北京市朝陽(yáng)區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市朝陽(yáng)區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?故選：D.2.已知命題，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】由題意可得命題的否定為“，.故選：A.3.（）A. B.4 C. D.6【答案】D【解析】.故選：D.4.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，為二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以函數(shù)在區(qū)間上遞減；對(duì)于B，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)在區(qū)間上遞減；對(duì)于C，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在單調(diào)遞增，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，對(duì)于D，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.故選：C.5.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由任意角三角函數(shù)定義得，故C正確.故選：C.6.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，，所?故選：B.7.設(shè)函數(shù)，則“”是“是偶函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，，為偶函數(shù)，當(dāng)偶函數(shù)時(shí)，由，即恒成立，可得：恒成立，即，所以“”是“是偶函數(shù)”的充要條件.故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱.若，則的最大值為（）A0 B. C. D.1【答案】B【解析】由題意，得，所以，因?yàn)?，所以，則，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為.故選：B.9.新聞推送涉及到信息檢索，若一個(gè)關(guān)鍵詞在個(gè)網(wǎng)頁(yè)中出現(xiàn)過，則越大，的權(quán)重越??；反之亦然．在信息檢索中，使用最多的權(quán)重是“逆文本頻率指數(shù)”，，其中是全部網(wǎng)頁(yè)數(shù)，，．如果關(guān)鍵詞的逆文本頻率指數(shù)比關(guān)鍵詞的逆文本頻率指數(shù)大2，那么（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可知，即，所以，所以，即.故選：D.10.已知不等式對(duì)任意恒成立，則的最小值為（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】令，其對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，若，當(dāng)時(shí)，要使不等式對(duì)任意恒成立，則對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，所以，且是方程的一個(gè)正根，將代入可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：A.二、填空題：共6小題，每小題5分，共30分．11.函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】由得，所以函數(shù)的定義域是.12.已知函數(shù)，則的最小正周期是______．【答案】【解析】∵函數(shù)中，，∴函數(shù)的最小正周期.13.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則______．【答案】【解析】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，有，即，所以，解得.14.已知，，寫出滿足的一組，的值為______，______．【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）【解析】因?yàn)椋瑒t，所以，或，取，則或，15.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中給出求弧田（弓形田）面積的“弧田術(shù)”，如圖，是以為圓心，為半徑的圓弧，是線段的中點(diǎn)，在上，.設(shè)弧田的面積為，“弧田術(shù)”給出的近似值的計(jì)算公式為.若，，則______；______.【答案】【解析】根據(jù)題意，得，，所以是正三角形，邊上的高為，所以，而扇形的面積為，所以弧田的面積為；連接，如圖，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，在上，，則，共線，其中，，所以，又，所以.16.已知函數(shù)，給出下面四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；②對(duì)任意，既沒有最大值，也沒有最小值；③存在實(shí)數(shù)，在上單調(diào)遞增；④若存在最小值，則的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①②④【解析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，即，解得（舍）或；當(dāng)時(shí)，令，即，方程無解，所以當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，無最大值；又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，又，即，所以，無最小值，所以函數(shù)既沒有最大值，也沒有最小值，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在R上不單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以；在單調(diào)遞增，所以，要使在R上單調(diào)遞增，則，即，當(dāng)時(shí)，顯然，，不滿足，所以在R上不單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)榈脑鲩L(zhǎng)速度比的增長(zhǎng)速度快，所以，不滿足，所以在R上不單調(diào)遞增，綜上，不存在實(shí)數(shù)，使在R上單調(diào)遞增，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以；因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，若存在最小值，則，解得，所以；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以；因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，若存在最小值，則，所以，綜上，，所以的最小值為，故④正確.三、解答題：共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求集合及；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，即，解得或，所以或x>1，，當(dāng)時(shí)，，所以，.（2）若，則，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù)．（1）求的值及的最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間．解：（1）．．所以的最小正周期為．（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．令，由，得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．19.已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）再?gòu)臈l件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的值.條件①：；條件②：；條件③：為第四象限角.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）因?yàn)椋欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以，由，得，所以，滿足，則.（2）選條件①：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所?選條件②：因?yàn)?，所以，與矛盾，故該條件不符合要求.選條件③：因?yàn)闉榈谒南笙藿?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，又，所?20.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．（1）求的解析式；（2）判斷的單調(diào)性并用定義證明；（3）解關(guān)于的不等式．解：（1）由題設(shè)知f-x=-fx所以，即，則，所以.（2）是R上的增函數(shù)，證明如下：任取，且，則．由，則，且，故，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增.（3）因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，且，所以，由（2）知，在R上單調(diào)遞增，所以，令，則，解得，故，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以x∈0,1．所以不等式的解集為0,1.21.對(duì)于給定的正整數(shù)，設(shè)集合，集合，是的非空子集且滿足，．若對(duì)于任意，在集合中有唯一確定的數(shù)，使得為偶數(shù)，則記，并稱為從集合到集合的“函數(shù)”．（1）當(dāng)時(shí)，若集合，寫出集合，并判斷從集合到集合是否存在“函數(shù)”？說明理由；（2）若集合至少包含一個(gè)奇數(shù)，且為從集合到集合的“函數(shù)”，求證：存在，使得；（3）若為從集合到集合的“函數(shù)”，且對(duì)于任意，都有，求滿足條件的集合的所有可能．解：（1）．從集合到集合不存在“函數(shù)”，理由如下：因?yàn)榧现械脑鼐鶠槠鏀?shù)，集合中的元素均為偶數(shù)，任取，，則為奇數(shù)，不合題意，所以從集合到集合不存在“函數(shù)”.（2）假設(shè)不存在使得，即對(duì)于任意都有．因?yàn)槭侵形ㄒ淮_定的數(shù)，使得為偶數(shù)，所以．設(shè)為奇數(shù)，則，設(shè)是奇數(shù)．若，則與均為偶數(shù)，不合題意，所以，又因?yàn)?，所以，與矛盾．所以存在使得.（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，集合中共有個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，因?yàn)閷?duì)于任意，在集合中有唯一確定的數(shù)，使得為偶數(shù)，且都有．根據(jù)奇數(shù)與奇數(shù)的和為偶數(shù)，偶數(shù)與偶數(shù)的和為偶數(shù)，集合有以下三種不同的情形：①個(gè)奇數(shù)，0個(gè)偶數(shù)；②0個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)；③個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)；因?yàn)閷?duì)于任意，都有，集合中元素必然選擇奇數(shù)或偶數(shù)中較小的元素，即且．所以有當(dāng)，時(shí)，對(duì)于任意，在集合中有唯一確定的數(shù)，使得為偶數(shù)，且，滿足題意；當(dāng)，時(shí)，對(duì)于任意，在集合中有唯一確定的數(shù)，使得為偶數(shù)，且，滿足題意；當(dāng)，時(shí)，對(duì)于任意奇數(shù)，在集合中有唯一確定的，使得為偶數(shù)，且，滿足題意；對(duì)于任意偶數(shù)，在集合中有唯一確定的，使得為偶數(shù)，且，滿足題意；同理，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，集合中共有個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，集合有以下三種不同的情形：①個(gè)奇數(shù)，0個(gè)偶