人教版八年級數(shù)學上冊 第十三章 軸對稱（易錯與壓軸專練）（原卷版）

第十三章軸對稱（易錯與壓軸專練）

目錄

易錯專練...........................................................................1

【易錯一求等腰三角形的周長時忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯】.........................1

【易錯二當?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯】..........................1

【易錯三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯】................................2

【易錯四三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯】....................2

壓軸專練...........................................................................2

【題型一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】..............................................2

【題型二等腰三角形中底邊無中點時，作高線】............................................4

【題型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】.......................................5

【題型四共頂點的等邊三角形問題】.........................................................6

【題型五共頂點的等腰直角三角形問題】.....................................................8

【題型六共頂點的一般等腰三角形問題】....................................................10

易錯專練

【易錯一求等腰三角形的周長時忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯】

例題：已知ABC是等腰三角形，如果它的兩條邊的長分別為8cm和女m,則它的周長為cm.

【變式訓練】

1.若的三邊長分別為10-a,7,6,當；為等腰三角形時，則。的值為.

2.用一條長為28cm的細繩圍成一個等腰三角形，已知這個等腰三角形一邊長是另一邊長的1.5倍，則它的

底邊長為cm.

【易錯二當?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯】

例題：等腰三角形的一個角的度數(shù)是36。，則它的底角的度數(shù)是.

【變式訓練】

1.等腰三角形的一個角比另一個角的2倍少20。，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)是.

2.在AABC中，AB^AC,ZBAC=100°,點。在邊8c上（不與8、C重合），連接AD,若々WO是等腰

三角形，則/ADC的度數(shù)為.

【易錯三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯】

例題：已知RtZXABC中，NC=90。，AC=3,BC=4,若」1BC沿射線方向平移機個單位得到/),

頂點A,B,C分別與頂點D,E,尸對應，若以點A,D,E為頂點的三角形是等腰三角形，則根的值是.

【變式訓練】

1.在Rt^ABC中，NACB=90。，ZA=30°,AB=12,D、E分別是邊BC、AB上的動點?將△BDE沿直

線OE翻折，使點5的對應點皆恰好落在邊AC上?若△AEB'是等腰三角形，則的長是.

【易錯四三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯】

例題：等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為15和12兩部分，則此三角形的底邊長為()

A.7B.11C.7或11D.無法確定

【變式訓練】

1.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45。，那么這個三角形的頂角為()

A.45°B.90°C.135°D.135°或45°

2.在..ABC中，AB=AC,8是AB邊上的高，ZACD=30°,則.

3.在ABC中，AB=AC,AC上的中線8。把三角形的周長分成24和30兩部分，則底邊BC的長為

壓軸專練

【題型一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】

例題：已知，在，ABC中，NAC8=90。，AC^BC,點M是A2的中點，作/DME=90。，使得射線“。與

射線ME分別交射線AC,CB于點D,E.

(1)如圖1,當點。在線段AC上時，線段與線段ME的數(shù)量關(guān)系是;

(2)如圖2,當點。在線段AC的延長線上時，用等式表示線段CD,CE和2c之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

【變式訓練】

1.如圖1,在RtaABC中，ZC=90°,AC=BC,點P是斜邊A2的中點，點。，E分別在邊AC/C上,

連接PRPE,若PD1PE.

⑴求證：PD=PE；

(2)若點。，E分別在邊AC,CB的延長線上，如圖2,其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否成立？并加以證明;

(3)在(1)或(2)的條件下，△BBE是否能成為等腰三角形？若能，請直接寫出NPEB的度數(shù)(不用說理);

若不能，請說明理由.

2.在RtaABC中，AC^BC,ZACB=90°,點。為AB的中點.

(1)若NEC不=90。，兩邊分別交AC,BC于￡,F兩點.

①如圖1,當點E,尸分別在邊AC和3C上時，求證：OE=OF；

②如圖2,當點E,尸分別在AC和CB的延長線上時，連接班若OE=6,則S已紗=

(2)如圖3,若NEOF=45°,兩邊分別交邊AC于E,交8C的延長線于F,連接EF,若CF=3,EF=5,試

求AE■的長.

【題型二等腰三角形中底邊無中點時，作高線】

例題：如圖，已知點。、E在AABC的邊8C上，AB=AC,AD=AE.

(1)求證：BD=CE；

(2)若AD=BD=DE=CE,求NBAE的度數(shù).

【變式訓練】

1.如圖，汨與△BC4均為等腰三角形，AD=AB^CB,且NABC=90。，E為03延長線上一點,

NDAB=2NEAC.

⑴若ZEAC=20。，求ZCBE的度數(shù)；

(2)求證：AEA.EC；

⑶若BE=a,AE=b,CE=c,求ABC的面積(用含。，b,c的式子表示).

2.已知在.ABC中，AB=AC,且N54C=a.作_ACD,使得AC=CD.

A

A

D?

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圖1圖2

(1)如圖1,若/AC。與/B4C互余，則NOC5=(用含。的代數(shù)式表示)；

(2)如圖2,若ZACD與，BAC互補，過點C作C"，AD于點H,求證：CH=ggC；

⑶若由.MC與.ACD的面積相等，則-4CD與NBAC滿足什么關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論數(shù).

【題型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】

流法點撥:而函,ZXABC市區(qū)力…木

平分NBAC,AD_LBC,由“ASA”/

易得△ABD雪△ACD，從而得/——一、

：AB=AC,BD=CD.即一邊上的高與這邊所對的角平

分線重合，易得這個三角形是等腰三角形.

例題：如圖，在，ABC中，A。平分，BAC,E是BC的中點，過點E作/G,AD交AD的延長線于H,交

于尸，交AC的延長線于G.

求證：

WAF=AG；

Q)BF=CG.

【變式訓練】

1.如圖：

圖4

(1)【問題情境】

利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1,0P平分NMON.點A為。A/上一點，過點A作AC，OP,

垂足為C,延長AC交ON于點8,可根據(jù)證明則AO=8O,AC=3C(即點C為AB

的中點).

⑵【類比解答】

如圖2,在，ASC中，CD平分NACB,4￡_18于￡,若NE4c=63。，4=37。，通過上述構(gòu)造全等的

辦法，可求得NDAE=.

(3)【拓展延伸】

如圖3,ABC中，AB=AC,ABAC=90°,8平分/ACB,BELCD,垂足E在CD的延長線上，試探

究師和CO的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(4)【實際應用】

如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中AC邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進

行水稻試驗，故進行如下操作：①用量角器取-ACB的角平分線。；②過點A作ADLCD于D已知

BC=13,AC=10,ABC面積為20,則劃出的二ACD的面積是多少？請直接寫出答案.

【題型四共頂點的等邊三角形問題】

方;■撥〕如圖，ZXABC和ACDE為等邊三角形，則

根據(jù)SAS可得△ACDTZSBCE,/AOB=60°,ZXMCN

為等邊三角形.

例題：如圖所示，△A2C和△AOE都是等邊三角形，且點8、A、E在同一直線上，連接2。交AC于

連接CE交于M連接MN.

⑴求證：BD=CE-

(2)求證：4ABM會AACN；

(3)求證：AAMN是等邊三角形.

【變式訓練】

1.如圖，點C為線段AB上一點，△ZMC、ECB都是等邊三角形，AE.0c交于點“，DB,EC交于

點N,DB、AE交于點P,連接MN,下列說法正確的個數(shù)有個.

①MN〃AB；②/DPM=60°；③NDAP=NPEC；④AACM/ADCW；⑤若NDBE=30°,則ZAEB=90。.

2.如圖，C為線段AE上一動點(不與點A,￡重合)，在AE同側(cè)分別作等邊ABC和等邊一CDE,AD與BE

交于點。，AD與3c交于點P,BE與CD交于點Q,連結(jié)PQ.

B

求證：(1)AD=BE；

(2)一CPQ為等邊三角形;

【題型五共頂點的等腰直角三角形問題】

?,AABC和△DCE均為等腰直角三

角形，則根據(jù)SAS可得4BCE^AACD.

例題：如圖，ABC和△DCE都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°.

圖1圖2備用圖

(1)【猜想】:如圖1,點E在上，點。在AC上，線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是

(2)【探究】：把△OCE繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接AO,BE,(1)中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；

(3)【拓展】：把△DCE繞點C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC=5,CE=2拒,當A,E,。三點在同一直線上

時，則AE的長是.

【變式訓練】

1.如圖，在等腰直角三角形ABC和O￡C中，NBC4="CE=90。，點E在邊A3上，ED與AC交于點R

連接AD.

(1)求證：△3CE/△ACD；

(2)求證：AB±AD.

2.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,與一CDE均為等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,則線段AE、BD

的數(shù)量關(guān)系為,AE、8D所在直線的位置關(guān)系為

(2)深入探究：在(1)的條件下，若點A,E,。在同一直線上，CM為ADCE中。E邊上的高，請判斷NADB

的度數(shù)及線段CM,AD,BO之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【題型六共頂點的一般等腰三角形問題】

如圖，445。和△DEC是等腰三角形，且

NAC6=/DCE,根據(jù)SAS可得△ACD/^BCE.

例題：如圖，.ABC與久DE都是等腰三角形，AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=42°,AD,BE相交于

點Af.

B

(1)試說明：AD=BE；

⑵求NA7WB的度數(shù).

【變式訓練】

1.如圖，已知中，AB^AC^BC.分別以AB、AC為腰在A3左側(cè)、AC右側(cè)作等腰三角形4步.等

腰三角形ACE,連接CD、B