橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程解析-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1.橢圓的定義

在平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F［、F2的距離的和等于常數(shù)（大于I6心|）的點(diǎn)的軌跡叫一橢圓

這兩定點(diǎn)叫做橢圓的—焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的—焦距—.

集合。={閔|町|+附閶=2a},由閶=2c,其中a,c是常數(shù)，且a>0,c>0：

⑴若—2°>由閭，則集合P表示橢圓；

⑵若—2a=\FtF2\—，則集合尸表示線段；

⑶若—2"閨用—（則集合P為空集.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在X上焦點(diǎn)在y上

y

圖形B\也b\0Bx

CJF^/A2x2

Bi

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程*,y_i/y+「3--11

焦點(diǎn)(-G。)、(c,0)(0,-c)、(0,c)

焦距2c

a,dc的關(guān)系a2=b2+c2

3.點(diǎn)尸（%,線）和橢圓的關(guān)系

2

（1）點(diǎn)P（Xo，%）在橢圓內(nèi)=存+.A<1.

ab1

4^i.

⑵點(diǎn)P（x0,%）在橢圓上u>2+

a"b2

2

⑶點(diǎn)P（Xo,%）在橢圓外=存+4>i.

ab-

1.“加>〃>0"是"方程mx?+“y2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【答案】D

11

【解析】若根>〃>0,則上<一,即橢圓表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓.反之，也成立.

mn

22

2.已知片，凡是橢圓L+上=1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)居的直線交橢圓于A,3兩點(diǎn)，在AAfJB

169

中，若有兩邊之和是10,則第三邊的長(zhǎng)度為()

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

04^1+14^1=8

【解析】由橢圓定義知，■，

［阿|+忸閭=8

相加得||+忸耳|=16,???周長(zhǎng)為16,

?.?在中，有兩邊之和是10,

.?.第三邊和長(zhǎng)度為16-10=6.

3.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知AA5C的頂點(diǎn)A(O,3)和C(O,-3),頂點(diǎn)3在橢圓

今〉山則需■=()

【答案】A

■即上、sin(A+C)sinBAC2cc3

sinA+sinCsinA+sinCBC+AB2aa5

r2

4.已知橢圓可+V=1的左、右焦點(diǎn)分別為居、F2,點(diǎn)P在橢圓上，則歸耳卜歸閭的最

大值是()

A.8B.2V2C.10D.4-72

【答案】A

【解析】?.?橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)。=2夜，

...I叫叫<(附￥用)2=(y)2="=8,

(當(dāng)且僅當(dāng)|P周=|尸閭時(shí)取"=").

考點(diǎn)一橢圓的定義

22

【例1】已知P為橢圓土+工=1上的點(diǎn)，點(diǎn)M為圓

2516

G：(x+3)2+y2=i上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓。2：。一3)2+V=1上的動(dòng)點(diǎn)，則

1PMl+|PN|的最大值為()

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】(\PM\+\PN\)nm=\PCJ+IPCJ+2-12

【方法技巧】橢圓定義的應(yīng)用主要有

(1)確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓.

(2)解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題.

橢圓上的任意一點(diǎn)V到焦點(diǎn)R的所有距離中，最大距離為a+c,最小

距離為a-c.

22

【變式】橢圓上+上-=1的左、右焦點(diǎn)分別為匕、F,P是橢圓上任一點(diǎn)，

432_

貝”西H叫的取值范圍是()

A.(0,4]B.(0,3]C.[3,4)D.[3,4]

【答案】D

【解析】設(shè)I所卜加，貝=2。一根=4一加，

耳,Pg卜m(4-rn)=-nr+4m=-(m-2)2+4,

''a—c<m<a+c,.".l<m<3>3<-|P7^|<4.

考點(diǎn)二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【例2】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0),橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10；

(2)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于短軸長(zhǎng)的3倍，并且經(jīng)過點(diǎn)(3,0).

22

【解析】(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為q+a=1(。>人>0),

222

■:2Q=10,c=4,/.b=a—c=99

22

...橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1.

259

【方法技巧】用待定系數(shù)法求橢圓方程的步驟

(1)定位：確定焦點(diǎn)的位置，若不能確定，要分類討論；

(2)定量：由條件求a、b、c.

【變式】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓。的右焦點(diǎn)為R(l,0),點(diǎn)尸關(guān)于直線y=的對(duì)稱

點(diǎn)在橢圓C上，則橢圓C的方程為________.-

【解析】設(shè)/關(guān)于直線y=gx的對(duì)稱點(diǎn)為(無(wú)。,%)，

3

%0=-

，解得

%ljo+14

y°=5

I222

依題意，可設(shè)橢圓方程為+—=l(m>0),

22

9164vv

--------1----=1,解得m.?.橢圓方程為9+、=L

25(m+1)25m

55

考點(diǎn)三橢圓方程的綜合運(yùn)用

【例3】已知橢圓G:[+』=1(。＞6＞0)過點(diǎn)A(l,乎)和點(diǎn)5(0,-1).

(1)求橢圓G的方程；

3

(2)設(shè)過點(diǎn)P(0,5)的直線/與橢圓G交于N兩點(diǎn)，且[91=1BN|,求直線/的方程.

【解析】(1)?.?橢圓過點(diǎn)A(1，日)和點(diǎn)8(0,—1),

(凡2

I2(工)

b—19由一yH----z—=1,得H=3.

ab

2

橢圓G的方程為、+丁=1.

,3

y=kx+—

?15

由＜,,#(3^2+l)x2+9fcc+—=0.

X2.4

—+V=1

13?

由A=(9左下一15(3左2+1)>0,左2〉^.

^M(xl,y1),N(x2,y2),MN中點(diǎn)為。(的為)，

一七+%：9k=%+%_3

°2642+2'y026k2+2'

3?1

由15Ml=|5N],知5QLM2V,=即6尸+2十-1.

%k9kk

~6k2+2

化簡(jiǎn)得產(chǎn)=：，滿足A>0..?.女=±乎.因此直線/的方程為y=土乎x+g.

【方法技巧】?jī)煞N情況的解法策略

(1)若|/利=歸用，通常設(shè)A3的中點(diǎn)利用去解決;

(2)若PALPB,通常利用西?麗=0去解決.

1.橢圓好+m/=1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則加的值為(A)

11

A.-B.-C.2D.4

42

2

【解析】由橢圓好+沖2=1,得/+千=晨

m

?.?焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,

C64,解得Y

2.橢圓鼻+與=1的左焦點(diǎn)為耳，點(diǎn)P在橢圓上，若線段尸片的中點(diǎn)M在y軸上，則

附|=(A)

419

A.—B.—C.6D.7

55

22

【解析】；耳為橢圓+=l的左焦點(diǎn)，...耳(一4,0).

42y29

?.?線段尸￡的中點(diǎn)M在y軸上，可設(shè)P(4,y),.?.石+方~=1,解得y=±1,

二附|=,(4+4)2+(y—0尸=卜4+￡=y.

(另解=a+exp=5+■|x4=?)

3.一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)用月在x軸上，P(2,0)是橢圓上一點(diǎn)，且玲閨閶,|尸閶

成等差數(shù)列，則橢圓方程為(A)

x2y2x2y2x2y2x2y2

A.----1-----=1B.-----1-----=1C.-----1-----=1D.-----1-----=1

8616684164

22

【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+==1(。〉6〉0).

ab

由點(diǎn)P(2,指)在橢圓上知［+3=1.

ab

又歸國(guó),I耳耳，歸閶成等差數(shù)列，

C1

則|尸耳|+|尸閭=2|耳聞，即2a=22,-=1,

又。2=片—方2,聯(lián)立得/=8,/=6.

22

4.已知橢圓?+'=1上有一點(diǎn)P,耳，8是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若△耳2心為直角三

角形，則這樣的點(diǎn)P有(C)

A.3個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

【解析】當(dāng)NP耳鳥為直角時(shí),

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，這樣的點(diǎn)P有2個(gè)；

同理當(dāng)/《月月為直角時(shí)，這樣的點(diǎn)P有2個(gè)；

當(dāng)P點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，NRPF2最大,且為直角，

此時(shí)這樣的點(diǎn)尸有2個(gè).故符合要求的點(diǎn)P有6個(gè).

22

5.已知后、居是橢圓C：T+qnKaAb〉。)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且

ab

兩，電.若A尸尸iB的面積為9,貝m=_3.

【解析】設(shè)PR=m,PF2=n,

m+n=2am+n+2加=4。

加2+/=4c2,.1m+n

mn=18mn=18

/.4-a2—4c2=36,b=3.

22____________________

6.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在橢圓L+2L=I上，若A(3,0),|汨|=1,S.PMAM=O,則|兩

7516IIII

的最小值是.

【解析】,：PMAM=O,:.AM±PM.

???橢圓右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)A的距離最小，

故而I=2,\PM\=6

IIminIImin

22

7.已知橢圓C：*+27=1(。〉6〉0)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),短軸的一個(gè)端點(diǎn)8到尸的距

離等于焦距.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)/的直線/與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)M,N,是否存在直線/,使得與

AB7W的面積比值為2?若存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理由.

【解析】(1)由已知得c=l,a=2c=2.

b1=a2—c2=3,

22

...橢圓。的方程為3+3=1.

43

(2)設(shè)直線/的方程為x=1,

\22

土+匕=1

由＜43-，得(3/+4)/一6期-9=0.

x=ny-l

6〃9

設(shè)以(%,%)，則%+%=Q,，，①%%=一02J②

3n+43幾+4

...鼠紇=2等價(jià)于幽一