數(shù)列的綜合應(yīng)用、新定義、不等式（四種題型）-2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型專項(xiàng)復(fù)習(xí)（原卷版）

第09講數(shù)列的綜合應(yīng)用、新定義、不等式（四

種題型）

題型一：分期付款

一、單選題

1.（2023春?云南昆明?高三?？茧A段練習(xí)）我們知道，償還銀行貸款時(shí)，“等額本金還款

法”是一種很常見的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期的還款

金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即

貸款本金與已還本金總額的差乘以利率.自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬

元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個(gè)月還一次款，20年還清，貸款月利率為

0.4%,設(shè)張華第"個(gè)月的還款金額為?！霸瑒t%=（）

A.2192B.3912-8??C.3920-8”D.3928-87?

2.（2022?四川達(dá)州?統(tǒng)考一模）某顧客在2020年1月1日采用分期付款的方式購買一輛價(jià)

值2萬元的家電，在購買一個(gè)月后2月1日第一次還款，且以后每個(gè)月1日等額還款一

次，如果一年內(nèi)還清全部貸款（12月1日最后一次還款），月利率為0.5%.按復(fù)利計(jì)算，則

該顧客每個(gè)月應(yīng)還款多少元？（精確至U1元，參考值1.0051°=1.05,1.005"=1.06）（）

A.1767B.1818C.1923D.1946

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某單位用分期付款方式為職工購買40套住房，總房?jī)r(jià)1150

萬元.約定：2021年7月1日先付款150萬元，以后每月1日都交付50萬元，并加付此前

欠款利息，月利率1%,當(dāng)付清全部房款時(shí)，各次付款的總和為（）

A.1205萬元B.1255萬元C.1305萬元D.1360萬元

二、多選題

4.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）參加工作5年的小郭，因工作需要向銀行貸款A(yù)萬元購買一

臺(tái)小汽車，與銀行約定：這A萬元銀行貸款分10年還清，貸款的年利率為廠，每年還款數(shù)

為X萬元，貝I（）

ArX

A.x=-Tio—B.小郭第3年還款的現(xiàn)值為7；―8萬元

（1+r）-1U+r）

C.小郭選擇的還款方式為“等額本金還款法”D.小郭選擇的還款方式為“等額本息還款法”

5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）市民小張計(jì)劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給

小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.方式①：等額本金，每月的還款額呈遞減趨勢(shì)，且從第二個(gè)還款

月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；方式②：等額本息，每個(gè)月的還款額均相

同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（若2021年7月7日貸款到賬，則

2021年8月7日首次還款）.已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年，月利率為0.004,則下列說法

正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）

A.選擇方式①，若第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元，則小張?jiān)?/p>

筆貸款的總利息為289200元

B.選擇方式②，小張每月還款額為3800元

C.選擇方式②，小張總利息為333840元

D.從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇方式①

三、填空題

6.（2022秋?遼寧?高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）沈陽京東MALL于2022年國(guó)慶節(jié)盛大

開業(yè)，商場(chǎng)為了滿足廣大數(shù)碼狂熱愛好者的需求，開展商品分期付款活動(dòng).現(xiàn)計(jì)劃某商品一

次性付款的金額為。元，以分期付款的形式等額分成，次付清，每期期末所付款是x元，

每期利率為r,則愛好者每期需要付款尤=.

7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）趙先生準(zhǔn)備通過某銀行貸款5000元，然后通過分期付款的

方式還款.銀行與趙先生約定：每個(gè)月還款一次，分12次還清所有欠款，且每個(gè)月還款的

錢數(shù)都相等，貸款的月利率為0.5%,則趙先生每個(gè)月所要還款的錢數(shù)為______元.（精確

（1+0.5%產(chǎn)

到0.01元，參考數(shù)據(jù)-----《一217.213）

（1+0.5%）-1

四、解答題

8.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）已知某新型水稻產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率為廠（0＜廠＜1）.某糧食種植

基地計(jì)劃種植該品種水稻.已知該基地2020年儲(chǔ)有該品種水稻的產(chǎn)量為15萬噸.現(xiàn)計(jì)劃

從下一年（2021年）起，每年年初種植，年底從中分出固定的產(chǎn)量用于銷售，15年后清空

種植并更換種植品種.設(shè)〃年后該品種水稻的剩余產(chǎn)量為?！叭f噸.

（1）設(shè)每年用于銷售的產(chǎn)量為加萬噸，請(qǐng)用加和廠表示凡;

⑵求機(jī)（用廠表示）.

9.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）市民小張計(jì)劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給

小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式：

①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢(shì)，且從第二個(gè)還款月開始，每月還款額與上月還款

額的差均相同；

②等額本息：每月的還款額均相同.

銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（如2020年7月7日貸款到賬，則

2020年8月7日首次還款）.已知該筆貸款年限為20年，月利率為0.4%.

（1）若小張采取等額本金的還款方式，已知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月

應(yīng)還2510元，試計(jì)算該筆貸款的總利息.

（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的

一半.已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張申請(qǐng)?jiān)摴P貸款是否能夠獲批（不考慮

其他因素）.

參考數(shù)據(jù)：1.00424%2.61.

（3）對(duì)比兩種還款方式，從經(jīng)濟(jì)利益的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式.

題型二：產(chǎn)值增長(zhǎng)

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）科技創(chuàng)新離不開科研經(jīng)費(fèi)的支撐，在一定程度上，研發(fā)投入

被視為衡量“創(chuàng)新力”的重要指標(biāo).“十三五”時(shí)期我國(guó)科技實(shí)力和創(chuàng)新能力大幅提升，2020年

我國(guó)全社會(huì)研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入達(dá)到了24426億元，總量穩(wěn)居世界第二，其中基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)投入

占研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入的比重是6.16%.“十四五”規(guī)劃《綱要草案》提出，全社會(huì)研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入年

均增長(zhǎng)要大于7%,到2025年基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)占比要達(dá)到8%以上，請(qǐng)估計(jì)2025年我國(guó)基礎(chǔ)

研究經(jīng)費(fèi)為（）

A.1500億元左右B.1800億元左右C.2200億元左右D.2800億元左右

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題，“衰分”是按

比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例為“衰分比”.如：已知A,B,C三人分配獎(jiǎng)金的

衰分比為20%,若A分得獎(jiǎng)金1000元，則B,C所分得獎(jiǎng)金分別為800元和640元.某科

研所四位技術(shù)人員甲、乙、丙、丁攻關(guān)成功，共獲得單位獎(jiǎng)勵(lì)68780元，若甲、乙、丙、

丁按照一定的“衰分比”分配獎(jiǎng)金，且甲與丙共獲得獎(jiǎng)金36200元，貝「衰分比”與丁所獲得

的獎(jiǎng)金分別為

A.20%,14580元B.10%,14580元

C.20%,10800元D.10%,10800元

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在“全面脫貧”行動(dòng)中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借

了扶貧免息貸款10000元，用于自己開發(fā)的農(nóng)產(chǎn)品、土特產(chǎn)品加工廠的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)

品質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算：每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%,每月

底街繳房租800元和水電費(fèi)400元，余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)2020

年小王的農(nóng)產(chǎn)品加工廠的年利潤(rùn)為（）（mi.2n=7.5,1.212=9）

A.25000元B.26000元C.32000元D.36000元

4.（2021秋?江蘇淮安?高三江蘇省肝胎中學(xué)?？计谥校?020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧

困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，接續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興

戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng).該企業(yè)2021年初有資金500萬元，資金

年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到20%.每年年底扣除下一年必須的消費(fèi)資金后，剩余資金全部投入再

生產(chǎn)為了實(shí)現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資金達(dá)到800萬元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金至多

為（）（單位：萬元，結(jié)果精確到萬元）（參考數(shù)據(jù)：1.24=2.07,IT。2.49）

A.83B.60C.50D.44

5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）為了更好地解決就業(yè)問題，國(guó)家在2020年提出了“地?cái)偨?jīng)

濟(jì)”為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，有不少地區(qū)出臺(tái)了相關(guān)政策去鼓勵(lì)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”.老王2020年6月1

日向銀行借了免息貸款1000。元，用于進(jìn)貨.因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算：每月獲得的

利潤(rùn)是該月初投入資金的20%,每月底扣除生活費(fèi)1000元，余款作為資金全部用于下月再

進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2021年5月底該攤主的年所得收入為（）（取=7.5,

（1.2）12=9）

A.32500元B.40000元C.42500元D.50000元

二、多選題

6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在“全面脫貧”行動(dòng)中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借

了扶貧免息貸款10000元，用于自己開設(shè)的農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)品加工廠的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)品

質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算每月獲得的利潤(rùn)是該月月初投人資金的20%,每月月

底需繳納房租600元和水電費(fèi)400元，余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù)?設(shè)第"月

月底小王手中有現(xiàn)款為““，則下列論述正確的有（）（參考數(shù)據(jù)：1.2"=7.5,122=9）

A.4=12000

B.an+l=1.2o?-1000

C.2020年小王的年利潤(rùn)為40000元

D.兩年后，小王手中現(xiàn)款達(dá)41萬

三、解答題

7.（2022?上海金山?統(tǒng)考一模）近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營(yíng)銷模式，帶來電商

行業(yè)的新增長(zhǎng)點(diǎn).某直播平臺(tái)第1年初的啟動(dòng)資金為500萬元，由于一些知名主播加入，平

臺(tái)資金的年平均增長(zhǎng)率可達(dá)40%,每年年底把除運(yùn)營(yíng)成本。萬元，再將剩余資金繼續(xù)投入

直播平合.

（1）若4=100,在第3年年底扣除運(yùn)營(yíng)成本后，直播平臺(tái)的資金有多少萬元？

（2）每年的運(yùn)營(yíng)成本最多控制在多少萬元，才能使得直播平臺(tái)在第6年年底初除運(yùn)營(yíng)成本后

資金達(dá)到3000萬元？（結(jié)果精確到0.1萬元）

8.（2022秋?山東濟(jì)寧?高三?？茧A段練習(xí)）某臺(tái)商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座

蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費(fèi)12萬美元，以后每年比上一年增加4萬美元，每年銷售蔬菜

收入50萬美元，設(shè)〃〃）表示前〃年的純利潤(rùn)（/?（〃）=前九年的總收入-前"年的總支出-

投資額）.

（1）從第幾年開始獲得純利潤(rùn)？

（2）若五年后，該臺(tái)商為開發(fā)新項(xiàng)目，決定出售該廠，現(xiàn)有兩種方案：①年平均利潤(rùn)最大

時(shí)，以48萬美元出售該廠；②純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以16萬美元出售該廠.問哪種方案較

合算？

9.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）保障性租賃住房，是政府為緩解新市民、青年人住房困難，

作出的重要決策部署.2021年7月，國(guó)務(wù)院辦公廳發(fā)布《關(guān)于加快發(fā)展保障性租賃住房的

意見》后，國(guó)內(nèi)多個(gè)城市陸續(xù)發(fā)布了保障性租賃住房相關(guān)政策或征求意見稿.為了響應(yīng)國(guó)

家號(hào)召，某地區(qū)計(jì)劃2021年新建住房40萬平方米，其中有25萬平方米是保障性租賃住

房.預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%,另外，每年

新建住房中，保障性租賃住房的面積均比上一年增加5萬平方米.

（1）到哪一年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計(jì)面積（以2021年為累計(jì)的第一年）將首

次不少于475萬平方米？

(2)到哪一年底，當(dāng)年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于

85%?

10.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))某企業(yè)2015年的純利潤(rùn)為500萬元,因?yàn)槠髽I(yè)的設(shè)備老化

等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從2015年開始，此后每年比上一

年純利潤(rùn)減少20萬元.如果進(jìn)行技術(shù)改造,2016年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元，在未

扣除技術(shù)改造資金的情況下，預(yù)計(jì)2016年的利潤(rùn)為750萬元，此后每年的利潤(rùn)比前一年利潤(rùn)

的一半還多250萬元.

(1)設(shè)從2016年起的第〃年(以2016年為第一年)，該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤(rùn)為0萬

元;進(jìn)行技術(shù)改造后，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤(rùn)為/萬元,求?！昂?；

(2)設(shè)從2016年起的第〃年(以2016年為第一年)，該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為A.

萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為B,,萬元，求A?和B“；

(3)依上述預(yù)測(cè)，從2016年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)將超過不進(jìn)

行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？

11.(2022?上海?高三專題練習(xí))某化工廠從今年一月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按生產(chǎn)現(xiàn)

狀，每月收入為70萬元，同時(shí)將受到環(huán)保部門的處罰，第一個(gè)月罰3萬元，以后每月增加

2萬元.如果從今年一月起投資500萬元添加回收凈化設(shè)備(改造設(shè)備時(shí)間不計(jì))，一方面

可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本.據(jù)測(cè)算，添加回收凈化設(shè)備并投產(chǎn)后

的前5個(gè)月中的累計(jì)生產(chǎn)凈收入g(n)是生產(chǎn)時(shí)間n個(gè)月的二次函數(shù)g(〃)=/+初(左是常

數(shù))，且前3個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入可達(dá)309萬，從第6個(gè)月開始，每個(gè)月的生產(chǎn)凈收入都

與第5個(gè)月相同.同時(shí)，該廠不但不受處罰，而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎(jiǎng)勵(lì)100萬

元.

（1）求前8個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入g（8）的值；

（2）問經(jīng)過多少個(gè)月，投資開始見效，即投資改造后的純收入多于不改造時(shí)的純收入.

題型三：數(shù)列新定義

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有

這樣一列數(shù)：1,1,2,3,5,其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，即

??+2=4+i+%ReN*）,后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列｛見｝稱為“斐波那契數(shù)列”.記

“2022=t，則%+4+“5--------1■〃2021=（）

A.t2B.t-1C.tD.t+1

2.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的

常數(shù)、公式和定理，如：歐拉函數(shù)夕（〃）3N*）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)〃且與〃

互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1）,例如：=奴3）=2

（與3互素有1、2）；姒9）=6（與9互素有1、2、4、5、7、8）.記S“為數(shù)列,9（3"）｝的前〃

項(xiàng)和，則Sio=（）

A.史B.衛(wèi)、3。工C.D,衛(wèi)⑷+工

22224444

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列。任??

滿足qw｛0,l｝（i=l,2,）,且存在正整數(shù)加，使得q+揖=qC=12）成立，則稱其為0-1周期序

列，并稱滿足心.=。,《=1，2,）的最小正整數(shù)機(jī)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為小的0-1序列

1m

44an，C（Q=—￡44+/4=1,2,,根-1）是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1

mz=i

序列中，滿足以幻〈（6=1,2,3,4）的序列是（）

A.11010B.11011C.10001D.11001

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列｛%｝,若存在正數(shù)Af,使得對(duì)一切正整數(shù)”，恒

有㈤VM,則稱數(shù)列｛%｝有界；若這樣的正數(shù)M不存在，則稱數(shù)列｛七｝無界，已知數(shù)列

｛叫滿足：4=1,a,!+1=ln（2a?+l）（A>0）,記數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S,,,數(shù)列｛叫的前

〃項(xiàng)和為4,則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)4=1時(shí)，數(shù)列｛5｝有界B.當(dāng)2=1時(shí)，數(shù)列｛（,｝有界

C.當(dāng)2=2時(shí)，數(shù)列由｝有界D.當(dāng)2=2時(shí)，數(shù)歹!]｛7；｝有界

5.（2022?浙江.高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足q=g,a.=l+ln%M（nsN*）,記北表示

數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)乘積.則（）

A.TEB.4￡C.TED.1￡

930,2626?22922?18?A

二、多選題

6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)正整數(shù)〃=4?20+4?2+,+其中

4G{0,1}，記=4+4++4.貝U（）

A.(y(2w)=to(n)B.t?(2n+3)=(y(n)+l

C.。（8〃+5）=0（4〃+3）D.0(2"-1)=”

7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰

兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的

數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第

次得到數(shù)列1,%,x2,x3,,xk,2；…I己=1+石+/++/+2,數(shù)歹[|

｛4｝的前”項(xiàng)為S,,貝I（)

=T(/+3〃)

A.女+1=2〃B.4+]=3Q〃_3C.

n+1

D.Sn=-(3+2n-3

8.（2022.福建南平.統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)4（4,）,其中

，=1,2,3,?一,〃,-一且%,%€2.記4,=匕+%，如A（L0）記為4=1,記為%=°，

4（0,-1）記為。3=-1，?-，以此類推；設(shè)數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S〃.則（）

74…W?…4…/9

45小；小0r

X

…A.，一\A2Mi

《15小4小3:A

....?....“小2

3n(n+l)

A.%022=42B.*^2022=—87C.=2〃D，An2+5n?

三、雙空題

9.（2023?山西大同?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率乃的兩個(gè)近似值：“約

率，，三22與“密率，，落355.它們可用“調(diào)日法，，得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于

343+47

3.1415927的近似值為強(qiáng)率.由不＜死＜丁，取3為弱率，4為強(qiáng)率，得力=】十］=萬,故。i

為強(qiáng)率，與上一次的弱率3計(jì)算得的=*=#,故出為強(qiáng)率，繼續(xù)計(jì)算，…….若某次

得到的近似值為強(qiáng)率，與上一次的弱率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值；若某次得到的近似值為

弱率，與上一次的強(qiáng)率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值，依此類推，已知4=亍，則

m=;/=?

四、解答題

10.（2021秋?上海徐匯?高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)"為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列

｛4｝滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱｛%｝為況。數(shù)列：

①q+pXO,且%+p=0；

②%“t=…）；

③q“+.e｛。,“+%++%+P+1｝,（辦〃=1,2,…）.

（1）如果數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)為2,-2,-2,-1,那么｛4｝是否可能為況2數(shù)列？說明理由；

（2）若數(shù)列｛%｝是況。數(shù)列，求生；

（3）設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,.是否存在次。數(shù)列｛%｝,使得S“2d。恒成立？如果存

在，求出所有的°;如果不存在，說明理由.

11.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知｛4｝是無窮數(shù)列.給出兩個(gè)性質(zhì):

①對(duì)于｛4,｝中任意兩項(xiàng)%為(，>/),在｛4｝中都存在一項(xiàng),使勿=%;

aj

②對(duì)于｛%｝中任意項(xiàng)氏(九.3),在｛%｝中都存在兩項(xiàng)處,0(%>/).使得。“=，.

(1)若4=〃(〃=1,2,),判斷數(shù)列｛q｝是否滿足性質(zhì)①，說明理由；

(II)若4=2片(〃=1,2,?),判斷數(shù)列｛%｝是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由;

(III)若｛%｝是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：｛4｝為等比數(shù)列.

12.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知。：%,電，-，4為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)相，若對(duì)

任意的"e｛l,2,,m],在。中存在4,ai+\，ai+2，j。20),使得

a,+aM+ai+2++ai+j=n,則稱。為，〃-連續(xù)可表數(shù)列.

(1)判斷。：2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；

(2)若Q：%,%…，以為8-連續(xù)可表數(shù)列,求證:%的最小值為4；

⑶若Q：4,%，…S為20-連續(xù)可表數(shù)列，且％+出++4<20,求證：k>l.

13.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)機(jī)為正整數(shù)，若無窮數(shù)列｛4｝滿足

%+/=除+，|(，=L2,,加次=1,2,),則稱｛%｝為2數(shù)列.

⑴數(shù)歹￡"｝是否為《數(shù)列？說明理由；

[s,n=2k+l,k.GZ(、

⑵已知%]='其中SJ為常數(shù).若數(shù)列｛%｝為8數(shù)列，求SJ；

11,—2化?，k)￡Z-i

(3)已知鳥數(shù)列｛a“｝滿足4<。，4=2,%1t<*6(左=1,2,),求

14.(2023?北京海淀?高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí))如果無窮數(shù)列｛見｝是等差數(shù)列，且滿

足：①V，、JeN,,退eN*,使得4勺=4;②MceN*,于、/eN*,使得。臼=。",則稱數(shù)

列｛%｝是““數(shù)列”.

(1)下列無窮等差數(shù)列中，是數(shù)列”的為;(直接寫出結(jié)論)

｛。"｝：1、3、5、

｛包｝：。、2、4、

｛c“｝：。、0、0、

｛""｝：-1、0、1、

(2)證明：若數(shù)列｛%｝是““數(shù)列"，則為eZ且公差deN；

(3)若數(shù)列｛??)是“H數(shù)列”且其公差deN*為常數(shù)，求｛??)的所有通項(xiàng)公式.

15.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列A：%,電，…，為“，其中m是給定的正整

數(shù)，且一22.令1=1，…，m，XQ4)=max｛4也，-4｝,

G=max｛%T，%｝,i=l,…,〃7,y(A)=min｛q,C2,?”,"｝?這里，max｛｝表示括號(hào)中各數(shù)的

最大值，min｛｝表示括號(hào)中各數(shù)的最小值.

⑴若數(shù)列A：2,0,2,1,-4,2,求X(A),F(A)的值;

(2)若數(shù)列A是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列，且X(A)=y(A),求q的值；

(3)若數(shù)列A是公差d=l的等差數(shù)列，數(shù)列8是數(shù)列A中所有項(xiàng)的一個(gè)排列，求

X(8)-y(3)的所有可能值(用加表示).

16.(2022?北京?校考三模)對(duì)于數(shù)列A：q,a2,a?(n>3),定義變換T,T將數(shù)列A

變換成數(shù)列7(A)：的，色，…，3,%,記7(A)=T(A),r"0)=T(T"i(A)),

m>2.對(duì)于數(shù)列A:q,a2,a“與B:R,bn,定義

AB=a]bl+a2b2+?■■+anbn.若數(shù)列A:q,a2,13）滿足qe=1,2,…㈤,

則稱數(shù)列A為凡數(shù)列.

⑴若—1,1,寫出7(A),并求AT2(A)；

(2)對(duì)于任意給定的正整數(shù)〃("23),是否存在況“數(shù)列A,使得A，(A)=〃-3?若存在，寫

出一個(gè)數(shù)列A,若不存在，說明理由：

⑶若況“數(shù)列A滿足T“A)?TM(A)=〃-4(k=1,2,-2),求數(shù)列A的個(gè)數(shù).

題型四：數(shù)列不等式

一、單選題

1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知數(shù)列｛%｝滿足q=l,aa+i=a“eN*),則()

5577

A.2<IO。％1U。U。<—iBUU.—<100。］00<31WC.3<100600<—1Duu.—<lOO6Z.oo<4

二、多選題

2.(2022?河北.模擬預(yù)測(cè))十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的

“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉

區(qū)間［0,1］均分為三段，去掉中間的區(qū)間段記為第1次操作：再將剩下的兩個(gè)區(qū)

12

間。,§,-,1分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：L.每次

操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的

區(qū)間段；操作過程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第〃次操作去掉

的區(qū)間長(zhǎng)度記為9(〃)，則()

05+1)=3

,0(.一5B.+1<0

C.0(〃)+0(3〃)>2°(2〃)D.r^(p(n)<64^(8)

3.(2023春?廣東揭陽?高三?？奸_學(xué)考試)在數(shù)列｛%｝中，對(duì)于任意的〃eN*都有

且=?！?，則下列結(jié)論正確的是(

A.對(duì)于任意的〃22,都有?！?gt;1

B.對(duì)于任意的4>0,數(shù)列｛q｝不可能為常數(shù)列

C.若o<q<2,則數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列

D.若4>2,則當(dāng)〃22時(shí)，2<冊(cè)<%

31

4.（2022秋?福建泉州?高三校聯(lián)考期中）數(shù)列｛4｝滿足2%+%=2"也=甲可］，數(shù)列

抄“｝的前”項(xiàng)和記為5“，則下列說法正確的是（）

2Q

A.任意B.任意"eN",a“<。用

C.任意〃eN*，3y<d<！D.任意〃eN*,S“<a"

5.（2022?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝,對(duì)任意的正整數(shù)優(yōu)、"都有

2金+“Ma2m+a2n,則下列結(jié)論可能成立的是（）

A.—+—=B.na+rna=a

mnmnm+n

c.am+an+2=amnD.2am-an=am+n

三、雙空題

6.（2022秋?北京昌平.高三昌平一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝對(duì)任意的〃cN*,都有

3%+1,4為奇數(shù)

￡N*,且凡口=</7.

［墨巴為偶數(shù)

①當(dāng)。=8時(shí),〃2022=________________?

②若存在7〃eN*,當(dāng)加且?！盀槠鏀?shù)時(shí)，。"恒為常數(shù)尸，則尸=.

四、解答題

7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和為滿足a“+S"=2〃.

⑴求證：數(shù)列｛%-2｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

⑵若不等式2彳-儲(chǔ)>（2〃-3）（2-??）對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知｛%｝為等差數(shù)列，｛2｝是公比為2的等比數(shù)列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4,

（1）證明：q=4；

（2）求集合｛K4=%+q,14機(jī)V500｝中元素個(gè)數(shù).

9.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)生=-1,公差d>l.記｛%｝的前

〃項(xiàng)和為Sa(zieN*).

⑴若S4-2ag3+6=0,求S“；

(2)若對(duì)于每個(gè)〃wN*,存在實(shí)數(shù)g,使4+gM〃+1+乜,4+2+15%成等比數(shù)列，求d的取

值范圍.

10.