立體幾何中的截面問(wèn)題-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第51講立體幾何中的截面問(wèn)題

知識(shí)梳理

解決立體幾何截面問(wèn)題的解題策略.

1、坐標(biāo)法

所謂坐標(biāo)法就是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，為解

決立體幾何問(wèn)題增添了一種代數(shù)計(jì)算方法.

2、基底法

所謂基底法是不需要建立空間直角坐標(biāo)系，而是利用平面向量及空間向量基本定理

作為依托，其理論依據(jù)是：若四點(diǎn)￡、F、G、〃共面，P為空間任意點(diǎn)，則有：

結(jié)論1：若用與麗不共線，那么訪=2旃+〃而；

結(jié)論2：麗=4萬(wàn)+〃用+〃麗(2+〃+〃=1).

3、幾何法

從幾何視角人手，借助立體幾何中的線線平行、線面平行、面面平行的性質(zhì)與判定

定理以及平面幾何相關(guān)定理、結(jié)論，通過(guò)論證，精準(zhǔn)找到該截面與相關(guān)線、面的交點(diǎn)位

置、依次連接這些點(diǎn)，從而得到過(guò)三點(diǎn)的完整截面，再依據(jù)題意完成所求解答或證明.

必考題型全歸納

題型一：截面作圖

例1.(2024?全國(guó)?高一專題練習(xí))如圖，正方體/3。0-4片。1〃的棱長(zhǎng)為6,河是4片的

中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱CQ上，且GV=2NCr作出過(guò)點(diǎn)M,N的平面截正方體/BCD-4月

所得的截面，寫出作法;

【解析】如圖所示，五邊形。。必W即為所求截面.

1

作法如下：連接ZW并延長(zhǎng)交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,

連接ME交BG于點(diǎn)尸，交A4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

連接?！ń?41于點(diǎn)。，連接FN,

所以五邊形Df即為所求截面.

例2.（2024?江蘇?高一專題練習(xí)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體/BCD-Z/BC/D中，E,尸分別

是棱44/,CG的中點(diǎn)，過(guò)E作平面夕，使得&〃平面

⑴作出a截正方體/8CO-4以所得的截面，寫出作圖過(guò)程并說(shuō)明理由；

（2）求平面a與平面BDF的距離.

【解析】（1）連接42，￡耳,EQ,由正方體性質(zhì)可得8。〃42，BF//EDX.

又BFcBD=B,所以平面￡斗?！ㄆ矫鍭DF；

因?yàn)閍〃平面8。/，且Eea,所以平面石河。與平面a重合，即平面即自就是a截正方體

ABCD-AiBiCiDi所得的截面.

（2）由（1）可知平面a與平面2。廠的距離等于點(diǎn)名到平面8。廠的距離；

設(shè)點(diǎn)4到平面8。尸的距離為d,由題意可得8。=2后,3尸=。尸=石，所以VAD尸的面積

為"；AB耳尸的面積為2；

2

由^B,-BDF=%）-BB產(chǎn)可得5s△BOF△網(wǎng)F義2,解得d=2^.

所以平面a與平面BDF的距離為歧.

3

例3.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）（1）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體48cz>-4耳G2中，M,

N是棱44，4。的中點(diǎn)，在圖中畫出過(guò)底面/BCD中的心。且與平面平行的平面在

（2）作出平面尸0R與四棱錐N5CDE的截面，截面多邊形的邊數(shù)為.

【解析】⑴分別取￡,尸為棱BC，CQ的中點(diǎn)，則由中位線性質(zhì)得到：EFWB^WMNWBD,

所以四邊形EFDB為平面四邊形，

又￡N||4耳口/氏EN=AB=AB,所以四邊形EN48為平行四邊形，所以E8|MN,

由EF〃MN,E尸（z平面4WN,跖Vu平面4W,所以EFP平面4W,同理￡3〃平面

AMN,EFcEB=E,由面面平行的判定定理可得平面4W〃平面EED3,所以四邊形

EFDB即為所求截面，且為梯形，

由截面作法可知，DB=l41,EF=IDB=y[l,EB=FD=A/12+22=卮所以截面四邊形跖D8

的周長(zhǎng)為3亞+2右.

3

,連接6尺6尺門^^=監(jiān)6夫門￡。的延長(zhǎng)線于憶連接

PH,PHcAD于N,連接。M,AN,則五邊形尸即為所求.所以截面多邊形的邊數(shù)為

變式1.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖①，正方體N3CD-4片的棱長(zhǎng)為2,尸為線

段3C的中點(diǎn)，。為線段CG上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、P、。的平面截該正方體所得的截面記為S.

圖①圖②

（1）若1<CQ<2,請(qǐng)?jiān)趫D①中作出截面S（保留尺規(guī)作圖痕跡）;

（2）若C0=1（如圖②），試求截面S將正方體分割所成的上半部分的體積匕與下半部分的

體積匕之比.

【解析】（1）延長(zhǎng)DC交ZP延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,此時(shí)DC=C￡,延長(zhǎng)E0交2cl于點(diǎn)尸

延長(zhǎng)用G交PQ延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接GF,并延長(zhǎng)交4A于點(diǎn)“，連接力〃

4

此時(shí)五邊形APQFH就是截面S

(2)當(dāng)。為CG的中點(diǎn)時(shí)，再由DC=CE,OD//C0可知，EQ的延長(zhǎng)線交2G于點(diǎn)R,

此時(shí)截面S為四邊形/尸

=+

%^P-ADDX勺-§xx2x2^x2+—x(l+2)x2x—xl=y

〃c.717

=2x2x2—=—

33

177

因此匕：匕=7：］=17:7

中點(diǎn).

(1)證明：/G〃平面8DE.

(2)證明：ACJBD.

5

(3)在圖中作出平面BE，截正方體所得的截面圖形(如需用到其它點(diǎn)，需用字母標(biāo)記并說(shuō)明位

置)，并說(shuō)明理由.

【解析】(1)證明：連接/C,交BD于點(diǎn)、O,連接OE,

因?yàn)?CD是正方形，所以。為/C的中點(diǎn)，又E為棱CG的中點(diǎn)，

所以0E//4G，OEu平面ADE,NG<Z平面8DE,

所以AC；〃平面ADE,

(2)證明：在正方體48co-44G。中，44J平面48c0,BDu平面/BCD,所以

AAXVBD,

又ACLBD,AC^AA{=A,NC,4%u平面NCC/i，

所以BD工平面NCG4，

又/C|U平面/CG4，

所以

(3)如圖取叫的中點(diǎn)M,連接出/、MD\,則MBEA為平面截正方體所得的截面,

證明：取的中點(diǎn)N,連接NE、AN,因?yàn)椤隇槔釩G的中點(diǎn)

所以48〃。且“3=8,NEHCD且NE=CD,

所以ABHNE旦AB=NE,

所以四邊形/BEN為平行四邊形，

所以AN//BE,

又AM//ND,AM=NDlt

所以四邊形㈤VQM為平行四邊形,

6

所以4N//RM,

所以MR//BE,即8、E、1、M四點(diǎn)共面，即VBE2為平面8ER截正方體所得的截面;

變式3.（2024?江蘇?高一專題練習(xí)）已知正方體是棱長(zhǎng)為1的正方體，M

是棱陷的中點(diǎn)，過(guò)C、4、/三點(diǎn)作正方體的截面，作出這個(gè)截面圖并求出截面的面積.

【解析】連接。M,并延長(zhǎng)，交。/延長(zhǎng)線于N連CN交48于尸，連接VP,

則CD[MP為過(guò)C、A、M三點(diǎn)的正方體的截面,

因?yàn)椤ā鍪怯?xùn)的中點(diǎn)，MA//DD,

所以"是NR的中點(diǎn)，A是M5的中點(diǎn)，

因?yàn)?P〃C。，所以P是NC的中點(diǎn)，

所以MP是三角形NCA的中位線，

所以SCD1mp=3SNMP,

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1,

所以可得AW=PN=g,MP=且，

22

所以三角形M吩是以〃N=PN=在為腰，以上。=也為底的等腰三角形,

22

7

fVjY

邊兒。上的高為J2-I—近

4一丁

74^

1V23A/23

三角形M如是的面積％必,=—X-------X-----------=—

2248

~9

所以ScD[MP=3SNMP=~

O

題型二：截面圖形的形狀、面積及周長(zhǎng)問(wèn)題

例4.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，正方體/3CD-4BC]A的棱長(zhǎng)為1,P為3c的中

點(diǎn)，0為線段CG上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)4,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命

題中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

①當(dāng)0<C0〈g時(shí)，S為四邊形;

②當(dāng)CQ=g時(shí)，S為等腰梯形；

31

③當(dāng)時(shí)，s與G2的交點(diǎn)用滿足G6=]；

3

④當(dāng)<CQ<1時(shí)，S為六邊形；

4

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

8

先確定臨界值點(diǎn)，當(dāng)CQ=g,即。為CG的中點(diǎn)時(shí)，

截面交于A，則界面/尸2A為等腰梯形，故②正確；

對(duì)①當(dāng)o〈c。<g時(shí)，即。移動(dòng)到。位置時(shí)，

截面交線段。2于"，所以截面/尸0”為四邊形，故①正確；

3

對(duì)③，當(dāng)CQ=1時(shí)，。在&的位置，截面交的延長(zhǎng)線于/，

延長(zhǎng)/&，/尸交在。。的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，

CP=CG=Gft=Ca=i）

ADGDIGDI2

33i3i

由C03=1,則ZV=5，DiI=->又有CQ=l-]="

1

所以第=黑=?=2,又CQ=1,所以C區(qū)="故③正確；

C內(nèi)和幺13

4

T.

對(duì)④，CQ<1,。點(diǎn)移動(dòng)到Q位置，從圖上看，截面為五邊形，故④錯(cuò)誤；

共3個(gè)正確，

故選：C

例5.（2024?四川成都?高二雙流中學(xué)?？计谥校┮阎襟w/5CD-4片GA的棱長(zhǎng)為

1,M,N為線段8C,cq上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)4,M,N的平面截該正方體的截面記為S,則下列命

題正確的個(gè)數(shù)是（）

①當(dāng)8M=0且0<CN<l時(shí)，S為等腰梯形；

9

②當(dāng)M,N分別為BC,CG的中點(diǎn)時(shí)，幾何體4-D\MN的體積為《；

31

③當(dāng)M為3C中點(diǎn)且CN=：時(shí)，S與的交點(diǎn)為R,滿足

46

④當(dāng)“為中點(diǎn)且0WCNW1時(shí)，S為五邊形.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①，當(dāng)W=0,即民"重合，且O<CN<1時(shí)，如下圖所示，

過(guò)N作NP//CA，交C.于尸，連接4P,

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知48〃Cn，所以即〃4/,所以4，民N,P四點(diǎn)共面，

在等腰直角三角形CGA中，根據(jù)平行線分線段成比例的知識(shí)可知CN=P〃,

所以4尸=療+尸廳=JF+CN?=BN,

即截面S為等腰梯形，①正確.

②，當(dāng)M,N分別為8C,CG的中點(diǎn)時(shí)，

過(guò)N作NH_LCD1,垂足為H,W\NH"GD,NH]GD=與,

由于BC1平面CD。?,陽(yáng)匚平面。。。?,所以3CJ.M7,

由于CD|c3C=C,CD[,BCu平面A、BCD、,

所以煙_L平面43C2，即煙_L平面4g.

所以=yiqx弓xix8卜中咕②正確.

10

3

③，當(dāng)M為3C中點(diǎn)且CN=:時(shí)，S與￡2的交點(diǎn)為R,S與Z6的交點(diǎn)為尸,

由于平面ABBXAJ/平面。CCQ],

平面488]4cs=4尸，平面。CC[D]CS=RV,所以&P//RN,

同理可證得4&//尸M，

C]N=；,設(shè)C\R=x,PB=y,則。7?=l-x,

由ZDlRAl=ZMPB,得tanZDtRAt=tanNMPB,

111

即2v」_L，所以/尸=1-y=j+L，

，

l-x~yy~22X22

同理tan/4E4=tan/￡RV,所以〒^=4,解得

Lx7

22

即中=；,③錯(cuò)誤.

④，當(dāng)“為BC中點(diǎn)且CN=O時(shí),GN重合，如下圖所示,

11

截面s是四邊形同Ben,④錯(cuò)誤.

所以正確的有2個(gè).

故選：B

例6.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖正方體ABCD-AMR,棱長(zhǎng)為1,尸為中點(diǎn),

。為線段CG上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)/、P、。的平面截該正方體所得的截面記為。.若&,則

下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)時(shí)，。為四邊形B.當(dāng)時(shí)，O為等腰梯形

C.當(dāng)時(shí)，。為六邊形D.當(dāng)2=1時(shí)，。的面積為暫

【答案】C

【解析】當(dāng)0<2<：時(shí)，如下圖1,。是四邊形，故A正確；

2

12

當(dāng)時(shí)，如下圖2,O為等腰梯形，B正確：

當(dāng)時(shí)，如下圖3,。是五邊形，C錯(cuò)誤；

4

當(dāng)4=1時(shí)，。與C1重合，取4。的中點(diǎn)尸，連接即，如下圖4,由正方體的性質(zhì)易得

PCJ/BM//AF,且pq=AF,截面。為/PC尸為菱形，其面積為:/q-小=?，D正

確.

故選：C

圖2

13

N

變式4.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?高二揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在棱長(zhǎng)為正的正

方體中，點(diǎn)E、F、G分別是棱N?、B'C'、C。的中點(diǎn)，則由點(diǎn)E、F、

G確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于.

14

【解析】因?yàn)镋、尸分別為4的、2'c'的中點(diǎn)，則斯〃/'C且

EF=4B'E2+B'F2=J—x2=],

因?yàn)?T//CC，且44，=CC',所以，四邊形44'C'C為平行四邊形，所以，ACIIAC,

所以，EFIIAC,設(shè)平面E/G交棱/。于點(diǎn)”，

因?yàn)槠矫鍭BCDH平面A'B'C'D',平面EFGc平面A'B'C'D'=EF,

平面跖Gc平面/6Cr?=G〃，所以，EFHGH,則GH7//C,

因?yàn)镚為。。的中點(diǎn)，所以，//為4D的中點(diǎn)，

設(shè)直線即分別交。'/、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸、Q,連接陽(yáng)交棱04'于點(diǎn)

連接。G交棱CC'于點(diǎn)N,連接瓦0、FN,則截面為六邊形E/WGHW,

A'PA'E

因?yàn)?‘尸〃C'B',則

所以，A'P=B'F=-B'C=-^0'=-AD=AH,

222

AI\/[4H

因?yàn)?H7/HP,則R=F=1,所以，AM=A'M,則M為AH的中點(diǎn),

AMAP

同理可知，N為CC的中點(diǎn)，易知六邊形E/WGHW是邊長(zhǎng)為跖=1的正六邊形，

所以，截面面積為6x1x1?xsin60=6乂^^=33

242

故答案為：巫.

2

變式5.（2024?河南信陽(yáng)?高二信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）在一次通用技術(shù)實(shí)踐課上，木工小組

需要將正方體木塊截去一角，要求截面經(jīng)過(guò)面對(duì)角線4C上的點(diǎn)?（如圖），且與平面

平行，已知，4=10cm,AP=6cmf則截面面積等于

15

【解析】如圖，連接8。交NC于點(diǎn)O,連接4。、4B.

DC

4B\

因?yàn)锽BJ/DDi且BBi=DD「故四邊形網(wǎng)。。為平行四邊形，所以，BDHBQ、,

因?yàn)槠矫娑?,BQiU平面片c，所以，〃平面瓦。2，

同理可證&B〃平面8c2，

因?yàn)?3C5D=3,A[B、ADu平面420，所以，平面450〃平面4c2，

故截面平行于平面43。.

過(guò)點(diǎn)尸作與平行的直線分別交4D、4B于點(diǎn)M、N,在可上取點(diǎn)。使=

AQAM

■：AQ=AM,,:.Z\AQM^/^AAXD,QMHDAX.

因?yàn)椤<z平面4AD,4。u平面4區(qū)0,所以，QM〃平面4AD,

丈因?yàn)镸NHDB,MNU平面4A0，BDu平面4夕。，所以，MN〃平面4區(qū)0,

因?yàn)樯蟻喛?河=〃，MN、Ql/u平面MN0,所以，平面MNQ〃平面4區(qū)0,

16

18

易得色MNQs^DBA],

25

因?yàn)?8=小AB?+媚=V102X2=1072,

易知A4班)是邊長(zhǎng)為10匹的等邊三角形，所以，-|x(10V2)2xsin600=50A/3,

Sx2

因此，SAMNQ=1|AA,BD=1|50拒=3673(cm).

故答案為：36G.

變式6.（2024?江蘇泰州?高一泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正方體48CD-4用的棱長(zhǎng)是。，

其中E是CD中點(diǎn)，尸是中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)及￡片的截面面積是.

【答案】〕返/

48

【解析】在CG上取河使CM=；CG，連接ME并延長(zhǎng)與2。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,連G歹交

AD千N,連接B[M,NE,

由正方體的性質(zhì)可知用尸//EN,則五邊形印小F即為過(guò)點(diǎn)及尸，鳥(niǎo)的截面,

a,GE=-GM,GN=-GF,

23

在△耳兒不中，B,M=-a,B,F=—a,MF=—a,

14124

由余弦定理得cosNA^F=之叵，所以=3晅

12525

所以平行四邊形々MG下的面積為s=q尸x8]MsinNMBF=亭a2

又由GE=-GM,GN=-GF,

23

17

所以S「版=-GExGNxsinZNGE=-S,

°212

所以截面的面積為sBMENF=[s=1叵d.

即的由1248

故答案為：1返

48

變式7.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直三棱柱4BC-44cl的側(cè)棱長(zhǎng)為2,AB1BC,

AB=BC=2,過(guò)Z8,臺(tái)片的中點(diǎn)￡,尸作平面C與平面四C。垂直，則所得截面周長(zhǎng)

為.

【答案】3V2+V6

【解析】如圖，

取NC的中點(diǎn)。，連接8D,取4G的中點(diǎn)4，連接42，BD,

取月。的中點(diǎn)G,連接EG,連接E尸，并延長(zhǎng)與4片交于//,取C.的中點(diǎn)M,連接

交用G于N,連接FN、GM,可得EG//BD,BDUBQ、,MN"BQ、,即有EG//MV,

又AB=BC,可得AD_L/C,因?yàn)?41，平面43C,ADu平面4BC,所以AD_L/4，

ACnAAl=A,/C,44]U平面/CG4,所以AD工平面,因?yàn)镋G//&D,所以EG,

平面44CC，EGu平面EGW,由面面垂直的判定定理，可得平面EGMF_L平面44。。,

則平面EGMVF即為平面a,由EG=LBD=?,GM=74+2=46,MN^-B,n,

222112

NF=4i，F(xiàn)E=4i，可得所得截面周長(zhǎng)為把x2+#+6"x2=3后+行.

2

故答案為：342+46.

變式8.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）棱長(zhǎng)為1的正方體/BCD-44GA中，點(diǎn)E為棱3C的

18

中點(diǎn)，則過(guò)用，E,。三點(diǎn)的平面截正方體的截面周長(zhǎng)為

【答案】2"

【解析】

如圖，取4。的中點(diǎn)為尸，連接尸24尸，取/。的中點(diǎn)為G,連接尸G,5G,

在正方形42。/中，因?yàn)槭分別為所在棱的中點(diǎn)，故尸G〃/4,尸G=/4

而B(niǎo)BJ/44],BB[=AA[,故FGHBB、,FG=BBX,

故四邊形FGBBI為平行四邊形，故FBJ/GB,FB\=GB,

在正方形力3CD中，因?yàn)椤?、G分別為所在棱的中點(diǎn)，故GDHBE,GD=BE,

故四邊形DGBE為平行四邊形，故DE//GB,DE=GB,

故FBJIDE,FB\=DE,故四邊形FBXED為平行四邊形，

故尸，耳，瓦。四點(diǎn)共面，故過(guò)呂，E,。三點(diǎn)的平面截正方體的截面為平行四邊形尸與即.

又。￡=耳￡=、用=正，故截面的周長(zhǎng)為4x@=2右，

1V422

故答案為：2#）.

變式9.（2024?四川瀘州?四川省瀘縣第二中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體

ABCD-A^QD,,中，點(diǎn)￡為⑦的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)C且與巴E垂直的平面&被正方體

ABCD-44G2截得的截面周長(zhǎng)為.

19

【答案】2V5+V2/V2+2V5

【解析】如圖，取月。中點(diǎn)尸，中點(diǎn)G,連接CF,FG,CG,BE,B】E,設(shè)BE與CF交于

點(diǎn)。，

因?yàn)锽[E在平面ABCD內(nèi)的射影為BE,

由CD=BE,DF=CE,NBCE=ZFDC=90°可得ABCE=^CFD,

所以ZBEC=ZDFC,ZEBC=ZFCD,

又因?yàn)镹/8E+ZEBC=90P,ZEBC+ZBEC=9(P,

所以ZABE=ZBEC=NDFC,

在四邊形4rao中，ZL4+ZABE+ZBOF+ZCFA=360°,

其中ZABE+ZAFC=ZDFC+/AFC=180°,//=90°,

所以48。尸=90。，即B￡_LCF,

所以CF是截面內(nèi)的一條線，

同理CG,GF是截面內(nèi)的一條線，

所以過(guò)點(diǎn)C且與耳￡垂直的平面a被正方體/3CO-4耳G2截得的截面為CFG,

因?yàn)檎襟w力3c0-44的棱長(zhǎng)為2,

所以cb=Vi7T=E,CG==病,尸G=VITT=也，

截面CFG的周長(zhǎng)為CF+CG+/6=石+石+收=2遂+行，

故答案為：26+虛

20

題型三：截面切割幾何體的體積問(wèn)題

例7.（2024?廣東廣州?高一統(tǒng)考期末）在棱長(zhǎng)為a的正方體48co-中，E,尸分別

為梭BC,CG的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E,廠作一個(gè)截面，該截面將正方體分成兩個(gè)多面體，則體

積較小的多面體的體積為.

【答案】—

【解析】如圖，依次連接/瓦ER叫,D/,四邊形/瓦丁。即為所求截面，

因?yàn)辄c(diǎn)E、尸分別為棱8C、CQ的中點(diǎn)，所以.〃24,

1212

可知皿尸為三棱臺(tái)，所以黑四己xaxa*,a四三xgq檢，

3

X7z

其體積^ADE\-ECF-ADDX+J，2ECF+gEcJxci=—,

24

且正方體的體積為VABCD-A.Bfifi,=aXaX?=?3,

V

則另一部分的體積為%=ABLD-ARGC]A￡-q-AADDUn^-ZElCzC^F=^—2yl

因?yàn)樗泽w積較小的多面體的體積為生.

242424

故答案為：—.

24

21

DiC,

例8.（2024?遼寧錦州??？家荒＃┰谡睦忮FS-Z5CZ）中，M為SC的中點(diǎn)，過(guò)Z"作截面

將該四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為匕，匕，則方的最大值

v\

是.

【答案】2

【解析】記正四棱錐S-/3CD的體積為「，叁的最大值，由匕+匕=廠為定值知，只需求匕

的最小值，

設(shè)過(guò)AM的截面分別交SB和SO于瓦尸，平面SAC與平面SBD的交線為SO,SO與//相交

于G,如圖,

?SFSF—?1—?—?1—1—?11

則SG=：SO,令嗡=x，W=>,貝|36=；6。+38)=丁8月+丁5/，即有丁+丁=1,

3SBSD33x3x

SFSE

=

匕^S-AFM+叭-AEM=-F—SAM/—SAM=5口'"D—SAM+'^B-SAM

—/fc+Tkc=Q+6=W("蟲(chóng)T<(2V力斗

當(dāng)且僅當(dāng)X=y=g時(shí)取等號(hào)，此時(shí),=W=,T，,T=2

33

22

所以黃的最大值是2.

故答案為：2

例9.（2024?浙江?高二競(jìng)賽）在正四棱錐S-48C。中，"在棱SC上且滿足SM=2MC.過(guò)

作截面將此四棱錐分成上，下兩部分，記上，下兩部分的體積分別為匕，匕，則，的

最大值為.

【答案】|

【解析】設(shè)過(guò)AM的平面交SB,SD于G,P,

將平面MGAP延伸，交BC,CD于E,F,則A,E,F共線.

FCDP…ECx…

------------2=1,--------------2=1,

FDPSEB1-x

FCCECECE

FD~DA~BC~CE-BE'

BE2XDP1<BE、l-3x

而--------，?二---=—-1---------------------7,

CE1-xPS2(CE)2(1-%)

SASM?("G—ZSC+dpAsc)

由于YL=

V2sAsc'^B-ASC

If2-2xy_l(43-5x4、

-X+++

3-5xJ-3[555(3-5x)?

85

xe0,—,：.y-5xer3

.?匕匕匕-8-

7

故答案為：—.

o

23

變式10.（2024?上海?高二專題練習(xí)）如圖，正方體48CD-4BCR,中，￡、尸分別是棱

的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)2、￡、尸的截面將正方體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為

匕,％,記匕〈匕，則匕：匕=.

【答案】胃25

47

【解析】延長(zhǎng)EF交DC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)P,連接2P交CG于點(diǎn)G,連接尸G：

延長(zhǎng)尸￡交。/的延長(zhǎng)線與點(diǎn)。，連接。。交441于點(diǎn)連接HE：

所以過(guò)尸的截面為。/ffiFG,如下圖示：

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a,

則過(guò)口,瓦尸的截面下方幾何體的體積為

_1。1aAM」1a。ao112a_253

TKZ=-Sv,OD—2—STT,OA='一,—5ci?,JCI—2—,—ci------a=—ci,

13n,np3AP323239

所以另一部分體積為匕=8/—黃753=4力73,則匕:匕=含75

24

25

故答案為：

47

變式11.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體初⑺-HB'C'D'中，用截面截下

一個(gè)三棱錐C-HD'D,則三棱錐的體積與剩余部分的體積之比為.

【答案】1:5

【解析】設(shè)ZB=a,AD=b,AA'=c,所以長(zhǎng)方體體積LCARCO=%

三棱錐C—A'D'D的體積V-A'D,D=}CD-S"D，D=：a-}bc=—abc,

C3326

*,,剩余部分的體積—^ABCD-A'B'CD'~^C-AD'D=abc-—abc=—abc

66

...三棱錐C-A'D'D的體積與剩余部分的體積之比為1:5.

故答案為：1:5.

變式12.（2024?貴州貴陽(yáng)?貴陽(yáng)六中?？家荒＃┰谌庵校?4］，底面N8C,

=點(diǎn)尸是棱力4上的點(diǎn)，AP=2PAl,若截面8PG分這個(gè)棱柱為兩部

分，則這兩部分的體積比為.

【答案】之4或:5

54

【解析】取/C的中點(diǎn)。，連接8D,

因?yàn)?B=3C,所以AD_L/C,

因?yàn)榻校酌?BC,3Du底面43C,

所以

又所以8。工平面44?C,

/794

不妨設(shè)45=。，則5。=!!。，AP=-AAX=-a,

233

v_160

/ABC-AB1G=/X“x-yax2a=—a，

25

4個(gè)）

—a+2a\a

13J

v3，

v=—x-----a

B-APC[C32218

故上面一部分的體積為小網(wǎng)「噎PQC=周~，

所以兩部分的體積比為4?或；5

54

故答案為：合4或:5.

54

變式13.（2024?廣東揭陽(yáng)?高一普寧市華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體/3CD-4耳G2

中，￡、尸分別是棱4耳、的中點(diǎn)，則正方體被截面3EFC分成兩部分的體積之比

匕跖=.

【答案】3

【解析】設(shè)正方體488-4片的棱長(zhǎng)為2°,體積為k，則

26

V=2。x2。x2a=8/,

因?yàn)镋是棱4片的中點(diǎn)，所以￡可=。，

3

V2=S、B可Ex8C=gxEB、xBB、xBC=^xax2ax2a=2a,

.-.jz=jz-p；=8a3-2a3=6a3.

7=魚=3

,豆F,

故答案為：3

題型四：球與截面問(wèn)題

例10.（2024?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體

/8CD-44GA中，河,"分別為棱42，。2的中點(diǎn)，過(guò)作該正方體外接球的截面,

所得截面的面積的最小值為（）

【答案】C

【解析】如圖,

正方體外接球的球心在其中心點(diǎn)。處，球的半徑尺=!爐下了=蟲(chóng)，

22

要使過(guò)MN的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段九W的中點(diǎn)。,

連接。M,ON,貝|<W=ON=TW=

27

所以0Q=/。/―&?。?手，

此時(shí)截面圓的半徑r=^R2-OQ2=,，

3

此時(shí)，截面面積的最小值S=7r/=6九

O

故選：C.

例11.（2024?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在矩形力BCD中，/3=3,/。=4,

將△MD沿對(duì)角線即翻折至的位置，使得平面43。_L平面5cD,則在三棱錐

H-3CD的外接球中，以HC為直徑的截面到球心的距離為（）

AV435n6V2「V239?7113

1051010

【答案】B

【解析】如圖，取3。的中點(diǎn)為O,連接4O,C。，過(guò)H作4〃1助，垂足為H,連接CH.

因?yàn)槿切?08為直角三角形，故4。=。。=03,

同理CO=OD=OB,iiCO=OD=OB=OA',

所以O(shè)為三棱錐A'-BCD的外接球的球心，而助=J9+16=5,

因?yàn)锳'HJ.BD,/Au平面48。，平面_L平面C8。,

平面A'BDCl平面CBD=BD,故A'H1平面CBD,

而CHu平面CBD,故

在直角三角形03。中，?2=3,4。=4,故/歸==；?

19+165

故8〃=,9_翳=：,

4

在直角三角形中，cos/CBD、,

81,94193,,…144193337

故C〃2=—+1r6-2x—x4x—---,故4C=-------1------=-----

255525252525

設(shè)球心到以HC為直徑的截面的距離為（

28

則八=Ji1331r==蟲(chóng)=迪，

\4（2）V44x2510105

故選：B.

兀

例12.（2024?海南?高三校聯(lián)考期末）已知某球的體積為32手，該球的某截面圓的面積為3兀,

則球面上的點(diǎn)到該截面圓圓心的最大距離為（）

A.1B.3C.2+V3D.一

2

【答案】B

【解析】設(shè)截面圓的半徑為尸，球。的半徑為R球心到截面的距離為d,

則戶+屋=之，

因?yàn)榍虻捏w積為胃=?心,

33

所以火=2,

因?yàn)榻孛鎴A的面積為3兀，

所以3TI=7U"2,故「=出,

所以d=1,

所以球面上的點(diǎn)到該截面圓圓心的最大距離為d+R=3,

故最大距離為3.

故選：B.

變式14.（2024?江西南昌?江西師大附中校考三模）已知正方體N5CD-44的棱長(zhǎng)為2,

E為棱CG上的一點(diǎn)，且滿足平面平面4AD,則平面48。截四面體/8CE的外接

球所得截面的面積為（）

13「25c2

A.-71B.~7T71C.一"D.一兀

61233

【答案】A

【解析】在正方體ABCD-44G。中，設(shè)平面8DEC平面/C￡=0E,且"CJ平面AXBD,

由平面8DE,平面4AD,可得/C"/OE,所以￡是CG的中點(diǎn)，

,_________3

又四面體ABCE的外接球的直徑為AE=y]AC2+CE2=3，可得半徑R、,

設(shè)M是/E的中點(diǎn)即球心，球心M到平面4即的距離為d,

29

又設(shè)ZC與8。的交點(diǎn)為O,貝（|cos/NQ/=,則sinN/QAf=cosNNQN=,

則d=OM-sin/4OM=Lx1=e,則截面圓的半徑/=爐一/=3一4=4=

1236412126

13

所以截面圓的面積為兀/=—71.

6

變式15.（2024?四川內(nèi)江?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知球。是正三棱錐

/-BCD（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，BCf，AB=g，

點(diǎn)￡是線段BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡作球。的截面，則所得截面面積的最小值是（）

【答案】A

【解析】如圖:

Q是A在底面的射影，由正弦定理得，△BCZ）的外接圓半徑x工=1.

sin6002

由勾股定理得棱錐的高M(jìn)al=vn=i設(shè)球。的半徑為尺,

則尺2=（1一五y+i,解得尺=1,

所以|oq卜o,即Q與。重合，

30

所以當(dāng)過(guò)點(diǎn)￡作球。的截面垂直于OE時(shí)，截面面積最小,

此時(shí)截面半徑為忸閔=,，截面面積為，.

故選：A.

變式16.（2024?福建廈門?廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知半徑為4的球0,被兩個(gè)平

面截得圓。卜記兩圓的公共弦為N8,且QQ=2,若二面角a-43-。2的大小為:兀，

則四面體23002的體積的最大值為（）

A.8^/3B.—V2C.—5/2D.—A/3

999

【答案】C

【解析】設(shè)弦45的中點(diǎn)為連接依題意，可得如下圖形