安徽省徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月模擬數(shù)學(xué)試題

數(shù)學(xué)考生注意：1.試卷分值：150分，考試時間：120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答案區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3.所有答案均要答在答題卡上，否則無效.考試結(jié)束后只交答題卡.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）1.已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【詳解】設(shè)，則則，整理得，故，得的虛部為1．故選：C．2.已知平面向量，，，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可以結(jié)合投影向量的定義將其分為投影與單位向量來更好理解與求解.【詳解】由于，由在方向上的投影向量故選:C.3.已知，，，則的最小值為（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由乘“1”法即可求解；【詳解】由條件可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號．故選：A．4.已知等比數(shù)列，滿足，，成等差數(shù)列，且，則數(shù)列的公比為（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由等差中項列出等式，再結(jié)合即可求解；【詳解】設(shè)公比為，由，，成等差數(shù)列，可得：，即，解得：或，當(dāng)時，，不符合，當(dāng)時，滿足，所以故選：C．5.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式和二倍角正余弦公式得，再由二倍角正切公式可得，再應(yīng)用齊次式法求.【詳解】由，得，則，而．故選：B6.已知隨機(jī)事件，，，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用條件概率公式及已知可得、，再由全概率公式及對立事件概率關(guān)系求.【詳解】由且，故，由，故，由于，則，故．故選：B7.已知函數(shù)，定義域?yàn)?，則滿足不等式的的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，得且為偶函數(shù)，將題設(shè)不等式化為，結(jié)合的區(qū)間單調(diào)性列不等式，求參數(shù)范圍.【詳解】設(shè)，則，顯然為偶函數(shù)，由題設(shè)，易知，即，故，由于函數(shù)在上為減函數(shù)，故，解得，或．故選：D8.棱長為2的正四面體的表面上有動點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)的軌跡總長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依次為棱中點(diǎn)，根據(jù)已知分析的軌跡，進(jìn)而求其長度.【詳解】如圖，依次為棱的中點(diǎn)，因?yàn)?，故的軌跡是以中點(diǎn)為球心的球與正四面體各面的交線構(gòu)成，則點(diǎn)軌跡由面內(nèi)的弧，面內(nèi)的弧，面內(nèi)的弧，面內(nèi)的弧構(gòu)成；弧與弧的長度相等，易得弧的長等于，弧與弧的長度相等，在面內(nèi)的射影點(diǎn)，易知弧的圓心為，且為高的三等分點(diǎn)，故，且，弧長等于；故點(diǎn)的軌跡的長為．故選：A二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.）9.已知函數(shù)的圖象如圖所示，的導(dǎo)函數(shù)為，令，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)圖象的對稱軸方程為C.函數(shù)在區(qū)間上有2024個零點(diǎn)D.函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】AD【解析】【分析】首先根據(jù)圖象求得，即可得，再結(jié)合正余弦函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各項的正誤.【詳解】由圖象知，設(shè)的最小正周期為，則，解得，由圖得，又，所以，故，從而；A，，正確；B，由，得，所以函數(shù)圖象的對稱軸方程為，錯誤；C，由，得，故，即，，故在區(qū)間上有零點(diǎn)2025個，錯誤；D，若函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則恒成立，即，又，，則，應(yīng)用和差化積公式可得，故，得，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于成中心對稱，正確．故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于D，假設(shè)存在，整理得，進(jìn)而找到滿足要求的點(diǎn)為關(guān)鍵.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）10.集合，，則______.【答案】【解析】【分析】求函數(shù)定義域、解一元二次不等式求集合，再應(yīng)用交運(yùn)算求集合.【詳解】由已知，．故答案為：11.已知數(shù)列，通項公式分別為，，，，從數(shù)列中任取一項，則該項也是數(shù)列中的項的概率為______.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，分類討論得到，進(jìn)而知為等比數(shù)列，通項為，結(jié)合已知有，即可求概率.【詳解】設(shè)兩數(shù)列中相同數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則，設(shè)，則，，不在中，故；，在中，故，故，所以等比數(shù)列，通項為，由于，即，因?yàn)?，解得，故從?shù)列中選取項，使得該項也為中的項的概率為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，則，根據(jù)已知得到為等比數(shù)列為關(guān)鍵.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）12.已知四棱柱，各面均為菱形，.（1）證明：；（2）若，，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)有，結(jié)合已知即可證結(jié)論；（2）連接，由題設(shè)易知，，若，連接，易知是二面角的平面角，再求其余弦值即可.【小問1詳解】由題設(shè)，即，又各面均為菱形且，即，又，故，得證.【小問2詳解】連接，由題設(shè)易知，，若，連接，由（1）結(jié)論及題設(shè)有，則，且，都在面內(nèi)，所以面，又，故面，則是二面角的平面角，中，則，所以，可得，中，，所以銳二面角的余弦值為.13.已知函數(shù)，.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，函數(shù)有三個極值點(diǎn)，，，證明：.【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)得，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的區(qū)間符號，進(jìn)而確定符號，即可得單調(diào)區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究極值點(diǎn)的分布情況，得到，再證，即，應(yīng)用換元法及導(dǎo)數(shù)證不等式，即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)，設(shè)，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，從而，故時，時，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故時，時，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】由（1）及知，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，即，又，故在上有且僅有一個零點(diǎn)，即在上有一個零點(diǎn)．令，令，所以，故在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，又，又，故在上有唯一零點(diǎn)，在上有一個零點(diǎn)．又，是的一個零點(diǎn)，又．則，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．下證：，由于，即，從而，下證：，令，即證且，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，，故在上單調(diào)遞增，，綜上，，即，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，首先研究函數(shù)極值點(diǎn)的分布情況，再將問題化為證為關(guān)鍵.14.若項數(shù)有限的數(shù)列，滿足，且對任意的，或是數(shù)列中的項，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）判斷數(shù)列，1，2是否具有性質(zhì)；（2）若，數(shù)列具有性質(zhì)，是中的任意一項，①證明：是中的項；②證明：當(dāng)時，數(shù)列為等比數(shù)列.【答案】（1）數(shù)列具有性質(zhì)（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）利用數(shù)列新定義，檢驗(yàn)題設(shè)數(shù)列即可得解；（2）①分類討論與兩種情況，分析得不是數(shù)列中的項，從而得到是數(shù)列中的項，由此得證；②結(jié)合①中結(jié)論與數(shù)列的新定義，分析得與，從而利用等比數(shù)列的定義即可得證.【小問1詳解】對于數(shù)列，1，2，顯然或1或2，都是數(shù)列，1，2中的項，故數(shù)列具有性質(zhì).【小問2詳解】因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，且是中的任意一項，①令，則或是數(shù)列中的項，由于，且，則，故不是數(shù)列中的項，則是數(shù)列中的項，故是數(shù)列中的項，則滿足；當(dāng)時，，則，故不是數(shù)列中的項，從而是數(shù)列中的項；綜上，是數(shù)列中的項.②由①知，由，則，故，即，（Ⅰ）由于，則時，，則