三角形全等、相似及綜合應(yīng)用模型-2025年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（解析版）

專題06三角形全等、相似及綜合應(yīng)用模型

題型解族?模型構(gòu)建?通關(guān)試練

題筌仙裱

與三角形有關(guān)的線段應(yīng)用

三角形全等、相似及綜合應(yīng)用

三角形相似的判定及綜合應(yīng)用

三角形折疊問(wèn)題探究

三角形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題探究(手拉手、半角模型)

三角形的相關(guān)知識(shí)是解決后續(xù)很多幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)，所以是中考考試的必考知識(shí)點(diǎn)。在考察題型上,

三角形基礎(chǔ)知識(shí)部分多以選擇或者填空題形式，考察其三邊關(guān)系、內(nèi)角和/外角和定理、“三線”基本性質(zhì)等。

特殊三角形的性質(zhì)與判定也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特

征總結(jié)的，且等腰三角形單獨(dú)出題的可能性還是比較大。直角三角形的出題類型可以是選擇填空題這類小

題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問(wèn)題的幾何背景進(jìn)行拓展延伸。

模型01與三角形有關(guān)的線段應(yīng)用

高(AD)中線(AD)角平分線(AD)中位線(DE)

A小

△zK

B0CBDC

BD二CD

1AD=DBAE=EC

ZBAD=ZDAC=-Z

NADB=NADC=90。SAABD=SAADC

BAC1

DE=-BCDE//BC

CAACD一CAABD=AC-AB

模型02與三角形有關(guān)的角的應(yīng)用

(1)三角形的內(nèi)角：

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大

于0。且小于180°.

(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.

(3)三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角.在轉(zhuǎn)化中借助平

行線.

(4)三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法

求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

(2)三角形的外角：

(1)三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì).

(2)三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360。.

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

(3)若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去.

(4)探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開(kāi)始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角.

模型03三角形全等的判定及應(yīng)用

(1)全等三角形的定義：

全等的圖形必須滿足：(1)形狀相同；(2)大小相等

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。全等用符號(hào)“會(huì)”表示，讀作“全等于”。

注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。

(2)全等三角形的性質(zhì)：

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等。

(3)全等三角形的判定：

(1)兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”)

(2)兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”)

(3)兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

（簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）

（4）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）。

模型04三角形相似的判定及綜合應(yīng)用

（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法.相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X，型，如圖所示在應(yīng)用時(shí)

要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形.

（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；

（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;

（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

模型05三角形折疊問(wèn)題探究

模型06三角形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題探究（手拉手、半角模型）

該模型重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)中的兩類全等模型（手拉手、半角），結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合

經(jīng)典例題和專項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時(shí)規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力。

（1）手拉手模型：

將兩個(gè)三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，

也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左

手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。

手拉模型解題思路：SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。

（2）半角模型:

1、半角模型概念：過(guò)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。

2、模型特征：等線段，共端點(diǎn)，含半角

3、思想方法：通過(guò)旋轉(zhuǎn)（或截長(zhǎng)補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。

4、解題思路：一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，

然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出

現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論。

^結(jié)?牌筌腌建

模型01與三角形有關(guān)的線段應(yīng)用

考I向I預(yù)I測(cè)

與三角形有關(guān)的線段應(yīng)用該題型近年主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以

基礎(chǔ)或中檔題為主。解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是了解三角形的高線、角平分線、中線、中位線的性質(zhì)，結(jié)合

三角形的性質(zhì)及相關(guān)判定定理與推論進(jìn)行解題。

答I題I技I巧

第一步：根據(jù)題意，判定所考察的知識(shí)點(diǎn)

第二步：結(jié)合三角形的高線、角平分線、中線、中位線的性質(zhì)進(jìn)行解題；

第三步：進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問(wèn)題

I題型三例

例1.（2022.安徽）如圖，AD和BE是ABC的中線，則以下結(jié)論：?AE=CE；②。是J1BC的重心；③

△ABD與ACD面積相等；④過(guò)CO的直線平分線段A3；⑤ZABE=NCBE；@AD=BE,其中正確的結(jié)

論有（）

A

A.①②③⑤B.①②③④C.②③⑥D(zhuǎn).①②⑤⑥

【答案】B

【詳解】解：；AD和的是ABC的中線，

:.D,E分別為BC,AC的中點(diǎn)，

/.AE=CE,BD=CD,故①正確；

：AD和BE是ABC的中線，

...點(diǎn)。是一ABC的重心，故②正確；

BD=CD,

=

SABDSACD,故③正確;

:點(diǎn)。是,ABC的重心，

...過(guò)CO的直線平分線段AB,故④正確；

根據(jù)已知條件無(wú)法判定=AD=BE,故⑤，⑥錯(cuò)誤.

故選：B.

例2.（2023?遼寧）如圖：在AABC中，ZABC=45°,AD,BE分別為BC、AC邊上的高，AD.BE相交于

點(diǎn)F.下列結(jié)論：①NFCD=45。；②AE=EC；③S?BF：S^AFC=AD-.FD；④若BF=2EC,則BC=

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②

【答案】A

【詳解】解：,.NDLBC,

ZADB=ZADC=90°,

'：ZABC=45°,

ZBAD=90°-ZABD=45°,

：.AD=BD,

'：BE±AC,

AZBEC=90°,

：.ZEBC+ZACB=90°,

■:NEBC+NBFD=9Q°,

ZBFD=ZACB,

：./\BDF^AADC(A4S),

:,DF=CD,

：.ZFCD=Z￡>FC=45°,

故①正確；

9：BELAC,

：.AE^ECf

故②不正確；

e-^AF-BD

?-bAABF_BD

SAAFCyAF'CDCD

S^ABF'S"FC=AD：FD,

故③正確；

■:ABDF^AADC,

：.BF=AC

?；BF=2EC,

：.AC=2EC,

???E為AC的中點(diǎn)，

9：BELAC,

???BE為線段AC的垂直平分線，

：.BA^BC,

故④正確，

所以，正確結(jié)論的序號(hào)是：①③④,

故選：A.

模型02與三角形有關(guān)的角的應(yīng)用

考I向I預(yù)I測(cè)

與三角形有關(guān)的角的應(yīng)用該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中得分率較

高。主要考查了三角形的內(nèi)角和是定理，三角形的外角定理及結(jié)合三角形角平分線的定義，三角形高

的定義等看，靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行角度的計(jì)算是解答此題的關(guān)鍵=

答I題I技I巧

第一步：直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；

第二步：依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；

第三步：在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角；

第四步：若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去.

I題型守例

例1.（20023?浙江）如圖AABC,已知BE為N4BC的平分線.若=62。，比4ABC大10。，求NBEC

的度數(shù)是（）

114°C.46°D.103°

【答案】D

【詳解】解：:BE平分乙1BC,且乙4BC=62。,

"BE=*BC=31。,

???NA比N4BC大10。,

ZX=72°,

???Z.BEC=Z.A+乙ABE,

二.乙BEC=720+31°=103°.

故選：D.

例2.（2023?吉林）如圖，在A4BC中，4D平分ABAC,點(diǎn)E在射線BC上，EFLAD^F,ZB=46°,

NACE=80°,則NE的度數(shù)為（）

BDCE

A.22°B.27°C.53°D.63°

【答案】B

【詳解】,：AACE=^B+ABAC,

：.Z.BAC=AACE一乙B=80°-46°=34°

??,/O平分/

i

???乙DAB=-Z.BAC=17°,

2，

A/.ADC=48+/.DAB=46°+17°=63°

*：EF1AD,

：ZEFD=90°,

AZE=90°-Z.ADC=90°-63°=27°,

故選:B.

模型03三角形全等的判定及應(yīng)用

考I向I預(yù)I測(cè)

三角形全等的判定及應(yīng)用該題型近年考試中綜合性較高，在各類考試中以解答題為主。解這類問(wèn)題的

關(guān)鍵是準(zhǔn)確迅速的在全等三角形的5種判定方法中，選用合適的方法，取決于題目中的已知條件，若

已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等,

且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊。

答I題I技I巧

第一步：認(rèn)真分析題目的已知和求證；

第二步：分清問(wèn)題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系；

第三步：在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線

構(gòu)造三角形；

第四步：最后把實(shí)際問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，其中，畫(huà)出示意圖，把已知條

件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

［題型三例

例1.（2023?上海）如圖，點(diǎn)尸是鉆上任一點(diǎn)，ZABC=ZABD,從下列各條件中補(bǔ)充一個(gè)條件，不一定

能推出AAPC三AAPD的是（）

A.BC=BDB.ZACB=ZADBC.AC=ADD.ZCAB=ZDAB

【答案】C

【詳解】解：A、補(bǔ)充5C=BD,先證出AABCMAABD,后能推出AAPC二AAPD,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、補(bǔ)充NACB=NAPB,先證出AA5C=AABD,后能推出A4?AAPD,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C、補(bǔ)充AC=AT）,不能推出AAPC與AAPD,故此選項(xiàng)正確；

D、補(bǔ)充NC4B=NDW,先證出A/WC二AABD,后能推出AAPC二AAPD,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

例2.（2023?安徽）如圖，點(diǎn)。、石分別在Afi、AC上，BE與CO相交于點(diǎn)O,連接40,如果

AB=AC,AD=AE,那么圖中的全等三角形共有對(duì).

【答案】5

【詳解】解：在AAB石和AACD中,

AB=AC

<ZBAE=ZCAD,

AE=AD

:.^ABE=^ACD(SAS),

:.BE=CD,ZABE=ZACD,

AB=AC,AD=AE,

:.BD=CE,

在ABO。和ACO石中，

/BOD=ZCOE

<ZDBO=NECO,

BD=CE

/.ABOD=ACOE(AAS),

在ABCD和AC6后中,

BD=CE

CD=BE,

BC=CB

:.ABCD=ACBE(SSS),

同理可得AAOD3AAOE,AAOB^AAOC,

綜上所述，圖中的全等三角形共有5對(duì).

故答案為：5.

模型04三角形相似的判定及綜合應(yīng)用

考I向I預(yù)I測(cè)

三角形相似的判定及綜合應(yīng)用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在與圓結(jié)合或

者利用相似求長(zhǎng)度、類比探究題型，具有一定的綜合性和難度。解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用三角形

的判定方法，兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似；兩組邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等，兩個(gè)三角形相似；三

組邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理以及數(shù)形結(jié)合和方

程思想的應(yīng)用.

答I題I技I巧

第一步：認(rèn)真分析題目的已知和求證；

第二步：分清問(wèn)題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系；

第三步：在應(yīng)用三角形相似的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線

構(gòu)造三角形；

第四步：最后把實(shí)際問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，其中，畫(huà)出示意圖，把已知條

件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

|轂型三例

例1.(2023?山西)如圖，AB//CD,AE//FD,AE,ED分別交BC于點(diǎn)G,H,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

)

DHCH「GECGAFHGFH_BF

A___=___B___=___D.

FHBH?DFCB~CE~~CGAG-E4

【答案】D

【詳解】解：???A3〃CD,

DHCH

FH-BH'

A選項(xiàng)正確，不符合題目要求;

AE〃DF,

ZCGE=ZCHDfZCEG=ZD,

bCEGsACDH,

GECG

EGDH

~CG~~CH"

AB//CD,

CHDH

~CB~~DF"

DHDF

~CH~~CB"

GEDF

~CG~~CB"

GECG

而一蒼，

B選項(xiàng)正確，不符合題目要求;

AB〃CD,AE〃DF,

四邊形A皮甲是平行四邊形，

AF=DE,

AE〃DF,

DEGH

~CE~~GC"

.AF_HG

^~CE=~CG；

?,?C選項(xiàng)正確，不符合題目要求；

?：AE〃DF,

：.ABFHS^BAG,

,FHBF

??前一耘’

9

\AB>FAf

.FHBF

,,------w—

AGFA

，D選項(xiàng)不正確，符合題目要求.

故選D.

例2.（2023?安徽）圖，AB〃GH〃CD,點(diǎn)H在BC上,AC與BD交于點(diǎn)G,AB=2,CD=3,求G”的

長(zhǎng).

【答案】|

【詳解】解：

；?NA=/HGC,ZABC=ZGHC,

:,bCGHs/\CAB,

.GHCH

**AB-BCJ

■:GH//CD,

：.ZD=ZHGBfNDCB=NGHB,

△BGHsABDC,

,GHBH

^~CD~~BC"

.GHGHCHBH.

*ABCD~BCBC~

U

：AB=29CD=3,

.GHGH

??----1-----

23

解得：GH=—.

模型05三角形折疊問(wèn)題探究

考I向I預(yù)I測(cè)

與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算該題型近年主要以填空及綜合性大題的形式出現(xiàn)，一般屬于多解型問(wèn)題,

難度系數(shù)較大。三角形的折疊問(wèn)題注意折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，在多解題型中，準(zhǔn)確畫(huà)出

折疊后的圖形是我們解題的關(guān)鍵。結(jié)合三角形相關(guān)的性質(zhì)及判定定理與推論和其它幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

進(jìn)行解題。

答I題I技I巧

第一步：運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；

第二步：在圖形中找到一個(gè)直角三角形（選不以折痕為邊的直角三角形），然后設(shè)圖形中某一線段

的長(zhǎng)為X,將此直角三角形的三邊長(zhǎng)用數(shù)或含有X的代數(shù)式表示出來(lái)；

第三步：利用勾股定理列方程求出X；

第四步：進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問(wèn)題.

|題型三停I

例1.（2023?山東）對(duì)于題目：“如圖，點(diǎn)N分別是長(zhǎng)方形ABCD的邊和3c上的點(diǎn)，沿折疊長(zhǎng)

方形ABCD,點(diǎn)8落在點(diǎn)9處，若與/CNB，兩個(gè)角之差的絕對(duì)值為45。，確定的所有度

數(shù).”甲的結(jié)論是N2NM=45。，乙的結(jié)論是N2MW=60。.下列判斷正確的是（）

A.甲的結(jié)論正確

B.乙的結(jié)論正確

C.甲、乙的結(jié)論合在一起才正確

D.甲、乙的結(jié)論合在一起也不正確

【答案】D

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知：ZMNB'=ZBNM,

①當(dāng)NMNB，與NCNB，兩個(gè)角之差為45°,即/CNQ+45。時(shí)，ZCNB'=ZMNB'-45。=NBNM-

45°,

ZMNB'+ZMNB+ZCNB'=180°,

ZBNM+ZBNM+ZBNM-45°=180°,

解得：ZBNM=15°,

②當(dāng)/CN9與NMNB，兩個(gè)角之差為45。，即NCN8-45。時(shí)，ZCNB'=ZMNB'+45°=Z

BNM+45°,

"：ZMNB'+ZMNB+ZCNB'=180°,

ZBNM+ZBNM+ZBNM+450=180°,

解得：/BNM=45°

綜上所述：/BMW=75?；?5。.

故選：D.

例2.（2023?湖北）如圖，AABC中，點(diǎn)。是BC上一點(diǎn)，將△ABO沿著AO翻折，得至以ADE,AE交BC于

點(diǎn)?若AEL3C,點(diǎn)。到A3的距離等于（）

A.DFB.DBC.DCD.CF

【答案】A

【詳解】解：由折疊可知：NBAD=NEAD,

'：DF±AE,

.?.點(diǎn)。到A2的距離等于DR

故選：A.

模型06三角形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題探究（手拉手、半角模型）

考I向I預(yù)I測(cè)

三角形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題探究（手拉手、半角模型）該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度,

本專題重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)中的兩類全等模型（手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)模型），結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變

與不變，并結(jié)合經(jīng)典例題和專項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時(shí)規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)

的綜合解題能力。

答I題I技I巧

第一步：找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中心；

第二步：確定以旋轉(zhuǎn)中心為頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)角所在的兩個(gè)三角形不是全等就相似，全等的常用

方法SAS；

第三步：學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題；

第四步：數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答

例1.如圖所示，在R3ABC中，AB=AC,D、E是斜邊BC上的兩點(diǎn)，且/DAE=45。，將AADC

繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。后得到AAFB,連接EF,有下列結(jié)論：①BE=DC；②NBAF=N

DAC；③NFAE=/DAE；④BF=DC.其中正確的有（）

【答案】C

【詳解】解：:△ADC繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到AAFB,

AABF^AACD,

AZBAF=ZCAD,AF=AD,BF=CD,故②④正確，

ZEAF=ZBAF+ZBAE=ZCAD+ZBAE=ZBAC-ZDAE=90°-45°=45°=ZDAE故③正確

無(wú)法判斷BE=CD,故①錯(cuò)誤，

故選：C.

例2.（2023?湖南）如圖1,在RdABC中，ZB=90°,AB=BC=4,點(diǎn)D,E分別為邊AB,上的中

點(diǎn)，且BD=BE=5/2.

(2)如圖3,DE//BC,連接AE,判斷AEAC的形狀，并求出EC的長(zhǎng);

(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)ABOE,當(dāng)/AEC=90。時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出EC的長(zhǎng).

【答案】(1)EC=AD,EC，AD(2)等腰三角形，710(3)71511

【詳解】

(l)EC與AD垂直且相等，理由如下：

延長(zhǎng)CE交A。于F,交AB于O,

圖2

,/△2OE和AABC都是等腰直角三角形，

：.BD=BE,AB=BC,ZDBE=ZABC=90°,

：.NABD=ZCBE,：.AABD空△CBE(SAS),

:./BCE=/BAD,CE=AD,

,/ZAOF=ZBOC,：.ZAFE=ZABC=90°,

：.AD±CE,；.故答案為：EC=AD,EC.LAD；

(2)設(shè)。E與AB的交點(diǎn)為H,

,:BD=BE,，AB是DE的垂直平分線，：.AD=AE,由(1)知AD=CE,

.?.AE=CE,.?.△ACE是等腰三角形，

?/BE=72,BH=HE=1,：.AH=AB-BH=4-1=3,

在放AAHE中，由勾股定理得：AE=4AH2+HE2=M，:.CE=AE=M；

(3)如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在BC上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)3作BGLOE于G,

VZAEC=9Q°,CELAD,；.A、E、。三點(diǎn)共線，

2

.'.AG=Y/AB-BG2=A/15，.'.AD=AG+DG=V15+1,

.-.CE=AD=V15+1;如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BC下方時(shí)，

同理可得CE=CG-GE=岳-1.綜上：CE=JI?+1或岳-1.

京建,髓化疝I緣、

1.（2022?廣東）如圖，AABC中，CD平分/ACB,點(diǎn)M在線段CD上，且MALLCD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

N.若/B=30。，ZCAN=96°,則/N的度數(shù)為（）

A.22°B.27°C.30°D.37°

【答案】B

【詳解】解：如圖所示，/MLC是三角形ABC的一個(gè)外角,

，ZNAC=ZB+ZACB,即ZACB=ZNAC-ZB；

?.,CD平分乙4CB,

ZACD=ZDCB=^ZACB,

2

VZB=30°,NCAN=96°,

：.ZACD=1.ZACB=^-(96°-30°)=33°,

22

\'MN±CD,

在直角三角形OMC中，

ZCOM=90°-33°=57°,

,?ZNOA與/COM互為對(duì)頂角，

ZNOA=ZCOM=51°,

2.（2023?貴州）如圖，小明從一張三角形紙片ABC的AC邊上選取一點(diǎn)N,將紙片沿著B(niǎo)N對(duì)折一次使得

點(diǎn)A落在4處后，再將紙片沿著84對(duì)折一次，使得點(diǎn)C落在8N上的C處，已知/CMB=68。，ZA=18°,

則原三角形的/C的度數(shù)為（）

【答案】A

【詳解】解：如圖,

由題意得：XABN9XNBN,4CBNmMBM.

.\Z1=Z2,Z2=Z3,ZCMB=ZC'MB=68°.

，N1=N2=N3.

ZABC=3Z3.

又：Z3+ZC+ZCMB=18O°,

.\Z3+ZC=180°-ZCMB=180°-68°=112°.

又,/ZA+ZABC+ZC=180°,

；.18°+2/3+（Z3+ZC）=180°.

.?.18o+2Z3+112o=180°.

.\Z3=25°.

.\ZC=112°-Z3=112°-25°=87°.

故選：A.

3.（2023?陜西）如圖，在RSABC中，ZABC=90°,以AC為邊，作△AC。，滿足AO=AC,E為BC上一

點(diǎn)，連接AE,ZCAD=2ZBAE,連接DE,下列結(jié)論中：?ZADE=ZACB；?ACLDE；③/AEB=/

AED；?DE=CE+2BE.其中正確的有（）

A.①②③B.③④C.①④D.①③④

【答案】D

【詳解】解:如圖，延長(zhǎng)E3至G,使BE=BG,設(shè)AC與DE交于點(diǎn)

,/ZABC=90°,

J.ABLGE,

.?.AB垂直平分GE,

：.AG=AE,ZGAB=ZBAE^^ZDAC,

2

；ZBAE=^ZGAE,

2

：.ZGAE=ZCAD,

：.ZGAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,

：.ZGAC=ZEAD,

在AGAC與AEAD中，

AG=AE

-ZGAC=ZEAD-

AC=AD

.".△GAC^AEAD(SAS),

：.ZG=ZAED,ZACB=ZADE,故①是正確的；

"：AG=AE,

：.ZG=ZAEG=ZAED,故③正確；

；.AE平分/BE。，

當(dāng)/24石=/胡。時(shí)，ZAME=ZABE=90°,則AC_LDE,

當(dāng)/54EW/E4c時(shí)，ZAME^ZABE,則無(wú)法說(shuō)明AC_LZ)E,故②是不正確的;

,/△GAC^AEAD,

/.CG=DE,

*：CG=CE+GE=CE+2BE,

：.DE=CE+2BE,故④是正確的,

綜上所述：其中正確的有①③④.

故選：D.

4.（2023?四川）如圖，在直角AABC中，AB=9,BC=6,ZB=90°,將AABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)

【答案】B

【詳解】解：設(shè)A7V=x,由翻折的性質(zhì)可知。N=AN=x,則3N=9-尤.

?；￡）是BC的中點(diǎn)，

x6=3.

在RSBDN中，由勾股定理得：ND2=NB~+BD2,即（9-%）2+33,

解得：x=5.

AN=5.

故選：B.

5.（2023?重慶）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作Z￡4F=45。，AE交BC于點(diǎn)E,AF交CO于點(diǎn)

F,連接斯，將△?1￡）/繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到_ABG,若BE=2,則斯的長(zhǎng)為.

【答案】5

【詳解】解：?.?四邊形ABCD是正方形，且邊長(zhǎng)為6,

CD=BC=6,ZC=ZABC=ND=90°,；/\ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到「ABG,

：.BG=DF,AG=AF,ZGAF=ZABC=ZD=90°,.?.點(diǎn)G、B、E三點(diǎn)共線，

VZE4F=45°,AZGAE=ZFAE^45°,VAE=AE,^.GAE^FAE,：.GE=EF,

設(shè)GB=DF=x,則有6尸=6-尤,6￡=4,￡尸=尤+2,.?.在Rt^ECF中，由勾股定理可得

EC2+CF2=EF2,

即16+(6-X)2=(X+2)2,解得：x=3,AEF=5；

故答案為5.

6.（2023?山東）如圖，_ABC中，點(diǎn)。在AB上，/B=2NBCD,若BD=2,BC=5,則線段8的長(zhǎng)

為.

AC

【答案】疝

【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)CB到E,使BE=BD,連接DE,

/E=/EDB

'：ZDBC=2NBCD,NDBC=ZE+ZEDB,

/E=NDCB=/EDB,

：.EDBECD,CD=ED

EDCl即ED2

2+5-ED'

解得：ED=CD=s/^，

故答案為：V14.

7.（2023?上海）等邊AABC中，點(diǎn)尸在AABC內(nèi)，點(diǎn)。在AABC外，且NABP=NACQ,BP=CQ,問(wèn)

AAP。是什么形狀的三角形？試說(shuō)明你的結(jié)論.

B

【答案】等邊三角形.

【詳解】解：AAPQ為等邊三角形.

證明：AABC為等邊三角形，

AB=AC.

在AABP與AACQ中，

AB=AC

<ZABP=ZACQ,

BP二CQ

:.\ABP=\ACQ{SAS）.

/.AP=AQ,NBAP=NCAQ.

ZBAC=ZBAP-hZPAC=60°,

ZPAQ=ZCAQ+ZPAC=60°,

AAPQ是等邊三角形.

8.（2022?安徽）如圖，在△ABC中，。為3c邊上的一點(diǎn)，且AC=2指，CD=4,BD=2,求證：zkACOs

△BCA.

【答案】證明見(jiàn)解析.

【詳解】解：???AC=2?，。。=4,BD=2

,AC二瓜CD_4_V6

*BC-4+2-3-AC~2y/6~3

.ACCD

*BC-AC

vzc=zc

JAACD^ABCA.

9.（2023?西安）如圖，在△ABC中，N3=42。，NC=68。，點(diǎn)E為線段A3的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在邊AC上，連

接EF,沿EF將△AM折疊得至IJ△尸及;

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸落在上時(shí)，求N5石尸的度數(shù)；

（2）如圖2,當(dāng)PTLL4c時(shí)，求NAEF的度數(shù).

【詳解】解：(1)...△AE尸沿斯折疊得到APER

/.AAEF^APEF,

：.AE=PE,

?，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，

：.AE=PE,

：.BE=EP,

：./B=NEPB=42°,

：.ZBEP=180°-ZB-ZEPB=180°-42°-42°=96°；

(2)由(1)得AAEF出APEF,

又；尸/UAC,

NA尸尸=90。，

/AFE=NPFE=工/AFP=45。,

2

VZB=42°,ZC=68°,

Z.ZBAC=180°-ZB-ZC=70°,

在△4EF中，ZAEF=ZPEF=180°-ABAC-ZAFE=65°.

10.(2023?江蘇)已知直線MN與尸?；ハ啻怪?，垂足為。，點(diǎn)A在射線。。上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)3在射線上運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)A、B均不與點(diǎn)O重合.

圖1圖2

【探究】如圖1,A/平分NBA。，2/平分NA20.

①若/BAO=40。，^\ZABI=25°.

②在點(diǎn)A、8的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，NA/B的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求出/A①的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【拓展】如圖2,4/平分/胡。交08于點(diǎn)/,BC平分NABM,BC的反向延長(zhǎng)線交A/的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D在

點(diǎn)A、8的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，/ADB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，直接寫(xiě)出/AO8的度數(shù)；若變化，直接

寫(xiě)出ZADB的度數(shù)的變化范圍.

【答案】(1)25°；(2)不變，ZA7B=135°；不變，ZADB=45°

【詳解】解：【探究】①；MNLPQ,

：.ZAOB^90°,

,：ZBA(9=40°,

ZABO=90°-ZBAO=50°,

?.?平分NABO,

ZABI=^ZABO=25°；

2

故答案為：25；

②不變，ZAIB=135°.

平分/BAO,8/平分/ABO,

ZOBI=ZABI-|ZOBA-ZOAI=ZBAI-|ZOAB-

ZBIC=1800-ZIBA-ZIAB=18O°yZOBA-yZOAB

180°-y(Z0BA+Z0AB)=180o-y(1800-ZBOA)=180°-90°卷/BOA，

???直線MN與尸?；ハ啻怪?，垂足為O,

ZAOB=9Q°,

?■?ZAIB=90°+j-X90°=135°-

【拓展】不變，ZADB=45°,理由如下：

A/平分NBA。，BC平分/ABM,

：.ZCBA=^-ZMBA,ZBAI=^ZBAO,

22

VZCBA=ZADB+ZBAD,ZAOB=90°,

：.ZADB=ZCBA-ZBAD=^ZMBA-^ZBAO=^-(NMBA-NBAO)=工乙408=匕90。=45。，

22222

.?.點(diǎn)A、8在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，ZADB=45°.

支式?題型,逼美

1.如圖，AE是AABC的中線，點(diǎn)。是BE上一點(diǎn)，若BD=5,CD=9,則CE的長(zhǎng)為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【詳解】解：?；3。=5,CD=9,

：.BC=BD+CD=14,

是AABC的中線，

:.CE=BE=LBC=I,

2

故選：C.

2.如圖，在AABC中，AE是中線，AD是角平分線，A廠是高，下列結(jié)論不一定成立的是（

B-ZBAD=yZBAC

C.ZAFB=90°D.AE=CE

【答案】D

【詳解】解：:AE是中線,

：.BE=CE,

BC=2CE.

，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；

尸是高,

ZAFB=90°,故選項(xiàng)C正確，不符合題意;

???AO是角平分線，

/.ZBAD=XZBAC.

2

故選項(xiàng)8正確，不符合題意;

根據(jù)題意不一定得出AE=CE,

故選項(xiàng)。不正確符合題意.

故選：D.

3.如圖，在△ABC中，A廠是高，平分NR4C,ZBAC=80°,ZC=60°,則NZM/的度數(shù)是（)

A.10°B.15°C.20°D.30°

【答案】A

【詳解】解：,?工月是高,

???ZAFC=90°,

AZC+ZCAF=90°,

VZC=60°,

AZCAF=30°,

,.?A。平分NR4C,ZBAC=80°,

：.ZCAD=ZBAD=^°,

：.ZDAF=ZCAD-NCA尸=40。-30。=10°,

故選：A.

4.（2023?大同）如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BP,CP,已知N1=N2,N3=N4,NA=100。，則N

3PC的度數(shù)為（)

120°C.130°D.140°

【答案】D

【詳解】解：在△A3C中，ZA+ZABC+ZACB=180°,

ZA=100°,

ZABC+ZACB=1SO0-1000=80。，

BPZ1+Z2+Z3+Z4=8O°,

VZ1=Z2,N3=N4,

???2N2+2N4=80。，

???/2+N4=40。，

在43尸。中，ZBPC+Z2+Z4=180°,

JZBPC=140°,

故選：D.

5.（2023?江蘇）如圖，在-ABC中，ZABC=60°,5C=20,點(diǎn)。在B4的延長(zhǎng)線上,=CD,

BD=n,則AD=()

D

C.4D.3

【答案】C

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作CELAD,垂足為E,

ZBEC=90°,

?.,ZABC=60°,

???/BCE=90°-ZABC=30°,

???BC=20,

：.BE=-BC=10,

2

,?BD=12,

，DE=BD-BE=12-10=2,

?：CA=CD,

：.AD=2DE=4,

故選：C.

6.（2023?廣東）如圖，在等邊三角形；ABC中,E為A8上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線交AC于點(diǎn)尸，交8C延長(zhǎng)

線于點(diǎn)。，作EG_LAC垂足為G,如AE=CD,AB=a,則G尸的長(zhǎng)為（)

13

C.-aD.-a

24

【答案】C

【詳解】解：過(guò)E作加BD,

??,一ABC是等邊三角形，AB=a,

AC=BC=AB=a,AA=/B=NC=60°,

?.?EMBD,

：.ZAEM=ZB=60°,ZAME=ZC=60°fZMEF=ZD,

??^\AEM是等邊二角形,

/.AE=AM=EM,

,:AE=CD,

：.ME=CD,

在NEMF與、OCF中,

NMEF=ZD

?：\AMFE=ZCFD,

ME=CD

.??二EMF均DCF(AAS),

:?MF=CF,

VEG±AC,EA=EM,

：.AG=MG,

/.GF^-AC^-,

22

故選：C.

7.如圖，715C中，AB=AC,ABAC=58°,-54C的平分線與AB的垂直平分線交于O,將NC沿

EF（E在BC上，尸在AC上）折疊，點(diǎn)C與。點(diǎn)恰好重合，則/OEC的度數(shù)為（）

【答案】D

【詳解】解：連接OROC,

；49是N54C的平分線，

ZBAO=-ZBAC=-x58°=29°,

22

AB=AC,

：.ZABC=|x(180°-ABAC)=gx(180。-58。)=61。,

,/O。是AB的垂直平分線，

OA=OB,

：.ZAB(9=ZBA<9=29°,

NOBC=ZABC-AABO=61°-29°=32°,

：49為NB4C的平分線,

...點(diǎn)。是ABC的外心，

，OB=OC,

：.ZOCB=ZOBC=32°,

?.?將/C沿石尸（E在3C上，尸在AC上）折疊，點(diǎn)C與O點(diǎn)恰好重合，

/.OE=CE,

：.ZCOE=ZOCB=32°,

在4OCE中，NOEC=180°-ZCOE-ZOCB=180°-32°-32°=116°.

故選：D.

8.如圖，等邊ABC的邊長(zhǎng)為6,。是3c的中點(diǎn)，E是AC邊上的一點(diǎn)，連接DE,以DE為邊作等邊

DEF,若CE=2,則線段M的長(zhǎng)為（）

【答案】A

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸作以GAB,交BC于點(diǎn)G,AC于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)A作4V，GH于點(diǎn)N,

?.?等邊J1BC的邊長(zhǎng)為6,。是3C的中點(diǎn)，

ZB=ZC=ZBAC=60°,BC=AC=6,CD=-BC=3,

2

'：HGAB,

：.ZCGH=NB=60°,ZGHC=ABAC=60°,

???LCGH為等邊三角形，

■:等邊AEF,

：.NDEF=60°=ZC,DE=FE,

?.?ZAED=/DEF+ZAEF=/C+NEDC,

：.ZAEF=ZEDC,

又/FHE=/C=60。,

????CDEaHEF,

：.HE=CD=3,HF=CE=2,

：.AH=AC-HE-CE=1,

ZAHN=ZFHE=60°,

：.ZHAN=30。,

UN=—AH=—,AN=AH2—HN2=,

222

Z.FN=FH+HN=-,

2

?**AF=4FN2+AN2=V7；

故選A.

9.（2023?四川）如圖，。為線段A￡上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,5重合），在A石同側(cè)分別作正三角形ABC和

正三角形COE,AD與BE交于點(diǎn)、O,AD與3C交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連接尸。.以下四個(gè)結(jié)

論：①AD=BE；②NAO3=60。；?AP=BQ；④連接CO,則AO=BQ+CO,恒成立的結(jié)論有

）

A.①②③B.①②C.②③④D.①②③④

【答案】D

【詳解】解：???_ABC和一CDE是等邊三角形，

AAC=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

：.1800-ZECD=1800-ZACB,

即ZACD=/BCE,

在,ACD與BCE中,

AC=BC

<ZACD=BCE,

CD=CE

：.AACDgABCE(SAS),

：.AD=BE,故①小題正確；

NACD^JBCE(已證)，

???ZCAD=ZCBEf

■:ZJBPO=ZAPC,

：./CAD+ZAPC=NCBE+NBPO,

u：ZACB=60°,

：.ZC4T>+ZAPC=120°,

???NCBE+ZBPO=T2。。,

：.ZAOB=60°f故②小題正確；

VACD^BCE,

：.NCBE=NDAC,

又,?ZACB=ZDCE=60°,

??.ZBCD=60。，

/.ZACP=/BCQ,

在△CQ5和，CPA中，

NCBE=/DAC

<BC=AC,

ZBCQ=ZACP

：.^CQB^CPA(ASA),

：.AP=BQ,故③正確；

在"上截取AH=OC,

連接皿，分別過(guò)點(diǎn)。作CMLAD,CNLBE,

R

I)

■:VACD^BCE,

AZCAO=ZCBO,AD=BE,ACD=SBCEf

-xADxCM=-xBExCN

22f

：.CM=CN,

ZCBO+/CEB=ZACB=60°,

：.NC4O+NCEO=60。，

ZAOE=120°,

,:CM=CN,CM1AD,CN1BE,

???OC平分/4QE,

???ZAOC=60°,

：.ZAOC=ZABC,

,:ZAPB=NCPO,

：.ZBAH=ZOCB,

???AB=BC,

：.AABH，BCO(SAS),

BH=BO,

???ZAOB=60°,

???△BHO是等邊三角形,

：.OH=OB,

AO=AH+OH,

：.AO=BO+CO,故④正確.

故選：D.

10.添加輔助線是很多同學(xué)感覺(jué)比較困難的事情.如圖1,在RtAABC中，ZABC=90°,是高，E是

△ABC外一點(diǎn)，BE=BA,ZE=ZC,若DE=&BD,AD=16,BD=20,求ABDE的面積.同學(xué)們可以先

5

思考一下…，小穎思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：在BD上截取(如圖2).同學(xué)們，根據(jù)小穎

的提示，聰明的你可以求得的面積為.

圖1圖2

【答案】64.

【詳解】解：如圖所示，連接AR

ZABD=180°-ZBDA-/BAO=90。-ABAD,

ZC=180°-ZABC-ZBAD=90°-ZBAD,

/ABD=NC,

"：ZE=ZC,

ZABD=ZE,

在"BE與ABED中，

rAB=BE

,ZABF=ZBED>

BF=DE

.,.△ABF咨ABED(SAS),

??SXABF=SXBDE，

SAABD=yBD-AD=yX20X16=160)

VBF=2X20=8,

5

：.DF=BD-BF=20-8=12,

/.S^AFD——xAD*DF=Ax12x16=96,

22

,*SAABF=S&ABD-SAAFD，

??SLBDE=S^ABF=160-96=64.

故答案為：64.

11.如圖，在R3ABC中，ZABC=90°,以AC為邊，作△ACZ),滿足AZ)=AC,點(diǎn)石為上一點(diǎn)，連接

AE,ZBAE=1ZCAD,連接。E.下列結(jié)論中正確的是.(填序號(hào))

2

?AC±DE；

?ZADE=ZACB；

③若CD〃AB,貝1JAE_LAO；

@DE=CE+2BE.

【答案】②③④.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)班至G,使BE=BG,設(shè)AC與DE交于點(diǎn)M,

'：ZABC=90°,

：.AB±GE,

垂直平分GE,

：.AG=AE,ZGAB=ZBAE^XzDAC,

2

'：ZBAE=1.ZGAE,

2

：.ZGAE=ZC