人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 第十四章 整式的乘法與因式分解（壓軸題專練）（解析版）

第十四章整式的乘法與因式分解(壓軸題專練)

目錄

【類型一已知多項式乘積不含某項求字母的值】...............................................1

【類型二多項式乘多項式與圖形面積】.......................................................2

【類型三多項式乘法中的規(guī)律性問題】.......................................................5

【類型四利用完全平方配方求多項式最小/大值問題］.........................................8

【類型五平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用】..................................................13

【類型六完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用】................................................19

【類型七十字相乘法因式分解】............................................................25

【類型八分組分解法因式分解】............................................................31

【類型一已知多項式乘積不含某項求字母的值】

例題：(2023春?浙江紹興?七年級統(tǒng)考期末)若(x+2〃?)(x-3)去括號后不含x的一次項，則機(jī)的值為.

【答案】|

【分析】根據(jù)去括號后不含x的一次項，可知去括號、合并同類項后，含x的一次項的系數(shù)為0,據(jù)此即可

求得加的值.

【詳解】解：(x+2〃?)(x-3)=x2+(2m-3^x-6m,

(x+2/%)(x-3)去括號后不含尤的一次項，

?，-2m—3=0,

解得根=］3,

,3

故答案為：—.

2

【點睛】本題考查了多項式乘法結(jié)果中不含某項問題，熟練掌握和運(yùn)用不含某項求參數(shù)的方法是解決本題

的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023春?江西萍鄉(xiāng)?七年級統(tǒng)考期末)若代數(shù)式(尤+")，-3］的結(jié)果中不含字母x的一次項，則。的值

是.

【答案】1/0.5

【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式的法則計算原式，再根據(jù)結(jié)果中不含字母X的一次項可得關(guān)于，〃的方程,

解方程即得答案.

【詳解】解：（x+a）Q-j=無-;*因為計算結(jié)果中不含字母X的一次項，

所以”1=o,

解得：

故答案為：—■

【點睛】本題考查了多項式的乘法，屬于基本題型，正確理解題意、熟練掌握多項式乘以多項式的法則是

解題關(guān)鍵.

2.（2023春?浙江?七年級期末）已知（尤2+〃猶+〃）（尤2-3彳+2）的展開式中不含v項和/項，那么加=

【答案】37

【分析】利用多項式乘多項式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算，然后令含Y和/的項的系數(shù)之和為0,從而列方程求解.

【詳解】解：原式=x4—3/+2X2+mx3—3mx2+2mx+ivc—3/ix+In,

■原式的展開式中不含V和/的項，

:.—3+m=Q,2—3m+n=O,

解得：m=3,〃=7,

故答案為：3,7.

【點睛】本題考查多項式乘多項式，掌握多項式乘多項式的運(yùn)算法則，理解展開式中不含V和V的項，即

含V和%2的項的系數(shù)之和為0是解題關(guān)鍵.

【類型二多項式乘多項式與圖形面積】

例題：（2023春?安徽六安?七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料并解答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平

面幾何圖形的面積來表示，實際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示，例如：2a"+6）=2〃+2必

就可以用圖①的面積來表示.

b"abab

ab

arah

a2

babb3

b

（1）請寫出圖②所表示的代數(shù)恒等式.

（2）請畫圖，用平面幾何圖形的面積來表示代數(shù)恒等式（。+〃）（2。+〃）=2〃+3M.

【答案】(l)(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2；

（2）見解析.

【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)表示出長方形的長與寬，再根據(jù)長方形的面積公式寫出等式的左邊，再表示出每一

小部分的長方形的面積，然后根據(jù)面積相等即可寫出等式.

（2）根據(jù)題目的要求和恒等式的意義即可畫出圖形.

【詳解】（1）解：由題意得（a+%）（2a+b）=2/+5“6+力。

（2）解：如圖所示，即為所求;

ababb2

a2a2ab

aah

【點睛】本題主要考查了多項式乘以多項式在幾何圖形中的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?河南開封?七年級統(tǒng)考期末）如圖，某體育訓(xùn)練基地有一塊長（3.-5加米，寬米的長方形

空地，現(xiàn)準(zhǔn)備在這塊長方形空地上建一個長。米，寬（。-4）米的長方形游泳池，剩余四周全部修建成休息

區(qū).（結(jié)果需要化簡）

（D求長方形游泳池的面積;

（2）求休息區(qū)的面積；

(3)休息區(qū)比游泳池的面積大多少平方米？

【答案】⑴(/_2⑹平方米

⑵(24-6"+5陰平方米

(3)(〃-4°。+5。2)平方米

【分析】(1)根據(jù)長方形的面積公式和單項式乘以多項式的法則解答即可；

(2)用大長方形的面積減去小長方形的面積求解即可；

(3)由(2)求得的結(jié)果與(1)求得的結(jié)果作差求解即可.

【詳解】(1)長方形游泳池的面積=。(。-26)=(/-2")平方米；

(2)

-3a2—+5b之—a?+2ab

=2a1-6ab+5b2;

即休息區(qū)的面積是(2/-6ab+5b2)平方米；

(3)(2〃2—6ab+5Z?2)-"-2ab)

-2/—6ab+5Z?2—片+2ab

=a2—4ab+5b2;

即休息區(qū)比游泳池的面積大(〃-4M+5〃)平方米.

【點睛】本題考查了整式運(yùn)算的實際應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握整式的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

2.(2023春?陜西榆林?七年級統(tǒng)考期末)如圖，在某高鐵站廣場前有一塊長為2°+》，寬為。+人的長方形空

地，計劃在中間留兩個長方形噴泉池(圖中陰影部分)，兩個長方形噴泉池及周邊留有寬度為b的人行通道.

(1)求該長方形空地的面積；(用代數(shù)式表示)

(2)求這兩個長方形噴泉池的總面積；(用代數(shù)式表示)

(3)當(dāng)a=200,人=100時，求這兩個長方形噴泉池的總面積.

【答案】(1)26+3。6+〃；

(2)2a2-4ab+2b2；

(3)20000.

【分析】(1)根據(jù)長方形的面積列式并計算即可；

(2)根據(jù)“長為2a+b,寬為a+b的長方形空地，兩個長方形噴泉池及周邊留有寬度為b的人行通道”列式

計算即可；

(3)把。=200,6=100代入(2)中得到結(jié)果計算即可.

【詳解】(1)解：(?+b)(2a+b)=2a2+3ab+>2,

答：該長方形空地的面積為24+3"+〃.

(2)(^a+b—2b^2a+b—3b^=(a-6)(2a-26)=2a2-4ab+2b2-

答：這兩個長方形噴泉池的總面積為21-4仍+2〃.

(3)當(dāng)a=200,6=100時，這兩個長方形噴泉池的總面積為

2a2-4ai+2Z?2=2x2002-4x200xl00+2xl002=20000.

即這兩個長方形噴泉池的總面積為20000.

【點睛】此題考查了列代數(shù)式、多項式乘法的應(yīng)用、代數(shù)式的值等知識，根據(jù)題意正確列出代數(shù)式是解題

的關(guān)鍵.

【類型三多項式乘法中的規(guī)律性問題】

例題：(2023春?江西新余?八年級統(tǒng)考期末)觀察下列各式.

(%-l)(x+l)=x2-l

(x—l)(x2+x+l)=尤3_]

(x—1)(尤3+x2+尤+1)=X4—1

請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成下列各題：

(1)根據(jù)規(guī)律可得+...+x+i)=；(其中?為正整數(shù))

⑵計算：(3-1)X(350+349+318+-+32+3+1).(結(jié)果保留幕的形式)

⑶計算：22023-22022+22021-22020+■??+2-1.(結(jié)果保留號的形式)

【答案】(Dx"-1

⑵35—

⑶十

【分析】(1)觀察所給式子的特點，等號右邊尤的指數(shù)比等號左邊X的最高指數(shù)大1,然后寫出即可；

(2)根據(jù)所給式子的規(guī)律，把x換為3即可，(3-1)*(35。+349+348++32+3+1)=35『1

(3)配成上述結(jié)構(gòu)式子，利用總結(jié)規(guī)律直接寫出結(jié)果；

【詳解】⑴解：觀察已知可得…+x+l)=x"-l,故答案為：X--1；

(2)解：根據(jù)⑴可知，(3-l)x(350+349+348+---+32+3+1)=351-1；

(3)解：原式變形為：-[(-2)2023+(-2)2022+(-2)2021+(-2)2020+.■?+(-2)'+1]

20232022

=_(_2-1)[(-2)+(-2)+(—2)妨+(-2升。+…+(_2)+1卜(_3)

2024

=,(2-1)-(-3)

22024-1

--3--

【點睛】本題考查了多項式乘以多項式的規(guī)律題，要讀懂題目信息并總結(jié)出規(guī)律，具有規(guī)律性是特殊式子

的因式分解，解題的關(guān)鍵是找出所給范例展示的規(guī)律.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023春?安徽六安?七年級統(tǒng)考期末)觀察下列各式：

(x-l)4-(x-l)=l；

(尤2—1)=X+l;

(丁-+=X2+X+]；

(X4-1)=尤3+n2+x+l；

⑴根據(jù)上面各式的規(guī)律可得：(爐-l)+(x-l)=.

(2)根據(jù)上面各式的規(guī)律可得：+.

(3)若1+x+x2++產(chǎn)=0,求浮3的值.

【答案】(Dx'+xW+x+l

(2)x"+x"T+x"*..+x+i

(3)1

【分析】(1)分析數(shù)據(jù)的規(guī)律直接求解即可.

(2)分析數(shù)據(jù)的規(guī)律直接求解即可.

(3)分析數(shù)據(jù)的規(guī)律直接求解即可.

【詳解】(1)解：(X5—1)+(尤—1)=尤4+X3+X?+尤+1.

故答案為：x4+x3+x2+X+1-

(2)解：(xH+1-=+x'^1+xn~~+???+X+1;

故答案為：x"+xn~'+x'l~2+---+X+1.

(3)解：V(x2023-l)-(x-l)=x2022++x2+x+l=0,

又：x-1^0,

(x2023-l)=0,

%2023=1.

【點睛】此題考查多項式乘法中的規(guī)律性問題，解題關(guān)鍵是將推論出來的規(guī)律用來直接求解.

2.(2023春?山東青島?七年級統(tǒng)考期末)(1)計算觀察下列各式填空：

第1個：(a-b)(a+b)=；

第2個：(。-6)(片+a6+Z?2)=；

第3個：+a2b+ab2+kr^=；

這些等式反映出多項式乘法的某種運(yùn)算規(guī)律.

(2)猜想：若”為大于1的正整數(shù)，貝1](“一3(4+陵吃+/方+…+。2。”一3+次產(chǎn)+〃T)=

(3)利用(2)的猜想結(jié)論計算：21+2"-2+2”-3+…+23+2?+2+1=.

(4)擴(kuò)展與應(yīng)用：3"T+3/,-2+3”-3+---+33+32+3+1=.

3"-1

【答案】(1)a2—b1;a3—b3;a4-b4；(2)an—bn;(3)2"—1;(4)-------

2

【分析】(1)根據(jù)多項式乘多項式的乘法計算即可得；

(2)利用(1)中已知等式得出的結(jié)果為m。兩數(shù)”次塞的差，即可得；

(3)(2-1X2"-1+2'-2+2n-3+.??+23+22+2+1),即可得；

(4)將原式變形為gx(3-1)(3"一+3"-2+3"3+…+33+32+3+1),在根據(jù)所得規(guī)律進(jìn)行計算即可得.

【詳解】解：(1)第1個：(。一6)(。+“=/一〃；

第2個：(a-"(a?+曲+/)=/一/；

第3個：(〃+〃％+〃/+/)=一/；

故答案為：a2—b2;a3—Z?3;a4-b4；

(2)由(1)中已知等式得出的結(jié)果為a,b兩數(shù)〃次幕的差，

若〃為大于1的正整數(shù)，貝IJ(a-b)(能一1+，-2〃+優(yōu)-3始+…+〃夕—3+〃^〃-2+6〃T)=優(yōu)一N，

故答案為：an—bn;

(3)2n-1+2n-2+2n-3+---+23+22+2+l

232

=(2-1)(2〃T+T-+2”3+...+2+2+2+l)

二2〃—1，

故答案為：2〃-1;

(4)y-1+3n~2+3n~3+???+33+32+3+1

=gx(3一1)(3〃T+3n-2+3〃-3+…+33+32+3+1)

=-x(3n-V)

2

y-i

2

故答案為：匕上

2

【點睛】本題考查了多項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是掌握多項式乘多項式，根據(jù)等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

【類型四利用完全平方配方求多項式最小/大值問題】

例題：(2023秋?湖南衡陽?八年級統(tǒng)考期末)閱讀材料：數(shù)學(xué)課上，老師在求代數(shù)式爐一八+5的最小值時,

利用公式：a2±2ab+b2={a+b)1,對式子作如下變形：x2-4x+5=x2-4%+4+l=(%-2)2+1,

因為(x-2)~N0,所以(x-2)2+1N1,

當(dāng)x=2時，(x-2)2+l=l,

因此(x-2)2+1有最小值1,即爐一4x+5的最小值為1.

通過閱讀，解下列問題：

(1)代數(shù)式爐-6尤+12的最小值為,此時尤的值為

⑵試比較代數(shù)式3尤2_2x與+6X-17的大小，并說明理由.

【答案】(1)3,3

(2)3尤2—2彳>2尤2+6%—17,見解析

【分析】(1)根據(jù)材料提示，運(yùn)用配方法配成完全平方公式，即可求解；

(2)運(yùn)用作差法化簡兩個代數(shù)式，運(yùn)用配方法配成完全平方公式，比較結(jié)果的正負(fù)，即可求解.

【詳解】(1)解：尤?—6x+12=(x—3)2+3,

V(X-3)2>0,

(x-3)2+3>3,

.,.當(dāng)x=3時,無2_6》+12的最小值為3,

故答案為：3,3.

(2)解：3/一2;(:-(2尤2+6；(：—17)=彳2—8%+17=(彳-4)2+1,

,/(X-4)2>0,

(x-4)2+l>l,

**?3x~—2x-(2x?+6x-17)>0,

??3x~—2x>2廠+6x—17?

【點睛】本題主要考查乘法公式，作差法比較兩個多項式的大小的綜合，掌握配方法配成完全平方公式判

定代數(shù)式的最值，運(yùn)用作差法比較結(jié)果的正負(fù)判斷代數(shù)式的大小等知識是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023春?江蘇淮安?七年級統(tǒng)考期末)將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或

幾個完全平方式的和，這種方法稱之為配方法.這種方法常常被用到式子的恒等變形中，以挖掘題目中的

隱含條件，是解題的有力手段之一.

例如，求代數(shù)式d+2x+3的最小值.

解:原式=無？+2x+1+2=(尤+1)+2.

(x+1)2>0,,,.(x+l)2+2>2.，當(dāng)x=-l時，無2+2刀+3的最小值是2.

(1)請仿照上面的方法求代數(shù)式d-4犬+7的最小值.

(2)代數(shù)式+8x+2的最大值為.

【答案】⑴當(dāng)x=2時，原式有最小值3

⑵18

【分析】(1)直接將代數(shù)式化成(x+mf+w的形式，然后求解即可；

(2)先把負(fù)號提出來，再將代數(shù)式化成-(x+my+”的形式，然后求解即可.

【詳解】(1)解：Y—4x+7=J—4%+4+3=(%—2)2+3,

.(%-2)2>0,

二.(尤-2)2+323,

，當(dāng)x=2時原式有最小值3；

(2)-/+8》+2

=一(三-8x+16)+18

=-(X-4)2+18,

-(X-4)2<0,

.-.-(X-4)2+18<18,

代數(shù)式-丁+8尤+2的最大值為18,

故答案為：18.

【點睛】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握利用完全平方公式對多項式變形是解答本題的關(guān)鍵.

2.(2023春?浙江?七年級統(tǒng)考期末)在學(xué)習(xí)了乘法公式“(。±加2=/±2岫+廿"的應(yīng)用后，王老師提出問題:

求代數(shù)式Y(jié)+2x+2的最小值.同學(xué)們經(jīng)過探究、合作、交流，最后得到如下的解法：

解：x2+2x+2=(x2+2x+l2-l2)+2=(x+l)2+1,

：(尤+1/NO,/.(x+l)2+l>l,

當(dāng)(x+l)2=0時，(無+以+1的值最小，最小值為1.

??X2+2x+2的最小值是1,

請你根據(jù)上述方法，解答下列問題：

⑴求代數(shù)式丁-6丫+11的最小值；

(2)求代數(shù)式24+8。+5的最小值；

⑶若x-y=l,求淳+窿+y的最小值.

【答案】（1）2

⑵-3

⑶-5

【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非負(fù)性求出最小值即可；

（2）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非負(fù)性求出最小值即可；

（3）由尤->=1,可得，=>1,代入Y+3x+y中利用完全平方公式配方后，利用平方的非負(fù)性求出最小

值即可.

【詳解】（1）解：y2-6j+ll=y2-6y+9+2=（j-3）2+2,

（>-3）&0,

.?.（'-3）2+222.

/-6y+11的最小值是2.

（2）2/+80+5=2（/+4°）+5=2（/+4<2+4-4）+5=2（。+2）2-8+5=2（。+2）2-3,

2（a+2）2>0,

.-.2（<7+2）2-3>-3.

2a?+8a+5的最小值是-3.

（3）?：x-y=l,

y=x-l,

%2+3x+y=x2+3x+x—1=+4x—1=%2+4x+4—5=（%+2）—5,

（X+2）2>0,

.-.（X+2）2-5>-5.

V+3x+y的最小值-5.

【點睛】此題考查了運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計算，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

3.（2023春?廣東茂名?七年級統(tǒng)考期末）把代數(shù)式通過配方等手段得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式的非

負(fù)性這一性質(zhì)解決問題，這種解題方法叫做配方法.配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有廣泛

的應(yīng)用.如利用配方法求最小值，求/+6〃+8的最小值.

解：o"+6a+8=+6a+3?—3~+8=(a+3)~—1,因為不論ci取何值，(a+3)?總是非負(fù)數(shù),即(a+3)~20.

所以(a+3)2-12-l,所以當(dāng)a=-3時，。2+6°+8有最小值-1.

根據(jù)上述材料，解答下列問題：

(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：?2+14O+

(2)將爐一10%+27變形為(x-m)2+〃的形式,并求出爐-10%+27的最小值;

⑶若代數(shù)式N=-/+8a+l,試求N的最大值.

【答案】⑴7?

(2)X2-10X+27=(X-5)2+2,2

⑶17

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式求解；

(2)利用配方法求最小值；

(3)先對式子進(jìn)行配方化成完全平方式，求出最大值即可.

【詳解】(1)解：：a2+14a+49=(a+7)2,

故答案為：72.

(2)解：Vx2-10x+27=x2-10X+25+2=(X-5)2+2,

其中，(X-5)2>0,

.-.(x-5)2+2>2

x2-10x+27的最小值是2；

故答案為：2.

(3)角星：N=-a?+8a+1=--8。)+1=--8<7+16-16)+1

=-(O-4)2+17

.(o-4)2NO,

.-.-(a-4)2<0

-4)2+17<17

—a2+8<z+1的最大值是17.

【點睛】本題主要考查完全平方式的變換，根據(jù)式子進(jìn)行變換化成完全平方式是解題的關(guān)鍵.

【類型五平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用】

例題：（2023春?廣東揭陽?七年級統(tǒng)考期中）長為。的正方形中剪掉一個邊長為。的正方形（如圖1）,然后

將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）

（1）上述操作能驗證的等式是（請選擇正確的一個）

A.〃—2ab+Z??=(〃—

B.a?—/=(〃+—力

C.a2+ab=a(a+b)

（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下面習(xí)題:

①已知f_4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值；

②計算一……一

【答案】（1*

⑵①3；②2

【分析】（1）根據(jù)圖形可知，圖1中陰影部分的面積為：a2-b2,圖2的面積為長方形的長（a+6）乘以長方

形的寬（。-9，即可；

（2）①由（1）得，a?-b2=（a+b）（a-b）,貝1］尤2—49=（尤+2））（％—21），再根據(jù)x+2y=4,即可；②根

據(jù)/一〃=5+加5一力，貝...（1-5］卜一變形為

++++,根據(jù)第二項的分子和第三項的分母約分，第二

項的分母與第三項的分子約分，最后得進(jìn)行計算，即可.

【詳解】(1)...大正方形的邊長為：。，小正方形的邊長為：b,

陰影部分的面積為：a2-b\

由圖2可知，長方形的長為：(a+b),長方形的寬為：(。-3，

二組成的長方形的面積為：(a+b^a-b),

cT_Z?2=(a+6)(a_b),

故選：B.

(2)①由(1)得，a—-b~=(a+b)(a—b),

x2-4y2=(x+2y)(x-2y),

Vx2-4y2=12,尤+2y=4,

12=4(x-2y),

x-2y=3；

(2)—b~=(a+6)(a_b),

"20,

【點睛】本題考查平方差公式的幾何背景與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式并能靈活運(yùn)用.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023秋?河北邢臺?八年級校聯(lián)考期末)乘法公式的探究及應(yīng)用.

【探究】(1)將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成一個如圖2的長方形，通過比較圖1、圖2陰影部分

的面積，可以得到整式乘法公式_________；

【應(yīng)用】(2)運(yùn)用你所得到的乘法公式，完成下列齊題：

①若無2-9y?=12,x+3y=4,求x-3y的值；

②計算：102x98.

【拓展】⑶計算:『曰『打艱『擊

22

【答案】(1)(a+b)(a-b)=a-b;(2)①3；②9996；(3)黑

【分析】(1)根據(jù)圖1與圖2面積相等，則可列出等式即可得出答案；

(2)①由(1)可知x2-9y2=(x+3y)(x-3y),進(jìn)而代入相對于的值即可求解；

②將102x98變形為(100+2)(100-2),再應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計算即可；

(3)根據(jù)平方差公式將每個括號變形，即可求出答案.

【詳解】解：(1)大的正方形邊長為面積為小正方形邊長為6,面積為〃,，

???圖1陰影部分的面積為大的正方形面積減去小的正方形面積，

.?.圖1陰影部分面積=。2一方2,

圖2陰影部分面積=(。+6)(“-為，

圖1的陰影部分與圖2面積相等，

(a+Z?)(a—b)—ci~—/?2,

故答案為：(a+b)(a—b)="-次

(2)①*一9y2=(x+3y)(x-3y)=12,x+3y=4,

即：4x(x-3y)=12,

x—3y=3；

②102x98

=(100+2)(100-2)

=1002-22

=10000-4

=9996；

—_3x_1v_4y_2..sz2_0__2_3\z_2_0_2_1\z_2_0_2_4y_2_0_2_2

-22332022202220232023

12024

—x------

22023

1012

2023.

【點睛】本題考查平方差公式的幾何背景，靈活運(yùn)用平方差公式是解題的關(guān)鍵.

2.(2023春?廣東河源?七年級統(tǒng)考期末)如圖①，從邊長為〃的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形,

將陰影部分沿線剪開，如圖所示，拼成圖②的長方形.

⑴請你表示出圖①中陰影部分的面積:

請你表示出圖②中陰影部分的面積

(2)比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：

⑶請應(yīng)用公式計算：1一*][「**>*][1一擊(1一擊]

【答案f/；(a+b^a-b)

(2)a2-b2=(a+b)(a-b)

1012

⑶

2023

【分析】(1)圖①中陰影部分的面積是兩個正方形面積的差，圖②中陰影部分的面積是長為a+b,寬為a-b

的長方形面積；

(2)易得兩圖的陰影部分面積相等，即可列出式子；

(3)各項都應(yīng)用公式計算即可抵消，得到結(jié)果.

【詳解】(1)在圖①中，

???大正方形的面積為小正方形的面積為〃，

???陰影部分的面積為〃一片，

在圖②中，

:陰影部分為長方形，長為。+6,寬為a-b,

陰影部分的面積為(。+力(。-切；

故答案為：a2-b2,(a+b)(a-b)；

(2)?.?兩圖的陰影部分面積相等，

，可以得到乘法公式4=(a+b)(a-b)；

=-x—x—x—xX----------X-----------

223320232023

12024

—x----------

22023

1012

2023,

【點睛】本題考查平方差公式的幾何意義和平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用及熟練

掌握平方差公式.

3.(2023春?山東濰坊?七年級校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在邊長為，的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形

(?！盗Γ延嘞碌牟糠旨羝闯梢粋€矩形.

(1)通過計算兩個圖形的面積(陰影部分的面積)，可以驗證的等式是;(請選擇正確的一個)

A.4—2ab+/=(〃—b)2

B.6/2_Z/2=—Z?)

C.a+ab2=a(a+b)

D.a2-b2=（a-b~）2

（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：

①已知/-分2=12,x+2y=4,求x-2y的值.

②計算：（2。+42+62+82+102+122+---+1002）-（12+32+52+72+92+112+---+992）

【答案】（1*

（2）①3；②5050

【分析】（1）分別表示左圖和右圖中陰影部分的面積，根據(jù)面積相等得出結(jié)論；

（2）①由（1）中規(guī)律，利用平方差公式整體代入即可解得；

②通過觀察，此題數(shù)字具有一定規(guī)律，可用運(yùn)算定律把原式變?yōu)椋?/p>

（22-l2）+（42-32）+（62-52）+（82-72）+--+（1OO2-992）,

再運(yùn)用平方差公式，解決問題.

【詳解】（1）解：左圖中，陰影部分為正方形，面積為：a2-b2,

右圖陰影是拼成的長方形，長是：a+b,寬是：a-b,

所以右圖陰影部分面積為：（a+b）（a-b）,

由于左右兩圖面積相等，

所以有：〃-6）膏（a+6）（a-Z?）,

故答案為：B.

（2）解：①由（1）中規(guī)律，利用平方差公式可得：

x2-4y2=（x+2y）（x-2y）,

,「尤2_4y2=]2,x+2y=4,

.,.x—2y=12+4=3.

故答案為：3.

②通過觀察，此題數(shù)字具有一定規(guī)律，可用運(yùn)算定律將原式寫成：

（22-l2）+（42-32）+（62-52）+（82-72）+---+（1002-992）

=（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）+（6+5）（6-5）+（8+7）（8-7）+---（100+99）（100-99）

=3+7+11+15+…+199

=（3+199）x［（199-3）+4+l卜2

=202x50+2

=5050.

故答案為：5050.

【點睛】本題主要考查平方差的幾何背景和應(yīng)用，代數(shù)式求值，有理數(shù)混合運(yùn)算及數(shù)式規(guī)律問題，利用平

方差公式將代數(shù)式變形是關(guān)鍵.

【類型六完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用】

例題：（2023春?浙江紹興?七年級校聯(lián)考期中）圖1是一個長為2a、寬為助的長方形，沿圖中虛線用剪刀均

分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形.

aa

b\

b：

圖1

⑴觀察圖2,請你寫出下列三個代數(shù)式（“+6）2,,必之間的等量關(guān)系為.

⑵運(yùn)用你所得到的公式，計算：若如”為實數(shù),且7加=-6,〃=8,試求相+〃的值.

（3）如圖3,點C是線段A3上的一點，以AC、3c為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB=15,兩正方形的面積和

M+S2=60,求圖中陰影部分面積.

【答案】(l)(a-6)2=(a+b)2-4ab

（2）±2A/10

（3）S陰影=號

【分析】（1）由陰影部分的面積可得面積為（“-匕）2或（4+6）2-4M,從而可得答案；

（2）把〃掰=-6,機(jī)-〃=8代入,再利用平方根的含義可得答案;

22

(3)設(shè)AC=a,BC=b,而AB=15,+S2=60,可得a+6=15,a+b=60,可得15?=60+2°/?,從

而可得答案.

【詳解】（1）解：由陰影部分的面積可得：（a-b?,

或+-4ab,

(a-6)~=(a+fe)2-4ab；

(2)mn--6,m-n=8,

(m+ny=(m—n)-+4/7ZM=64-24=40,

m+n=±\/40=±2A/10；

(3)設(shè)AC=a,BC=b,而他=15,S,+S2=60,

a+b-15,a2+b2=60,

而(a+6)2=a2+2ab+b2,

,152=60+2"，

?h165

2

.c」-165

,?s陰影■

【點睛】本題考查的是完全平方公式及其變形與幾何圖形的面積，利用完全平方公式的表示求解代數(shù)式的

值，熟記完全平方公式的變形是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?河北廊坊?八年級廊坊市第四中學(xué)校考期中）圖①是一個長為2%、寬為2〃的長方形，沿圖中虛

線用剪刀分成四塊小長方形,然后按圖②的形狀拼成一個正方形.

mm

n

n

圖①

（1）圖②中陰影部分的正方形的邊長是」

（2）請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積:

方法1：_；方法2：_；

(3)觀察圖②，請寫出代數(shù)式(機(jī)+/,(帆-4，，〃〃之間的等量關(guān)系：

(4)根據(jù)(3)題中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知：a-b=5,ab=-3,求：(。+匕『的值；

【答案】(1)機(jī)一〃

(2)(7n—M)2,(/n+w)2-4mn

⑶(“2—=(/w+〃)~—47nn

(4)13

【分析】(1)由圖可知，圖②中陰影部分的正方形的邊長是小長方形長與寬的差；

(2)用正方形面積公式可表示陰影部分面積，根據(jù)陰影部分面積等于大正方形面積減去四個小長方形面積

可表示陰影部分面積；

(3)根據(jù)(2)中兩種方法表示的陰影部分面積相等，即可得出等量關(guān)系；

(4)由(3)可得=(。+才-4",將a—6=5,"=—3代入即可求解.

【詳解】(1)解：由圖可知：

圖②中陰影部分的正方形的邊長是：帆-“，

故答案為：m-n-,

(2)解：方法一：陰影部分面積=(機(jī)-“)2,

方法二：陰影部分面積=(m+n)2-4?”〃，

故答案為：(m-nf,(777+n)2-4mn；

(3)解：由(2)可得：陰影部分面積=(7"-nf=(m+〃)2-40惚，

(m—n)2=(m+n)2—4mn,

故答案為：=(m+n)2-4mn；

(4)解：由(3)可得:(a-b)2^(a+b)2-4ab,

^a-b=5,"=_3代入得：52=(^+&)2-4x(-3),

?I(4+6)2=13.

【點睛】本題主要考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，用不同的方法表示圖形面積，以及熟知完全

平方公式是解題的關(guān)鍵.

2.(2023春?山東濰坊?七年級統(tǒng)考期末)圖1是一個長為46,寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平

均裁成四塊小長方形，然后按如圖2所示的形狀拼成一個大正方形.

(1)圖2中的陰影部分正方形的邊長是_(用含a,b的代數(shù)式表示)；

(2)觀察圖1,圖2,能驗證的等式是：一(請選擇正確的一個)；

A.+=a2+2.ab+b2

B.(a-b)=er—2ab+b~

C.(a+6)2-4a0=(a-

⑶如圖3,C是線段AB上的一點，以AC,3c為邊向上分別作正方形4CDE和正方形BC/G,連結(jié)AF.若

AB=n,DF=5,求△AFC的面積.

【答案】⑴a-b

⑵C

⑶12

【分析】(1)根據(jù)圖2中的信息即可得出陰影部分正方形的邊長；

(2)根據(jù)大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個長方形的面積，進(jìn)行求解即可；

(3)設(shè)正方形ACDE的邊長為無，正方形8CFG的邊長為》根據(jù)圖形中的關(guān)系得出x+〉=ll,x-y=5,

再求解，最后利用三角形面積公式即可得出答案；

另解：設(shè)正方形ACDE的邊長為x,正方形3CFG的邊長為y,根據(jù)圖形中的關(guān)系得出x+〉=U,x-y=5,

利用(2)的結(jié)論直接代入即可孫=24,最后根據(jù)三角形面積公式即可得出答案.

【詳解】(1)圖2中的陰影部分正方形的邊長是

故答案為：a-b

(2)(a+b)2,(a-b)1成)之間的等量關(guān)系是：(。+>)2-4。。=(。-6)2,

故選：c.

(3)設(shè)正方形ACD石的邊長為心正方形BC尸G的邊長為y

x+y=ll,x-y=5,

^c=|AC-FC=1x8x3=12;

另解：設(shè)正方形ACDE的邊長為x,正方形BCFG的邊長為》

x+y=ll,x-y=5,

(x+y)2=(x-?+4孫，

112=52+4孫,

xy=24,

SMC=34。/0=3孫=12.

【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

3.(2023春?山東煙臺?六年級統(tǒng)考期中)如圖1是長為4小寬為6的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成

四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形(如圖2).

(1)你認(rèn)為圖2中陰影部分的正方形的邊長等于多少？.

⑵觀察圖2,請你寫出伍+療、g一/、必之間的等量關(guān)系是

9

(3)若x+y=5,xy=~,求(x-y9)的值；

(4)拓展：若(2022-回2+(m-2023)2=7,求(2022-機(jī))(加一2023)的值.

【答案】(1)僅一。)

(2)(。+Bp=(a—bp+4ab

(3)(x-y)2=16；

(4)-3

【分析】(1)由圖2可知，陰影部分的正方形的邊長為。-。)；

(2)根據(jù)圖2可知，大正方形面積等于內(nèi)部小正方形與4個小長方形的面積之和，分別用含。和b的代數(shù)

式表示可得出答案；

(3)由(1)可得出(x-y『=(x+y)2-4^,整體代入數(shù)據(jù)即可得出答案；

(4)設(shè)2022—m=m-2023=y,貝i]x+y=-L,x2+y2=7,利用完全平方公式即可求解.

【詳解】(1)解：由圖2可知，陰影部分的正方形的邊長為e-。)；

故答案為：(b-a)；

(2)解：大正方形的邊長為(a+9，陰影部分的正方形的邊長為e-a),小長方形的長為6,寬為a,

大正方形的面積為(a+b)2,小正方形的面積為他-a)：小長方形的面積為必，

由題可知，大正方形面積等于小正方形與4個小長方形的面積之和，

即(a+力=(b—a)~+4a6=(a—力了+4“。.

故答案為：(。+6)2=(“一6)2+447；

9

(3)解：?.?x+y=5,xy=-,

4

o

二?(x-y)9=(%+丁9)-4xy=52-4?—16；

(4)解：設(shè)2022=兀，m-2023=y,

???(2022-m)2+(m-2023)2=7,

x+y=-l,x2+y2=1,

(x+j)2=x2+y2+2xy=7+2xy=1,

(20222023)=q=9=-3,

故答案為：-3.

【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，理解圖形中各部分面積之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【類型七十字相乘法因式分解】

例題：(2023春?安徽阜陽?七年級?？茧A段練習(xí))閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式；2/一工一3.

第一步：二次項系數(shù)2可以寫成1x2,常數(shù)項-3可以寫成-1x3或1x(-3)；

第二步：如下圖，畫“x”號，將1、2寫在“x”號左邊，將一1、3或1、-3寫在“x”號的右邊，共有如下圖的四

種情形：

,V1'V1'V3

2K32人32人2人

①②③④

第三步：驗算“交叉相乘兩個積的和”是否等于一次項的系數(shù)：

①的系數(shù)為lx3+2x(—l)=l；②的系數(shù)為1x(-3)+2xl=T；

③的系數(shù)為lxl+2x(-3)=—5；④的系數(shù)為lx(-l)+2x3=5.

顯然，第②個“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)，因此有：2/一x-3=(x+l)(2x-3).像這樣，通過十

字交叉線幫助，把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

問題：

⑴分解因式：3/-14x-5;

①完善下圖中“x”號右邊的數(shù)使得；“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)；

②分解因式：3爐-14尤一5=:

(2)分解因式：10X2+7X-12.

①完善橫線上的數(shù)字；

【答案】(1)①見解析;②(x-5)(3x+l)

(2)①見解析；②(2x+3)(5x—4)

【分析】(1)(2)①根據(jù)“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)填寫橫線上的數(shù)；②根據(jù)所填數(shù)字，仿照材

料分解即可.

【詳解】（1）解：①;

@3x2-14x-5=（x-5）（3x+l）；

②10d+7x-12=（2%+3）（5%-4）.

【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，解題的關(guān)鍵是讀懂材料,理解十字相乘法的計算方法.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?廣西北海?七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解

2

ax+ZZX+C=（611X+C1）（612X+C2）

q、（qx+cj

a2/（。2%+。2）

+a2cl=b

例如：2X2—x—3=（x+l）（2x—3）求：

（l）x2-x-6

（2）3X2+5X-12

【答案】（l）（x-3）（x+2）

（2）（3尤-4）（九+3）

【分析】（1）根據(jù)題干中解題過程，對二次項系數(shù)、常數(shù)項分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項系數(shù)

即可求解；

（2）根據(jù)題干中解題過程，對二次項系數(shù)、常數(shù)項分別分解,交叉相乘再相加，湊成一次項系數(shù)即可求解.

13（x-3）

【詳解】（1）解：如圖，X

/、2（X+2）

九2—x—6=(%—3)(九+2)

3-4(31)

⑵解：如圖，x

]/、3(x+3)

3f+5x_12=(3x-4)(尤+3).

【點睛】本題考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步驟是解題的關(guān)鍵.

2.(2023春?廣西梧州?七年級統(tǒng)考期中)閱讀理解題

在因式分解中有一種常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，這個方法其實就是運(yùn)用乘

法公式運(yùn)算來進(jìn)行因式分解，

基本式子為：x2+(a+Z?)x+fl&=(x+o)(%+Z?),

例如：分解因式尤2一8X+12,12=(-2)x(-6),

X—2

按此排列：―、交叉相乘，乘積相加等于-8X，

得到％2-8x+12=(x-6)(x-2),這就是十字相乘法.

利用上述方法解決下列問題：

(1)分解因式：x2+4.X-12；

⑵先分解因式，再求值：(/+24)2-2(/+2〃)-3,其中a=2.

【答案】(D(X+6)(X-2)

(2)(a+3)(a-l)(a+l)2,45

【分析】(1)根據(jù)十字相乘法進(jìn)行因式分解即可；

(2)先運(yùn)用式子相乘法進(jìn)行因式分解，再代入求解.

【詳解】(1)解：d+4x-12=(x-2)(x+6)；

(2)+2a『-2(a'+2a)-3

=(a-l)(a+3)(a+l)"

當(dāng)a=2時，原式=(2-l)x(2+3)x(2+iy=45.

【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵.

3.(2023春?湖南岳陽?七年級統(tǒng)考期末)閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式2/一彳一3的方法(如圖).

第一步：二次項2尤2=尤.2-

第二步：常數(shù)項-3=-1x3=1x(-3),畫“十字圖”驗算“交叉相乘之和”；

(-l)x2x+3,x=x3x2x+(T)x=5x

①②

1x2x+(-3)x=-x-3x2x+l-x=-5x

③④

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項T.

即2x2-x-3={x+l)(2x-3).

像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”.

運(yùn)用結(jié)論：

⑴將多項式/-尤-2進(jìn)行因式分解，可以表示為尤2一彳一2=；

(2)若3尤?+px+5可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)。的所有可能值.

【答案】(1)(%+1)(尤-2)

(2)圖見解析,。=-8,-16,8,16

【分析】(1)根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可；

(2)根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可.

【詳解】(1)解：；常數(shù)項-2=(-l)x2=lx(-2),

Lx+(-2)?尤=-x,

x~_x_2=(x+l)(x—2),

故答案為:(尤+D(x-2)；

(2)解：3x2=3x-x,常數(shù)項5=(-l)x(-5)=lx5,

畫“十字圖,,如下：

X\/-1X\/-5X\/1X\/5

3x^^-l3x，^5］

(-l)x3x+(-5)x=-8x(-5)x3x+(-1)-x=-16xlx3x+5-x=8x5x3x+lx=\6x

■■p=-8,—16,8,16.

【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解題的關(guān)鍵.

4.(2023春?陜西榆林?八年級統(tǒng)考期末)閱讀下列材料：將一個形如d+px+q的二次三項式因式分解時,

如果能滿足4=加且則可以把N+px+q因式分解成(X+m)(X+幾).

例如：(1)%?+4%+3=(犬+1)(%+3)；(2)%2—4x—12=(x—6)(%+2).

根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解.

(l)x2—6x+8;

(2)%2—2XT15;

(^3)(九-4)(X+7)+18.

【答案】⑴大一2)(犬—4)

(2)(x+3)(x-5)

(3)(尤-2)(尤+5)

［分析］根據(jù)x2+(m+ri)x+mn=(x+m)(x+ri)進(jìn)行解答即可.

【詳解】(1)解：九2一6%+8=(九一2)(%—4)；

(2)解：f—2%—15=(x+3)(x—5)；

(3)解:(x—4)(x+7)+18=f+3%-10=(%—2)(尤+5).

【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，運(yùn)用十字相乘法分解因式時，要意觀察，嘗試，并體會它實質(zhì)

是二項式乘法的逆過程，注意分解因式一定要徹底.

5.(2023春?七年級單元測試)閱讀材料：根據(jù)多項式乘多項式法則，我們很容易計算：

(x+2)(x+3)=x?+5x+6；(%-l)(x+3)=尤2+2,x—3.

而因式分解是與整式乘法方向相反的變