貴州省部分學校2025屆高三上學期12月聯(lián)考考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1貴州省部分學校2025屆高三上學期12月聯(lián)考考試數(shù)學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，在復平面內(nèi)對應的點為，位于第一象限.故選：A2.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，又，所以．故選：D.3.在矩形中，，，則矩形的面積為（）A.5 B.10 C.20 D.25【答案】B【解析】由四邊形為矩形，得；由，得，解得，從而，所以，，所以矩形的面積為．故選：B．4.某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，則該圓錐的軸截面的面積為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】設圓錐的底面半徑為，母線長為，因為圓錐的側(cè)面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，所以，解得，因為，所以，得，所以圓錐的高為，所以圓錐的軸截面的面積是，故選：C.5.設為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，，，，，成等差數(shù)列，且，，可知首項為4，公差為2，所以.故選：B.6.若函數(shù)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，即對任意恒成立，即恒成立，因為（當且僅當時取“=”），所以.故選：D7.如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東方向處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為.故選：B.8.已知圓，點在線段（）上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，以為直徑作圓，則圓的面積的最大值為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，，，，，為銳角，當圓的面積取最大值時最大，而，所以，因為點在線段（）上，所以，故，即圓半徑的最大值為，所以圓的面積的最大值為，故選：D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，有選錯得0分，部分選對得部分分）9.設函數(shù)，若在有且僅有5個極值點，則（）A.在有且僅有3個極大值點 B.在有且僅有4個零點C.的取值范圍是 D.在上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】作出的草圖如下：的極值點滿足，即，因為在有且僅有5個極值點，所以，則需，且，解得，故C錯誤；因為，則由圖可知時，是在0,π上的第一個極大值點，根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖像規(guī)律可知，極大值點與極小值點總是交替出現(xiàn)的，時是的兩個極大值點，另外兩個為極小值點，故A正確；如圖可知，在點之前已有4個零點，也可能落在點的右側(cè)，從而使在0,π上有5個零點，故B錯誤；當時，的周期最小，此時第一個極大值點為，而在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：AD10.已知正方體的棱長為，經(jīng)過棱上中點E作該正方體的截面，且，與棱和棱AD的交點分別為F，G，截面將正方體分為，兩個多面體，則（）A.直線與所成角的正切值為B.截面為五邊形C.截面的面積為D.多面體，內(nèi)均可放入體積為的球【答案】AC【解析】取AD的中點M，連接GM，F(xiàn)M，則，則直線FG與所成角即為直線FG與GM所成角．中，，，則，即直線FG與所成角的正切值為，所以A選項正確；分別取，，的中點H，N，Q，連接EN，NG，GH，HF，F(xiàn)Q，QE，易證正六邊形GNEQFH即為截面，又正方體的棱長為，所以正六邊形的邊長為2，所以其面積為，所以B選項不正確，C選項正確；對于D選項，根據(jù)對稱性，可知多面體，是兩個完全相同的多面體，不妨設多面體內(nèi)能放入最大球的球心為O，則，球O與截面相切于正方體的中心S，且球O也與以C為頂點的三個面均相切，以C為坐標原點，CD，CB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設，又，則，解得，，所以，所以不能放入體積為的球，所以D選項不正確．故選：AC．11.拋物線的焦點為，準線為直線，過點的直線交拋物線于，兩點，分別過，作拋物線的切線交于點，于點，于點，則（）A.點在直線上 B.點在直線上的投影是定點C.以為直徑的圓與直線相切 D.的最小值為【答案】BCD【解析】對于，依題意焦點的坐標為0,2，準線為直線：，不妨設Ax1,y1，Bx聯(lián)立與，得，從而，，，，由題意，所以，故拋物線過點，的切線方程分別為，，解得點的坐標為，故錯誤；對于，因為，，所以，所以，即點在直線上的投影是點（定點），故選項正確；對于，可證，，因此，即以為直徑的圓與直線相切，選項正確；對于選項，因為，，從而，令，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當，即時，函數(shù)取最小值，故正確.故選：.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.在的展開式中，不含字母的項為_________．【答案】【解析】由條件可知不含字母的項為．故答案為：.13.“完全數(shù)”是一類特殊的自然數(shù)，它的所有正因數(shù)的和等于它自身的兩倍．尋找“完全數(shù)”用到函數(shù)：，為n的所有正因數(shù)之和，如，則_______；_______．【答案】①.42②.【解析】根據(jù)新定義可得，，因為正因數(shù)，所以故答案為：；14.設函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線過點的切線方程為______．【答案】和【解析】因為為奇函數(shù)，，得，，，設切點，則切線方程為，又切線過點，代入得解得或．當時，切點為，切線方程為；當時，切點為，切線方程為．故答案為：和四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．（1）求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，求證：．（1）解：設等差數(shù)列的公差為，則，解得：，（2）證明：由（1）得：，，，.16.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）已知，D為邊上的一點，若，，求的長．解：（1）∵，根據(jù)正弦定理得，，即，所以，因為，所以，所以，因為，所以．（2）因為，，，根據(jù)余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以∴，∴．17.正四棱臺的下底面邊長為，，為中點，已知點滿足，其中．（1）求證；（2）已知平面與平面所成角的余弦值為，當時，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：方法一：∵，∴．∵∴∴．∴，即．方法二：以底面ABCD的中心O為原點，以OM方向為y軸，過O點平行于AD向前方向為x軸，以過點O垂直平面ABCD向上方向為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設正四棱臺的高度為h，則有，，，，，，，，，．故，所以．（2）解：設平面ABCD的法向量為，設平面的法向量為，，，則有，即，令，則．又題意可得，可得．因為，經(jīng)過計算可得，，．將代入，可得平面的法向量．設直線DP與平面所成角的為θ．18.已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且M經(jīng)過點的焦距為4.（1）求M和的方程;（2）如圖，過點T(0，1)的直線l(斜率大于0)與雙曲線M和N的左、右兩支依次相交于A,B,C,D,若求直線l的方程.解：（1）因為,的焦距為4,所以，，所以，漸近線相同，可設為，代入，，所以（2）設直線l的方程為，由化簡可得：，，時，，，時，，，所以,同理因為，所以，所以.又因為所以所以則，由，解得：，由可知，,所以直線l的方程為：.19.已知集合，，，若，，或，則稱集合A具有“包容”性．（1）判斷集合和集合是否具有“包容”性；（2）若集合具有“包容”性，求的值；（3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64個，，試確定集合C．解：（1）集合中的，，所以集合不具有“包容”性．集合中的任何兩個相同或不同的元素，相加或相減，得到的兩數(shù)中至少有一個屬于集合，所以集合具有“包容”性．（2）已知集合具有“包容”性，記，則，易得，從而必有，不妨令，則，且，則，且，①當