廣西2025屆高三上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題 （解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西2025屆高三上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，則.故選：C2.復(fù)數(shù)的實部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故實部為故選：C3.若非零向量，滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，即，又，.故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，.故選：A.5.如圖，一個圓臺形狀的杯子的杯底厚度為1cm，杯內(nèi)的底部半徑為3cm，當(dāng)杯子盛滿水時，杯子上端的水面直徑為12cm，且杯子的容積為，則該杯子的高度為（）A.12cm B.13cm C.14cm D.15cm【答案】B【解析】當(dāng)杯子盛滿水時，該杯子中水的高度為cm，則杯子的容積為，可得，所以該杯子的高度為cm.故選：B6.已知函數(shù)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，則，而，所以，又，顯然上，即在上遞減，所以.故選：D7.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若曲線關(guān)于直線對稱，則的最小正周期的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，得所以的最小值是4，則的最小正周期的最大值為.故選：A8.已知函數(shù)，若函數(shù)零點的個數(shù)為3或4，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)零點的個數(shù)，即為的交點個數(shù)，畫出與的大致圖像，結(jié)合圖像可知：當(dāng)?shù)慕稽c個數(shù)為3或4時，的取值范圍是，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知點，若點在圓：上，則（）A.點在直線上 B.點可能在圓上C.的最小值為1 D.圓上至少有2個點與點的距離為1【答案】AC【解析】對于選項A：點，代入直線得，故點在直線上，A正確對于選項B：圓心到直線的距離為，故直線與圓相離，結(jié)合選項A可知，點不可能在圓上，故B錯誤.對于選項C：結(jié)合選項B可知，，故C正確對于選項D：由選項C可知圓上只有1個點與點的距離為1，故D錯誤.故選：AC10.下列命題是真命題的是（）A.若隨機變量，則B.若隨機變量，則C.數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，，的中位數(shù)可能相等D.數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，，的極差不可能相等【答案】ABC【解析】A：由二項分布的方差公式有，真命題；B：由題設(shè)，隨機變量的分布曲線關(guān)于，根據(jù)對稱性知，真命題；若，，，，依次為，則，，，，依次為，顯然兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)都是3，極差都是4，C為真，D為假.故選：ABC11.已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù)B.曲線在點處的切線斜率為C.，D.不等式對恒成立【答案】ABD【解析】對于A，函數(shù)定義域為關(guān)于原點對稱，又，故為偶函數(shù)，A正確，對于B，，故，故在點處的切線斜率為，B正確，對于C，，當(dāng)時，，則，故C錯誤，對于D，令，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若雙曲線：與雙曲線：的焦距相等，則的離心率為______.【答案】2【解析】由題設(shè)，可得，則，所以，即離心率為2.故答案為：213.在中，角，，的對邊分別為，，，，則______.【答案】【解析】由正弦邊角關(guān)系，可得，又，，所以.故答案為：14.數(shù)學(xué)中有時會采用十進(jìn)制以外的進(jìn)制進(jìn)行計數(shù)，比如二進(jìn)制，五進(jìn)制.五進(jìn)制是“逢五進(jìn)一”的進(jìn)制，由數(shù)字0，1，2，3，4來表示數(shù)值，例如五進(jìn)制數(shù)324轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)為.若由數(shù)字1，2，3，4組成的五位五進(jìn)制數(shù)，要求1，2，3，4每個數(shù)字都要出現(xiàn)，例如12334，則不同的五位五進(jìn)制數(shù)共有______個.若從由數(shù)字2，3，4（可重復(fù)）組成的三位五進(jìn)制數(shù)中隨機取1個，則該數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)能被3整除的概率為______.【答案】①.240②.【解析】由數(shù)字組成的五位五進(jìn)制數(shù)，要求每個數(shù)字都要出現(xiàn)，則需要先從中選取一個數(shù)字作為重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，再將不重復(fù)出現(xiàn)的3個數(shù)字從五個位置中選3個進(jìn)行排列，最后剩余兩個位置排重復(fù)數(shù)字，故所求不同的五位五進(jìn)制數(shù)共有個，數(shù)字組成的三位五進(jìn)制數(shù)總共有個，設(shè)這個三位五進(jìn)制數(shù)從左到右的數(shù)字分別為，轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)后此數(shù)為，此數(shù)能被3整除等價于能被3整除，因為，所以能被3整除的只有三種情況，若，則的取值有、兩種，若，則的取值有、、、、五種，若，則的取值有、兩種，故能被3整除的數(shù)共有個，則所求概率為.故答案為：240，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.某企業(yè)有甲，乙兩條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線都有，，三個流程，為了比較這兩條生產(chǎn)線的優(yōu)劣，經(jīng)過長期調(diào)查，可知甲生產(chǎn)線的，，三個流程的優(yōu)秀率分別為0.9，0.9，0.8，乙生產(chǎn)線的，，三個流程的優(yōu)秀率分別為0.8，0.85，0.92.已知每個流程是否優(yōu)秀相互獨立.（1）求甲生產(chǎn)線的三個流程中至少有一個優(yōu)秀的概率.（2）為了評估這兩條生產(chǎn)線哪個更優(yōu)秀，該企業(yè)對，，三個流程進(jìn)行賦分.當(dāng)流程優(yōu)秀時，賦30分，當(dāng)流程不優(yōu)秀時，賦0分；當(dāng)流程優(yōu)秀時，賦40分，當(dāng)流程不優(yōu)秀時，賦0分；當(dāng)流程優(yōu)秀時，賦50分，當(dāng)流程不優(yōu)秀時，賦0分.記甲生產(chǎn)線的，，流程的賦分分別為，，，乙生產(chǎn)線的，，流程的賦分分別為，，，計算與，并據(jù)此判斷甲、乙哪條生產(chǎn)線更優(yōu)秀.解：（1）設(shè)甲生產(chǎn)線的流程優(yōu)秀分別記為事件，甲生產(chǎn)線的三個流程中至少有一個優(yōu)秀為事件，則，所以.（2）由題設(shè)，易知；；由，即乙生產(chǎn)線更優(yōu)秀16.已知拋物線：的焦點為橢圓：的一個焦點，且的短軸長為4.（1）求的方程；（2）過點且傾斜角為的直線與交于，兩點，線段AB的中垂線與軸交于點，求的面積.解：（1）由拋物線：的焦點，所以，即，又的短軸長為，所以，則，故；（2）依題意有，聯(lián)立，整理得，設(shè)，，顯然，則，，所以，設(shè)線段的中點為，則，，故線段的中垂線為，令有，故，所以到直線的距離為，所以的面積.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，PD，BC的中點分別為，，，，且平面平面ABCD.（1）證明：平面PAF.（2）若直線PB與平面PAF所成角的正弦值為，求棱PB的長.（1）證明：取的中點，連接，則且，由底面為菱形，為的中點，則且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以，由面，面，故平面PAF.（2）解：取的中點，連接，又，所以，因為面面ABCD，面面ABCD，面，所以面ABCD，由底面為菱形，，則為正三角形，所以，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，，，令面的一個法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面的夾角為，則，可得或，故或.18.設(shè)函數(shù).（1）證明：曲線關(guān)于點對稱.（2）已知為增函數(shù).①求的取值范圍.②證明：函數(shù)存在唯一的極值點.③若不等式對恒成立，求的取值范圍.（1）證明：因為，所以曲線關(guān)于點對稱.（2）①解：因為增函數(shù)，所以恒成立，即恒成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則的最大值為，所以，即的取值范圍是.②證明：因為，所以為增函數(shù)，又，，而，，，所以在上存在唯一的零點，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)存在唯一的極值點.③解：由（1）知，曲線關(guān)于點對稱，所以為奇函數(shù)，由，，得，則，即，因為為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，則，即，，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以的取值范圍為.19.定義：若存在，，使得數(shù)列（，均為常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列，則稱是和比等差數(shù)列，也稱是和比等差數(shù)列，且稱為該和比等差數(shù)列的系數(shù).（1）若數(shù)列是和比等差數(shù)列，且，求的通項公式.（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，且.①試問是否為和比等差數(shù)列？若是，求該和比等差數(shù)列的系數(shù)；若不是，請說明理由.②證明：.（1）解: