中/在C的北偏西54°方向上，與C

的距離是800海里，3在C的南偏西36°方向上，與C的距離是600海里.

（1）求點(diǎn)/與點(diǎn)8之間的距離；

（2）若在點(diǎn)C處有一燈塔，燈塔的信號(hào)有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時(shí)會(huì)發(fā)射一次信號(hào)，此時(shí)

在點(diǎn)3處有一艘輪船準(zhǔn)備沿直線向點(diǎn)/處航行，輪船航行的速度為每小時(shí)20海里.輪船在駛向N處的

過(guò)程中，最多能收到多少次信號(hào)？（信號(hào)傳播的時(shí)間忽略不計(jì)）.A

13.（2022秋?寧波期末）如圖1是一個(gè)簡(jiǎn)易手機(jī)支架，由水平底板?！辍?cè)支撐桿5D和手機(jī)托盤長(zhǎng)NC組

成，側(cè)面示意圖如圖2所示.已知手機(jī)托盤長(zhǎng)NC=10c加，側(cè)支撐桿AD=10cm,NCBD=75°,NBDE=

60°,其中點(diǎn)/為手機(jī)托盤最高點(diǎn)，支撐點(diǎn)2是/C的中點(diǎn)，手機(jī)托盤/C可繞點(diǎn)2轉(zhuǎn)動(dòng)，側(cè)支撐桿2。

可繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng).

（1）如圖2,求手機(jī)托盤最高點(diǎn)/離水平底板的高度〃（精確到0.1cm）.

（2）如圖3,當(dāng)手機(jī)托盤NC繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后，再將5。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,使點(diǎn)C落在水

平底板DE上,）.（參考數(shù)據(jù)：tan26.6°?0.5,加心1.41,愿仁1.73）

圖1圖2

14.（2022秋?平昌縣校級(jí)期末）如圖，某漁船沿正東方向以30海里/小時(shí)的速度航行，在/處測(cè)得島C在

北偏東60°方向，20分鐘后漁船航行到2處，測(cè)得島C在北偏東30°方向，已知該島C周圍9海里內(nèi)

有暗礁.

參考數(shù)據(jù)：愿心1.732,sin75°"0.966,cos75°-0.259.

(1)8處離島C海里.

(2)如果漁船繼續(xù)向東航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如果漁船在2處改為向東偏南15°方向航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？說(shuō)明理由.

15.(2022秋?平城區(qū)校級(jí)期末)如圖，某無(wú)人機(jī)愛(ài)好者在一小區(qū)外放飛無(wú)人機(jī)，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行到一定高度。

點(diǎn)處時(shí)，無(wú)人機(jī)測(cè)得操控者/的俯角為75°,測(cè)得小區(qū)樓房2C頂端點(diǎn)C處的俯角為45°.已知操控者

力和小區(qū)樓房3C之間的距離為45米，無(wú)人機(jī)的高度為（30+15我）米.（假定點(diǎn)出B,C,。都在同

一平面內(nèi).參考數(shù)據(jù)：tan75°=2+V§，tanl5°=2-愿.計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）

（1）求此時(shí)小區(qū)樓房2C的高度；

（2）在（1）條件下，若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于N3的方向，并以5米/秒的速度繼續(xù)向右勻速飛

行.問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開了操控者的視線？

16.（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在一筆直的海岸線/上有48兩個(gè)觀測(cè)站，/在8的正東方向.有

一艘漁船在點(diǎn)尸處，從工處測(cè)得漁船在北偏西60°的方向，從2處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得2,

尸兩點(diǎn)之間的距離為20海里.

（1）求觀測(cè)站a3之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）漁船從點(diǎn)P處沿射線/P的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時(shí)，從3測(cè)得漁船在北偏

西15。的方向.在漁船到達(dá)C處的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)3出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度前往。處,

請(qǐng)問(wèn)補(bǔ)給船能否在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：通仁1.73）

17.（2022秋?陽(yáng)泉期末）“十一”期間，王紅與家人開車去鄉(xiāng)下看望爺爺和奶奶.她看到汽車尾部自動(dòng)升起

的后備箱，于是根據(jù)實(shí)際情況畫出了相關(guān)的示意圖.圖1是王紅家私家車側(cè)面示意圖，其中矩形/2CZ)

表示該車的后備箱，圖2是在打開后備箱的過(guò)程中，箱蓋/DE可以繞點(diǎn)/順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為

60°時(shí)，箱蓋4DE落在4DE的位置的示意圖.王紅測(cè)得40=90厘米，?！?30厘米，EC=40厘米.根

據(jù)王紅提供的信息解答下列問(wèn)題:

(1)求點(diǎn)。到3c的距離;

(2)求點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)的距離.

圖1圖2

18.(2022秋?堇B州區(qū)期末)小麗與爸媽在公園里蕩秋千.如圖，小麗坐在秋千的起始位置/處，。/與地

面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面1.2a高的3處接住她后用力一推，爸爸在C處接住

她.若媽媽與爸爸到04的水平距離2D、CE分別為1.8加和2.4加，/BOC=90°.

(1)△CEO與△?！?gt;8全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)爸爸在距離地面多高的地方接住小麗的？

(3)秋千的起始位置/處與距地面的高是m.

19.(2022秋?蒙城縣期末)北京時(shí)間2022年6月5日10時(shí)44分，神舟十四號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射升空,

為弘揚(yáng)航天精神，某校在教學(xué)樓上從樓頂位置懸掛了一幅勵(lì)志條幅GF如圖，已知樓頂?shù)降孛娴木嚯x

GE為18.5米，當(dāng)小亮站在樓前點(diǎn)8處，在點(diǎn)3正上方點(diǎn)/處測(cè)得條幅頂端G的仰角為37°,然后向教

學(xué)樓方向前行15米到達(dá)點(diǎn)D處（樓底部點(diǎn)E與點(diǎn)、B,D在一條直線上），在點(diǎn)D正上方點(diǎn)C處測(cè)得條幅

底端廠的仰角為42°,若48,CD均為1.7米（即四邊形N2DC為矩形），請(qǐng)你幫助小亮計(jì)算：

（1）當(dāng)小亮站在2處時(shí)離教學(xué)樓的距離BE；

（2）求條幅G尸的長(zhǎng)度.

（結(jié)果精確到0」加，參考數(shù)據(jù)：sin37°七0.60,cos37°"0.80,tan37°七0.75,sin42°-0.67,cos42°

”0.74，tan42°-0.90）

20.（2022秋?北倍區(qū)校級(jí)期末）如圖，某工程隊(duì)從N處沿正北方向鋪設(shè)了184米軌道到達(dá)8處.某同學(xué)在

博物館C測(cè)得/處在博物館C的南偏東27°方向，8處在博物館C的東南方向.（參考數(shù)據(jù)：sin27°%

0.45,cos27°心0.90,tan27°-0.50,&心2.45.）

（1）請(qǐng)計(jì)算博物館C到B處的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）博物館C周圍若干米內(nèi)因有綠地不能鋪設(shè)軌道.某同學(xué)通過(guò)計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，軌道線路鋪設(shè)到8處時(shí),

只需沿北偏東15°的8E方向繼續(xù)鋪設(shè)，就能使軌道線路恰好避開綠地.請(qǐng)計(jì)算博物館C周圍至少多少

米內(nèi)不能鋪設(shè)軌道.（結(jié)果精確到個(gè)位）

21.（2022秋?遼寧期末）“愚公移山”是我國(guó)著名寓言故事，它告訴了我們堅(jiān)持不懈的道理.某日，小張穿

越至愚公的年代，碰到了移山的眾人.

（1）在運(yùn)輸山石等雜物時(shí)，有兩條路可行，已知3間的直線距離為50里（如圖1所示）.

線路1：折線/CD2,已知點(diǎn)C在點(diǎn)/東北方向，點(diǎn)2在點(diǎn)。東偏南53°方向，CD//AB,且C,。間

的距離為30里；

線路2：以N3為直徑的半圓.如果僅從遠(yuǎn)近考慮，小張應(yīng)該告知愚公選取哪一條線路使得路程更短？請(qǐng)

你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.

（2）愚公為了能夠更精確地了解所移之山的高度，請(qǐng)求小張幫其測(cè)量.如圖2所示，已知在山

的后方有一座高140米的小山PQ,小張站在線段0N上的點(diǎn)￡處，￡0=480米，此時(shí)小張測(cè)得點(diǎn)M的

仰角為60。，隨后小張到達(dá)小山山頂點(diǎn)P處測(cè)得點(diǎn)v的仰角為21。，請(qǐng)你幫小張求出山高的

o

值.（結(jié)果保留3位有效數(shù)字，以下為參考三角比與數(shù)值）sin37?旦；sinl60?工；sin39。七

525

0.63；&=1.41；73^1.73

22.（2023春?通河縣期末）如圖，一艘輪船以每小時(shí)35海里的速度向東航行，在/處觀測(cè)到在它的東北方

向（北偏東45。）點(diǎn)C處有一艘捕漁船，2小時(shí)后輪船到達(dá)點(diǎn)8處，突然收到漁船的求救信號(hào)，此時(shí)觀

測(cè)到漁船C位于點(diǎn)B的北偏東150方向上.

（1）求N/C3的度數(shù)；

（2）輪船收到求救信號(hào)后，立即沿以每小時(shí)4s歷海里的速度趕往C處救援，那么輪船需多少小時(shí)

趕到C處?

23.（2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期末）某大型購(gòu)物中心為方便顧客地鐵換乘，準(zhǔn)備在底層至S層之間安裝電梯,

截面圖如圖所示，底層與與層平行，層高/。為9米，4、3間的距離為6米，N/CD=20。.

（1）請(qǐng)問(wèn)身高1.9米的人在豎直站立的情況下搭乘電梯，在2處會(huì)不會(huì)碰到頭？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若采取中段平臺(tái)設(shè)計(jì)（如圖虛線所示）.已知平臺(tái)斯〃DC,且/￡段和尸C段的坡度i=l：2,求

平臺(tái)斯的長(zhǎng)度.

24.（2022秋?益陽(yáng)期末）筒車是我國(guó)古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道“水

能利物，輪乃曲成”.如圖，半徑為3加的筒車。。按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)5圈，筒車與水面分別交于點(diǎn)

6

A,B,筒車的軸心。距離水面的高度。C長(zhǎng)為2.2a,筒車上均勻分布著若干個(gè)盛水筒.若以某個(gè)盛水筒尸

剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間.

（1）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，盛水筒尸首次到達(dá)最高點(diǎn)？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距離水面多高？

（3）若接水槽所在直線是OO的切線，且與直線交于點(diǎn)/，M0=8m.求盛水筒尸從最高點(diǎn)開

始，至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間恰好在直線上.

（參考數(shù)據(jù)：cos43°=sin47°-迫，sinl6°=cos74°七且，sin22°=cos68°心3）

15408

25.（2023?海南）如圖，一艘輪船在/處測(cè)得燈塔M位于N的北偏東30°方向上，輪船沿著正北方向航行

20海里到達(dá)B處，測(cè)得燈塔M位于8的北偏東60°方向上，測(cè)得港口C位于5的北偏東45°方向

上.已知港口C在燈塔M的正北方向上.

（1）填空：/AMB=度，ZBCM=度;

（2）求燈塔M到輪船航線48的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；

（3）求港口C與燈塔M的距離（結(jié)果保留根號(hào)）.

26.（2023?阜新）如圖，小穎家所在居民樓高N8為46機(jī).從樓頂工處測(cè)得另一座大廈頂部C的仰角a是

45°,而大廈底部。的俯角0是37°.

（1）求兩樓之間的距離80.

（2）求大廈的高度8.

（結(jié)果精確到0.1機(jī)，參考數(shù)據(jù)：sin37°20.60,cos37°"0.80,tan37°"0.75）

27.（2023?盤錦）如圖，一人在道路上騎行，8。段是坡路，其余為平路，當(dāng)他路過(guò)/,8兩點(diǎn)時(shí)，一架無(wú)

人機(jī)從空中的C點(diǎn)處測(cè)得/,3兩點(diǎn)的俯角分別為30°和45°,42=40m，BD=20m,NAD尸=159°,

點(diǎn)4,B,C,