2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊第四章圖形的相似4.4探索三角形相似的條件作業(yè)設(shè)計(jì)新版北師大版

PAGEPAGE14.4探究三角形相像的條件一、選擇題（本題包括12個(gè)小題.每小題只有1個(gè)選項(xiàng)符合題意）1.如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相像的是（）A.B.C.D.2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，假如DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A.△ADE∽△ABCB.△ADE∽△ACDC.△ADE∽△DCBD.△DEC∽△CDB3.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，始終角三角板的直角頂角O在AB邊的中點(diǎn)上，這塊三角板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊始終與AC、BC邊分別相交于E、F，連接EF，則在運(yùn)動(dòng)過程中，△OEF與△ABC的關(guān)系是（）A.肯定相像B.當(dāng)E是AC中點(diǎn)時(shí)相像C.不肯定相像D.無法推斷4.下列各組條件中，肯定能推得△ABC與△DEF相像的是（）A.∠A=∠E且∠D=∠FB.∠A=∠B且∠D=∠FC.∠A=∠E且D.∠A=∠E且5.如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC與△ADE相像，還需滿意下列條件中的（）A.B.C.D.6.如圖，小正方形的邊長均為1，則圖中三角形（陰影部分）與△ABC相像的是（）A.B.C.D.7.如圖，△ACD和△ABC相像需具備的條件是（）A.B.C.AC2=AD?ABD.CD2=AD?BD8.如圖，正方形ABCD的邊長為2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端點(diǎn)在CD、AD上滑動(dòng)，當(dāng)DM為（）時(shí)，△ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相像．

A.B.C.或D.或9.如圖所示，在?ABCD中，BE交AC，CD于G，F(xiàn)，交AD的延長線于E，則圖中的相像三角形有（）A.3對B.4對C.5對D.6對10.如圖，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相像，則這樣的P點(diǎn)共有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)11.如圖，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相像的是（）A.B.C.D.12.如圖，點(diǎn)F在平行四邊形ABCD的邊AB上，射線CF交DA的延長線于點(diǎn)E，在不添加協(xié)助線的狀況下，與△AEF相像的三角形有（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)二、填空題（本題包括6個(gè)小題）13.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，則△ABC∽__，△BAD∽△ACD（寫出一個(gè)三角形即可）．14.如圖，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是______．（只需寫一個(gè)條件，不添加協(xié)助線和字母）15.如圖，已知點(diǎn)E在AC上，若點(diǎn)D在AB上，則滿意條件______（只填一個(gè)條件），使△ADE與原△ABC相像．16.如圖，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，點(diǎn)M在AB邊上，且AM=3，過點(diǎn)M作直線MN與AC邊交于點(diǎn)N，使截得的三角形與原三角形相像，則MN=__．17.如圖，在矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADP與△BCP相像時(shí)，DP=______．18.過△ABC（AB＞AC）的邊AC邊上肯定點(diǎn)M作直線與AB相交，使得到的新三角形與△ABC相像，這樣的直線共有______條．三、解答題（本題包括5個(gè)小題）19.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AM的垂線，交CB的延長線于點(diǎn)D．求證：△DBA∽△DAC．20.如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，△ACD和△BCE都是等邊三角形，連接AE，BD，設(shè)AE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：△ACE≌△DCB；（2）求證：△ADF∽△BAD．21.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的延長線上，且CE=CD，過點(diǎn)B作BF∥DE交AE的延長線于點(diǎn)F，交AC的延長線于點(diǎn)G．（1）求證：AB=BG；（2）若點(diǎn)P是直線BG上的一點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使△BCP與△BCD相像．22.如圖，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC邊上截取AD=BC，連接BD．（1）通過計(jì)算，推斷AD2與AC?CD的大小關(guān)系；（2）求∠ABD的度數(shù)．23.如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE=ED，DF=DC，連接EF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．

答案一、選擇題1.【答案】B【解析】小正方形的邊長是1，所以小正方形對角線得到等腰直角三角形.由圖知，題目中三角形鈍角是135°，而視察圖像，選項(xiàng)A，C，D的鈍角自不待言不等于135°，而選項(xiàng)B中的鈍角是135°，故選B.2.【答案】C【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B=∠ADE，但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE與△DCB不相像；正確的推斷是A、B、C，錯(cuò)誤的推斷是D；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了相像三角形的判定方法；嫻熟駕馭相像三角形的判定方法，由兩角相等得出三角形相像是解決問題的關(guān)鍵．3.【答案】A【解析】連接OC，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=45°，∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，∴∠EOC=∠BOF，在△COE和△BOF中，，∴△COE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，∴△OEF∽△△CAB．故選A．考點(diǎn)：1.相像三角形的判定;2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.等腰直角三角形性質(zhì)．4.【答案】C【解析】A、∠D和∠F不是兩個(gè)三角形的對應(yīng)角，故不能判定兩三角形相像，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∠A=∠B，∠D=∠F不是兩個(gè)三角形的對應(yīng)角，故不能判定兩三角形相像，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由可以依據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相像可以推斷出△ABC與△DEF相像，故此選項(xiàng)正確；

D、∠A=∠E且不能判定兩三角形相像，因?yàn)橄嗟鹊膬蓚€(gè)角不是夾角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C．點(diǎn)睛：三角形相像的判定方法：（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相像；（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相像；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相像；（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相像．5.【答案】C【解析】∵∠BAC=∠D，，∴△ABC∽△ADE．故選C．6.【答案】B【解析】設(shè)小正方形的邊長為1，依據(jù)已知可求出△ABC三邊的長，同理可求出陰影部分的各邊長，從而依據(jù)相像三角形的三邊對應(yīng)成比例即可得到答案．∵小正方形的邊長均為1，∴△ABC三邊分別為2，，同理：A中各邊的長分別為：，3，；B中各邊長分別為：，1，；C中各邊長分別為：1、2，；D中各邊長分別為：2，，；∵只有B項(xiàng)中的三邊與已知三角形的三邊對應(yīng)成比例，且相像比為.故選B．考點(diǎn)：相像三角形的判定．7.【答案】C【解析】本題主要考查的就是三角形相像的判定，本題依據(jù)有一個(gè)角相等，且對應(yīng)角的兩邊對應(yīng)成比例，則兩個(gè)三角形相像可以得出答案.依據(jù)題意可得∠A為公共角，則要使三角形相像則必需滿意.點(diǎn)晴：本題主要考查的就是三角形相像的判定定理，在有一個(gè)角相等的狀況下，必需是角的兩邊對應(yīng)成比例，假如不是角的兩邊對應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形不相像；相像還可以利用有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.8.【答案】C【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC.∵BE=CE，∴AB=2BE.又∵△ABE與以D.

M、N為頂點(diǎn)的三角形相像，∴①DM與AB是對應(yīng)邊時(shí)，DM=2DN，∴DM2+DN2=MN2=1，∴DM2+DM2=1，解得DM=；②DM與BE是對應(yīng)邊時(shí),DM=DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=.∴DM為或時(shí)，△ABE與以D.

M、N為頂點(diǎn)的三角形相像。故選C.點(diǎn)睛：本題考查了相像三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，駕馭相像三角形的對應(yīng)邊的比相等時(shí)解題的關(guān)鍵，留意分狀況探討思想與屬性結(jié)合思想在本題中的應(yīng)用.9.【答案】D【解析】由AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，由AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABF∽△CFB，△EDF∽△EAB．共有6對，故選D10.【答案】C【解析】設(shè)AP=x，則BP=7-x，然后依據(jù)對應(yīng)關(guān)系，分狀況為：①當(dāng)△ADP∽△BCP時(shí)，可得，即，解得x=，這時(shí)有一個(gè)P點(diǎn)；②當(dāng)△ADP∽△BPC時(shí)，可得，即，解得x=1或x=6，因此這樣的點(diǎn)有兩個(gè)；因此符合條件的P點(diǎn)共有3個(gè).故選：C點(diǎn)睛：此題主要考查了相像三角形的性質(zhì)，解題時(shí)，先依據(jù)相像三角形的性質(zhì)，和相像三角形的對應(yīng)關(guān)系，列出相應(yīng)的比例式，求解即可.11.【答案】C【解析】A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相像，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相像，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相像，故本選項(xiàng)正確；D、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相像，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選C．12.【答案】C【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴與△AEF相像的三角形有2個(gè)．故選C．考點(diǎn)：相像三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．二、填空題13.【答案】△DBA．【解析】△ABC∽DBA，理由是：∵AD⊥BC，∠BAC=90°，∴∠ADB=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△DBA.14.【答案】AB∥DE（答案不唯一）．【解析】在△ABC和△DEF中，已經(jīng)有一個(gè)條件：∠A=∠D，依據(jù)三角形相像的判定方法中的：（1）有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相像；（2）有兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相像；可知：只需再添加“一對對應(yīng)角相等”或“夾∠A、∠D的兩邊成比例”即可得到：△ABC∽△DEF，因此本題的答案不是唯一的，如添加的一個(gè)條件可以是：①∠B=∠DEF或②∠ACB=∠F或③AB∥DE或④AC∥DF或⑤AB：DE=AC：DF.15.【答案】∠B=∠AED．【解析】已知點(diǎn)E在AC上，若點(diǎn)D在AB上，則滿意條件∠B=∠AED（只填一個(gè)條件），使△ADE與原△ABC相像.16.【答案】4或6．【解析】作出圖形，然后分①點(diǎn)N在AC上，分AM和AB與AC是對應(yīng)邊兩種狀況，利用相像三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可；②點(diǎn)N在BC上，求出BM，再分BM和AB與BC是對應(yīng)邊，利用相像三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．如圖所示，①點(diǎn)N在AC上，若AM和AB是對應(yīng)邊，∵△AMN∽△ABC，∴，即，解得MN=4，若AM和AC是對應(yīng)邊，∵△AMN∽△ACB，∴，即，解得MN=6；②點(diǎn)N在BC上，BM=AB-AM=9-3=6，若BM和AB是對應(yīng)邊，∵△MBN∽△ABC，∴，即，解得MN=4，若BM和BC是對應(yīng)邊，∵△NBM∽△ABC，∴，即，解得MN=3，綜上所述，MN的長為3或4或6．“點(diǎn)睛”本題考查了相像三角形的判定，主要利用了相像三角形的對應(yīng)邊成比例，難點(diǎn)在于分狀況探討，作出圖形更形象直觀．17.【答案】1或4或2.5．【解析】本題主要考查的就是動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的三角形相像的問題.設(shè)DP=x，則CP=5-x，本題須要分兩種狀況狀況進(jìn)行探討，①、=，解得：x=2.5；②、=，即=，解得：x=1或x=4，綜上所述DP=1或4或2.5點(diǎn)晴：本題主要考查的就是三角形相像的問題和動(dòng)點(diǎn)問題，首先將各線段用含x的代數(shù)式進(jìn)行表示，然后看是否有相同的角，依據(jù)對應(yīng)角的兩邊對應(yīng)成比例將線段寫成比例式的形式，然后分別進(jìn)行計(jì)算得出答案。在解答這種問題的時(shí)候千萬不能出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象，每種狀況都要考慮到位.18.【答案】2【解析】如圖所示，過M作MN∥BC交AB于N，△ANM∽△ABC；過M作∠AMD=∠B，交AB于D，△AMD∽△ABC；因此符合條件的直線共有2條.三、解答題19.【答案】證明見解析.【解析】證明：∵∠BAC=90°，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC．20.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】有兩組邊對應(yīng)相等，并且它們所夾的角也相等，那么這兩個(gè)三角形全等；有兩組角分別相等，且其中一組角所對的邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．（1）依據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；（2）利用（1）中全等三角形的對應(yīng)角相等，平行線的判定與性質(zhì)以及兩角法證得結(jié)論．解：（1）∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACE=∠DCB=120°．∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，∴DC∥BE，∴∠CDB=∠DBE，∴∠CAE=∠DBE，∴∠DAF=∠DBA．∴△ADF∽△BAD．考點(diǎn)：相像三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．21.【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)PB=2.5或時(shí)，△BCP與△BCD相像．【解析】（1）利用平行分線段成比例定理得出，進(jìn)而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案；（2）分別利用第一種狀況：若∠CDB=∠CPB，其次種狀況：若∠PCB=∠CDB，進(jìn)而求出相像三角形即可得出答案．（1）證明：∵BF∥DE，∴，∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF，在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）當(dāng)BP長為或時(shí)，△BCP與△BCD相像；∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴CD=2.5，∴∠DCB=∠DBC，∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一種狀況：若∠CDB=∠CPB，如圖1：在△BCP與△BCD中，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=CD=2.5；其次種狀況：若∠PCB=∠CDB，過C點(diǎn)作CH⊥BG于H點(diǎn)．如圖2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH