卡方檢驗(yàn)講解

χ2檢驗(yàn)(Chi-squaretest)是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的創(chuàng)始人之一，英國(guó)人K.Pearson（1857-1936）于1900年提出的一種具有廣泛用途的統(tǒng)計(jì)方法，可用于兩個(gè)率或構(gòu)成比間的比較，多個(gè)率或構(gòu)成比間的比較，多個(gè)樣本率比較的χ2分割，兩個(gè)分類變量間有無關(guān)聯(lián)性，擬合優(yōu)度的χ2檢驗(yàn)等等。

卡方檢驗(yàn)重點(diǎn)掌握：1.卡方檢驗(yàn)的基本思想;2.完全隨機(jī)設(shè)計(jì)和配對(duì)設(shè)計(jì)四格表資料卡方檢驗(yàn)的步驟及應(yīng)用條件;3.行×列表資料的卡方檢驗(yàn)及應(yīng)用中應(yīng)注意的問題。主要內(nèi)容：1.卡方檢驗(yàn)的基本思想;2.四格表資料的卡方檢驗(yàn);3.行×列表資料的卡方檢驗(yàn)；4.率的多重比較；5.頻數(shù)分布擬合優(yōu)度的卡方檢驗(yàn)；6.四格表資料的確切概率法；

7.線性趨勢(shì)檢驗(yàn)。χ2分布的特征：

（1）χ2分布是一種連續(xù)型分布，其形狀依賴于自由度ν的大?。寒?dāng)自由度ν≤2時(shí)，曲線呈L型；隨著ν的增加，曲線逐漸趨于對(duì)稱；當(dāng)自由度ν∞時(shí)，χ2分布趨向正態(tài)分布。

（2）χ2分布具有可加性：如果兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X1和X2分別服從自由度n1和n2的χ2分布，那么它們的和(X1+X2)服從自由度n1+n2的χ2分布。

（3）χ2分布的分位數(shù)：當(dāng)自由度ν確定后，χ2分布曲線下右側(cè)尾部的面積為α?xí)r，橫軸上相應(yīng)的χ2值記作χ2α，ν

即χ2分布的分位數(shù)。v=1v=4v=6v=9例7-1某神經(jīng)內(nèi)科醫(yī)師欲比較A、B兩種藥治療腦血管栓塞病人的療效，將病情、病程相近且滿足試驗(yàn)入選標(biāo)準(zhǔn)的156例腦血管栓塞患者隨機(jī)分為兩組，結(jié)果見表7-1。問兩藥治療近期有效率是否有差別？表7-1兩藥治療腦血管病有效率比較第一節(jié)卡方檢驗(yàn)的基本思想藥物有效無效合計(jì)有效率（%）A73(65.7)9(16.3)8289.02B52(59.3)22(14.7)7470.27合計(jì)1253115680.132.卡方檢驗(yàn)的基本思想實(shí)際頻數(shù)A

(actualfrequency)(a、b、c、d)的理論頻數(shù)T(theoreticalfrequency)（H0:π1=π2=π）：a的理論頻數(shù)＝(a+b)×pc=(a+b)×[(a+c.)/n]=nRnC/n=65.7b的理論頻數(shù)＝(a+b)×(1-pc)=(a+b)×[(b+d.)/n]=nRnC/n=16.3c的理論頻數(shù)＝(c+d)×pc=(c+d)×[(a+c)/n]=nRnC/n=59.7d的理論頻數(shù)＝(c+d)×(1-pc)=(c+d)×[(b+d.)/n]=nRnC/n=14.32.卡方檢驗(yàn)的基本思想卡方檢驗(yàn)的基本思想可以通過卡方檢驗(yàn)的基本公式來理解。從基本公式可以體會(huì)到卡方值反映了實(shí)際頻數(shù)和理論頻數(shù)吻合的程度。A與T相差越大，則（A－T）2的值越大，反之則越小。然而由（A－T）2的值來衡量實(shí)際頻數(shù)與理論頻數(shù)相差的程度，尚有不足之處。因?yàn)榻^對(duì)差異值的大小還不能完全表示相差的程度，例如：某一資料的實(shí)際頻數(shù)為386，理論頻數(shù)為380，另一資料實(shí)際頻數(shù)為20，理論頻數(shù)為14，兩者的（A－T）2均為36，然而前者為386例中僅差6，后者在20例中就差6，兩者所占的比重極不相同。為彌補(bǔ)這一缺點(diǎn)，需把（A－T）2的值變?yōu)橄鄬?duì)數(shù)，即把（A－T）2的值與相應(yīng)的理論頻數(shù)T值相比，即（A－T）2/T，以此來反映（A－T）2應(yīng)占的比重。將每組的（A－T）2/T的值相加，即得基本公式。（A－T）2為什么與理論頻數(shù)T相比，而不是與實(shí)際頻數(shù)A相比？其理由是：①當(dāng)理論頻數(shù)的數(shù)值極小時(shí)，由于抽樣誤差可使實(shí)際頻數(shù)為零，所以不如用理論頻數(shù)可靠；②理論頻數(shù)是大量的經(jīng)驗(yàn)和自然規(guī)律推算得來，而實(shí)際頻數(shù)來自有限的樣本，變動(dòng)較大，所以用理論頻數(shù)比較合理。

各種情形下，理論頻數(shù)與實(shí)際頻數(shù)偏離的總和即為卡方值（chi-squarevalue）,它服從自由度為ν的卡方分布。2.卡方檢驗(yàn)的基本思想

上述基本公式由Pearson提出，因此軟件上常稱這種檢驗(yàn)為Pearson卡方檢驗(yàn)，下面將要介紹的其他卡方檢驗(yàn)公式都是在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。它不僅適用于四格表資料，也適用于其它的“行×列表”。2.卡方檢驗(yàn)的基本思想二、四格表資料的χ2檢驗(yàn)

(一)四格表資料的χ2檢驗(yàn)的基本步驟1、建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0

：

1=2H1

：

1

2

＝0.05。2、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量ν＝（2-1）（2-1）＝13、確定p值，作出推斷結(jié)論查ν＝1的χ2界值表得P<0.05，按＝0.05水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，可以認(rèn)為A、B兩藥治療有效率有差別

。（二）四格表專用公式

為了不計(jì)算理論頻數(shù)T,

當(dāng)n

40，所有T

5時(shí)，可由基本公式推導(dǎo)出，直接由各格子的實(shí)際頻數(shù)（a、b、c、d）計(jì)算卡方值的公式：四格表專用公式結(jié)果與基本公式計(jì)算的相同當(dāng)n

40，所有T

5時(shí)，

2(1)～u2將上例例數(shù)據(jù)代入專用公式，得（三）四格表資料卡方檢驗(yàn)的校正

χ2分布是一連續(xù)型分布，而行×列表資料屬離散型分布，對(duì)其進(jìn)行校正稱為連續(xù)性校正(correctionforcontinuity),又稱Yates校正（Yates'correction）。⑴當(dāng)n≥40，且所有T

5時(shí)，用基本公式或四格表專用公式；當(dāng)P≈α?xí)r，用四格表資料的Fisher確切概率法。⑵當(dāng)n≥40，而1≤T＜5時(shí)，用連續(xù)性校正公式。⑶當(dāng)n＜40或T＜1時(shí)，用四格表資料的Fisher確切概率法。校正公式：例7-2某醫(yī)師采用復(fù)合氨基酸膠囊治療肝硬化病人，觀察兩組病人指標(biāo)ALT的變化，數(shù)據(jù)見表7-2，試比較治療后兩組病情改善率是否有差別。四格表資料卡方檢驗(yàn)的校正公式分組改善未改善合計(jì)有效率（%）實(shí)驗(yàn)組23（20.24）2（4.76）2592.00對(duì)照組11（13.76）6（3.24）1764.71合計(jì)3484280.95因?yàn)?＜T＜5，且n＞40時(shí)，所以應(yīng)用連續(xù)性校正χ2檢驗(yàn)表7-2復(fù)合氨基酸膠囊對(duì)肝硬化病人病情改善效果分析

在計(jì)量資料方面，同一對(duì)象試驗(yàn)前后差別的統(tǒng)計(jì)意義檢驗(yàn)（或個(gè)別配對(duì)資料）與兩個(gè)樣本均數(shù)差別的統(tǒng)計(jì)意義檢驗(yàn)方法是不同的，在計(jì)數(shù)資料方面也是如此。下面討論配對(duì)設(shè)計(jì)，試驗(yàn)結(jié)果為“二分類”的計(jì)數(shù)資料，從設(shè)計(jì)來說，與前面介紹的計(jì)量資料配對(duì)t檢驗(yàn)是一樣的，配對(duì)計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的結(jié)果僅有四種情況。三、配對(duì)設(shè)計(jì)分類變量資料的χ2檢驗(yàn)甲乙合計(jì)+－+aba+b－cdc+d合計(jì)a+cb+dn配對(duì)四格表形式分組+-合計(jì)甲aba+b乙cdc+d合計(jì)a+cb+dn一般四格表形式例7-3某研究組采用病理（甲法）與超聲（乙法）檢查兩種方法，檢查確診乳腺癌患者257例，結(jié)果見表7-4，問兩種方法檢出率是否有差別？表7-4兩種方法的檢驗(yàn)結(jié)果

甲法乙法合計(jì)+－+130（a）75（b）205－11（c）41（d）52合計(jì)141116257配對(duì)四格表資料的χ2檢驗(yàn)也稱McNemar檢驗(yàn)H0：兩種方法的總體檢出率相同,即兩總體B=C

H1：兩種方法的總體檢出率不同,即兩總體B≠Cα=0.05已知b＝75，c＝11，b+c≥40，故將其代入上面公式，有按α＝0.05水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，故可認(rèn)為兩種方法的檢出率不同，病理檢查檢出率（205/257）高于超聲檢查（141/257）。配對(duì)四格表資料的χ2檢驗(yàn)公式推導(dǎo)第三節(jié)、行×列表資料的χ2檢驗(yàn)（一）多個(gè)樣本率的比較（二）兩組或多組構(gòu)成比的比較（三）行×列表資料的關(guān)聯(lián)性檢驗(yàn)

（四）行×列表χ2檢驗(yàn)的注意事項(xiàng)R×C表的χ2檢驗(yàn)通用公式（一）多個(gè)樣本率的比較例7-4將133例尿路感染患者隨機(jī)分為3組，接受甲法治療44例，接受乙法治療45例，接受丙法治療44例。一個(gè)療程后檢測(cè)尿路感染陰轉(zhuǎn)情況，結(jié)果整理見表7-5，問三種療法尿培養(yǎng)陰轉(zhuǎn)率是否有差別？

表7-5三種療法對(duì)尿路感染患者的治療效果療法陰轉(zhuǎn)人數(shù)陽性人數(shù)合計(jì)陰轉(zhuǎn)率%）甲30144468.2乙9364520.0丙32124472.7合計(jì)716213353.41、建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0

：

1=2=3H1

：

1

、2

、3不全相等＝0.052、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量ν＝（3-1）（2-1）＝23、確定p值，作出推斷結(jié)論查ν＝2的χ2界值表,得P<0.005。按＝0.05水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，故可認(rèn)為3種療法對(duì)尿路感染療效有差別。

（二）兩組或多組構(gòu)成比的比較例7-5某院對(duì)胃鏡檢測(cè)胃十二指腸球部潰瘍患者239例和健康輸血員187例血型分布資料整理見表7-6，問胃十二指腸球部潰瘍患者與健康輸血員血型分布是否不同？239例胃十二指腸疾病患者與187例健康輸血員血型分布分組ABABO合計(jì)胃十二指腸疾病組476620106239健康輸血員組52541962187合計(jì)99120391684261、建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0：胃十二指腸疾病患者與健康輸血員血型分布的構(gòu)成相同；H1：胃十二指腸疾病患者與健康輸血員血型分布的構(gòu)成不同

＝0.052、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量3、確定p值，作出推斷結(jié)論查χ2界值表，得P＞0.05，以

＝0.05水準(zhǔn)，不拒絕H0，差別無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，尚不能認(rèn)為胃十二指腸疾病患者與健康輸血員血型分布的構(gòu)成不同。三、行×列表資料的關(guān)聯(lián)性檢驗(yàn)例7-6某醫(yī)院觀察了三年間四個(gè)季節(jié)中四種甲狀腺疾病檢出情況，整理結(jié)果如表7-7，問四種甲狀腺疾病檢出情況是否與季節(jié)有關(guān)聯(lián)？疾病分類季節(jié)合計(jì)春夏秋冬甲亢4114512942841440亞甲炎2493293312041113甲低60615952232甲狀腺腫瘤45504640181合計(jì)7658917305802966表7-7某院季節(jié)與甲狀腺疾病檢出情況關(guān)聯(lián)性分析1、建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0：甲狀腺疾病的檢出與季節(jié)無關(guān)聯(lián)；H1：甲狀腺疾病的檢出與季節(jié)有關(guān)聯(lián)

＝0.052、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量3、確定p值，作出推斷結(jié)論查χ2界值表，得P<0.005，以

＝0.05水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，可認(rèn)為甲狀腺疾病的檢出情況與季節(jié)有關(guān)聯(lián)。

欲進(jìn)一步說明兩變量間關(guān)聯(lián)程度的大小，可計(jì)算列聯(lián)系數(shù)，常用的有：Pearson列聯(lián)系數(shù)

Cramér列聯(lián)系數(shù)（修正）式中，：根據(jù)樣本資料計(jì)算的值；：樣本含量；：取和列聯(lián)系數(shù)值界于0-1之間，列聯(lián)系數(shù)為0表示尚不能認(rèn)為兩變量間有關(guān)聯(lián);列聯(lián)系數(shù)愈接近于1，可認(rèn)為兩變量間的關(guān)聯(lián)程度越高。中的較小者。本例由此看出甲狀腺疾病的檢出雖然與季節(jié)有關(guān)聯(lián)性，但數(shù)值較小，盡管有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，但兩變量間關(guān)聯(lián)性較小。四、R×C表χ2檢驗(yàn)注意事項(xiàng)1.計(jì)算x2值時(shí)，必須用絕對(duì)數(shù)，而不能用相對(duì)數(shù)，因?yàn)閤2值的大小與頻數(shù)大小有關(guān)。2.x2檢驗(yàn)要求理論數(shù)不宜太小，否則有可能導(dǎo)致分析的偏性。理論頻數(shù)太小界定為：有1/5以上格子的理論頻數(shù)小于5大于等于1，或至少有1個(gè)格子的理論頻數(shù)小于1。長(zhǎng)期以來，對(duì)于理論頻數(shù)太小的情形，大致有3種處理方法：①適量增大樣本含量，增大理論頻數(shù)；②相鄰組進(jìn)行合理歸并。按專業(yè)知識(shí)考慮，將理論數(shù)太小的行（或列）的實(shí)際頻數(shù)與性質(zhì)相近的鄰行（或鄰列）合并；③舍棄部分?jǐn)?shù)據(jù)。在無法實(shí)施前兩條措施時(shí)，考慮刪除理論頻數(shù)太小的行或列，但這種做法會(huì)損失資料的部分信息；④采用確切概率法，可由SAS、SPSS軟件實(shí)現(xiàn)。

3.行×列表資料檢驗(yàn)的結(jié)果分析