冪指對函數(shù)比較大小（七大解題方法四種題型）-2025年高考數(shù)學(xué)熱點、重難點題型專項復(fù)習(xí)（原卷版）

第02講嘉指對函數(shù)比較大?。ㄆ叽蠼忸}方法四

種題型）

方法一：運用函數(shù)的單調(diào)性比較

1.對于抽象函數(shù)，可以借助中心對稱、軸對稱、周期等性質(zhì)來“去除f（）外衣”比較大??；

2.有解析式函數(shù)，可以通過函數(shù)性質(zhì)或者求導(dǎo)等，尋找函數(shù)單調(diào)性對稱性，以用于比較大

小.

方法二：因為幕指對函數(shù)的特殊性，往往比較大小，可以借助于臨界值0與1（或者-1）比

較大小.

方法三：尋找中間變量是屬于難點，可以適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)積累規(guī)律

1.估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間

2.可以對區(qū)間使用二分法（或者利用指對轉(zhuǎn)化）尋找合適的中間值

方法四：作差法、作商法

L一般情況下，作差或者做商，可處理底數(shù)不一樣的的對數(shù)比大小

2.作差或者做商的難點在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧和方法解

方法五：利用對數(shù)運算分離常數(shù)比大小

這是對數(shù)值所獨有的技巧，類似于分式型的分離常數(shù)，借助此法可以把較復(fù)雜的數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)

化為某一單調(diào)區(qū)間，或者某種具有單調(diào)性的形式，以利于比較大小

方法六：構(gòu)造函數(shù)

學(xué)習(xí)和積累“構(gòu)造函數(shù)比大小”，要先從此處入手，通過這個函數(shù)，學(xué)習(xí)觀察，歸納，總結(jié)

“同構(gòu)”規(guī)律，還要進(jìn)一步總結(jié)“異構(gòu)”規(guī)律，為后續(xù)積累更復(fù)雜的“構(gòu)造函數(shù)”能力做訓(xùn)練.

構(gòu)造函數(shù)，.觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，許多時候，三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被刻意的

隱藏了“同構(gòu)”規(guī)律，所以可以優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的兩個數(shù)規(guī)律.

方法七：放縮法

1、對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)

2、指數(shù)和幕函數(shù)結(jié)合來放縮。

3、利用均值不等式等不等關(guān)系放縮

方法八：“數(shù)值逼近”是指一些無從下手的數(shù)據(jù)，如果分析會發(fā)現(xiàn)非常接近某些整數(shù)（主要

是整數(shù)多一些），那么可以以該“整數(shù)”為變量，構(gòu)造四舍五入函數(shù)關(guān)系，2021年全國卷乙

卷第12題即是此思維.

【熱點題型】

題型一：奇偶性、單調(diào)性比較

選擇題（共6小題）

1.（2022?松山區(qū)校級模擬），b=ln3」，c=e+2,貝Ia,b,c的大小關(guān)

4e+1

系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c

2.（2022?東湖區(qū)校級三模）已知〃=k)g29,b=e06,c=2055則a,b,c的大小關(guān)系為

)

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

3.（2022?海拉爾區(qū)校級四模）sin2,2°」，logo12的大小關(guān)系為)

A.sin2>20,1>logo.12B.2°,1*>sin2>logo.12

C.2°'1>logo.12>sin2D.sin2>logo.i2>201

1

6，b=log_J--

4.（2022?濱海新區(qū)校級模擬）已知c=43.則a,b,c的大

2

小關(guān)系是（)

A.c<.b<aB.b<.a<cC.D.b<c<a

設(shè)5

5.（2022?天津模擬）a=ln*c=0.8°-,則a、b、c的大小關(guān)系為

)

A.B.b<.a<cC.a〈b〈cD.c<a<b

6.（2022?河北區(qū)模擬）若a,b都是實數(shù)，則“亡〉人”是“Iog2a>log2b”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

題型二：利用幕函數(shù)的性質(zhì)比較大小

一、單選題

1.（2022?安徽?合肥市第七中學(xué)二模（理））已知。=2°9/=3°$,c=2sinl,則b,c的大

小關(guān)系為（)

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

已知〃=兀,，

2.（2022.全國.模擬預(yù)測）b=兀兀，<?=匕兀，e是自然對數(shù)的底數(shù)，貝！Ja,b9c

的大小關(guān)系是（

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

3.（2022?江蘇?南京市第五高級中學(xué)模擬預(yù)測）若a<b<-l,c>0,則下列不等式中一定

成立的是（)

171

A.JQB.a——>b----C.ln(6-6z)>0

abba

二、多選題

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知實數(shù)a,b,c滿足a>6>l,0<c<l,則下列不等式一

定成立的有()

A.(a-c)。<(6-c)‘B.loga(c+l)<log;,(c+l)

22224

C.logac+logca>2D.ac>bc>c

三、填空題

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限

r(r>0),勞累程度T(O<T<1),勞動動機6(1<6<5)相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型

E=10-10T-b^Ur.

已知甲、乙為該公司的員工，給出下列四個結(jié)論:

①甲與乙勞動動機相同,且甲比乙工作年限長,勞累程度弱,則甲比乙工作效率高;

②甲與乙勞累程度相同,且甲比乙工作年限長,勞動動機高,則甲比乙工作效率高;

③甲與乙工作年限相同,且甲比乙工作效率高,勞動動機低,則甲比乙勞累程度強:

④甲與乙勞動動機相同,且甲比乙工作效率高,工作年限短.則甲比乙勞累程度弱.

其中所有正確結(jié)論的序號是

題型三：指數(shù)式、幕式大小比較

一、單選題

1.(2022?河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測)己知a>0且"1,則“。>萬”是"a">廣，的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

22J_

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))若〃=]了/=&',0=]]，則a、Ac的大小關(guān)系是

()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知。=0.3嗎6=0.3°6,c=(|)"則a、b、c的大小關(guān)系

為()

A.a<b<cB.c〈a〈bC.b<a<cD.

4.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)％=9°9,%=27°弋為=[￡]”，則

()

A.丫3>%>>2B.

C.必>%>為D.%>%>則

5.（2022.黑龍江.牡丹江市第三高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知。=68/=77,C=86,則。,6,C

的大小關(guān)系為（）

A.b>c>aB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)61=冊,b=^,c=W一巫.則〃，b,。大小關(guān)系是

（）

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

二、多選題

7.（2022?福建?福州三中高三階段練習(xí)）下列判斷正確的有（）

A.O.30-2>O.202>0,203

B?（0.2）-2>（64）2>Q00-72）°

C.若x>1,貝!J%H-------24

x-1

12

D.若x,>>0,—?—=1,貝5]2x+yW8

xy

8.（2022?山東日照.三模）某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限

r（r>0）,勞累程度T（O<T<1）,勞動動機6（1<6<5）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型

E=10-10T-^14r,已知甲、乙為該公司的員工，則下列結(jié)論正確的是

)

A.甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高

B.甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機高，則甲比乙工作效率低

C.甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.則甲比乙勞累程度弱

D.甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機低，則甲比乙勞累程度強

三、填空題

_3

9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知°=（|）乙=（|）一；,=[|『，則。，b,c的大小關(guān)系是

10.（2022.全國?高三專題練習(xí)）某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限

r（r>0）,勞累程度T（O<T<1）,勞動動機儀1<8<5）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型

E=10-10T.6~°M.

已知甲、乙為該公司的員工，給出下列四個結(jié)論：

①甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高；

②甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機高，則甲比乙工作效率高；

③甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機低，則甲比乙勞累程度強:

④甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.則甲比乙勞累程度弱.

其中所有正確結(jié)論的序號是

題型四：比較對數(shù)、指數(shù)、幕的大小

一、單選題

_____________Inm4-In

1.（2022?廣東佛山?高三階段練習(xí)）若根a=^nmAnn,b=―--,

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

2.(2022?安徽?高三開學(xué)考試)若a=log515,b=log49,c=0,則()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.a<b<c

3.(2022.吉林.東北師大附中高三開學(xué)考試)/(X)為R上的偶函數(shù)，x>0時,/(x)=e\

=則下述關(guān)系式正確的是（)

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>a>bD.a>b>c

4.（2022?湖北?高三開學(xué)考試）已知。均為不等于1的正實數(shù)，且

Inc=aln/?,ln〃=bine,則。，4。的大小關(guān)系是（)

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

5.(2022?云南師大附中高三階段練習(xí))已知。=6°"力=1./1超=1.11,則

()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

6.(2023?全國?高三專題練習(xí))三個數(shù)。=0.42,6=log20.3,。=2。6之間的大小關(guān)系是

()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

7.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/'(x)=2M—1(%為實數(shù))為偶函

數(shù)，記〃(logo.53),b=f(log25),c=f(2m),則。,b,c的大小關(guān)系為

()

A.b<Za<.cB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c.

8.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知。=3°2,/?=log67,c=10856,則()

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

二、多選題

9.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知尤，yeR且4x-4y<y3一尤3,貝?(）

A.B.鏟〈尸c.lg(y-x)>0D.<3-，

三、解答題

10.(2022?江蘇省如皋中學(xué)高一期末)已知集合4={1。852,1。8425,2},集合

8={log25,log31.記集合A中最小元素為。，集合8中最大元素為

(1)求ACIB及。，b的值；

⑵證明：函數(shù)"x)=x+4在上單調(diào)遞增；并用上述結(jié)論比較a+b與|■的大小.

x2

■【熱點、重難點真題訓(xùn)練】

一.選擇題(共9小題)

1.（2019?新課標(biāo)I）已知a=log20.2,Z?=20-2,c=0.2°-3,則（）

A.a<b<cB.a〈c〈bC.c〈a〈bD.b<c<a

2.（2020?新課標(biāo)HI）設(shè)。=log32,Z?=log53,c=—f貝I（）

3

A.a<c<bB.a<-b<-cC.b<c〈aD.c〈a<b

3.（2021?新高考H）已知〃=log52,/?=log83,c=A,則下列判斷正確的是（）

A.c〈b<a