事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式（學生版）-2025高考數(shù)學一輪復習講義

第90講事件的相互獨立性、條件概

率與全概率公式

知識梳理

知識點1、條件概率

(一)定義

一般地，設A,8為兩個事件，且尸(A)>0,稱P(8|A)=曳辿為在事件A發(fā)生的條件

P(A)

下，事件5發(fā)生的條件概率.

注意：(1)條件概率尸(3|A)中“|”后面就是條件；(2)若尸0)=0,表示條件A不可能

發(fā)生，此時用條件概率公式計算尸(3|A)就沒有意義了，所以條件概率計算必須在P(A)>0

的情況下進行.

(―)性質

(1)條件概率具有概率的性質,任何事件的條件概率都在0和1之間，即0WP(2|A)41.

(2)必然事件的條件概率為1,不可能事件的條件概率為0.

(3)如果8與C互斥,則尸(2UC|A)=尸(B|A)+尸(C|A).

注意:(1)如果知道事件A發(fā)生會影響事件3發(fā)生的概率，那么P(B)#P(B|A)；

(2)已知A發(fā)生，在此條件下8發(fā)生，相當于AB發(fā)生，要求尸(B|A),相當于把A

AB)

看作新的基本事件空間計算AB發(fā)生的概率，即P(B|A)=粵t=坐!=誓￡.

〃⑷n[A)P(A)

知識點2、相互獨立與條件概率的關系

(-)相互獨立事件的概念及性質

(1)相互獨立事件的概念

對于兩個事件A,B,如果P(3|A)=P(3),則意味著事件A的發(fā)生不影響事件5發(fā)生

的概率.設P(A)>0,根據(jù)條件概率的計算公式，P(B)=P(B|A)=^^,從而

P(AB)=P(A)P(B).

由此我們可得：設A,8為兩個事件，若P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件3相互

獨立.

(2)概率的乘法公式

由條件概率的定義,對于任意兩個事件A與3,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A).我

們稱上式為概率的乘法公式.

(3)相互獨立事件的性質

如果事件A,8互相獨立，那么A與月，A與B,Z與否也都相互獨立.

(4)兩個事件的相互獨立性的推廣

兩個事件的相互獨立性可以推廣到〃(〃>2,〃eN*)個事件的相互獨立性，即若事件A-

4,…,A”相互獨立，則這〃個事件同時發(fā)生的概率尸(A4…4)=尸(4X4)…尸(4)?

(二)事件的獨立性

(1)事件A與3相互獨立的充要條件是P(AB)=P(A)-P(B).

(2)當尸(B)>0時，A與8獨立的充要條件是P(A|8)=P(A).

(3)如果P(A)>0,A與3獨立，則P(B|A)=，黑)=尸(3)成立?

知識點3、全概率公式

(一)全概率公式

(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)；

(2)定理i若樣本空間。中的事件4，4,…，滿足：

①任意兩個事件均互斥，即A4=0,i,j=1,2,…，n,i彳j；

②A+4+…+A,=。；

③P(a)>0,i=l,2,

則對。中的任意事件3,都有8=網(wǎng)+%+-+%,，且

尸(8)=,尸(%)='P⑷尸(例A).

Z=11=1

注意：(1)全概率公式是用來計算一個復雜事件的概率，它需要將復雜事件分解成若

干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題.

(2)什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可

能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公

式.

(二)貝葉斯公式

(1)一般地，當0〈尸⑷<1且尸(8)>0時，有

?B)=尸⑷P(B|A)=尸⑷尸⑻,)_

1-P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

(2)定理2若樣本空間Q中的事件4,4,…，4滿足：

①任意兩個事件均互斥，即AA=0,i,j=i,2,…，n,i*j；

②A+&"!-----F=Q;

③0(尸2=1,2,...,/?.

則對。中的任意概率非零的事件B,都有8=網(wǎng)+%+…+時,

且尸閭5)=尸四)尸⑻4)=華)W,)

P網(wǎng)Jp(A)P(Bl4)

Z=1

注意：(1)在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗發(fā)生的結果

尋找原因，看看導致這一試驗結果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的

方法就是使用貝葉斯公式.貝葉斯公式的意義是導致事件B發(fā)生的各種原因可能性的大

小，稱之為后驗概率.

(2)貝葉斯公式充分體現(xiàn)了P(A|B),P(A),P(B),P(B|A),P(B|A),P(AB)之間

的轉關系，即P(A|B)=?需，P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A),

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|用之間的內在聯(lián)系.

必考題型全歸納

題型一：條件概率

例1.(2024?云南大理?統(tǒng)考模擬預測)“狼來了”的故事大家小時候應該都聽說過：小孩

第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信

了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信

T.從數(shù)學的角度解釋這一變化，假設小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概

率為0』；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是Q5.最初人們不知道這個小孩誠實與否，

所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是0.9.已知第一次他說謊了，那么他是誠實的

小孩的概率是()

?3?5八9

A.—B.—C.—D.—

571014

例2.(2024?河北秦皇島?統(tǒng)考模擬預測)已知有兩箱書，第一箱中有3本故事書，2本

科技書；第二箱中有2本故事書，3本科技書.隨機選取一箱，再從該箱中隨機取書兩

次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第一次取到科技書的條件下，第二次取到的也是

科技書的概率為（）

A.-B.—C.-D.—

410512

例3.（2024?廣西柳州?統(tǒng)考模擬預測）根據(jù)歷年的氣象數(shù)據(jù)，某市5月份發(fā)生中度霧霾

的概率為0.25,刮四級以上大風的概率為0.4,既發(fā)生中度霧霾又刮四級以上大風的概率為

0.2,則在刮四級以上大風的情況下，發(fā)生中度霧霾的概率為（）

A.0.5B.0.625C.0.8D.0.9

變式1.（2024?河南南陽?高三南陽中學校考開學考試）袋子中裝有大小、形狀完全相同

的2個白球和2個紅球.現(xiàn)從中不放回地摸取2個球，已知第二次摸到的是紅球，則第一次

摸到紅球的概率為（）

A.1B.-C.-D.-

2334

變式2.（2024?云南曲靖?高三校聯(lián)考階段練習）有首歌道“大理三月好風光，蝴蝶泉邊

好梳妝”，近年來大理州一直致力開發(fā)旅游事業(yè)，吸引著大批的游客前往大理旅游.現(xiàn)有

甲、乙兩位游客慕名來到大理，準備從蒼山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉五個

景點中隨機選擇一個景點游玩，記事件A為“甲和乙至少一人選擇蝴蝶泉”，事件8為“甲和

乙選擇的景點不同”,則尸何力=（）

A.—B.-C.2D.一

592

變式3.（2024?廣東?高三河源市河源中學校聯(lián)考階段練習）從1、2、3、4、5、6、7這

7個數(shù)中任取5個不同的數(shù)，事件A：“取出的5個不同的數(shù)的中位數(shù)是4”，事件B：“取

出的5個不同的數(shù)的平均數(shù)是4"，則尸（3|A）=（）

,1r9r3

A.—B.—C.—D.一

73537

【解題方法總結】

用定義法求條件概率P（B|A）的步驟

（1）分析題意，弄清概率模型；

（2）計算P（A）,PCApB）;

（3）代入公式求尸（例A）=曳紅

P（A）

題型二：相互獨立事件的判斷

例4.（2024?安徽?高三校聯(lián)考階段練習）已知A,B,C為三個隨機事件且尸（A）,

p⑻,P（C）＞0,則A,B,C相互獨立是A,B,C兩兩獨立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例5.（2024?上海浦東新?高三華師大二附中?？茧A段練習）已知事件A,3滿足

0＜P（A）＜l,0＜P（B）＜l,則不能說明事件A,3相互獨立的是（）

A.P（A|B）=P（A|B）B.P（A|B）=P（A）

C.P（B\A）=P（B）D.P（B|A）=P（B|A）

例6.（2024?福建南平?高三福建省政和第一中學?？茧A段練習）甲箱中有5個紅球，2

個白球和3個黑球；乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放

入乙箱中，分別以A-A,Aj表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱

中隨機取出一球，以2表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結論錯誤的是（）

A--B.P（B|A）=n

C.事件2與事件A］不相互獨立D.A，4，4兩兩互斥

變式4.（2024?全國?高三專題練習）某家庭有三個孩子，假定生男孩和生女孩是等可能

且相互獨立的.記事件A：該家庭既有男孩又有女孩；事件B：該家庭最多有一個男孩；

事件C：該家庭最多有一個女孩；則下列說法中正確的是（）

A.事件B與事件C互斥但不對立B.事件A與事件8互斥且對立

C.事件8與事件C相互獨立D.事件A與事件3相互獨立

變式5.（2024?全國?高三專題練習）隨著2022年卡塔爾世界杯的舉辦，中國足球也需

要重視足球教育.某市為提升學生的足球水平，特地在當?shù)剡x拔出幾所學校作為足球特色

學校，開設了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四類足球體驗課程.甲、乙兩名同學各自

從中任意挑選兩門課程學習，設事件A="甲乙兩人所選課程恰有一門相同"，事件3="甲

乙兩人所選課程完全不同"，事件C="甲乙兩人均未選擇節(jié)人制，課程”，則（）

A.A與B為對立事件B.A與C互斥C.A與C相互獨立

D.B與C相互獨立

變式6.（2024?四川宜賓?統(tǒng)考三模）同時拋擲兩枚質地均勻的骰子一次，事件甲表示

“第一枚骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，事件乙表示“第二枚骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件丙表

示“兩枚骰子向上的點數(shù)之和為6”，事件丁表示“兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7"，則（）

A.事件甲與事件乙互斥B.P（丙］乙）=最

C.事件甲與事件丁相互獨立D.事件丙與事件丁互為對立事件

【解題方法總結】

判斷事件是否相互獨立的方法

（1）定義法：事件A,3相互獨立QP（AnB）=P（A>P（B）.

（2）由事件本身的性質直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.

（3）條件概率法：當P（A）>0時，可用「（B|A）=尸（B）判斷.

題型三：相互獨立事件概率的計算

例7.（2024?天津?校聯(lián)考一模）某產品的質量檢驗過程依次為進貨檢驗（IQC）、生產過

4

程檢驗（IPQC）、出貨檢驗（OQC）三個環(huán)節(jié).已知某產品IQC的單獨通過率為二，

IPQC的單獨通過率為3，規(guī)定上一類檢驗不通過則不進入下一類檢驗，未通過可修復后再

4

檢驗一次（修復后無需從頭檢驗，通過率不變且每類檢驗最多兩次），且各類檢驗間相互獨

立，則一件該產品能進入OQC環(huán)節(jié)的概率為.

例8.（2024?全國?高三專題練習）某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題

中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設某選手正確回答每

個問題的概率都是0.8,且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了5個問題就

晉級下一輪的概率為.

例9.（2024?全國?高三專題練習）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投

且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束.設甲每次投籃投中的概

率為:，乙每次投籃投中的概率為且各次投籃互不影響，則乙獲勝的概率

為.

變式7.（2024?全國?校聯(lián)考模擬預測）己知甲、乙、丙三位選手參加某次射擊比賽，比

賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩位選手參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的選手與未參加

此場比賽的選手進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一位選手首先獲勝兩場，則本次比

賽結束，該選手獲得此次射擊比賽第一名.若在每場比賽中，甲勝乙的概率為:，甲勝丙的

概率為乙勝丙的概率為:，且甲與乙先參加比賽，則甲獲得第一名的概率為.

42

變式8.（2024?山東?高三專題練習）無癥狀感染者被認為是新冠肺炎疫情防控的難點之

國際期刊《自然》雜志中一篇文章指出，30%~60%的新冠感染者無癥狀或者癥狀輕

微，但他們傳播病毒的能力并不低，這些無癥狀感染者可能會引起新一輪的疫情大爆

發(fā).我們把與病毒攜帶者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者.假設每名密切接觸者成為

無癥狀感染者的概率均為:，那么4名密切接觸者中，至多有2人成為無癥狀感染者的概

率為一?

變式9.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？茧A段練習）某電視臺的夏日水上闖關節(jié)目

一共有三關，第一關與第二關的過關率分別為4,只有通過前一關才能進入下一關，

34

每一關都有兩次闖關機會，且通過每關相互獨立.一選手參加該節(jié)目，則該選手能進入第

三關的概率為.

變式10.（2024?浙江?高三專題練習）2019年底，武漢發(fā)生“新型冠狀病毒”肺炎疫情，

國家衛(wèi)健委緊急部署，從多省調派醫(yī)務工作者前去支援，正值農歷春節(jié)舉家團圓之際，他

們成為“最美逆行者”.武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、

疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和確診患者的密切接觸者等“四類”

人員，強化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.若在排查期間，某小區(qū)有5人被確認為“確

診患者的密切接觸者”，現(xiàn)醫(yī)護人員要對這5人隨機進行逐一“核糖核酸”檢測，只要出現(xiàn)一

例陽性，則將該小區(qū)確定為“感染高危小區(qū)”.假設每人被確診的概率均為。且相

互獨立，若當P=P。時，至少檢測了4人該小區(qū)被確定為“感染高危小區(qū)”的概率取得最大

值，貝!lPo=—.

【解題方法總結】

（1）求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟

①首先確定各事件之間是相互獨立的.

②求出每個事件的概率，再求積.

（2）使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個

事件是相互獨立的.

題型四：相互獨立事件概率的綜合應用

例10.（2024?河南焦作?高三統(tǒng)考開學考試）小李參加某項專業(yè)資格考試，一共要考3

個科目，若3個科目都合格，則考試直接過關；若都不合格，則考試不過關；若有1個或

2相科目合格，則所有不合格的科目需要進行一次補考，補考都合格的考試過關，否則不

過關.已知小李每個科目每次考試合格的概率均為0(O<P<1),且每個科目每次考試的

結果互不影響.

⑴記“小李恰有1個科目需要補考”的概率為〃川，求〃。)的最大值點P”

⑵以(1)中確定的P。作為P的值.

(i)求小李這項資格考試過關的概率；

(ii)若每個科目每次考試要繳納20元的費用，將小李需要繳納的費用記為X元，求

磯X).

例11.(2024?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預測)某獵人發(fā)現(xiàn)在距離他100米處

3

的位置有一只獵物，如果直接射擊，則只射擊一次就擊中獵物的概率為《，為了有更大的

概率擊中獵物，獵人準備多次射擊.假設每次射擊結果之間相互獨立，獵人每次射擊擊中獵

物的概率與他和獵物之間的距離成反比.

(1)如果獵人第一次射擊沒有擊中藥物，則獵人經過調整后進行第二次射擊，但由于獵物受

到驚嚇奔跑，使得第二次射擊時獵物和他之間的距離增加了50米；如果第二次射擊仍然沒

有擊中獵物，則第三次射擊時獵物和他之間的距離又增加了50米，如此進行下去，每次射

擊如果沒有擊中，則下一次射擊時獵物和他之間的距離都會增加50米，當獵人擊中獵物或

發(fā)現(xiàn)某次射擊擊中的概率小于1時就停止射擊，求獵人停止射擊時射擊次數(shù)的概率分布列

與數(shù)學期望.

(2)如果獵人直接連續(xù)射擊，由于射擊速度很快，可以認為在射擊期間獵物和獵人之間的距

離保持不變，如果希望至少擊中獵物一次的概率超過98%,至少要連續(xù)射擊多少次？

附:ln2?0.693,In3?1.099,In5?1.609.

例12.(2024?河北滄州??？既?甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規(guī)則如下：先

由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者

比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結束，

三人經過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經驗，每局比賽中，甲、

1IT

乙比賽甲勝概率為乙、丙比賽乙勝概率為丙、甲比賽丙勝概率為:，每局比賽相

互獨立且每局比賽沒有平局.

(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；

(2)已知比賽進行5局后結束，求甲獲得最終勝利的概率.

變式11.(2024?貴州?校聯(lián)考模擬預測)某校為豐富教職工業(yè)余文化活動，在教師節(jié)活

動中舉辦了“三神杯，，比賽，現(xiàn)甲乙兩組進入到決賽階段，決賽采用三局兩勝制決出冠軍，

每一局比賽中甲組獲勝的概率為。(。<。<1),且甲組最終獲得冠軍的概率為：(每局比賽

沒有平局).

⑴求〃；

(2)已知冠軍獎品為28個籃球，在甲組第一局獲勝后，比賽被迫取消，獎品分配方案是：

如果比賽繼續(xù)進行下去，按照甲乙兩組各自獲勝的概率分配籃球，請問按此方案，甲組、

乙組分別可獲得多少個籃球？

變式12.(2024?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預測)手工刺繡是中國非物質文化遺產之一，指以

手工方式，用針和線把人的設計和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術，大致分為繪

制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個環(huán)節(jié)，簡記為工序4工序8,

工序C.經過試驗測得小李在這三道工序成功的概率依次為二.現(xiàn)某單位推出一項手

工刺繡體驗活動，報名費30元，成功通過三道工序最終的獎勵金額是200元，為了更好地

激勵參與者的興趣，舉辦方推出了一項工序補救服務，可以在著手前付費聘請技術員，若

某一道工序沒有成功，可以由技術員完成本道工序.每位技術員只完成其中一道工序，每聘

請一位技術員需另付費100元，制作完成后沒有接受技術員補救服務的退還一半的聘請費

用.

(1)若小李聘請一位技術員，求他成功完成三道工序的概率；

(2)若小李聘請兩位技術員，求他最終獲得收益的期望值.

變式13.(2024?廣東陽江?高三統(tǒng)考階段練習)部分高校開展基礎學科招生改革試點工

作(強基計劃)的校考由試點高校自主命題，校考過程中達到筆試優(yōu)秀才能進入面試環(huán)節(jié).

已知4,8兩所大學的筆試環(huán)節(jié)都設有三門考試科目且每門科目是否達到優(yōu)秀相互獨立.若某

考生報考A大學，每門科目達到優(yōu)秀的概率均為：，若該考生報考8大學，每門科目達到

12

優(yōu)秀的概率依次為了，n,其中0<〃<L

45

(1)若〃=；，分別求出該考生報考AB兩所大學在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達到優(yōu)秀的概

率；

(2)強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優(yōu)秀科目個數(shù)的期

望為依據(jù)作出決策，該考生更有希望進入A大學的面試環(huán)節(jié)，求〃的范圍.

【解題方法總結】

1、求復雜事件的概率一般可分三步進行

（1）列出題中涉及的各個事件，并用適當?shù)姆柋硎舅鼈儯?/p>

（2）理清各事件之間的關系，恰當?shù)赜檬录g的“并”“交”表示所求事件；

（3）根據(jù)事件之間的關系準確地運用概率公式進行計算.

2、計算事件同時發(fā)生的概率常用直接法，當遇到“至少”“至多”問題，考慮逆向思維，

考查原事件的對立事件，用間接法處理.

題型五：全概率公式及其應用

例13.（2024?江西?高三校聯(lián)考階段練習）某同學喜愛籃球和跑步運動.在暑假期間，該

同學下午去打籃球的概率為:若該同學下午去打籃球，則晚上一定去跑步；若下午不去打

4

籃球，則晚上去跑步的概率為:?已知該同學在某天晚上去跑步，則下午打過籃球的概率

為.

例14.（2024?江蘇南京?高三統(tǒng)考開學考試）某批麥種中，一等麥種占90%,二等麥種

占10%,一、二等麥種種植后所結麥穗含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6,0.2,則這批

麥種種植后所結麥穗含有50粒以上麥粒的概率為.

例15.（2024?湖南長沙?高三周南中學?？茧A段練習）某籃球隊教練對近兩年隊員甲參

加過的100場比賽進行統(tǒng)計：甲在前鋒位置出場20次，其中球隊獲勝14次；中鋒位置出

場30次，其中球隊獲勝21次；后衛(wèi)位置出場50次，其中球隊獲勝40次用該樣本的頻率

估計概率，則甲參加比賽時，該該球隊某場比賽獲勝的概率為.

變式14.（2024?福建漳州?高三統(tǒng)考開學考試）有一批同一型號的產品，其中甲工廠生

產的占40%,乙工廠生產的占60%.已知甲、乙兩工廠生產的該型號產品的次品率分別為

3%,2%,則從這批產品中任取一件是次品的概率是.

變式15.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?高三統(tǒng)考開學考試）現(xiàn)有兩個罐子，1號罐子中裝有3個紅球

、2個黑球，2號罐子中裝有4個紅球、2個黑球.現(xiàn)先從1號罐子中隨機取出一個球放入2號

罐子，再從2號罐子中取一個球，則從2號罐子中取出的球是紅球的概率為.

變式16.（2024?福建?校聯(lián)考模擬預測）若一個點從三棱柱下底面頂點出發(fā)，一次運動

中隨機去向相鄰的另一個頂點，則在5次運動后這個點仍停留在下底面的概率是.

變式17.（2024?上海浦東新?高三上海市實驗學校校考開學考試）已知

P（A）=0.4,P（B|A）=0.2,P（B|A）=0.3,則P（B）=.

【解題方法總結】

全概率公式P（B）=￡尸（A,）尸（例A）在解題中體現(xiàn)了“化整為零、各個擊破”的轉化思

i=l

想，可將較為復雜的概率計算分解為一些較為容易的情況分別進行考慮.

題型六：貝葉斯公式及其應用

例16.（2024?河北秦皇島?高三校聯(lián)考開學考試）有甲、乙兩個加工廠加工同一型號零

件，甲廠加工的次品率為6%,乙廠加工的次品率為5%,已知甲乙兩個加工廠加工的零件

數(shù)分別占當?shù)厥袌隹倲?shù)的45%,55%,現(xiàn)從當?shù)厥袌錾先我赓I一件這種型號的零件、則買

到的零件是次品，且是甲廠加工的概率為.

例17.（2024?福建漳州?高三福建省華安縣第一中學?？奸_學考試）有3臺車床加工同

一型號的零件，第1臺加工的次品率為8%,第2臺加工的次品率為3%,第3臺加工的次

品率為2%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總

數(shù)的10%,40%,50%,從混放的零件中任取一個零件，如果該零件是次品，那么它是第3

臺車床加工出來的概率為.

29.（2024?遼寧錦州?統(tǒng)考模擬預測）某考生回答一道有4個選項的選擇題，設會答該題

3

的概率是:，并且會答時一定能答對，若不會答，則在4個答案中任選1個.已知該考生回

答正確，則他確實會答該題的概率是.

29.（2024?河南安陽?統(tǒng)考二模）學校給每位教師隨機發(fā)了一箱蘋果，李老師將其分為兩

份，第1份占總數(shù)的40%,次品率為5%,第2份占總數(shù)的60%,次品率為4%.若李老

師分份之前隨機拿了一個發(fā)現(xiàn)是次品后放回，則該蘋果被分到第1份中的概率為.

30.（2024?浙江?高三校聯(lián)考階段練習）隨著城市經濟的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴重，上

班族需要選擇合理的出行方式.某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自

駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為g而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到

的概率分別為結果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率

是.

31.（2024?天津濱海新?高三大港一中?？茧A段練習）有三個籠子，里面分別放有兩只雄

兔一只雌兔、兩只雄兔兩只雌兔、以及三只雌兔.如果在從一個籠子里拿出一只雄兔之后，

那么再從這個籠子里取出雄兔的概率為.

32.(2024?全國?高三專題練習)某人下午5：00下班，他所積累的資料如表所示

5：35-5：5：40?5：5：45-5：5：50-5：晚于5：

到家時間

3944495454

乘地鐵到家的概

0.100.250.450.150.05

率

乘汽車到家的概

0.300.350.200.100.05

率

某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵回家還是乘汽車回家，結果他是5：47到家的，則他是乘地

鐵回家的概率為.

【解題方法總結】

1、利用貝葉斯公式求概率的步驟

第一步：利用全概率公式計算P(A),即尸(A)=支尸(旦)P(A|B,)；

i=l

第二步：計算尸(AB),可利用尸(AB)=尸(3)P(A|B)求解；

第三步：代入尸(例A)=曳辿求解.

P(A)

2、貝葉斯概率公式反映了條件概率尸(洌A)=今箸，全概率公式

P(A)=￡尸(耳)尸(A|B,)及乘法公式尸(AB)=P(B)P(AIB)之間的關系，即

1=1

P(B,A)尸(耳)尸(A|B)_P(Bj)P(AIB)

p(鳥H)=

P(A)尸(A)支尸(耳)尸(A|B.)

i=l

題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用

例18.(2024?福建三明?統(tǒng)考三模)在二十大報告中，體育、健康等關鍵詞被多次提及，

促進群眾體育和競技體育全面發(fā)展，加快建設體育強國是全面建設社會主義現(xiàn)代化國家的

一個重要目標.某校為豐富學生的課外活動，加強學生體質健康，擬舉行羽毛球團體賽，賽

制采取3局2勝制，每局都是單打模式，每隊有5名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且

是否上場是隨機的，每局比賽結果互不影響.經過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決

賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲隊種子選手M對乙隊每名隊員的勝率均為一,甲隊其余

4

4名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為(注：比賽結果沒有平局)

(1)求甲隊最終2:1獲勝且種子選手”上場的概率；

(2)已知甲隊2:1獲得最終勝利，求種子選手M上場的概率.

例19.(2024?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學校考階段練習)已知外形完全一樣的某品牌

電子筆6支裝一盒，每盒中的電子筆次品最多一支，每盒電子筆有次品的概率是

(1)現(xiàn)有一盒電子筆，抽出兩支來檢測.

①求抽出的兩支均是正品的概率；

②已知抽出的兩支是正品，求剩余產品有次品的概率.

(2)已知甲乙兩盒電子筆均有次品，由于某種原因將兩盒筆完全隨機的混合在了一起，現(xiàn)隨

機選3支電子筆進行檢測，記4為選出的3支電子筆中次品的數(shù)目，求J的分布列和期望.

例20.(2024?江蘇南京?南京師大附中?？寄M預測)甲，乙，丙三個廠家生產的手機

充電器在某地市場上的占有率分別為25%,35%,40%,其充電器的合格率分別為70%,

75%,80%.

(1)當?shù)毓ど藤|檢部門隨機抽取3個手機充電器，其中由甲廠生產的手機充電器數(shù)目記為

X,求X的概率分布列，期望和方差；

(2)現(xiàn)從三個廠家生產的手機充電器中隨機抽取1個，發(fā)現(xiàn)它是不合格品，求它是由甲廠生

產的概率.

變式18.(2024?湖南長沙?高三周南中學?？奸_學考試)英國數(shù)學家貝葉斯(1701-

1763)在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計理論，對于統(tǒng)計決策函數(shù)、統(tǒng)計推

斷等做出了重要貢獻.貝葉斯公式就是他的重大發(fā)現(xiàn)，它用來描述兩個條件概率之間的關

系.該公式為：設A，4,…，4是一組兩兩互斥的事件，4口4口-。4=0,且

P(A)>0,7=1,2,則對任意的事件B=有

P(a)P國A)P(A)P(B|A)

p(aW)=i=現(xiàn)有三臺車床加工同一型號的

P⑻￡；/(4)尸國4)'

零件，第1臺加工的次品率為6%,每加工一個零件耗時35分鐘，第2,3臺加工的次品率

均為5%,每加工一個零件分別耗時32分鐘和30分鐘，加工出來的零件混放在一起.已知第

1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.

(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，計算加工這個零件耗時X(分鐘)的分布列和數(shù)學期望.

變式19.(2024?全國?高三專題練習)為提升學生的綜合素養(yǎng)能力，學校積極為學生搭

建平臺，組織學生參與各種社團活動.在學校辯論隊活動中，甲同學積極參與.為了更好的了

解每個同學的社團參與情況和能力水平，對每位參與辯論隊的同學進行跟蹤記錄.社團老師

了解到，甲自加入辯論隊以來參加過100場辯論比賽：甲作為一辯出場20次，其中辯論隊

獲勝14次；甲作為二辯出場30次，其中辯論隊獲勝21次；甲作為三辯出場25次，其中

辯論隊獲勝20次；甲作為四辯出場25次，其中辯論隊獲勝20次用該樣本的頻率估計概

率，則:

(1)甲參加比賽時，求該辯論隊某場比賽獲勝的概率；

⑵現(xiàn)學校組織6支辯論隊，進行單循環(huán)比賽，即任意兩支隊伍均有比賽，規(guī)定至少3場獲

勝才可晉級.社團老師決定每場比賽均派甲上場，已知甲所在辯論隊順利晉級，記其獲勝的

場數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

變式20.(2024?吉林長春?長春市第二中學?？寄M預測)某興趣小組為研究一種地方

性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣(衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關系，設4=“患有

—3—P

地方性疾病"，