高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修四）第05講專題9-1解三角形解答題中的多三角形問題

專題91解三角形解答題中的多三角形問題TOC\o"13"\h\u題型1角平分線問題 1題型2中線問題 13題型3高線問題 21題型4普通多三角形問題 26題型5四邊形問題 40題型6外接圓相關(guān)問題 50題型7內(nèi)切圓相關(guān)問題 54知識點.多三角形問題方法匯總：方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.題型1角平分線問題【方法總結(jié)】1.角平分線“拆”面積：S△ABC=2.角平分線定理性質(zhì)：ABBD=3.利用等角的余弦定理：cos∠BAD=cos∠CAD4.大三角形與小三角形同時使用余弦定理：cos∠BAC=cos2∠BAD.【例題1】（2015·全國·高考真題（文））△ABC中D是BC上的點,AD平分∠BAC,BD=2DC.（Ⅰ）求sin∠B（Ⅱ）若∠BAC=60°,求【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）30【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用正弦定理轉(zhuǎn)化得：sin∠Bsin∠C=DC所以tan試題解析：（Ⅰ）由正弦定理得ADsin∠B=BDsin（Ⅱ）因為∠C=所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=所以tan考點：本題主要考查正弦定理及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,意在考查考生的三角變換能力及運算能力.【變式11】1．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）在△ABC中，已知AB=4，(1)求sinA(2)若AD是∠BAC的角平分線，求AD的長．【答案】(1)2(2)8【分析】（1）先利用余弦定理求出邊BC的長，再利用正弦定理求出sinA（2）利用三角形的面積公式及面積關(guān)系S△ABC=【詳解】（1）在△ABC中，由余弦定理A整理得7B解得BC=7或BC=?9由于BC>0，所以BC=7因為B∈(0,π)，所以sinB>0，所以由正弦定理得：ACsinB（2）設(shè)∠BAD=θ，AD=x由S△ABC12整理得x=20在△ABC中，由余弦定理cosA=由cosA=cos則AD=x=【變式11】2．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）在△ABC中，AB=2AC，點D在BC邊上，AD平分∠BAC.(1)若cos∠ACB=155(2)若AD=AC，且△ABC的面積為372，求【答案】(1)2?3(2)3【分析】（1）在△ABC中，利用正弦定理可得sin∠ABC=1010，從而可得cos（2）利用三角形的面積公式可得12AC?AD?sinθ+1【詳解】（1）由cos∠ACB=155在△ABC中，由正弦定理可得ABsin又AB=2AC，所以sin∠ABC=AB>AC，故cos∠ABC=所以cos∠CAB=即cos∠CAB=所以cos∠CAB=（2）由已知，設(shè)AB=2AC=2t，所以AD=AC=t，另設(shè)∠CAD=θ.由S△ABC=S所以2sin因為sinθ≠0，所以cosθ=3又0<2θ<π,sin又S△ABC=3所以BC所以BC=32【變式11】3．（2022·吉林·長春市第二實驗中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)△ABC中角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，sinA?B(1)求角A；(2)若c=2，△ABC的面積S△ABC=32，∠ACB的平分線交AB于點【答案】(1)π(2)3【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡可得cosA=（2）由面積公式b=1，在△ABC中，利用余弦定理，求出a=3，可得∠ACB=90°，進而知∠ACD=45°，再在△ACD（1）解：由正弦定理及sin(A?B)sin2A所以sin(A?B)=2所以sinA即sinA因為sinC≠0，所以cos又A∈0,π，所以A=（2）解：因為c=2，△ABC的面積S△ABC所以S△ABC=1在△ABC中，由余弦定理知，a2=b因為c2=a2+因為∠ACB的平分線交AB于點D，所以∠ACD=1所以sin∠ADC=在△ACD中，由正弦定理知，ACsin∠ADC=解得CD=3【變式11】4．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）已知△ABC的角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且sinA(c(1)求角A;(2)若AD平分∠BAC交線段BC于點D，且AD=2,BD=2CD，求△ABC的周長.【答案】(1)A=(2)9+3【分析】（1）先利用余弦定理化簡ccosB+bcos（2）由S△ABC=S△BAD+S△CAD結(jié)合AD平分∠BAC，A=23π可得bc=2b+2c，作AE⊥BC于【詳解】（1）由余弦定理得c所以sinA(ccos再由正弦定理，得a2?cb=c所以cosA=因為A∈(0,π)，所以A=（2）因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=π由S△ABC得bc=2b+2c.作AE⊥BC于E，則S△ABD由bc=2b+2cc=2b，解得由余弦定理，得a2=故△ABC的周長為9+37【變式11】5．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)高三開學(xué)考試）在①sinA?sinCa=b?csinB+sinC，②2a?ccosB=a2+b2?(1)求B(2)若b=13，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=43【答案】(1)B(2)3【分析】（1）若選條件①，先用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再利用余弦定理即可；若選條件②，先用余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再利用正弦定理即可；若選條件③，先用三角形的內(nèi)角之和為π，再利用正弦定理即可；（2）利用角平分線的性質(zhì)得到S△ABC【詳解】（1）選擇條件①：根據(jù)正弦定理，可得：(a?c)a=(b?c)(b+c)可得：a根據(jù)余弦定理，可得：cos選擇條件②：根據(jù)余弦定理，可得：(2a?c)根據(jù)正弦定理，可得：(2整理可得：2sin可得：cos選擇條件③：易知：A+B+C=π可得：sin根據(jù)正弦定理，可得：sinA=可得：sin整理可得：tan（2）根據(jù)題意，可得：S可得：1整理可得：a+c=根據(jù)余弦定理，可得：b可得：13=a可得：25解得：ac=4或ac=?52故S【變式11】6．（2022·湖北·襄陽四中模擬預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A的平分線AD交BC邊于點D.(1)證明：ABAC=DB(2)若AD=1，A=2π3，求【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)題意得到sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，由正弦定理得到ABsin∠ADB=（2）根據(jù)S△ABD+S△ACD=S△ABC【詳解】（1）解：在△ABD和△BCD中，可得∠BAD=∠CAD，∠ADB+∠ADC=π，所以sin∠BAD=sin∠CAD由正弦定理，得ABsin∠ADB=兩式相除得ABAC=DBDC，可得又由cos∠ABD=cos所以A代入可得A=AB?ACAB（2）解：由AD=1，A=2π3及S根據(jù)基本不等式得bc=b+c≥2bc，解得bc≥4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2又由AD=1，AD2=AB?AC?DB?DC所以DB?DC的最小值是3.【變式11】7．（2022·山東日照·高三開學(xué)考試）如圖，已知在△ABC中，M為BC上一點，AB=2AC≤BC，B∈0,π2(1)若AM=BM，求ACAM(2)若AM為∠BAC的平分線，且AC=1，求△ACM的面積．【答案】(1)7(2)15【分析】（1）由sinB=158求得cosB=78，由AB=2AC可得（2）由余弦定理求得BC=2，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可求得CM=23，再求得【詳解】（1）因為sinB=158所以cosB=因為AB=2AC，所以由正弦定理知sinCsinB因為AM=BM，所以∠AMC=2∠B，sin∠AMC=在△AMC中，ACAM（2）由題意知AB=2AC=2，設(shè)BC=x，由余弦定理得cosB=22+x因為2AC≤BC，所以BC=2，因為AM為∠BAC的平分線，∠BAM=∠CAM所以S△ABMS△ACM=1所以BMCM=AB而由（1）知sinC=2所以S△ACM【變式11】8．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））在△ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c，已知b=2,c=4,2sin(1)求a；(2)設(shè)A的平分線與BC交于點D，求AD的長.【答案】(1)a=3(2)2【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得答案；（2）利用余弦定理、角平分線性質(zhì)可得答案.（1）由2sinA=3sin再由正弦定理和余弦定理得a=3c×把b=2,c=4代入a=3×4×a2所以a=32（2）由余弦定理可得cosC=因為AD是角A的平分線，ABBD=AC所以BD=2CD，所以CD=2在△ACD中，AD所以AD=2.【變式11】9．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）已知△ABC的角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且sinA(c(1)求角A;(2)若AD平分∠BAC交線段BC于點D，且AD=2,BD=2CD，求△ABC的周長.【答案】(1)A=(2)9+3【分析】（1）先利用余弦定理化簡ccosB+bcos（2）由S△ABC=S△BAD+S△CAD結(jié)合AD平分∠BAC，A=23π可得bc=2b+2c，作AE⊥BC于【詳解】（1）由余弦定理得c所以sinA(ccos再由正弦定理，得a2?cb=c所以cosA=因為A∈(0,π)，所以A=（2）因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=π由S△ABC得bc=2b+2c.作AE⊥BC于E，則S△ABD由bc=2b+2cc=2b，解得由余弦定理，得a2=故△ABC的周長為9+37題型2中線問題【方法總結(jié)】中線的處理方法1.向量法：AD=12(2.雙余弦定理法（補角法）：如圖設(shè)BD=DC，在△ABD中，由余弦定理得AB在△ACD中，由余弦定理得AC因為∠AMB+∠AMC=π，所以所以①+②式即可3倍長中線法：如圖所示，延伸中線，補形為平行四邊形4.中線分割的倆三角形面積相等.【例題2】（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c=2b?2acos(1)求角A；(2)若M為BC的中點，AM=3，求△ABC【答案】(1)A=(2)3【分析】（1）解法一：根據(jù)正弦定理邊化角求解即可；解法二：利用余弦定理將cosC（2）解法一：根據(jù)基底向量的方法得AM=12解法二：設(shè)BM=MC=m，再分別在△ABM，△ACM和△ABC中用余弦定理，結(jié)合cos∠AMB+cos∠AMC=0【詳解】（1）解法一：因為c=2b?2acos由正弦定理得：sinC=2所以sinC=2sin(A+C)?2因為sinC≠0所以2cos為0<A<π所以A=π解法二：因為c=2b?2acos由余弦定理得：c=2b?2a?a整理得bc=b即a2又由余弦定理得a所以2cos因為0<A<π所以A=π（2）解法一：因為M為BC的中點，所以AM=所以AM2即3=1即b2而b2所以12?bc≥2bc即bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時等號成立所以△ABC的面積為S△ABC即△ABC的面積的最大值為3．解法二：設(shè)BM=MC=m，在△ABM中，由余弦定理得c2在△ACM中，由余弦定理得b2因為∠AMB+∠AMC=π，所以所以①+②式得b2在△ABC中，由余弦定理得4m而A=π3，所以聯(lián)立③④得：2b2+2而b2所以12?bc≥2bc，即bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時等號成立．所以△ABC的面積為S△ABC即△ABC的面積的最大值為3．【變式21】1．（2022·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測（理））在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bsin(1)求角A的大?。?2)若D為BC邊中點，且AD=2，求a的最小值.【答案】(1)π(2)4【分析】（1）利用三角恒等變形及正弦定理即可求解；（2）利用余弦定理及基本不等式即可求解.【詳解】（1）∵bsinB+C2=asin由正弦定理得sinB?∵sinB≠0，∴cos∵cosA2≠0又∵0<A2<π2,

（2）∵D為BC邊中點，∴2AD=AB∵AD=2，∴16=c2+∴2bc≤b2+c2∵a2∴a2≥16?2×16故a的最小值為43【變式21】2．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=2,AC=62,E,F分別是BC,AC的中點．從條件①∠BAC=π(1)求∠ACB的余弦值；(2)若AE,BF相交于點G，求∠EGF的余弦值．（注：若兩個條件都選擇作答，則按第一個條件作答內(nèi)容給分）【答案】(1)條件選擇見解析，5(2)條件選擇見解析，13【分析】（1）若選擇條件①：由余弦定理計算BC，再由余弦定理計算∠ACB的余弦值；若選擇條件②：由余弦定理得出∠BAF=π4，BC，再由余弦定理計算（2）若選擇條件①：由余弦定理得出BF，AE，再由△ABG∽△EFG得出GE=13AE=53，GF=13BF=103，最后由余弦定理得出∠EGF的余弦值；若選擇條件②：由余弦定理得出【詳解】（1）若選擇條件①：在△ABC中，由余弦定理可求得BC=2cos∠ACB=若選擇條件②：在△ABF中，AB=2,AF=32，BF=10，由余弦定理可求得cos所以∠BAF=π4，在△ABC中，由余弦定理可求得cos∠ACB=（2）若選擇條件①：在△ABF中，由余弦定理可求得BF=2由于E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，所以EF||AB，，則∠EFA=3π4，EF=1在△AEF中，由余弦定理可得AE=(3連接EF，由EF∥AB，可得△ABG∽△EFG，則GEAG所以GE=13AE=在△EGF中，余弦定理求得cos∠EGF=若選擇條件②：由于E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，所以EF||AB，則∠EFA=3π4，EF=1，AF=32，在連接EF，由EF∥AB，可得△ABG∽△EFG，則GEAG所以GE=13AE=在△EGF中，余弦定理求得cos∠EGF=【點睛】【變式21】3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在①2bsinC=3ccosB+csinB，②cosBcosC=b2a?c兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題.在(1)求角B；(2)若a+c=3，點D是AC的中點，求線段BD【答案】(1)條件選擇見解析，B=(2)3【分析】（1）選①，由正弦定理化簡可得tanB的值，結(jié)合角B的取值范圍可求得角B選②，由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得cosB的值，結(jié)合角B的取值范圍可求得角B（2）由平面向量的線性運算可出2BD=BA+BC，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得出4B【詳解】（1）解：選①，由2bsinC=3所以，sinC因為B、C∈0,π，所以，sinC>0，則所以，tanB=3，選②，由cosBcosC所以，2sin∵A、B∈0,π，∴sinA>0，所以，cos（2）解：因為a+c=3，所以，0<a<由已知AD=DC，即BD?所以，4BD即4B=a所以，34題型3高線問題【方法總結(jié)】高的處理方法：1.等面積法：兩種求面積公式如S=2.三角函數(shù)法：在ΔBCD.【例題3】（2022·安徽蚌埠·一模）記△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊為a,b,c，已知sinC=sinA(1)證明：CD=c；(2)若a2+b【答案】(1)證明見解析(2)5【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再結(jié)合正弦值的計算公式列方程即可；（2）由面積公式得c2【詳解】（1）根據(jù)正弦定理和題設(shè)可得sinB=又sinB=CDa（2）由三角形的面積公式可得S=1所以c又由余弦定理c因此absinC=其中θ為銳角，且tanθ=2，于是C+θ=所以sin【變式31】1．（2022·河南安陽·高三開學(xué)考試（理））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a+bsin(1)求角B的大小；(2)若BC邊上的高為b?c，求sinA【答案】(1)π(2)3【分析】（1）先根據(jù)式子形式采取角化邊，然后利用余弦定理的推論即可解出；（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知，b?c=csinπ6，得出b,c關(guān)系，再根據(jù)sinC=b?c【詳解】（1）由a+bsinA?sinB+c?3asinC=0，得（2）∵B=π6，且BC邊上的高為b?c，∴b?c=csin∴sinC=b?cb=13.∵∴sinA=【變式31】2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcos(1)求A的大小；(2)若BC邊上的高為32，且A的角平分線交BC于點D，求AD【答案】(1)A=(2)3【分析】（1）利用正弦定理進行邊化角，結(jié)合三角恒等變換整理；（2）根據(jù)等面積可得bc=a，利用余弦定理得b2c2=b【詳解】（1）由正弦定理得sinBcosC+因為A∈0,π，所以cosA=（2）因為S△ABC=1由余弦定理得a2=b2+c2因為S△ABC=1因為b2c2因為函數(shù)fx=31+3所以AD2≥34，即AD≥【變式31】3．（2018·北京·高考真題（理））在△ABC中，a=7,b=8,cos（1）求∠A；（2）求AC邊上的高．【答案】（1）∠A=π3；（2）AC邊上的高為3【分析】（1）方法一：先根據(jù)平方關(guān)系求sinB,再根據(jù)正弦定理求sinA，即得（2）方法一：利用誘導(dǎo)公式以及兩角和正弦公式求sinC，即可解得AC【詳解】（1）［方法一］：平方關(guān)系＋正弦定理在△ABC中,∵cosB=?

a［方法二］：余弦定理的應(yīng)用由余弦定理知b2=a2+c2?2accosB．因為a=7,b=8,cos（2）［方法一］：兩角和的正弦公式＋銳角三角函數(shù)的定義在△ABC中，∵sinC=sin(A+B)=sinA如圖所示，在△ABC中，∵sinC=?BC，∴h=BC?sinC∴AC邊上的高為33［方法二］：解直角三角形＋銳角三角函數(shù)的定義如圖1，由（1）得AD=ACcos∠A=8×1作BE⊥AC，垂足為E，則BE=ABsin∠A=3×32=［方法三］:等面積法由（1）得∠A=60°，易求CD=43．如圖1，作CD⊥AB，易得AD=4，即AB=3．所以根據(jù)等積法有12?AC?BE=所以AC邊上的高為33【整體點評】（1）方法一：已知兩邊及一邊對角，利用正弦定理求出；方法二：已知兩邊及一邊對角，先利用余弦定理求出第三邊，再根據(jù)余弦定理求出角；（2）方法一：利用兩角和的正弦公式求出第三個角，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出；方法二：利用初中平面幾何知識，通過銳角三角函數(shù)定義解直角三角形求出；方法三：利用初中平面幾何知識，通過等面積法求出．【變式31】4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，且2S+3(1)求A的大小；(2)若a=7、b=1，D為直線BC上一點，且AD⊥AB，求△ABD【答案】(1)A=2π(2)10+23【分析】（1）利用三角形面積公式及向量數(shù)量積的定義可得tanA=?（2）利用余弦定理可得c=2，再利用正弦定理結(jié)合條件即得.（1）∵2S+3∴2×12b?c?∴sinA+3又A∈0,π∴A=2π（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2又a=7、b=1，A=∴c2+c?6=0，又∴c=2，在△ABC中，由正弦定理得sinB=又a>b，∴B為銳角，∴cosB=在Rt△ABD中，AB∴BD=475∴△ABD的周長為2+2題型4普通多三角形問題【例題4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且3(a?b(1)求角B的大?。?2)若a=3,c=2，D為BC邊上一點，CD=15DB【答案】(1)B=(2)3【分析】（1）根據(jù)正弦定理，邊化角即可求解.（2）在△ABD中由余弦定理和正弦定理求解.【詳解】（1）因為3(a?bcosC)=c由正弦定理得3sin3sin化簡得3cos又因為sinB≠0，sinC≠0，所以3cos因為B∈(0,π)，所以B=π（2）因為a=3，CD=15DB在△ABD中由余弦定理得AD2=由正弦定理得ADsinB=所以cos2【變式41】1．（2022·遼寧·高三期末）在①3b?3ccosA=asinC，②ab=12tanCtanB+1，③sinA?(1)求C；(2)若△ABC的面積為3，D在邊AC上，且CD=13CA，求BD【答案】(1)C=(2)2【分析】（1）方案一：選條件①．結(jié)合正弦定理與兩角和的正弦公式求解即可；方案二：選條件②．由正弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求解即可；方案三：選條件③．由正弦余弦定理化簡求解即可.（2）根據(jù)面積公式可得ab=4，再根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式求解最值即可.（1）方案一：選條件①．由3b?3c由正弦定理得sinB?因為B=π?(A+C)，所以sinB=所以sinA故sinA又sinA≠0，于是sinC=3因為C∈(0,π)，所以C=π方案二：選條件②．因為ab=12tan因為A+B+C=π，所以B+C=π?A,sin又sin所以cosC=12，因為C∈(0,π)方案三：選條件③．sinA?sinC即a2?c2=ab?又C∈(0,π)，所以C=π（2）由題意知S△ABC=1由余弦定理得BD當(dāng)且僅當(dāng)a=13b且ab=4，即a=23【變式41】2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ccos(1)求A；(2)設(shè)D是AB邊上靠近A的三等分點，CD=5，求△ABC【答案】(1)A=π(2)92【分析】（1）根據(jù)給定條件，再利用正弦定理邊化角，借助同角公式計算作答.（2）利用余弦定理求出b，再利用三角形面積公式計算作答.【詳解】（1）在△ABC中，由ccosA=2asin而0<B<π，即sinB>0，則tanB=1所以A=π（2）依題意，AD=13AB=23即5=b2+所以△ABC的面積S△ABC【變式41】3．（2021·全國·高考真題）記△ABC是內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點D在邊AC上，（1）證明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC【答案】（1）證明見解析；（2）cos∠ABC=【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有BD=ac（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊a與c的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得cos∠ABC【詳解】（1）設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由正弦定理，得sin∠ABC=因為BDsin∠ABC=asinC，所以又因為b2=ac，所以（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因為AD=2DC，如圖，在△ABC中，cosC=在△BCD中，cosC=由①②得a2+b又因為b2=ac，所以6a2?11ac+3當(dāng)a=c3,當(dāng)a=3c2,所以cos∠ABC=[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知AD=2DC，則S△ABD即12而b2=ac，即故有∠ADB=∠ABC，從而∠ABD=∠C．由b2=ac，即ba=c故ADAB=AB又b2=ac，所以則cos∠ABC=[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知BD=b=AC，再由AD=2DC得AD=2在△ADB中，由正弦定理得ADsin又∠ABD=∠C，所以23bsin在△ABC中，由正弦定理知c=23a，又由b在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC=故cos∠ABC=[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作DE∥AB，交BC于點E，則由AD=2DC，得DE=c在△BED中，cos∠BED=在△ABC中cos∠ABC=因為cos∠ABC=?所以a2整理得6a又因為b2=ac，所以即a=c3或下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因為AD=2DC，所以AD=2以向量BA,BC為基底，有所以BD2即b2又因為b2=ac，所以由余弦定理得b2所以ac=a聯(lián)立③④，得6a所以a=32c下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點，AC所在直線為x軸，過點D垂直于AC的直線為y軸，DC長為單位長度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則D0,0由（1）知，BD=b=AC=3，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設(shè)Bx,y?3<x<3，則由b2=ac知，即(x+2)2聯(lián)立⑤⑥解得x=?74或x=7代入⑥式得a=|BC|=3由余弦定理得cos∠ABC=【變式41】4．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=3,c=2（1）求sinC（2）在邊BC上取一點D，使得cos∠ADC=?45【答案】（1）sinC=55【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinC（2）方法一：根據(jù)cos∠ADC的值，求得sin∠ADC的值，由（1）求得cosC的值，從而求得sin【詳解】（1）[方法一]：正余弦定理綜合法由余弦定理得b2=a由正弦定理得csin[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法過點A作AE⊥BC，垂足為E．在Rt△ABE中，由c=2,B=45°，可得AE=BE=1，又a=3在Rt△ACE中，AC=AE（2）[方法一]：兩角和的正弦公式法由于cos∠ADC=?45，∠ADC∈由于∠ADC∈π2,π，所以C∈所以sin∠DAC=sin=sin∠ADC?cos由于∠DAC∈0,π2所以tan∠DAC=[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法

在（1）的方法二的圖中，由cos∠ADC=?45，可得cos又由（1）可得tan∠EAC=ECAE[方法三]：幾何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=5在Rt△ADE中，AD=所以CD=CE?DE=2在△ACD中，由正弦定理可得sin∠DAC=由此可得tan∠DAC=[方法四]：構(gòu)造直角三角形法

如圖，作AE⊥BC，垂足為E，作DG⊥AC，垂足為點G．在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=5由cos∠ADC=?45在Rt△ADE中，AD=AE由（1）知sinC=55，所以在Rt△CDG中，在Rt△ADG中，tan∠DAG=所以tan∠DAC=【整體點評】（1）方法一：使用余弦定理求得b=5，然后使用正弦定理求得sinC；方法二：抓住45°角的特點，作出輔助線，利用幾何方法簡單計算即得答案，運算尤其簡潔，為最優(yōu)解；（2）方法一：使用兩角和的正弦公式求得∠DAC的正弦值，進而求解；方法二：適當(dāng)作出輔助線，利用兩角差的正切公式求解，運算更為簡潔，為最優(yōu)解；方法三：在幾何法的基礎(chǔ)上，使用正弦定理求得∠DAC的正弦值，進而得解；方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有【變式41】5．（·福建·高考真題（文））如圖，在等腰直角ΔOPQ中，∠POQ=900，OP=22，點M(Ⅰ)若OM=5，求PM（Ⅱ）若點N在線段MQ上，且∠MON=300，問：當(dāng)∠POM取何值時，【答案】(Ⅰ)MP=1或MP=3（Ⅱ）當(dāng)∠POM=30°時，ΔOMN的面積的最小值為8?4【詳解】解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=5,OP=25,由余弦定理得,OM2=OP2+MP22OP·MP·cos45°,得MP24MP+3=0,解得MP=1或MP=3.(2)設(shè)∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP中,由正弦定理,得OMsin∠OPM=所以O(shè)M=OPsin同理ON=OPsin故S△OMN=12=12×=1=1=1=1=1=13因為0°≤α≤60°,30°≤2α+30°≤150°,所以當(dāng)α=30°時,sin(2α+30°)的最大值為1,此時△OMN的面積取到最小值.即∠POM=30°時,△OMN的面積的最小值為843.【變式41】6．（2017·全國·高考真題（理））ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+（1）求角A和邊長c；（2）設(shè)D為BC邊上一點，且AD⊥AC,求ΔABD的面積.【答案】（1）2π3，4；（2）3【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出tanA=?3從而可得A的值，再根據(jù)余弦定理列方程即可求出邊長c的值；（2）先根據(jù)余弦定理求出cosC，求出CD的長，可得CD=試題解析：（1）∵sinA+3cosA=0,∴tanA=?3，∵0<A<π,∴A=2π3，由余弦定理可得a2(2)∵c2=b2+a2?2abcosC【變式41】7．如圖，在△ABC中，BC=2，AC=2，A=π4，點M?N是邊AB(1)求△ABC的面積；(2)當(dāng)BN=3，求MN【答案】(1)3(2)3【分析】（1）利用正弦定理BCsinA=ACsinB，可求得B=16π，根據(jù)sin【詳解】（1）在△ABC中，BC>AC，則A>B由正弦定理得：BCsinA=AC因為B∈(0,π)，則B=1則sin△ABC的面積為S（2）在△BCN中，BC=2，BN=3，由余弦定理可得CN=則有BC2在直角△CMN中，CN=1，∠MCN=MNCN=題型5四邊形問題【例題5】（2021·山東·高三開學(xué)考試）在梯形ABCD中，AB//CD，BC=3AD，(1)求∠BCD；(2)若AB=AD=2，求梯形ABCD的面積．【答案】(1)∠BCD=30°(2)3【分析】（1）連接BD，在梯形ABCD中可得∠ABD=∠BDC，利用正弦定理結(jié)合二倍角的正弦公式可得cos∠BCD的值，即可求解∠BCD（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合已知條件可判斷△ABD為等邊三角形，進而得到BD的值，利用勾股定理求解CD的值，利用三角形面積公式求解△ABD,△BCD的面積，即可得到梯形的面積.【詳解】（1）解：連接BD，在△ABD中，由正弦定理得BDsin在△BCD中，由正弦定理得BDsin因為∠ABD=∠BDC，所以sin∠BAD又BC=3AD，所以sin2∠BCDsin∠BCD因為0°<∠BCD<180°，所以∠BCD=30°．（2）解：因為∠BAD=2∠BCD=60°，AB=AD=2．所以△ABD為等邊三角形，且BD=2，∠DBC=180°?60°?30°=90°，且CD=BD又BC=所以△ABD的面積為S△ABD△BCD的面積為S△BCD所以梯形ABCD的面積為S=S【變式51】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB=4，AC=23，cos(1)求sin∠B(2)若AB=4AD，求【答案】(1)sin(2)3【分析】（1）先求出sin∠ACB，在△ABC（2）根據(jù)題中∠D=2∠B條件運用二倍角公式求出cos∠D的值，然后在△ADC【詳解】（1）因為cos∠ACB=13所以sin∠ACB=在△ABC中，根據(jù)正弦定理知，ACsin即23解得sin∠B=（2）因為AB=4且AB所以AD=1因為∠D=2∠B，所以cos∠D=在△ADC中，由余弦定理知，cos∠D=即?1所以3CD2+2解得CD=3或CD所以CD的長為3.【變式51】2．（2022·湖南·永州市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠B=120°，AB=2，AD=22，△ABC的面積為3(1)求AC；(2)求∠ACD.【答案】(1)2(2)45°【分析】（1）根據(jù)面積公式可得BC=2，再根據(jù)余弦定理求解可得AC=23（2）根據(jù)內(nèi)接四邊形可得∠D=60°，再根據(jù)正弦定理求解即可【詳解】（1）因為△ABC的面積為3，所以12又因為∠B=120°，AB=2，所以BC=2.由余弦定理得，ACAC2=22（2）因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形，且∠B=120°，所以∠D=60°.又AD=22，由正弦定理可得，ADsin∠ACD=ACsin∠D，故sin∠ACD=ADsin∠D【變式51】3．在三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2S=?3BA?BC，作AB⊥AD，使得四邊形ABCD滿足(1)求B；(2)設(shè)∠BAC=θ，BC=fθ，求函數(shù)f【答案】(1)B=(2)0,2【分析】（1）由三角形面積公式和向量數(shù)量積公式，代入2S=?3BA?（2）首先找到各個角之間的關(guān)系，∠CAD=π2?θ，∠CDA=θ+π6，再由正弦定理可得AC=所以BC=fθ【詳解】（1）由2S=?3可得2×1即sinB=?3cos因為B∈0,π，所以B=（2）∵∠BAC=θ，則∠CAD=π2?θ在三角形ACD中，由正弦定理得ACsin可得AC=AD在三角形ABC中，由正弦定理得ACsin可得BC=f===1因為0<θ<π可得?π當(dāng)2θ?π3=可得23當(dāng)2θ?π3=?可得23所以fθ的值域為0,2【變式51】4．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測（理））如圖，平面四邊形ABCD中，AB=BD=DA，BC=1，CD=3，∠BCD=θ(1)若θ=π2，求(2)試問θ為何值時，平面四邊形ABCD的面積最大？【答案】(1)2+(2)2【分析】(1)根據(jù)題意可知∠DBC=π3，在△ABC中利用余弦定理計算求得(2)在△BCD中根據(jù)余弦定理可得BD2=4?23cos【詳解】（1）若θ=π2，BC=1，得AB=2，sin∠DBC=32得∠DBC=π3，所以∠ABC=2AC所以AC+BD=2+7（2）∠BCD=θ，在△BCD中，由余弦定理得BD所以S△ABDS△BCD所以S四邊形當(dāng)θ=5π6時，S【變式51】5．（2022·福建省廈門集美中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=2,AD=23(1)證明：1+cos(2)記△ABD與△BCD的面積分別為S1和S2，求【答案】(1)證明見解析(2)14【分析】（1）分別在△ABD和△BCD中，利用余弦定理表示BD，然后聯(lián)立求解；（2）結(jié)合（1）得到S12+【詳解】（1）證明：在△ABD中，由余弦定理得BD在△BCD中，由余弦定理得BD∴16?83所以3cos即1+cos（2）S1S2則S由（1）知：3cos代入上式得S1=?24cos=?24cos∴當(dāng)cosA=36【變式51】6．如圖，在平面四邊形ABCD中，已知BC＝2，cos∠BCD=?(1)若∠CBD=45°，求BD的長；(2)若cos∠ACD=55，且AB【答案】(1)8(2)2【分析】（1）由和角的正弦公式及正弦定理化簡求解（2）由差角的余弦公式及余弦定理化簡求解.【詳解】（1）∵cos∠BCD=?35又∵∠CBD=45°，所以sin∠CDB=∴在△BCD中，由正弦定理BCsin∠CDB=BDsin∠BCD，可得（2）cos∠ACB=∴cos∠ACB=55.∵在△ABC中，BC∴AB可得16=4+AC2?2×2×AC×∴AC的長為25【變式51】7．（2022·湖北·模擬預(yù)測）在△ABC中，若2S(1)求∠B的值；(2)如圖，若AB=AC，D為△ABC外一點，且DA=3，DC=2，∠ADC=θ，求S四邊形ABCD【答案】(1)π3(2)θ=5【分析】（1）利用三角形面積公式及向量數(shù)量積的定義可得；（2）利用余弦定理及面積公式可得S四邊形ABCD（1）∵2S由條件知2×1∴tanB=3，∴B=π（2）若AB=AC，∠B=60°，所以△ABC為等邊三角形，在△ADC中，DA=3，DC=2，∠ADC=θ∴AC故AC2∴S△ABCS△ADC∴S≤7當(dāng)且僅當(dāng)θ?π3=所以θ=56π時，S題型6外接圓相關(guān)問題【方法總結(jié)】外接圓：1.外接圓的圓心到三角形的三個頂點的距離相等.銳角三角形外心在三角形內(nèi)部.直角三角形外心在三角形斜邊中點上.鈍角三角形外心在三角形外.2.正弦定理：＝2R，其中R為外接圓半徑.【例題6】（2022·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c．已知△ABC的外接圓半徑R=2，且tan(1)求B和b的值；(2)求△ABC面積的最大值．【答案】(1)B=π4，(2)1+【分析】（1）利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系切化弦得sinBcosB+sin（2）由余弦定理得4=a2+【詳解】（1）解：因為tanB+tanC=sinBcosC+因為A+B+C=π，所以sinA=又sinA≠0，所以cosB=2又△ABC的外接圓半徑R=2，所以由正弦定理bsinB（2）解：由余弦定理b2=a由基本不等式得4=a2+c2?2所以S△ABC=1故△ABC面積的最大值為1+2【變式61】1．（2022·山東聊城·高一期末）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且3c(1)求角A；(2)若△ABC是鈍角三角形，且b=c+2，求△ABC外接圓半徑的取值范圍.【答案】(1)π(2)2【分析】（1）先利用余弦定理化簡已知條件得3csinA+acosC=b+c（2）由（1）知A=π3，利用余弦定理有a2=b2+c2?bc，又b=c+2，可得a2=c【詳解】（1）解：由余弦定理得a2+b由正弦定理得3sin又sinB=sinA+C所以3sinA=cos因為?π6<A?π6（2）解：由（1）知A=π3，所以又b=c+2，所以a2因為△ABC是鈍角三角形，由b=c+2，可知角B為鈍角，所以a2+c2<由①②可得c2+2c+4<4c+4，解得c<2，所以由a2=c2+2c+4=設(shè)△ABC外接圓半徑為R，由正弦定理知2R=a所以△ABC外接圓半徑的取值范圍是23【變式61】2．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)階段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(2csin(1)求角B的大小；(2)若△ABC為鈍角三角形，___________，求△ABC外接圓的半徑R的取值范圍.請在下列兩個條件中選擇一個作為條件補充在橫線上，并解決問題.①a+c=3；②a?c=3.【答案】(1)π(2)答案見解析【分析】（1）由正弦定理的邊角互化結(jié)合余弦定理得出角B的大?。唬?）選擇條件①：由正弦定理得出2R=3sinA+sinC，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得出sinA+sinC∈(32,32【詳解】（1）因為(2csin由正弦定理可得2acsin即2acsinB=3可得sinB=3cosB，即tanB=（2）若選擇條件①由正弦定理，2R=a而sinA+因為△ABC為鈍角三角形，則A∈(0,π6)∪(sin(A+π6△ABC外接圓的半徑為R=3若選擇條件②因為△ABC為鈍角三角形，由a?c=3及B=π3知角即b2由余弦定理得b2代入(?)式得2c2?ac<0，故a>2c.所以3=a?c>c故b2可得b∈(3,33)，由正弦定理得【變式61】3．（2022·江西九江·高一期末）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，a＝6．(1)求bcosC＋ccosB的值；(2)若O是△ABC的外心，且3?OA→+【答案】(1)6；(2)32【分析】（1）直接利用余弦定理化簡即得解；（2）把3?【詳解】（1）解：b=a（2）解：設(shè)△ABC外接圓的半徑是R．3?因此2R=題型7內(nèi)切圓相關(guān)問題【方法總結(jié)】內(nèi)切圓：等面積構(gòu)造法求半徑SΔ.【例題7】（2022·全國·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，a=3，b=2，sinA=m(1)若△ABC唯一確定，求m的值；(2)設(shè)I是△ABC的內(nèi)切圓圓心，r是△ABC內(nèi)切圓半徑，證明：當(dāng)c=2r+1時，IC=IA?IB．【答案】(1)1(2)證明見解析【分析】（1）若0<m<1，根據(jù)sinA=m，b<a，可知A可以為銳角，也可以為鈍角，△ABC有兩種情況，若m=1，則三角形為直角三角形，△ABC（2）由c=2r+1可推導(dǎo)出△ABC為直角三角形，故可計算出IC,IA,IB的值，